5.1電磁感應(yīng)定律和全電流定律

1、5 時變電磁場電場、磁場矢量不僅是空間坐標(biāo)的函數(shù)，而且是時間的函數(shù)，這樣的場稱為時電磁變場。在時變電磁場中，電場與磁場互相依存、互相制約，已不可能如前面三 種靜態(tài)場那樣分別進(jìn)行研究，而必須在一起進(jìn)行統(tǒng)一研究。在本章中，首先引出并擴(kuò)展 電磁感應(yīng)定律 的適用范圍，在提出位移電流概念的 基礎(chǔ)上，將安培環(huán)路定律推廣到時變場中，導(dǎo)出普遍適用的全電流定律。從而總結(jié)出得出變化的磁場產(chǎn)生電場、變化的電場產(chǎn)生磁場，這種電場與磁場的普遍聯(lián)系。然后，總結(jié)電磁場的基本方程(即麥克斯韋方程組)，媒質(zhì)的構(gòu)成方程和它在分界 面的銜接條件。介紹動態(tài)位和達(dá)朗貝爾方程的解答，提出電磁場的波動性和電磁波 概念。其三，由基本方程出發(fā)

2、推導(dǎo)出反映電磁場中能量守恒與能量轉(zhuǎn)換的坡印廷定理 和坡印廷矢量。再進(jìn)一步介紹正旋穩(wěn)態(tài)時變場中電磁場的基本方程和坡印廷矢量。5.1電磁感應(yīng)定律和全電流定律電磁感應(yīng)定律(1)定律的內(nèi)容1831年法拉弟在大量實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上歸納總結(jié)，提出了電磁感應(yīng)定律。磁場中的線圈當(dāng)一導(dǎo)體回路I所限定的面積S中的磁通 發(fā)生變化時，在這個回路中就要產(chǎn)生感應(yīng)電勢， 形成感應(yīng)電流。感應(yīng)電勢的大小與 S中的磁通 對時間的變化率成正比，感應(yīng)電勢的實(shí)際方向 由楞次定律確定。楞次定律指出：感應(yīng)電動勢及其所產(chǎn)生的 感應(yīng)電流總是企圖阻止與導(dǎo)體回路相交鏈的磁通的變化感應(yīng)電動勢可表示為)'的方向；:t)B d S )dt dt式中“

3、-”號體現(xiàn)楞次定律：當(dāng)規(guī)定感應(yīng)電勢的參考方向與回路交鏈的磁通 成右手螺旋關(guān)系時，“-”號反映感應(yīng)電勢的真實(shí)方向。實(shí)際上引起磁鏈變化的因素比較多，上式應(yīng)寫為偏導(dǎo)數(shù)形式分析電磁感應(yīng)現(xiàn)象，是由于在導(dǎo)體中存在有一種 感應(yīng)電場，其場強(qiáng)E indI為導(dǎo)體線圈回路。于是電磁感應(yīng)定律又可表位:I E ind d ls B d S（ ）dt要求式中I回路循行 方向與B的方向符合 右螺旋關(guān) 系。當(dāng)二B不為零時， ct- l E ind d S = 0，說明感應(yīng)電場是有旋場。（2）法拉弟電磁感應(yīng)定律的推廣法拉弟電磁感應(yīng)定律反映了感應(yīng)電勢與導(dǎo)體回路I限定面積中交鏈的磁通對時間變化率的關(guān)系，它沒有涉及到導(dǎo)體的材料特性和

4、周圍的媒質(zhì)特性。MaxweII在研究電磁場基本規(guī)律時將電磁感應(yīng)定律作了推廣。當(dāng)變化的磁場客觀存在時，場中某一回路所交鏈的磁鏈的變化也是客觀存在的。在該處放置一導(dǎo)體回路，就可以產(chǎn)生感應(yīng)電勢，測得感應(yīng)電流，反映出感應(yīng)電場的 存在，感應(yīng)電流的大小與導(dǎo)體的電導(dǎo)率有關(guān)。假若在變化磁場中某處設(shè)想有一假想 回路存在，它所交鏈的磁鏈同樣在變化，顯然也應(yīng)當(dāng)有感應(yīng)電場存在，也同樣具有 感應(yīng)電勢，只不過不能測量到感應(yīng)電流而已。由此引伸，可以認(rèn)為感應(yīng)電場不僅僅 存在于導(dǎo)體內(nèi)，而且存在于變化磁場所在的場域空間。于是，我們對于感應(yīng)電場的 看法由一個導(dǎo)體回路擴(kuò)展到了整個變化的磁場空間 。由上面的分析，應(yīng)當(dāng)這樣來理解電磁感應(yīng)

5、定律：在一個變化的磁場中總伴隨著一個感應(yīng)電場，總存在感應(yīng)場強(qiáng)。這正是Maxwell的重大貢獻(xiàn)。(3) 感應(yīng)電動勢與感應(yīng)場強(qiáng)計算:按回路中磁鏈的變化可以分為以下三種情況: 導(dǎo)體回路(或其一部分)與恒定磁場之間有相對運(yùn)動導(dǎo)體棒以速度V運(yùn)動切割磁力線，其上X X A A Z A XAAA線元dl中的電荷dq沿棒運(yùn)動,形成元電流段dq v ,受到磁場作用力d f = dq v B由此定義感應(yīng)電場強(qiáng)E indvE ind)A A X A A A Adq導(dǎo)體與恒定磁場之間有相對運(yùn)動感應(yīng)電勢為稱為發(fā)電機(jī)電勢。在圖示均勻場、勻速運(yùn)動情況下有)Blv 導(dǎo)體回路不動，磁場隨時間變化考慮單匝情況，有 l E ind

6、：:t)稱為變壓器電勢。若導(dǎo)體線圈匝數(shù)為N情況，每匝上通過相等的磁通，有 兼有上面兩種情況感應(yīng)電勢為E ind d 1:tft:l E ind d l：:t)(4) 時變電場是有散有旋場/ E dd Ss;：t考慮到回路I的任意性，它所界定面積 S的任意性，必有dB、'、E 血（）ct即為電磁感應(yīng)定律的 微分形式。它表明感應(yīng)電場是有旋場，E ind線與B線互相交鏈，是無頭無尾的閉合矢量線。在研究時變電場時，Maxwell認(rèn)為時變電荷仍然是產(chǎn)生時變電場的通量場源，高斯通量定理仍然成立。時變電荷q t產(chǎn)生時變電場的守恒分量e °。考慮感應(yīng)電場也 存在，于是總的電場為對上式做旋度八

7、 E ind-:-7 EE ind求閉合回路的線積分 Ii n d d| E o d| E i n d d 1可得- l E d I = - s d S（ ）稱為推廣的電磁感應(yīng)定律。顯然有' s D d s 二 s； E ind d s s； E 0 d S 二 qi D =-說明時變電場是有散有旋場。全電流定律研究時變磁場，就必然涉及到產(chǎn)生時變磁場的場源，恒定磁場中的安培環(huán)路定律在時變磁場中是否還能適用呢？這是我們十分關(guān)心的。（1）運(yùn)流電流的影響設(shè)在真空或空氣稀薄的區(qū)域中，存在有體密度為亍的運(yùn)動電荷的V空間中，取含運(yùn)動電荷的元體積一元體積dV二dS dl，若在dt時間內(nèi)，dV 中的所

8、有電荷dq以V速度全部流出dS面，應(yīng) 有dl 二 vdtdq 二；dV =卜dSdl = dS vdt電流密度d dqJv ()ds dtJ v = ? v( )在V空間中任一面積S上通過iv = S J v d S = S ' v d S稱為運(yùn)流電流，單位為安培（A）。它與傳導(dǎo)電流一樣，按相同的方式產(chǎn)生磁場。要將安培環(huán)路定律引進(jìn)時變磁場中，顯然應(yīng)該考慮J的影響i H d I 二 I iv s J c d S * J v d S（ ）式中應(yīng)考慮i c僅在導(dǎo)體中，iv僅在空氣稀薄區(qū)域或真空中。（2）全電流定律 安培環(huán)路定律的應(yīng)用范圍恒定磁場中安培環(huán)路定律” H 二 J c是建立在傳導(dǎo)電流

9、連續(xù)性基礎(chǔ)上的:S J cd S 二 0v J c 二 0在一般情況下，應(yīng)滿足電荷守恒定律qs J c d S-；JdV亠它的微分形式為cPft可見在一般情況下傳導(dǎo)電流不連續(xù)這說明安培環(huán)路定律已不能直接應(yīng)用于時變磁場，要解決關(guān)于電流連續(xù)性問題。 全電流定律時變電磁場中高斯通量定理在電荷守恒定律的微分形式中，若將上式代入cP;:t整理可得將括號內(nèi)看為一種電流密度，那么在時變場中它是連續(xù)的，用它取代傳導(dǎo)電流密度J c，有擴(kuò)展的安培環(huán)路定律的微分形式對應(yīng)積分形式H d、Js Jc d S+ Js如研究的范圍內(nèi)有真空或空氣稀薄區(qū)域存在，就可能還有運(yùn)流電流存在，將它對時 變磁場的影響也反映在上式中，而有

10、方程s ；:t)其微分形式)稱為全電流定律。式中，稱ivs'v d S為運(yùn)流電流，iDs石d S為位移電d D流，為位移電流密度。 dt 應(yīng)當(dāng)特別注意：積分形式反映大范圍內(nèi)時變場的情況，可能包含有傳導(dǎo)電流和 運(yùn)流電流，而微分形式僅涉及時變場中某點(diǎn)處的情況，傳導(dǎo)電流密度Jc和運(yùn)流電流密度J v不可能同時存在。由上的推導(dǎo)可知，當(dāng)磁場不隨時間變化時，時變磁場蛻變?yōu)楹愣ù艌?，全電?定律就蛻變?yōu)榘才喹h(huán)路定律，安培環(huán)路定律是全電流定律的特例。 位移電流和位移電流密度冷D位移電流密度J。二，單位為A/m2。它是Maxwell為滿足電荷守恒定律，體 ct現(xiàn)電流的連續(xù)性而引入的一個假想概念，它沒有通常

11、電流的意義，也不便于測量。關(guān)于電容器充電和放電情況：外部電路為傳導(dǎo)電流ic ,在電容器內(nèi)部(理想介質(zhì)) 已沒有ic存在，代之以iD，保持了電流的連續(xù)性。位移電流這一假設(shè)的提出和引入，是Maxwell對經(jīng)典電磁場理論的又一重大貢獻(xiàn)，它揭示了變化的電場產(chǎn)生磁場這一基本關(guān)系。Maxwell將安培環(huán)路定律推廣成全電部定律，用它和推廣的電磁感應(yīng)定律一道，說明了變化的電場產(chǎn)生磁場，變化的磁場又總是伴隨有電場，這種相互依存、互相制約、不可分割的密切關(guān)系，就構(gòu)成 了統(tǒng)一的電磁現(xiàn)象中的兩個主要方面 。5.1.3 關(guān)于時變電場和時變磁場的計算我們所研究的電磁現(xiàn)象和認(rèn)識的基本規(guī)律在擴(kuò)展，但從基本規(guī)律反映的場的基 本

12、性質(zhì)不外是散度和旋度。作為分析問題的思路和計算的方法，仍然可以從靜態(tài)場 已學(xué)過的方法中引導(dǎo)出。(1) 仍然十分強(qiáng)調(diào)對電磁場分布的定性分析，分析其分布的對稱性，確定必要 的計算區(qū)域，確定使用的坐標(biāo)系，畫出對應(yīng)的計算圖形。(2) 磁場H的計算。引用全電流定律的積分形式 ：H d = S J c d S S:Dd S完全可以借鑒運(yùn)用安培環(huán)路定律的經(jīng)驗(yàn)和方法，確定適當(dāng)?shù)姆e分回路，以獲得計算 的結(jié)果。應(yīng)當(dāng)注意的是：回路I的巡行方向和它所界定的面積 S的正法線方向應(yīng)符 合右手螺旋關(guān)系。(3) 計算感應(yīng)電場E ind。由電磁感應(yīng)定律的積分形式 & B1 E ind d Isd sct其形同安培環(huán)路定律，可效法應(yīng)用安培環(huán)路定律的分析思路和計算方法。(4) 計算電場的守恒分量E °