微分變換法求解Fredholm積分方程組及分數(shù)階四階擴散波方程

1、 畢業(yè)論文論文題目: 微分變換法求解 Fredholm 積分方程組及分數(shù)階四階擴散波方程姓 名: 譚 輝 學 號： P071513096 學 院： 數(shù)學與計算機科學學院 專業(yè)班級： 2007級信息與計算科學（1）班指導老師： 馬維元 微分變換方法求解Fredholm積分方程組及分數(shù)階四階擴散波方程專業(yè)：信息與計算科學 姓名：譚輝 指導教師：馬維元摘 要 本文定義了微分變換,介紹了如何進行微分變換操作,然后給出了Fredholm積分方程組并運用微分變換法解出了Fredholm積分方程組.文中對分數(shù)階導數(shù)作了相關(guān)的介紹并對分數(shù)階四階擴散波方程進行了求解.關(guān)鍵詞 微分變換法,Fredholm積分方程

2、組,分數(shù)階導數(shù)ABSTRACTThis paper aims at giving a definition of differential transform and introducing the operation of differential transform by citing an example of working out Fredholm integral equations group with differential transform method. Integral equations of fractional order derivative are intr

3、oduced and the related fractional diffusion of fourth-order wave equations is solved.Key Words：Differential transformation method, Fredholm integral equations, Fractional order derivative引言微分變換法是近年來發(fā)展起來的一種求解微分方程的數(shù)值方法,其顯著特點是它能夠解決線性和非線性微分方程.通過微分變換可以解決拋物型、雙曲線、橢圓和非線性偏微分方程. 分數(shù)階微積分的理論研究幾乎與整數(shù)階微積分的發(fā)展史一樣久遠.

4、然而由于長期沒有得到實際應用背景的促進而發(fā)展極其緩慢. 還應該指出的是,傳統(tǒng)的微商運算是一種局部算子,而分數(shù)階微分是一種非局部的整體算子.本文定義了微分變換法并介紹了如何進行微分變換,然后用微分變換法求解了積分方程組及分數(shù)階四階擴散波方程,從而表明了用微分變換法求解偏微分方程的有效性及可行性.1.微分變換1.1 一維微分變換1.1.1一維微分變換的基本定義和運算定義1.如果在定義域上是解析的,令 (1)對于,其中屬于非負整數(shù)集,則式（1）可改寫為 , (2)其中是在上的變化范圍,稱式（2）為的微分變換.定義2：如果是解析的,則可以表示為： (3)稱之為的微分逆變換如果表示為： (4)則函數(shù)可以

5、表示為： (5)其中,.作為一個加權(quán)因子.1.1.2一維微分變換的性質(zhì)：性質(zhì)1：如果,則.性質(zhì)2：如果,則,其中為常數(shù).性質(zhì)3：如果,則.性質(zhì)4：如果,則.性質(zhì)5：如果,則.1.2 二維微分變換定義3：對于兩個變量的二維函數(shù),把它看作是兩個單獨變量的函數(shù),基于一維微分變換,函數(shù)可以表示為： (6)其中是的變化范圍.如果是解析的,則 (7)其中是原函數(shù),是轉(zhuǎn)換函數(shù),即為 的微分變換.定義4：的微分逆變換的定義為： (8)由（7）和（8）可得： (9)1.3 分數(shù)階微分變換1.3.1Riemann-Liouville和Caputo定義 關(guān)于分數(shù)階導數(shù)的定義和介紹有很多,其中用到的最多的就是Riem

6、ann-Liouville和Caputo分數(shù)階導數(shù),二者的不同之處表現(xiàn)在對分數(shù)階的賦值上面. Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)的定義如下： (10)Caputo分數(shù)階導數(shù)的定義如下： (11)由（10）、（11）兩式可得： （12）將解析函數(shù)展開成分數(shù)階冪級數(shù): (13)Riemann-Liouville和Caputo之間的運算關(guān)系如下： (14)用代替（13）式中的,利用（15）式可得到Caputo分數(shù)階導數(shù)為： (15)因為初始條件涉及的都是整數(shù)階導數(shù),故定義初始條件的變換式為： (16)其中為相應的分數(shù)階微分方程的階數(shù).1.3.2分數(shù)階微分變換法的定義及其性質(zhì)對于給定的含分數(shù)

7、階微分方程,一維微分變換式為：,微分逆變換為：.二維微分變換式為：,逆變換為：同樣,分數(shù)階微分變換法也有如下性質(zhì)：性質(zhì)1：如果,則.性質(zhì)2：如果,則.性質(zhì)3：如果,則.性質(zhì)4：如果,則.性質(zhì)5：如果,則.在具體例子中應用這些性質(zhì)即可得到相應的分數(shù)階微分變換的公式.2. 微分變換方法求解Fredholm積分方程組我們將積分符號下含有未知函數(shù)的方程稱為積分方程,常見的有Fredholm方程和Volterra方程.形如：, (17), (18)的方程,其中a、b有限或無限,為復參數(shù),為實自變量的復值函數(shù),是未知函數(shù)，分別稱 (17)和 (18)為第一類和第二類Fredholm方程,這類方程由瑞典幾何

8、學家Fredholm首先提出.Fredholm積分方程組為: (19)其中, (20)根據(jù)微分變換的原理我們可以得到如下定理：定理:對方程,假設、分別為、的微分變換式,則有如下結(jié)論成立：1)如果,則;2)如果,則.例1.考慮以下Fredholm積分方程組： 其中,.精確解為,.由微分變換可得：,再利用微分逆變換公式可得： 即為方程的解.例2.考慮以下積分方程組：,.對方程組進行微分變換可得：,再利用微分逆變換公式可得：即為方程組的解.3、微分變換方法求解分數(shù)階四階擴散波方程在這里我們主要研究的是時間為分數(shù)階導數(shù)、空間為經(jīng)典四階導數(shù)的分數(shù)階擴散波方程.例3. 考慮以下分數(shù)階四階擴散波方程利用微分

9、變換法進行微分變換后可得：由以上兩式求解出,結(jié)果如下表：0123011-123456再利用微分逆變換式：可得： 故有：圖一為用微分變換法所求出的解與方程的精確解的比較,從圖中可以看出兩者之間的誤差情況： 圖一例4.考慮以下分數(shù)階四階擴散波方程利用微分變換可得：再由以上兩式求出,如下表：012301100002300004500006-1再利用微分逆變換式：可得：故即為所求解.能否增加例3，考慮空間分數(shù)階其中，還是用Caputo導數(shù)。4、小結(jié) 在本文中,定義并介紹了微分變換法,討論了第二類Fredholm積分方程,用微分變換法對其進行了求解；文中較為詳細的介紹了分數(shù)階的微分變換法并對給出的分數(shù)階

10、擴散波方程進行了求解,然后與方程的精確解進行了比較.從而表明了用微分變換法求解線性和非線性偏微分方程的可行性與有效性.參考文獻1Ming-Jyi Jang,Chieh-Li Chen,Yung-Chin Liu,Two-dimensional differential transform for partial differential equations. Appl.Math. Comput. 121 (2001) 261-270.2M.Javidi,A.Golbabai,A numerical solution for solving system of Fredholm integral

11、 equations by using homotopy perturbationmethod.3Zaid Odibata,Shaher Momanib ,A generalized differentialtransform method for linear partial differential equations of fractionalorder.pdf.4 K.Maleknejad,N.Aghazade,M.Rabbani,Numerical solution of second kind Fredholm integral equations system by using

12、a Taylor-series expansion method, Appl. Math. Comput. 175 (2006) 12291234.5 A. Golbabai , K. Sayevand, Fractional calculus A new approach to the analysis of generalized fourth-order diffusionwave equations.6 D. Nazari, S. Shahmorad, Application of the fractional differential transform method to frac

13、tional-order integro-differential equations with nonlocal boundary conditions.7 Zaid M. Odibat, Differential transform method for solving Volterra integral equation with separable kernels. Math.Comput. Modelling 48 (2008) 11441149.8 Aytac Arikoglu, Ibrahim Ozkol, Solutions of integral and integro-differential equation systems by using differential transform method.答 謝時光飛快,轉(zhuǎn)眼間大學生活已接近尾聲, 在這里我要感謝我的母校西北民族大學,是她把我從一名普通高中生培養(yǎng)成一名合格的大學生.   本論文是在馬維元老師悉心指導下完成的.承蒙馬老師的親切關(guān)懷和精心指導,在繁忙的教學工作中抽出時間給予了我學術(shù)上的指導