立體幾何題型總結(jié)

1、立體幾何點線面的位置關(guān)系公理1：如果一條直線的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么他們有且只有一條過該點的公共直線。1、公理的理解與應(yīng)用 例1 已知為不同的平面，A、B、M、N為不同的點，為直線，下列推理錯誤的是 （）A.B.C.D. 且A、B、M不共線重合 例2 下列條件中，能得到平面平面的是（）A. 存在一條直線B. 存在一條直線C. 存在兩條平行直線D. 存在兩條異面直線例3 對于直線和平面，下列命題中的真命題是（）A. 如果是異面直線，那么B. 如果是異面直線，那么和相交C. 如果共面，

2、那么D. 如果共面，那么例4 已知正四棱錐的側(cè)棱長與底面邊長都相等，是的中點，則所成的角的余弦值為（ ）ABCD2、 共線、共面、共點問題例5 如圖所示，四邊形ABCD中，已知(或延長線)分別與平面交于E、F、G、H必在同一直線上。3、 直線與直線之間的關(guān)系例6 給出下列四個命題： 垂直于同一直線的兩條直線互相平行； 平行于同一直線的兩條直線平行； 若直線滿足則； 若直線是異面直線，則與都相交的兩條直線是異面直線。其中假命題的個數(shù)是 （ ） A、1 B、2 C、3 D、4立體幾何-空間中的平行問題公理4：平行于同一直線的兩條直線互相平行定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對于平行，那么這兩個角相等

3、或互補。定理：平面外一條直線與此平面的一條直線平行，則該直線與此平面平行定理：一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。定理：一個平面與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。定理：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么他們的交線平行。證明平行的方法：線線平行：相似，全等；平行線判斷定理（內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補等），（高中階段一般不考，只作為轉(zhuǎn)化的一個橋梁）線面平行：依定義采用反證法；根據(jù)定理證明（）；面面平行的性質(zhì)定理（）面面平行的：依定義采用反證法；用判斷定理或推論；用“垂直與同一條直線的兩個平面平行”這一性質(zhì)證明。1、平行關(guān)系的概念例1 若

4、為異面直線，直線ca，則c與b的位置關(guān)系是A相交 B異面 C平行 D 異面或相交例2 垂直于同一平面的兩條直線一定 A平行 B相交 C異面 D以上都有可能2、 線面平行例3 在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB和BC上的點，若AE：EB=CF：FB=1：3,則對角線AC和平面DEF的位置關(guān)系是 （ ）A、平行 B、相交 C、在內(nèi) D、不能確定 例4 如圖所示，在正方體中，E、F分別是棱BC、的中點。求證：平面.例5 如圖所示，P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，E、F分別在PA、BD上，且PE：EA=BF：FD. 求證：平面PBC例6 有下列幾個命題 平面內(nèi)有無數(shù)個點到平面的距離相等，且

5、； ，且（為平面；a,b為直線），則； 平面內(nèi)一個三角形三邊分別平行于平面內(nèi)的一個三角形的三邊，則； 平面內(nèi)一個平行四邊形的兩邊分別與平面內(nèi)的一個平行四邊形的兩邊對應(yīng)平行，則。其中正確的有 例7 如圖所示，B為所在平面外一點，M,N,G分別為，的重心。（1） 求證平面MNG平面ACD；（2） 求.例8 ABCD是平行四邊形，點P事平面ABCD外一點，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G做AP作平面交平面BDM于GH，求證：APGH立體幾何第四講-空間中的垂直問題定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。定理：垂直

6、于同一個平面的兩條直線平行。定理：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直。三垂線定理：如果在平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直，則它也和這條直線垂直。三垂線逆定理：如果：如果在平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線垂直，則它也和這條直線在這個平面內(nèi)的射影垂直。最小角定理：斜線和它在平面的射影所成角（即線面角），是斜線和這個平面的最小角，并滿足設(shè)A為面上一點，過A的直線AO在面上的射影為AB，AC為面上的一條直線，那么OAC,BAC,OAB三角的余弦關(guān)系為：只能是銳角，通俗點說就是，cos平面斜線與平面直線夾角(OAC)=cos斜線射影與平面直線夾角(BAC)x

7、cos平面斜線與斜線射影夾角(OAB)又叫最小角定理或爪子定理，可以用于求平面斜線與平面內(nèi)直線成的最小角 證明垂直的方法：線線垂直：三垂線定理；線面垂直判斷定理；勾股定理等線面垂直：判斷定理；面面垂直的性質(zhì)面面垂直：判斷定理題型一：對空間中垂直的概念的理解例1：對于任意的直線與平面，在平面內(nèi)必有直線，使和（ ）A 平行 B 相交 C垂直 D互為異面直線例2、用、表示三條不同的直線，表示平面，給出下列命題：若，則；若，則；若，則；若，則.A. B. C. D.題型二：線線垂直例3：如圖，四面體中，求證：（三垂線逆定理）題型三：線面垂直FGEDCABA1B1D1C1例4：如圖，在棱長為的正方體中，

8、分別是 的中點。（1）求證：平面平面；（2）求證：平面。例5：如圖，在三棱柱中，側(cè)面，均為正方形，,點是棱的中點.（）求證：平面；ABCC1B1A1D（）求證：平面；題型四：面面垂直例6：如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=BC，點D是AB的中點。（1）求證：BC1/平面CA1D；（2）求證：平面CA1D平面AA1B1B。例7：正方形ABCD的邊長為1，分別取邊BC、CD的中點E、F，連接AE、EF、AF.以AE、EF、FA為折痕，折疊這個正方形，使點B、C、D重合于一點P，得到一個四面體，如圖(2)所示(1)求證：APEF；(2)求證：平面APE平面APF.知識梳理空間平面與平面的位

9、置關(guān)系1、空間兩平面的位置關(guān)系：平行、相交位置關(guān)系定義圖示符號語言交點個數(shù)兩個平面相交斜交有一條公共直線(不垂直)無數(shù)個垂直相交如果兩個相交平面所成二面角為直二面角，那么兩個平面互相垂直無數(shù)個兩個平面平行如果兩個平面沒有公共點，則這兩個平面平行沒有2、空間兩平面平行名稱文字語言符號語言圖形面面平行的定義沒有公共點面面平行的判定定理如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面,那么這兩個平面平行垂直于同一直線的兩平面平行補充平行于同一平面的兩平面平行,兩個平面平行的性質(zhì)定理：（1）如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的任何一條直線直線都平行于另一個平面；（2）如果兩個平行平面都與第三個平面相交

10、，那么交線平行。3、空間兩平面垂直名稱文字語言符號語言圖形面面垂直的定義如果兩個相交平面所成的二面角為直二面角面面垂直的判定定理如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直兩個平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個平面垂直，那么過其中一個平面內(nèi)的一點作它的交線的垂線與另一個平面垂直。4、空間角的概念二面角作法圖形示例及步驟：方法定義法垂面法三垂線定理及逆定理步驟在棱上取一特殊點，分別兩個面內(nèi)找棱的垂線。（通常兩面是等腰三角行，或?qū)ΨQ的全等三角形）找一個垂直于二面角的棱的垂面，那么它于二面角的面的交線所成的角是二面角的平面角1、從二面角的一個面內(nèi)的一點作另一個面的垂線PF，2、從垂足作棱的

11、垂線FE，3、連接PE，由三垂線定理得PEF是二面角的平面角圖形綜合練習(xí)1、過正方形ABCD的頂點A，引PA平面ABCD，若PA = AB，則平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是 （ ）（A）30 （B）45 （C）60 （D）902、四面體ABCD中，其余棱長均為1，則二面角ABCD的大小是_ AA1BB1CC1D1DCABDC 3、正方體中，二面角的大小是_4、RtABC的斜邊在平面內(nèi)，直角頂點C是外一點，AC、BC與所成角分別為30和45，則平面ABC與所成角為 5、 如圖，在四棱錐中，底面是矩形已知（1）證明平面；（1）求異面直線與所成的角的大??；（3）求二面角的大小6、 如圖，

12、四棱錐S-ABCD的底面是正方形，SD平面ABCD,SDAD,點E是線段SD上任意一點。 （1）求證：ACBE；（2）若二面角C-AE-D的大小為，求線段的長。7、已知是正方形所在平面外一點， A B C D S.（1）求二面角的大小；（2）求與平面所成的角。8、四面體ABCD中，AB3，ACAD2，且。（1）求二面角A-CD-B的大?。唬?）求異面直線AC與BD所成角的大小。A1CB1C1D1BADO9、在長方體中，與交于點.（1）求證：平面（2）求二面角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示) ；10 、如圖在長方體ABCDA1B1C1D1中，ADAA1，AB2，點E是AB上的動點。（1）若直線D

13、E與EC垂直，試確定點E的位置，并說明理由；（2）在（1）的條件下求出異面直線AD與EC所成的角；（3）在（1）的條件下求二面角DECD的大小。 立體幾何-距離問題空間中的距離：點線距離（定義法、等體積法、向量法、空間坐標法）；線面距離；面面距離；異面直線的距離（公垂線）。題型一：點面距離例1：已知正四棱柱的地面邊長為1，則棱場為2，點E為的中點，求點到平面BDE的距離。例2：在中,AB=15，若所在平面外一點P到A、B、C的距離都是14，則P到的距離是 （ ）A、13 B、11 C、9 D、7練習(xí)：1、在棱長為1的正方體中，分別為棱的中點，為棱上的一點，且則點到平面的距離為（）2、如圖，為平

14、面，AB=5,A,B在棱l上的射影分別為A，B，AA3，BB2.若二面角的大小為，求，點B到平面的距離為_; 題型二：線面距離：例3： 在長方體中,AB=2，=1,E、F分別為AB、CD的中點，求直線AF到平面的距離。題型三：面面距離：例4： 在棱長為4的正方體中，M、N、E、F分別是的中點，求平面AMN與平面BDEF間的距離。題型三：綜合類型：例5：(2010北京)如圖，正方體ABCD-的棱長為2，動點E、F在棱上，動點P，Q分別在棱AD，CD上，若EF=1，E=x，DQ=y，D（，大于零），則四面體PE的體積 ( )A. 與，都有關(guān)B. 與有關(guān)，與，無關(guān)C. 與有關(guān)，與，無關(guān)D. 與有關(guān)，

15、與，無關(guān)例6：（2008 安徽理 18 本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面四邊長為1的菱形，, , ,為的中點，為的中點（）證明：直線；（）求異面直線AB與MD所成角的大小； （）求點B到平面OCD的距離。例7：在四面體 中，面和面都是邊長為的等邊三角形，且AD=。設(shè)M、N 分別是棱AB、CD的中點。 求：M、N在四面體表面上的最短距離。立體幾何-夾角角問題知識點：夾角的分類：線線夾角 線面夾角 面面夾角三者在計算或證明時的轉(zhuǎn)換關(guān)系：面面 線面 線線計算三種夾角的方法：勾股定理、向量、坐標等，對于夾角問題我們一般分為三個步驟，找角，證明所找的角，計算所找角的大?。ㄇ杏洸豢烧页鰜碇蟛蛔C明

16、就開始計算）題型一：異面直線的夾角問題例1、在四棱錐PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，與底面成30角.（1）若為垂足，求證：；（2）在（1）的條件下，求異面直線AE與CD所成角的正切值；例2、如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，且MD=NB=1，E為BC的中點求異面直線NE與AM所成角的余弦值例3、已知正四面體中，各邊長均為，如圖所示，分別為的中點，連接，求異面直線所成角的余弦值。練習(xí)：1、已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長都相等，在底面上的射影為的中點，則異面直線與所成的角的余弦值為（ ）（A） （B） （C） (D) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2、（12分）如圖,在正方體中

17、，分別是的中點。 （1）若為的中點，證明：平面平面 （2）求異面直線與所成的角來源:Z+xx+k.Com題型二：線面夾角例4、設(shè)M、N是直角梯形ABCD兩腰的中點，于E（如圖）?，F(xiàn)將沿折起，使二面角為45，此時點A在平面BCDE內(nèi)的射影恰為點B，則M、N的兩線與平面BCDE所成角的大小等于 例5、如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA底面ABCD，AC=2，PA=AD=2，E是PC上的一點， 設(shè)二面角A-PB-C為90，求PD與平面PBC所成角的大小。 例6、已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長都相等，在底面內(nèi)的射影為的中心，則與底面所成角的正弦值等于（ ）AB CD例7、如圖，直三棱柱中

18、，,D、E分別是，的中點， 平面.（1）證明：AB=AC（2）設(shè)二面角A-BD-C為，求與平面BCD所成的角的大小 練習(xí)：1已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長都相等，在底面內(nèi)的射影為的中心，則與底面所成角的正弦值等于（ ）AB CD題型三：面面夾角： 例8、如圖，在中，B=,AC=,D、E兩點分別在AB、AC上.使,DE=3.現(xiàn)將沿DE折成直二角角，求：二面角A-EC-B的大小的余弦值。例9：四邊形為等腰梯形, ,FC面ABCD,(1) 求證: BD面AED;(2) 求二面角的余弦值.例10、如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，已知AB=3,AD=2,PD=,=(1) 證明：平面PAB(2) 求異面

19、直線PC與AD所成的角的大小(3) 求二面角P-BD-A的大小練習(xí)：CD1、如圖，二面角的大小是60，線段.，與所成的角為30.則與平面所成的角的正弦值是 .2、如圖，正方體的棱線長為1，線段上有兩個動點E，F(xiàn)，且，則下列結(jié)論中錯誤的是 ( ) （A） （B） （C）三棱錐的體積為定值 （D）異面直線所成的角為定值立體幾何-空間向量及其運算一、知識點精析考點一、空間向量及其加法與數(shù)乘運算1、定義：在空間，我們把具有大小和方向的量叫作空間向量，向量的大小叫作向量的長度或模。空間向量也可用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的模，若向量a的起點是A，終點是B，則向量a也可記作，其模記為或。2、幾個

20、特殊向量（1）零向量：規(guī)定長度為0的向量記作零向量，記作0.當(dāng)有向線段的起點A與終點B重合時，=0.（2）單位向量：模長為1的向量稱為單位向量。（3）相反向量：與向量a長度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為a。（4）相等向量:方向相同且模相等的向量稱為相等向量。在空間，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量?？臻g任意兩個向量都可以平移到同一平面內(nèi)，稱為同一平面內(nèi)的兩個向量。3、空間向量的基礎(chǔ)運算（1）加法：a+b,（2）減法： a-b.如圖所示。（3）運算律：加法交換律 ;加法結(jié)合;數(shù)乘分配律 考點二、共線向量與共面向量 1、共線向量（1）定義：與平面向量一樣，如果表示空間向量的

21、有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫共線向量或平行向量，記作 （2）表示： 存在實數(shù)，使唯一)（3）推論：如果為經(jīng)過已知點且平行于已知非零向量的直線，那么對于空間任一點，點在直線上的充要條件是存在實數(shù),等式；其中叫做直線的方向向量，如圖所示：由，；在中如令則是線段AB的中點公式2、共面向量（1）定義：通常把平行于同一平面的向量，叫做共面向量（2）表示：如圖，如果兩個向量、不共線，則向量與向量、共面的充要條件是存在實數(shù)對、， （3）推論：空間一點P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，使或?qū)臻g一點O來說，有由3、空間向量基本定理:如果三個向量，不共面，那么對空間任一向量，存在一

22、個唯一的有序?qū)崝?shù)組，使其中叫做空間的個基底，都叫做基向量對于基底除了應(yīng)知道,不共面外，還應(yīng)明確：(1)空間任意三個不共面的向量都可以作為空間向量的一個基底；(2)基底中的三個向量,都不是；(3)個基底是由不共面的三個向量構(gòu)成一個基向量是指基底中的某一個向量（推論：設(shè)是不共面的四點，則對空間任一點，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組,使）考點三、空間兩個向量的數(shù)量積1、空間向量夾角：空間兩個向量的夾角:已知兩個非零向量，在空間任取一點，作，則叫做向量與的夾角，記作2、定義: 叫做向量與的數(shù)量積 3、性質(zhì): ； 二、典例講解題型一 向量的基礎(chǔ)運算例1、直三棱柱ABCA1B1C1中，若， 則 （ ）A B C D 練習(xí)、如圖所示，已知空間四邊形，點分別為的中點，且，用表示向量_題型二：共線與共面問題例2、在下列命題中：若a、b共線，則a、b所在的直線平行；若a、b所在的直線是異面直線，則a、b一定不共面；若a、b、c三向量兩兩共面，則a、b、c三向量一