扭擺法測(cè)量切變模量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

1、實(shí)驗(yàn)四 材料的切變模量與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的測(cè)定（扭擺法）【實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹勘緦?shí)驗(yàn)通過用扭擺法測(cè)量鋼絲及銅絲材料的切變模量，了解測(cè)量材料切變模量的基本方 法，進(jìn)一步掌握基本長度量和時(shí)間測(cè)量儀器的正確使用方法，同時(shí)還可以用扭擺法測(cè)量各種 形狀剛體繞同一軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 以及同一剛體繞不同軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加深對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 的概念及對(duì)垂直軸定理和平行軸定理的理解?！緝x器和用具】1、切變模量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)儀圖1切變模量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)儀簡(jiǎn)圖（其中2表示環(huán)狀剛體垂直和水平二種狀態(tài)放置）1、爪手 2、環(huán)狀剛體 3、待測(cè)材料 4、霍耳開關(guān)5、銣鐵硼小磁鋼 6、底座 7、數(shù)字式計(jì)數(shù)計(jì)時(shí)儀 8、標(biāo)志旋鈕 9、扭動(dòng)旋鈕2、儀器

2、使用方法（1）取下儀器上端夾頭，并把它擰松，將鋼絲一端插入夾頭孔中，然后把夾頭擰緊，再 把夾頭放回橫梁上。用同樣的方法，把鋼絲的下端固定在爪手的夾頭上。（2） 轉(zhuǎn)動(dòng)上端的扭動(dòng)旋鈕”（9）使爪手一端的銣鐵硼小磁鋼（ 5）對(duì)準(zhǔn)固定在立柱上 的霍耳開關(guān)（4）。同時(shí)調(diào)整霍耳開關(guān)的位置，使之高度與小磁鋼一致。（3）調(diào)節(jié)立柱的兩個(gè)底腳螺絲。 使小磁鋼靠近霍耳開關(guān)， 并使它們之間相距為 8毫米左 右。（4） 轉(zhuǎn)動(dòng)橫梁上的“標(biāo)致旋鈕” （8），使它的刻線與“扭動(dòng)旋鈕”（9）上的刻線相一致 當(dāng)旋轉(zhuǎn)“扭動(dòng)旋鈕” （9） 一個(gè)角度后，即刻又恢復(fù)到起始位置。此時(shí)爪手將繞鋼絲作擺動(dòng)。（5） 爪手有多種功能。圓環(huán)可水平放

3、在爪手上面作振動(dòng)。也可以垂直裝在爪手下面作振 動(dòng)。爪手還可以安置條形棒或柱形棒作振動(dòng)，以測(cè)得不同的周期值，并求出鋼絲材料的切變模量或剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。3 、數(shù)字式計(jì)數(shù)計(jì)時(shí)儀使用（1） 開啟電源開關(guān)，使儀器預(yù)熱10分鐘。（2）按住上升鍵，使預(yù)置計(jì)數(shù)值達(dá)到實(shí)驗(yàn)要求。（3） 使爪手作扭轉(zhuǎn)振動(dòng)。 當(dāng)銣鐵硼小磁鋼靠近霍耳開關(guān)約1.0cm距離時(shí)，霍耳開關(guān)將導(dǎo) 通，即產(chǎn)生計(jì)時(shí)觸發(fā)脈沖信號(hào)。（4 ）數(shù)字式計(jì)數(shù)計(jì)時(shí)儀有延時(shí)功能。當(dāng)扭擺作第一周期振動(dòng)時(shí)，將不計(jì)時(shí)，計(jì)數(shù)為0。當(dāng)計(jì)數(shù)顯示1時(shí)，才顯示計(jì)時(shí)半個(gè)周期。（5）計(jì)數(shù)計(jì)時(shí)結(jié)束，可以讀出由于爪手振動(dòng)在霍耳開關(guān)上產(chǎn)生計(jì)時(shí)脈沖的計(jì)數(shù)值和總時(shí) 間，其中計(jì)數(shù)2次為一個(gè)周期。

4、要查閱每半個(gè)周期時(shí)間，只要按一次下降鍵即可。4、另外，還需要螺旋測(cè)微儀，游標(biāo)卡尺，米尺，電子天平（公用）圖2實(shí)驗(yàn)裝置實(shí)物照片【實(shí)驗(yàn)原理】材料在彈性限度內(nèi)應(yīng)力同應(yīng)變的比值是度量物體受力時(shí)變形大小重要參量。正應(yīng)力同線 應(yīng)變的比值，稱為楊氏模量；剪應(yīng)力同剪應(yīng)變的比值，稱剪切彈性模量，又簡(jiǎn)稱切變模量。 與楊氏模量相似，切變模量在各行各業(yè)有著廣泛的應(yīng)用。直至和人民大眾日常生活密切相關(guān) 的建筑物抗震等性能都與切變模量參量有關(guān)。設(shè)有某一彈性固體的一個(gè)長方形體積元，頂面（底面）面積為A，它的頂面固定，如圖3所示。在它底面上作用著一個(gè)與平面平行而且均勻分布的切力F，在這個(gè)力作用下，兩個(gè)側(cè)面將轉(zhuǎn)過一定角度 ，見圖

5、3，通常稱這樣一種彈性形變?yōu)榍凶?。在切變?-較小的情況下，作用在單位面積上的切力 F/A與切變角:成正比。FG（ 1）AA圖3式中G是一個(gè)物質(zhì)常數(shù)，稱為切變模量。G的單位為Nm，大多數(shù)材料的切變模量約為楊氏模量的1/3到1/2，在實(shí)驗(yàn)中，待測(cè)樣品是一根上下均勻而細(xì)長的鋼絲或銅絲，從幾何上 說，就是一個(gè)細(xì)長圓柱體，如圖4所示。設(shè)圓柱體的半徑為 R，高為L,其上端固定，下端面受到一個(gè)外加扭轉(zhuǎn)力矩的作用，于是圓柱體中各體積元（取半徑為r、厚為dr ,高為L的圓環(huán)狀柱體為體積元），每個(gè)體積元上端固定，下端受一扭轉(zhuǎn)力矩作用，根據(jù)公式（1），每個(gè)體積元受到的外力矩為2dM 外二 r： G2二 rdr =

6、2uGr dr設(shè)圓柱體底部繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)了0角，如果:1，則弧長s : L ,而 s=r 所以(3)（2）式代入（3）式，得到dM外二-3 .2 二 r dr對(duì)（4）式積分，可等到總力矩0 r dr G2 L(5)圓柱體內(nèi)的彈性力矩為M。，平衡時(shí)有M外=_Mji令D G2R，則有M外- -D o對(duì)于一定的物體D是常數(shù)，稱為扭轉(zhuǎn)系數(shù)。扭擺的結(jié)構(gòu)如圖5所示，爪手及圓環(huán)安放位置如圖5所示，若使爪手繞中心軸轉(zhuǎn)過某一角度；，然后放開，則爪手將在彈性扭轉(zhuǎn)力矩M作用下作周期性的自由振動(dòng)，這就構(gòu)成一個(gè)扭擺。若鋼絲（或銅絲）在扭轉(zhuǎn)振動(dòng)中的角位移以表示，爪手整個(gè)裝置對(duì)其中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為10，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律則有dt2d2

7、 ;dt=0螺絲cbO爪手扎具圓環(huán)圖5爪手II爪手圓環(huán)(b)2(7)2(7)上述方程是一個(gè)常見的簡(jiǎn)諧振動(dòng)微分方程，它的振動(dòng)周期應(yīng)是T。=2二(6)2(7)由圖6所示，將一個(gè)已知內(nèi)外半徑、厚度和質(zhì)量的環(huán)狀剛體、分別水平放在爪手上及垂直放 在爪手上，繞同一軸（鋼絲）轉(zhuǎn)動(dòng)測(cè)得的振動(dòng)周期分別為 Ti和T2。而環(huán)狀剛體在繞軸（環(huán)心）作水平轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I,，環(huán)狀剛體處于垂直狀態(tài)繞同一直徑作轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為12，爪手繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為|0，那么由 式可以知道,Ti4二2(Io Ii)；T22七(Io I2)從兩式中消去Io，并將代入，可以得到切變模量G的表達(dá)式為2(7)2(7)422R T_T22

8、(7)11,環(huán)狀剛體繞任一直徑轉(zhuǎn)動(dòng)的由理論計(jì)算可知，環(huán)狀剛體繞中心軸作水平轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量12分別為b2 c21 = m 2只22 2入b+cd 、l2 =m+ )412丿上式中，b為環(huán)的內(nèi)半徑，c為環(huán)的外半徑,（8）（9）m為環(huán)的質(zhì)量。d為環(huán)狀剛體的厚度。因此,根據(jù)公式（8）、（9）計(jì)算得到I1、I2。測(cè)量出T、T2，通過公式（7）就能得到材料的切變 模量G。另外，公式（6）又可以寫成ToIoLR4G(10)IoL2r4 ?GR4T。28：L由上式可以看到，如果已知Io就可以得到切變模量 G，反之，知道了切變模量G，就可以得到轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Io。由于Io是不規(guī)則的剛體，很難得到其過中心軸的

9、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Io，因此可以利用2Tor4gTi2 二L(lo IJr4g兩式相減，得到LIir4g(11)LIi422R (Ti -To )轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理理論分析證明，若質(zhì)量為m的剛體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 I o，若轉(zhuǎn)軸平行移動(dòng)距離為 x時(shí)，則物體對(duì)新軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為2I = lo + mx（12）垂直軸定理X和Y軸）的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為若已知一塊薄板（或薄環(huán)）繞位于板（或環(huán)）上相互垂直軸（Ix和Iy，則薄板（或環(huán)）繞 Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Iz = lx ly（ 13）此即垂直軸定理，由此定理可知：圓盤（或環(huán)）通過中心且垂直盤面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為圓 盤繞其直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的兩倍。【實(shí)驗(yàn)內(nèi)容和要求】必做部分1、

10、安裝實(shí)驗(yàn)裝置，調(diào)整數(shù)字式計(jì)數(shù)計(jì)時(shí)儀儀器使用使用注意事項(xiàng)（1） 請(qǐng)勿用手將爪手托起又突然放下，鐵制爪手自由下落沖力易將鋼絲或銅絲拉斷（往往在鋼絲與扎頭連接處斷）。（2）實(shí)驗(yàn)結(jié)束請(qǐng)將環(huán)放在桌上，以減輕鋼絲負(fù)重。（3） 材料的切變模量與楊氏模量相似，與材料的成份、熱處理工藝等均有關(guān)。如用樹脂 漆包線測(cè)得切變模量與純銅絲的切變模量不相同。各種鋼絲加工、熱處理工藝不相同，切變模量也差異很大。（4） 如果當(dāng)磁鋼靠近霍耳開關(guān)時(shí)，此時(shí)觸發(fā)指示燈無反應(yīng)時(shí)則是磁鋼的磁極放反了，取下來換個(gè)方向，就可以了。（此時(shí)觸發(fā)指示燈為暗）2、 用電子天平稱圓環(huán)的質(zhì)量 m。用游標(biāo)卡尺測(cè)圓環(huán)內(nèi)直徑 2b、外直徑2c和高度d， 用螺

11、旋測(cè)微儀測(cè)量鋼絲直徑 2R，用米尺測(cè)量鋼絲長度 L （上下固定點(diǎn) 0、O距離）。注：鋼絲直徑、圓環(huán)內(nèi)直徑2b、外直徑2c和高度d的測(cè)量采用多次測(cè)量取平均的方法， L的測(cè)量采用單次測(cè)量的方法。3、計(jì)算鋼絲的切變模量 G ,（用兩種方法計(jì)算并比較）（1） 測(cè)量爪手空載時(shí)擺動(dòng)周期 T0 ;金屬圓環(huán)水平放置在爪手上時(shí)的擺動(dòng)周期T,;金屬圓環(huán)豎直吊置在爪手上時(shí)的擺動(dòng)周期T2。（測(cè)量周期應(yīng)該采用多周期多次測(cè)量的方法，要測(cè)量56次，每次測(cè)量10個(gè)周期）。（2） 利用（7）、（ 8）、（9）式計(jì)算鋼絲的切變模量 G。4、驗(yàn)證平行軸定理（1） 用電子天平稱重鋼珠質(zhì)量 m，用螺旋測(cè)微儀測(cè)量小鋼珠的直徑2r，將兩顆

12、鋼珠放置在爪手上跟爪手中心軸對(duì)稱的位置上，并用游標(biāo)卡尺兩個(gè)位置的距離d，測(cè)量系統(tǒng)（爪手24兀2加兩顆鋼珠） 繞中T4，待人公式T；（l0 l4）D可以得到系統(tǒng)通過爪手中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I0 I4。（2）利用內(nèi)容3測(cè)得的鋼絲的切變模量 G及空載時(shí)測(cè)得的爪手通過中心軸的擺動(dòng)周期T。，代入公式（10），可得到爪手空載時(shí)通過中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I。，代入上面得到的I。T4 ,可以得到一個(gè)鋼珠通過爪手中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I3，驗(yàn)證丨3是否滿足平行軸定理:2 2 2 丨4 =213 =2( mr md )52式中一mr2為一顆鋼珠繞任一直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。5選做部分1、測(cè)量銅絲的切變模量，并與鋼絲切變模量進(jìn)行比較。2、

13、用扭擺測(cè)量柱狀剛體的繞鋼絲軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，并與理論計(jì)算值進(jìn)行比較。3、驗(yàn)證剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的垂直軸定理。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)記錄表格和有關(guān)計(jì)算公式1、試樣參數(shù)測(cè)量表一圓環(huán)、方柱、圓柱和小球的幾何尺寸測(cè)量測(cè)量次數(shù)圓環(huán)外直徑c(cm)圓環(huán)內(nèi)直徑b(cm)方柱長度L(cm)圓柱長度L (cm)小球的直徑2r(cm)12345平均值表二 測(cè)量試樣的質(zhì)量，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的理論值試樣圓環(huán)1 io方柱1 50圓柱I 60小球I 30質(zhì)量(g)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量理論值(kgm2)2、試樣過對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算公式圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1 =lm（R2 R；）2方柱、圓柱的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I=ml212鋼珠的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.2 2 Imr5圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1 10=kgm

14、2；方柱的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I 50=kgm2圓柱的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1 60=kgm2；鋼珠的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1 30=kgm23、琴鋼絲和黃銅絲材料切變模量的測(cè)量表三 琴鋼絲材料的切變模量(計(jì)數(shù)為N=20,計(jì)時(shí)t=10T)第i次123456空載時(shí)間(10T0) (s)平均空載周期To (s)圓環(huán)水平放置(10T1)(s)平均周期T1 (s)圓環(huán)垂直放置(10T2 )(s)平均周期T2 (s)鋼絲直徑2R (mm)平均直徑(mm)鋼絲長度L(cm)鋼的切變模量(Nm2)該琴鋼絲切變模量的公認(rèn)值是7.80 X 1010Nr-2,要求計(jì)算百分差。表四黃銅絲材料的切變模量(計(jì)數(shù)為N=20,計(jì)時(shí)t=10T)第i次123456空

15、載時(shí)間(10T0)(s)平均空載周期T0(s)圓環(huán)水平放置(10T1)(s)平均周期T1(s)圓環(huán)垂直放置(10T2)(s)平均周期T2(s)銅絲直徑2R(mm)平均直徑(mm)銅絲長度L(cm)銅的切變模量(Nm-2)黃銅絲的切變模量的公認(rèn)值是3.12 X 1010Nr-2,要求計(jì)算百分差。4、方柱、圓柱的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量表五 圓柱和方柱用琴鋼絲測(cè)得的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(計(jì)數(shù)為N=20,計(jì)時(shí)t=10T)第i次123456空載時(shí)間(10T0)(s)平均空載周期T0(s)爪手轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1。( kgm 2)加載方拄時(shí)間(10T5)(s)平均周期Ts(s)爪手加方柱15( kgm )2方拄(對(duì)稱軸)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量150/

16、( kgm )加載圓拄時(shí)間(10T6)(s)平均周期T6(s)圓拄(對(duì)稱軸)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量160/( kgm 2)分別和計(jì)算值比較，算出百分差。5、驗(yàn)證平行軸定理和垂直軸定理表六鋼絲驗(yàn)證垂直軸定理(計(jì)數(shù)為N=20,計(jì)時(shí)t=10T)第i次i23456空載時(shí)間(10To) (s)平均空載周期To(s)爪手轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1 o( kgm 2)圓環(huán)水平放置(10Ti) (s)平均周期Ti(s)2I i( kgm )I io (測(cè)量)=I i-I o (kgm2)I io (計(jì)算)(kgm2)圓環(huán)垂直放置(iOT2)(s)平均周期T2(s)212(kgm )12o (測(cè)量)=I 2-I o (kgm )12o (計(jì)算)(kgm2)百分差P=%表七鋼絲驗(yàn)證平行軸定理( 計(jì)數(shù)為N=20,計(jì)時(shí)t=10T)第i次12345