現(xiàn)代制造技術基礎理論第八講

1、現(xiàn)代制造技術基礎理論第八講1.自由振動 振動方程：(1)當 時,系統(tǒng)作頻率為 的簡諧振動:(2)當 時,系統(tǒng)作衰減振蕩: 頻率為 小于系統(tǒng)的固有頻率. 每過一個周期，振幅減?。?）當 時,系統(tǒng)作衰減的非周期振動（4）當 時為負阻尼,系統(tǒng)作發(fā)散振蕩02200 xxx 00)sin(0tAx10)sin(0tAxdt201de21210單自由度線性振動系統(tǒng)2.受迫振動 方程(1)當 時穩(wěn)態(tài)響應是與激勵頻率相同的簡諧振動(2)穩(wěn)態(tài)響應的振幅A取決于激勵的幅值B和頻率比(3)穩(wěn)態(tài)響應的相位差取決于頻率比s:tBxxxsin220200 0)sin(tAx0/s)2(222)1 (1ssBAss212a

2、rctan2.受迫振動 方程(4)當激勵頻率為 時穩(wěn)態(tài)響應的振幅A有極大值,稱為共振;(5)=0, 時,系統(tǒng)作振幅隨時間增大的發(fā)散振蕩，即共振的過渡過程.(6)系統(tǒng)在若干激勵同時作用下的響應，等于它們單獨作用時的響應的疊加。tBxxxsin220200 2021m0ttBx00cos211.相平面內的相軌跡 單自由度機械系統(tǒng)的自由振動: 引入新的變量y表示速度 : 系統(tǒng)的運動狀態(tài)由位置x及速度體現(xiàn),構成系統(tǒng)的狀態(tài)變量。動力學方程可改寫為一階微分方程組： 以x，y為直角坐標建立的坐標平面稱為相平面。 與系統(tǒng)的運動狀態(tài)一一對應的相平面上的點稱為系統(tǒng)的相點 相點移動的軌跡稱為相軌跡； 不同初始條件的

3、相軌跡組成相軌跡族0),(xxfx x xy),(yxfyyx8.2 非線性振動的定性分析2.相軌跡的奇點 將狀態(tài)變量的一階微分方程的兩式相除得到相軌跡的一階微分方程: 給定系統(tǒng)的作用力,即函數(shù)f(x,y)確定后，上式確定相平面內各點的向量場，構成相軌跡族。yyxfdxdy),( 奇點：相平面內使相軌跡的一階微分方程右邊分子分母同時為零的點。 奇點表明系統(tǒng)的速度和加速度均為零，即系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，也將奇點稱為系統(tǒng)的平衡點； 奇點可以是穩(wěn)定的也可以是不穩(wěn)定的。3.保守系統(tǒng)的自由振動 保守系統(tǒng)的動力學方程: 相軌跡微分方程: 此方程分離變量積分,得到相軌跡方程: 保守系統(tǒng)的相軌跡的特點(1)相軌跡曲

4、線相對橫坐標對稱0)(xfx yxfdxdy)(ExVy)(212xdxxfxV0)()()( 2xVEy(2)勢能曲線z=V(x)與橫坐標的平行線z=E交點的橫坐標x=C1、C2、C3，相軌跡和橫坐標相交。(3)勢能曲線z=V(x)駐點相對應的點x=S1、S2、S3為奇點，滿足奇點的條件。(4)在勢能取極小值的x=S1處，設EV(S1),則在x=S1的某個小鄰域內都有EV(S1) 在相平面上可以得到一個圍繞奇點的封閉相軌跡。當E減小時，封閉軌跡逐漸收縮，而當E=V(S1)，縮為奇點S1。當EV(S1),相平面上不存在相應的相軌跡。 這類型的奇點是穩(wěn)定的，稱為中心，對應系統(tǒng)的穩(wěn)定平衡狀態(tài)(5)

5、 在勢能取極大值的x=S2處，設EV(S2),則在區(qū)間 (C2， C3 ）內沒有對應的軌跡，而在xC3處 得到相軌跡的兩個分支，當E增大時這兩支曲線逐漸靠近，當E=V(S2)時它們在奇點S2處相接觸。當EV(S2)則演變成分布在x軸上、下方的兩支曲線 這類型的奇點是不穩(wěn)定的，稱為鞍點，對應系統(tǒng)的不穩(wěn)定平衡狀態(tài) 通過鞍點的相軌跡稱為分隔線。（6）在勢能曲線的拐點x=S3處，相軌跡在xS3的右半邊具有鞍點性質,相軌跡不封閉。這種奇點為退化的鞍點，對應不穩(wěn)定的平衡狀態(tài) 4.極限環(huán):自激振動 相平面(相空間) 軌線 相圖5.自激振動的特征 振動過程中，存在能量的輸入與耗散，因此為非保守系統(tǒng)； 能源恒定

6、，能量的輸入僅受運動狀態(tài)，既振動的位移和速度的調節(jié)，因此自振系統(tǒng)不顯含時間變量，為自治系統(tǒng)； 振動的特征量如頻率和振幅，由系統(tǒng)的物理參數(shù)確定，與初始條件無關； 自振系統(tǒng)必為非線性系統(tǒng)； 自激振動的穩(wěn)定性取決于能量的輸入與耗散的相互關系，若振幅偏離穩(wěn)態(tài)值時，能量的增減能使振幅回到穩(wěn)態(tài)值，則自激振動穩(wěn)定，反之不穩(wěn)定。自激振動的能量特性自激振動的例子 激振力: 速度反饋系統(tǒng) 組成：速度反饋引起的切削顫振速度反饋引起的切削顫振)(xFF1.切削過程中的速度反饋機制 名義切削速度: 理想情況下:V、 、彈簧的壓縮量保持不變，切削過程平穩(wěn)進行，切削系統(tǒng)處于平衡點； 平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)工作點的位置：

7、 A點不穩(wěn)定；B點穩(wěn)定 系統(tǒng)的運動方程Fc)x(kxxcxmVF0c 2.速度反饋所形成的負阻尼 將 在 附近展開,得 如果僅研究剛開始發(fā)生顫振的情況,假定與 比較, 很小,可只取其線性項,略去高次項。第一項是常數(shù)項對振動無影響，可略去。記 則運動方程可表示為 即 系統(tǒng)的阻尼由兩部分組成 （1）振動系統(tǒng)本身的阻尼，正阻尼 （2）速度反饋而形成的等效阻尼，可正可負)(0 xVFcV0 xVdVFcdxdVVFcdVFcVFc22)(221)()0()(V0 x dVcdcVFc)(0 xckxxcxm 0kxx)cc (xm xcVFc )( 負阻尼 令 運動方程為 上式的通解為 負阻尼系統(tǒng)是不

8、穩(wěn)定的:原因mcc，mk020202200 xxx )cos(0tAxdt201d3.自激振動的能量機制 切削過程的能量機制當機床工作在切削力的下降特性區(qū)域時，切削力將對振動系統(tǒng)做凈的正功，即對振動系統(tǒng)輸入能量； 而當機床工作在切削力的上升特性區(qū)域時，切削力對振動系統(tǒng)做凈的負功，即振動系統(tǒng)的能量被切削過程耗散掉。 對能量機制的說明3.自激振動的能量機制 切削過程的能量的估算 當比較小時 上式成為 切削力在一個振動周期做的功 對能量機制的重新說明 機床結構的內阻所耗散的能量 總能量:)cos(0tAxdt010dt，A)cos(0tAxxcVFc )(020200202)()(sin)(AAFW

9、ctdtcdxVcp02AWcdWWpd4. 能量平衡與振幅穩(wěn)定性 總能量: 和 的關系 取切削力的高次項(三項)再求切削力在一個振動周期所做的功 要達到能量平衡即 可得能量平衡時的穩(wěn)定振幅 進一步分析 由負阻尼引起的不穩(wěn)定（動態(tài)不穩(wěn)定）WpWdAAWccp400243 0WWpd043400202 AAAWcccpcccA 3204.顫振的閾限 切削力的下降特性所激起的顫振主要在精密切削條件下發(fā)生。這時刀具后刀面與工件切削表面之間的摩擦力成為主切削力的主要成分，一般認為這一摩擦力與后刀面和工件之間的接觸面積成正比，而該接觸面積又正比于刀具后刀而磨損棱帶的平均寬度VB，于是可將主切削力寫為 是

10、單位磨損寬度所對應的主切削力,可得穩(wěn)定與不穩(wěn)定之間的臨界情況后刀面的臨界磨損量)()(vVBVFcpc)(vpccdpVBdvvVBcc0/ )(00 cVBcccccVBcr0/ 1.位移反饋、負剛度和靜態(tài)不穩(wěn)定性 運動方程:系統(tǒng)的特點：是作用在振動體上的力本身又受到其振動位移的控制。上式中F(x)一般是非線性函數(shù)，當c較小時，可將之在x0附近展成冪級數(shù)，僅取其一次項，而略去高次項和常數(shù)項，得 運動方程成為 系統(tǒng)的剛度變化 系統(tǒng)的固有頻率 負剛度8.3 位移延時反饋引起的切削顫振反饋引起的切削顫振)(xFkxxcxm xkxF)( dxdFk00)(xkkxcxm mkmkkn202 穩(wěn)定性

11、（單擺） 負剛度的討論 運動方程成為 其特征方程 特征根 方程的通解為 由負剛度引起的失穩(wěn)稱靜態(tài)不穩(wěn)定imkkpnmkkc)(2022xxpxp 0222pspspss)1(221eAeAttsstx2121)(靜態(tài)不穩(wěn)定實例 切削過程 扎刀現(xiàn)象 振動位移反饋機制位移反饋引起的等效剛度計算 刀桿剛度 由dF引起的撓度和轉角 設刀刃到刀桿中性面之間的距離為Z 根據幾何關系有: 將切削力與切削厚度之間的函數(shù)關系展開 切削力的增量 由于 是ds的增函數(shù),故有 ,因此lEIdxdFk33EIdFfl33EIdFl22dxlZds)2/3()(200002)(221)()()(dssssssdFdsds

12、dFFdsF)(200)()(dskkssssdsFdsFdF)(0dsFs0ksdxlZdFks23位移反饋引起的等效剛度計算 等效剛度 系統(tǒng)的總剛度 “扎刀”現(xiàn)象的條件 防止“扎刀”現(xiàn)象的措施改變刀桿的形狀，使得當?shù)度邢蛳伦冃螘r，它同時會退離工件，而不是扎入工件，這樣上式中的第二項會變成正剛度，不會再失穩(wěn)。 單純的位移反饋或者只能使系統(tǒng)原來的正剛度增加，或者形成負剛度而引起靜態(tài)不穩(wěn)定，但不可能引起動態(tài)不穩(wěn)定，即不可能引起自激振動。 位移的延時反饋卻可以引起自激振動。lZdxdFkks23lZEIkkkls233302333lZEIkls2 位移的延時反饋 延時反饋系統(tǒng):如果作用在系統(tǒng)上的瞬

13、時激振力F(t)不是受到當時的振動位移x(t)的控制，而是受到某一時段T以前的振動位移x(t-T)的控制，則得到位移的延時反饋系統(tǒng)，或稱為“時延系統(tǒng)”。 運動方程 將F x(t-T)線性化 時延系統(tǒng)的穩(wěn)定性：可穩(wěn)定也可不穩(wěn)定 分析可穩(wěn)定和不穩(wěn)定之間的中間狀態(tài)：產生等幅振動的可能性)()()()(TtxFtkxtxctxm )()()()(Ttpxtkxtxctxm 設 因此 引入記號 可得 運動方程為： 位移的延時反饋等價于位移與速度同時反饋，它同時改變了系統(tǒng)的阻尼與剛度 延時反饋產生的等效剛度與等效阻尼系數(shù)。視時延了的長短，可以出現(xiàn)負的剛度或負的阻尼，從而引起靜態(tài)或動態(tài)的不穩(wěn)定。ttxaco

14、s)(0ttxasin)(0)cos()(cos)(00tTtTtxaattaasinsincoscos00)sin(sin1)cos(cos00ttaacospksinpc )()()(txctxkTtpx 0)()()()()(txkktxcctxm 3.金屬切削過程的再生顫振(1)再生顫振系統(tǒng)(2)運動方程 式中：h是滯后阻尼系數(shù)。采用滯后阻尼只是為了使后面的公式比較整齊，當阻尼比較小，而且系統(tǒng)作簡諧振動時，無論采用滯后阻尼模型或粘滯阻尼模型，其差別都不大。 上式右邊的負號是由于對作用在刀具上的切削力F(t)的正向與工具振動位移x(t)的正向作了相反的規(guī)定。 如果切削厚度的變化 比較小，

15、 則切削力的動態(tài)增量)()()()(tFtkxtxhtxm )(ts)(tF)()(tstFkasw 展直 切削厚度 考慮x(t)為等幅諧波 有 T為工件一轉的周期,為兩相鄰兩圈刀刃波紋之間的相位差 記)()()(tytxtsttxacos)(0sTtxty0)()(NT/60saattts000)cos(cos)(sinsin1cos)cos1 00ttassincos1，BA 切削厚度的動態(tài)變化量 切削力的動態(tài)變化量 激振力同時受到振動位移和振動速度的控制，證明了位移的延時反饋相當于位移與速度同時反饋。 運動方程可寫為 分析剛度和阻尼 分析穩(wěn)定性)()()()(0txBtAxtstss)(

16、)()(txBtAxtFkasw0)()()()(1)(txAktxBhtxmkakaswsw (3)穩(wěn)定性方程和穩(wěn)定性圖 臨界狀態(tài) 臨界切削寬度 穩(wěn)定性閾 臨界狀態(tài)下的固有頻率 系統(tǒng)的穩(wěn)定性方程組 穩(wěn)定性圖0BhkaswNhBhkkasswcr60sinawcrmAwkas202mAwBwkakkahss20(4)能量傳輸機制 功的計算 由此式可見，當0-180時，B0即切削力對振動系統(tǒng)做負功，振動系統(tǒng)將機械能饋送回切削過程，作為熱能消耗掉，因此切削過程是穩(wěn)定的； 當180-360時，B0，切削力做正功，如果此正功大干機床結構的阻尼所消耗的能量，振動能量將不斷積累振動加劇，切削過程是不穩(wěn)定的

17、。sin)()(sin)()(2002002020kaaAswTtdtcdxtxtFA 兩自由度振動系統(tǒng)的自由振動的運動方程 非耦合的二自由度方程通過載荷中位移反饋耦合起來 上式移項并整理后得 如果是單自由度系統(tǒng)，是不會發(fā)生自激振動的?？墒莾勺杂啥认到y(tǒng)，振動位移在兩個自由度之間的交叉反饋，卻有可能導致系統(tǒng)失穩(wěn)，從而引發(fā)顫振。 模態(tài)耦合引起的切削顫振引起的切削顫振1.模態(tài)耦合與模態(tài)耦合系統(tǒng)的穩(wěn)定性0kx(t)xm xx212111111kxxm xx222121222kxxm 0 xkxmxk21211111 0 xkxmxk22212122 系統(tǒng)的穩(wěn)定性判別 設系統(tǒng)的解 代入運動方程得 非零解的條件 展開得到特征方程 令 特征方程成為eA) t (xeApt2pt112，) t (x0A)km(Akp212111210)m(AkAkp222221210kpmkkkpm2222211211210)k(mkkkkpmkmpm2112221121222114210/22，0/mknmkn22