擺動(dòng)法測量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

1、# -山基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)4用復(fù)擺測量剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康? 學(xué)習(xí)掌握對(duì)長度和時(shí)間的較精確的測量；2 掌握重力加速度的方法，并加深對(duì)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)理論的理解;3 學(xué)習(xí)用作圖法處理、分析數(shù)據(jù)。二、實(shí)驗(yàn)儀器JD-2物理擺、光電計(jì)時(shí)器等三、實(shí)驗(yàn)原理1. 單擺如圖4-1 (單擺球的質(zhì)量為 m當(dāng)球的半徑遠(yuǎn)小于擺長I時(shí)，應(yīng)用動(dòng)量矩定理，在角坐 標(biāo)系可得小球自由擺動(dòng)的微分方程為：Sin n =0(4-1)dt I式中t為時(shí)間，g為重力加速度，I為擺長。(4-2)則(4-1 )式可簡化為:令(4-3 )式的解為：dt2(4-3 )(4-4)圖4-1單擺原理# -山基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)# -山基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)(4-5 )式中

2、 ,:由初值條件所決定。周期(4-6)2 物理擺一個(gè)可繞固定軸擺動(dòng)的剛體稱為復(fù)擺或物理擺。如圖4-2，設(shè)物理擺的質(zhì)心為C,質(zhì)量為M,懸點(diǎn)為O,繞O點(diǎn)在鉛直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為j0，0C距離為h，在重力作用下，由剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律可得微分方程為Jo 與MghE (4-7) dt22 Mgh令（4-8）J 0仿單擺，在二很小時(shí)，（4-7 ）式的解為：二-二 sin( ，t 亠：:£)(4-9)Mg圖4-2 物理擺（復(fù)擺）(4-10)設(shè)擺體沿過質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JC，由平行軸定理可知:2J。= Jc - Mh（4-11）將（4-11 ）代入（4-10 ）可得：TcI Jc亠hT= 2

3、.： （4-12）V Mghg（4-12）式就是物理擺的自由擺動(dòng)周期T和（4-13 ）式右端各參變量之間的關(guān)系。實(shí)驗(yàn)就是圍繞（4-12 ）式而展開的。因?yàn)閷?duì)任何Jc都有Jc x m，因此（4-13 ）式的T與M無關(guān)，僅與 M的分布相關(guān)。令J二Ma 2 , a稱為回轉(zhuǎn)半徑,則有(4-13)61 -山基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)# -山基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)一次法測重力加速度 g山基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)#由（4-12 ）式可得出2 2 4二(Jc Mh )Mh(4-14)測出（4-14 ）右端各量即可得g ;擺動(dòng)周期T,用數(shù)字計(jì)時(shí)器直接測出，M可用天平稱出，C點(diǎn)可用杠桿平衡原理等辦法求出，對(duì)于形狀等規(guī)則的擺, 二次法測gJc可以計(jì)算

4、出。一次法測g雖然簡明,但有很大的局限性，特別是對(duì)于不規(guī)則物理擺,Jc就難以確定，為此采用如下“二次法”當(dāng)M及其分布（C點(diǎn)） 是有確定以后，改變 h值，作兩次測T的實(shí)驗(yàn),運(yùn)用（4-13 ）式于2= 4：2J c Mh12J c Mh 2Mgh 22 2 2Mgh J 4. Jc 4：. Mh12 =0(4-15)2 2 2Mgh 2T2 4 J c - 4 ". Mh聯(lián)立解(4-15 )、( 4-16 )式，可得出(4-16)2 22 也一h?g 二422h1T1 h2T2(4-17)這樣就消去了 Jc，所以（4-17 ）測g就有著廣泛的適用性。從（4-17 ）式，更可十分明確地看到

5、T與M的無關(guān)性。雖然，任意兩組（m , T, ），（ h2, T2 ）實(shí)測值，都可以由（4-17 ）式算出g ;但是,對(duì)于一個(gè)確定的“物理擺”選取怎樣的兩組（h ,T ）數(shù)據(jù)，使能得出最精確的 g的實(shí)測山基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)67 -結(jié)果呢？為此必須研究 T （ h ）關(guān)系：將（4-12 ）式平方，于是可得出T2Jch2 -（ 4-18）4二Mghg從此式可以看出T2與h的關(guān)系大體為一變形的雙曲線型圖線：當(dāng) h趨于0時(shí)Ttr, 當(dāng)h*, T亦趨于a；可見在 h的某一處一定有一個(gè)凹形極小值。為此，對(duì)（4-18 ）作一次求導(dǎo)并令其為0;即由 工=o,可得dhJ -120（4-19）Mghg2 2Mh J -

6、二 Ma（4-20）即移動(dòng)擺軸所增加的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量恰為質(zhì)心處的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，即h =a處所相應(yīng)的T為極小值（為什么？）。（注意：體會(huì)稱a為回轉(zhuǎn)半徑的含義）將（4-13 ）式取二次導(dǎo)數(shù)為研究T （ h）關(guān)系特在0.6m長的扁平擺桿上，間隔2cm均勻鉆出直徑為1cm的28個(gè)孔以作為O點(diǎn)的Hi值（i= 土 1,± 2，土 3，” ±14）于是可得出如圖4-3所示的曲線。圖4-3 擺動(dòng)周期T與擺軸離中心距離h的關(guān)系在共軛的A, B二極小T值點(diǎn)以上，沿任一 T h畫一條直線，交圖線于 -D, E, F四 點(diǎn)；皆為等T值點(diǎn)，錯(cuò)落的兩對(duì)等 T值間的距離（hD+hE） = h- + hr被稱為等值

7、單擺長。為 理解這一點(diǎn)，將（4-17 ）式的T1與Te （或Td）對(duì)應(yīng)，T2與Tf （或T-）對(duì)應(yīng)，h1為與對(duì)應(yīng)的hE, h2為與T2對(duì)應(yīng)的hF，并將（4-17）式改形為:2 2 2 2 2(4-22 )4 二 _ T1丁2 工 7g _ 2(h h2) 2(hh2)（4-22 ）與（4-17 ）的等同性同學(xué)們?cè)谡n后去用代數(shù)關(guān)系式驗(yàn)證。從（4-22 ）可知，當(dāng)Ti = T2（ =T）時(shí)，即化為單擺形式的公式（4-6），故稱（hE+hF ）、（ hc+hD ）為等值單擺長。從（4-20 ）式可知： ob = oa = a ;而 ax2 = h e+ h 1從圖4-3可知，A，B二共軛點(diǎn)為T（ h

8、）的極小值點(diǎn)，若在它附近取二個(gè) h值來計(jì)算g則將引起較大的誤差。所以欲取得精確的g的測量值，就只能取最大的 F點(diǎn)和相應(yīng)的E點(diǎn)來計(jì)算g值。因孔的非連續(xù)性，E只能取Te近乎于Tf的點(diǎn)代入（4-22 ）式。還可取略大、略小的兩組值都計(jì)算出再取平均。A或B在實(shí)驗(yàn)上雖然不利于測量出較精確的g，但運(yùn)行在Tb （或Ta）值下的擺，其性能最穩(wěn)定。 可倒擺為提高測g的精度，歷史上在對(duì)稱結(jié)構(gòu)的物理擺的擺桿上，加兩個(gè)形體相同而密度不同的兩個(gè)擺錘對(duì)稱地放置。于是質(zhì)心C點(diǎn)隨即被改變，圖 4-3的圖線也隨之改變，特別是Tc （即），Tf（即T2）所相應(yīng)的hC（即h1），hF（即h2）也隨之改變。但曲線的形狀依歸。所以，用

9、此時(shí)的T （ =Tf =Tc）和h1 （=hC），h2 （=hF）按（4-22 ）式來計(jì)算出g。當(dāng)然，由于擺桿孔的非連續(xù)性，所以僅能用Tc- Tf的實(shí)測值，這時(shí)（4-22 ）式的右端的第2項(xiàng)僅具很小的值。所以（T1 - T2）很小，而（h1- h2）較大。所以實(shí)驗(yàn)須先在重鐵錘的擺桿的下端測出T1后，將擺倒置過來，從遠(yuǎn)端測出大于T1的值然后逐漸減h2直至T小于T1為止。將加有二擺錘的擺叫作可倒擺（或稱為開特氏擺）；（4-22 ）式就稱為可倒擺計(jì)算式。擺錘用兩個(gè)而不是用一個(gè)，而且形體作成相同，是因?yàn)榈怪靡院笤跀[動(dòng)過程中，擺的空氣阻尼等對(duì)擺的運(yùn)動(dòng)的影響可消除。由物理擺的理論可知，可倒擺（開特?cái)[）僅是

10、物理擺的特例。 錘移效應(yīng)a.加錘擺的擺動(dòng)周期 Tm設(shè)原擺為一帶刻度的擺桿。擺的質(zhì)量為M質(zhì)心為C （設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)），擺心為O, CO距離為h，質(zhì)心C處與擺心O處沿OZ軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JC、JO。以上條件皆固定不變。然后再加一個(gè)圓柱形的擺錘，錘的回轉(zhuǎn)半徑為r,質(zhì)量為m正軸與上述各軸平行。錘移動(dòng)沿CO方向?yàn)?X。置錘于X處，如圖4-4所示。擺的總質(zhì)量為M ' = M m(4-23)質(zhì)心變?yōu)镃',由一次矩平衡原理可得出CC : = m X /( M - m)(4-24)所以新的擺長h ' = h - CC h m X /(M 亠 m) (4-25)由平行軸定理，可得2 2 2 2

11、Jo = Ma Mh - mr m (h - X )(4-26)設(shè)重力加速度g已知(不變)，則帶錘的擺動(dòng)方程式仿(4-7 )、(4-10 )式為：(動(dòng)量矩定理)J0 v - -(M m) g h - m X /( M m) sin v (4-27)i .加錘擺的周期公式 Tm為:2 2 2 2 Ma Mh mr m (h - x)m x) M - m(4-28)(h在研究錘移效應(yīng)時(shí)，令(固定不變)2C =Ma2mh亠mr 2(4-29)k =(M - m)(4-30)所以有2C m(h x)T m = 2<tJmk (h x)tM +m(4-31 )此式的特點(diǎn):它與無錘擺的形式相似，即原

12、T ( h)關(guān)系與現(xiàn)在Tm( X)關(guān)系相似，(此時(shí)h為固定常數(shù))山基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)# -由于X的取向等原因,所以Tm （ X）相當(dāng)于圖4-3曲線的左葉,Tm（ X）的漸近線為mhXM m而X的負(fù)向則為，-0,M m , h時(shí),mXToo注：X . M m h，則Tm為復(fù)數(shù)（無意義）m它也存在著極（小）值所以應(yīng)由dT m ( X )=.0(4-32 )dXdTmdTmdfdXdfdXk(hX)X所以有-i)2dX代入=C - m(h X )，ud ()vdXdvdu v dXx2v可得X)2m(h X)(1) -C m(hX)(M m此）(4-33)m(h _M +mX ) (2mh-2mX ) (

13、 -1)-M2(c 亠 mh - 2mhX 亠 mX2)2 2X 2mhX 2mhm(c mJ)】=0M m2m(c mh )2m222mh 二(2mh) - 42mhM +m2mM m2 -山基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)69 -分子，分母都除以2m （根號(hào)內(nèi)除以4卅）得i2 m(c mh )h , h : 2mh M +m(M 亠 m )h -2 2 2 2M m) h 一2mh (M - m) _m(c - mh )2 2 2 2 2 2 2 2 2(M m)h 二 、Mh 2 Mmh m h 2mh M - 2m h mc m hm(M m)h . me M 2h2m(4-34)所以X一定有解，T有極值

14、T （X）如前所述，T（ X）函數(shù)與T（ h）函數(shù)的性狀是一樣的， 所以此極值也一定是極小; 求嘆來判定，略去）dx2ii .零質(zhì)量擺錘的周期（公式）T0將m=0代入公式（4-28 ）,可得（以=2JC Mh 200 (h -X )(M 0) g (h0MaX)Ja , h =2二.，二（4-35）, gh gTh意義就是與X平行的，值為Th的T （X）函數(shù)線。Th也就是無錘擺在co = h時(shí)的擺動(dòng)周期值，這也就是研究T （X）時(shí)為什么X的取向，原點(diǎn)都與原來的T （ h）的h取向、原點(diǎn)為一致的原因，而另取一個(gè)有別于h的符號(hào)X是為了討論、理解得方便。理解這一點(diǎn)是弄明下一點(diǎn)的前提。iii.周期Tm

15、與Th （即m=0時(shí)的Tm）的交點(diǎn)，即有 Tm =Th2山基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)# -也就是令（4-28 ）式與（4-13 ）式相等，于是有:所以解得m(M m) g (h _X )M + m2 a-h2gh2 2 2 2Ma Mh mr m (h - X )(4-36)2 2 2 2Ma Mh mr m ( h - X )(M m) g (hX)2 2 2 2 2 2 2 a h Ma Mh mr mh - 2mhX mXghg (M m)h - mX 2 2 2 2 2mhX m(h a ) X mh (a r )=02 2 2 2 2hX - (h - a ) X - h (a - r )=02

16、I2a i a22(h ) - (h )4(a -r )h V h2上式如下特點(diǎn)：它與m無關(guān)。即錘的結(jié)構(gòu)、形狀相同（r相同）而密度（即質(zhì)量） 在X處擺的周期T相等。它在r :a條件下有兩個(gè)實(shí)根。-a2)2 h 2a 24h即雖然它與錘質(zhì)量無關(guān)，但它與質(zhì)量的分布（回轉(zhuǎn)半徑r）相關(guān),式時(shí)，無解。2（4-37）不同的擺錘，（4-38）且r滿足（4-38）（4-39）時(shí)退化為只有一個(gè)解:a(4-40)2h2山基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)71 -iv.回到物理擺的周期公式（4-12 ）式或（4-13 ）式，在擺桿質(zhì)心點(diǎn)當(dāng)有類似情況。當(dāng)m 0而r -0的質(zhì)點(diǎn)錘置于擺桿的質(zhì)心C處時(shí)，并且懸掛點(diǎn)于 a處。當(dāng)mz 0, m變則T變，這與由（4-37 ）式算出的X處r不變T變，m變而T為不變 是有所不同的。v .（鐘表擺的）T的微調(diào)遠(yuǎn)離于C, X, X> ；調(diào)擺錘（或平衡錘一一亦可稱之為擺的“平衡”錘）的質(zhì)量或其質(zhì)量的分布。移動(dòng) 平衡錘。三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容與步驟安裝、調(diào)節(jié)好儀器以后：1 測出無錘擺桿的T （ H）關(guān)系；（可只測半截?cái)[桿的）2 測出兩個(gè)加錘擺的 Ti （X）, E （ X）關(guān)系；兩擺錘的形狀、尺寸須相同，而質(zhì)量不 同；3 然后按原理所述，進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。數(shù)據(jù)表格自列。四、注意事項(xiàng)11. 擺幅A須小于1°,按R=0.3m （-擺桿）+0.03m（擺針）=330mm計(jì)2倍振幅2 兀 x 330