高等數(shù)學 上、下冊6_1 微分方程的基本概念ppt課件

1、第六章第六章 微分方程微分方程 第一節(jié)第一節(jié) 微分方程的根本概念微分方程的根本概念 第二節(jié)第二節(jié) 可分別變量的微分方程可分別變量的微分方程 第三節(jié)第三節(jié) 一階線性微分方程一階線性微分方程第四節(jié)第四節(jié) 一階微分方程的運用舉例一階微分方程的運用舉例第五節(jié)第五節(jié) 可降階的二階微分方程可降階的二階微分方程第六節(jié)第六節(jié) 二階常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程第七節(jié)第七節(jié) 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程二階常系數(shù)非齊次線性微分方程第八節(jié)第八節(jié) 二階微分方程的運用舉例二階微分方程的運用舉例 在幾何、物理、力學及其他工程實踐問題中在幾何、物理、力學及其他工程實踐問題中, ,人們經(jīng)人們經(jīng)常根據(jù)問題提

2、供的條件尋覓函數(shù)關(guān)系常根據(jù)問題提供的條件尋覓函數(shù)關(guān)系, ,可是在許多問題中可是在許多問題中, ,往往不能直接找出所研討的函數(shù)關(guān)系往往不能直接找出所研討的函數(shù)關(guān)系, ,而有時卻可以列出而有時卻可以列出所研討的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系式所研討的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系式, ,這種關(guān)系式就是所這種關(guān)系式就是所謂微分方程謂微分方程, ,微分方程建立后微分方程建立后, ,再經(jīng)過求解微分方程再經(jīng)過求解微分方程, ,可以可以得到所要尋求的未知函數(shù)得到所要尋求的未知函數(shù). .本章主要引見微分方程的根本本章主要引見微分方程的根本概念和常見的幾種類型的微分方程及其解法概念和常見的幾種類型的微分方程及其解法, ,并經(jīng)過

3、舉例并經(jīng)過舉例給出微分方程在實踐問題中的一些簡單運用給出微分方程在實踐問題中的一些簡單運用. . 解解 設(shè)所求曲線方程為設(shè)所求曲線方程為( )yf x，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，( )yf x滿足關(guān)系式滿足關(guān)系式 d2dyxx 或或 d2 dyx x （1 1） 又因曲線經(jīng)過點又因曲線經(jīng)過點1,2，即即所求曲線方程應(yīng)滿足所求曲線方程應(yīng)滿足 12xy （2 2） 對關(guān)系式對關(guān)系式(1)兩邊同時積分，得兩邊同時積分，得 第一節(jié)第一節(jié) 微分方程的根本概念微分方程的根本概念我們先通過幾個實例來說明微分方程的基本概念我們先通過幾個實例來說明微分方程的基本概念. . 例例 1 1 設(shè)曲線過點設(shè)曲

4、線過點1,2，且在該曲線上任意點，且在該曲線上任意點,M x y處的切線斜率為處的切線斜率為2x，求該曲線的方程，求該曲線的方程. . 22 dyx xxC （3 3） 其中其中 C 為任意常數(shù)為任意常數(shù). . 把條件（把條件（2 2）代入（）代入（3 3）式，得）式，得 221,1C C 把把1C 代入（代入（3 3）式，得所求曲）式，得所求曲 線方程為線方程為 21yx （4 4） 當當 C 取任意值時，不難作出取任意值時，不難作出（3）式式 的圖形（圖的圖形（圖 6-1） 321yxO圖圖 6-1解解 設(shè)質(zhì)點降落的鉛垂線為設(shè)質(zhì)點降落的鉛垂線為 x 軸，它與地面的交點為軸，它與地面的交點為

5、原點原點 O，并規(guī)定方向朝上為正，建立坐標系（圖，并規(guī)定方向朝上為正，建立坐標系（圖 6-2）.設(shè)設(shè)質(zhì)點在時刻質(zhì)點在時刻 t 時的位置為時的位置為( )x t，由牛頓第二定律，由牛頓第二定律，22ddxmamFt.因為質(zhì)點只受重因為質(zhì)點只受重 力的作用（空氣阻力忽略不記） ，力的作用（空氣阻力忽略不記） ，F(xiàn)mg ， 于是得到一個含有二階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式于是得到一個含有二階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式 22ddxmmgt 或或22ddxgt （5） 又，函數(shù)又，函數(shù)( )xx t滿足下列條件：滿足下列條件： 00d,0dttxxht （6） 例例 2 2 一質(zhì)量為一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點，從的質(zhì)點，從高高 h 處，只

6、受重力作用處，只受重力作用從靜止狀態(tài)從靜止狀態(tài)自由下落，試求其運動方程自由下落，試求其運動方程. Ox地面地面圖圖 6-2h對關(guān)系式（對關(guān)系式（5）兩邊同時積分，得）兩邊同時積分，得 1dddxgtgtCt （7） 再對（再對（7）式兩邊同時積分，得）式兩邊同時積分，得 21121()2xgtC dtgtC tC （8） 這里這里12,C C都是任意常數(shù)，把條件都是任意常數(shù)，把條件00d,0dttxxht代入代入（7） 、 （） 、 （8）得）得 120,CCh 把把120,CCh代入（代入（8） ，得所求的運動方程） ，得所求的運動方程 212xgth （9） 上面兩個實例，盡管實際意義不相

7、同，但解決問題上面兩個實例，盡管實際意義不相同，但解決問題的方法，都是歸結(jié)為首先建立一個含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法，都是歸結(jié)為首先建立一個含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的關(guān)系式，然后通過此關(guān)系式，求出滿足所（或微分）的關(guān)系式，然后通過此關(guān)系式，求出滿足所給附加條件的未知函數(shù)給附加條件的未知函數(shù).（1）式和（）式和（5）式都含有未知函）式都含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分） ，我們稱它們?yōu)槲⒎址匠虜?shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分） ，我們稱它們?yōu)槲⒎址匠?一般的有一般的有如下定義如下定義. 定義定義 含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程稱含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程稱為微分方程為微分方程.如果微分方程中的未知函數(shù)是一

8、元函數(shù)， 則如果微分方程中的未知函數(shù)是一元函數(shù)， 則稱這種方程為常微分方程；如果微分方程的未知函數(shù)是稱這種方程為常微分方程；如果微分方程的未知函數(shù)是多元函數(shù)，則稱為偏微分方程多元函數(shù)，則稱為偏微分方程.如前面例如前面例 1 中的（中的（1）式）式和例和例 2 中的（中的（5）式都是常微分方程）式都是常微分方程.本章我們只介紹常本章我們只介紹常微分方程的一些微分方程的一些初步知識及簡單應(yīng)用，今后為方便起初步知識及簡單應(yīng)用，今后為方便起見，簡稱為微分方程（或方程）見，簡稱為微分方程（或方程）. 微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，稱微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，稱為微分方程的階為

9、微分方程的階. 例如，例例如，例 1 中的（中的（1）式是一階微分方程，例）式是一階微分方程，例 2 中的中的（5）式是二階微分方程）式是二階微分方程. 如果將某個函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)代入微分方程中，使該方如果將某個函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)代入微分方程中，使該方程左邊恒等于右邊，則稱此函數(shù)為微分方程的解程左邊恒等于右邊，則稱此函數(shù)為微分方程的解. 例如，例例如，例 1 中的（中的（3）和（）和（4）式所表示的函數(shù)都是）式所表示的函數(shù)都是方程（方程（1）的解；例）的解；例 2 中（中（8）和（）和（9）式都是方程（）式都是方程（5）的解的解. 如果方程的解中所含相互獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與如果方程的解中所含相互獨立的

10、任意常數(shù)的個數(shù)與方程的階數(shù)相同，這種解稱為為微分方程的通解方程的階數(shù)相同，這種解稱為為微分方程的通解. 例如例如，例例 1 中的中的（3）式是方程式是方程（1）的通解的通解；例例 2 中的中的（8）式是方程式是方程（5）的通解的通解. 若給方程通解中的所有任意數(shù)以確定的值，就得到若給方程通解中的所有任意數(shù)以確定的值，就得到微分方程的特解，即不包含任意常數(shù)的解，稱為微分方微分方程的特解，即不包含任意常數(shù)的解，稱為微分方程的特解程的特解. 例如，例例如，例 1 中的（中的（4）式是方程（）式是方程（1）的特解；例）的特解；例 2中的（中的（9）式是方程（）式是方程（5）的特解）的特解. 所有任意常

11、數(shù)的確定，要根據(jù)方程所給出的附加條所有任意常數(shù)的確定，要根據(jù)方程所給出的附加條件，在本課程中所指附加條件就是初始條件件，在本課程中所指附加條件就是初始條件. 例如，例例如，例 1 中的（中的（2）式是方程（）式是方程（1）的初始條件；）的初始條件；例例 2 中的（中的（6）式是方程（）式是方程（5）的初始條件）的初始條件. 一般的，一階微分方程的初始條件為一般的，一階微分方程的初始條件為00()y xy或?qū)懟驅(qū)懗沙?0 x xyy，二階微，二階微分方程的初始條件為分方程的初始條件為 0001(),;y xyy xy或?qū)懗苫驅(qū)懗?001x xx xyyyy 例例 3 3 驗證（驗證（1）22si

12、n2 ;(2)e ;(3)3exxyxyy中哪些中哪些是微分方程是微分方程20yy的解，哪個是滿足初始條件的解，哪個是滿足初始條件01xy的特解的特解. 證證 （1） 因） 因2cos2yx ， 把， 把 y與與 y代入代入20yy，得得 左邊左邊2cos22sin20 xx右邊，右邊， 其中其中0,01,x yy為已知數(shù)為已知數(shù). 微分方程解的圖形稱為此方程的積分曲線微分方程解的圖形稱為此方程的積分曲線.由于通由于通解中含有任意常數(shù)，所以它的圖形是具有某種共同性質(zhì)解中含有任意常數(shù)，所以它的圖形是具有某種共同性質(zhì)的積分曲線族的積分曲線族.如例如例 1 中方程（中方程（1）的通解）的通解2yxC

13、是拋是拋物線族，此圖形的共性是每一條拋物線上任意一點物線族，此圖形的共性是每一條拋物線上任意一點,M x y處的斜率均為處的斜率均為2x，如圖，如圖 111.而方程（而方程（1）的特）的特解是過點解是過點1,2的一條拋物線，也就是說，特解是積分曲的一條拋物線，也就是說，特解是積分曲線族中滿足初始條件的某一條特定的積分曲線線族中滿足初始條件的某一條特定的積分曲線. 6-1.所以所以sin2yx不是微分方程不是微分方程20yy的解的解. （2）因因22e ,2exxyy，代入代入20yy，得得 左邊左邊=222e2e0 xx=右邊右邊 又將又將0 x 代入代入2exy 中，得中，得01xy 所以所以2exy 是微分方程是微分方程20yy的解，并且是滿的解，并且是滿足初始條件足初始條件01xy的特解的特解. （3）因把）因把23exy ，26exy 代入代入20yy，得，得