2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（湖南卷）數(shù)學(xué)（理）

1、絕密啟用前2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（湖南卷）數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）本試卷包括選擇題、填空題和解答題三部分，共5頁，時量120分鐘，滿分150分。一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2.某學(xué)校有男、女學(xué)生各500名.為了解男女學(xué)生在學(xué)習(xí)興趣與業(yè)余愛好方面是否存在顯著差異，擬從全體學(xué)生中抽取100名學(xué)生進行調(diào)查，則宜采用的抽樣方法是A抽簽法 B隨機數(shù)法 C系統(tǒng)抽樣法 D分層抽樣法 3.在銳角中，角所對的邊長分別為.若A B C D 4.若變量滿足

2、約束條件，A B C D 5.函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的交點個數(shù)為A3 B2 C1 D0 6. 已知是單位向量，.若向量滿足A B C D 7已知棱長為1的正方體的俯視圖是一個面積為1的正方形，則該正方體的正視圖的面積不可能等于A B C D 8.在等腰三角形中，點是邊上異于的一點，光線從點出發(fā)，經(jīng)發(fā)射后又回到原點（如圖）.若光線經(jīng)過的中心，則等于A B C D 二、填空題：本大題共8小題，考生作答7小題，每小題5分，共35分.（一）選做題（請考生在第9、10、11三題中任選兩題作答，如果全做，則按前兩題計分）9.在平面直角坐標(biāo)系中，若右頂點，則常數(shù) .10.已知 .11.如圖2，在半徑為的中,

3、弦 .（一） 必做題（12-16題）12.若 .13.執(zhí)行如圖3所示的程序框圖，如果輸入 .14設(shè)是雙曲線的兩個焦點，P是C上一點，若且的最小內(nèi)角為，則C的離心率為_。15設(shè)為數(shù)列的前n項和，則（1）_；（2）_。16設(shè)函數(shù)（1）記集合，則所對應(yīng)的的零點的取值集合為_。（2）若 .（寫出所有正確結(jié)論的序號）若三、解答題：本大題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17（本小題滿分12分）已知函數(shù)。（I）若是第一象限角，且。求的值；（II）求使成立的x的取值集合。18（本小題滿分12分）某人在如圖4所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個格點（指縱、橫的交叉點記憶三角形的頂點

4、）處都種了一株相同品種的作物。根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗，一株該種作物的年收獲量Y（單位：kg）與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關(guān)系如下表所示：X1234Y51484542這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米。（I）從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機選取一株作物，求它們恰好“相近”的概率；（II）從所種作物中隨機選取一株，求它的年收獲量的分布列與數(shù)學(xué)期望。19（本小題滿分12分）如圖5，在直棱柱（I）證明：；（II）求直線所成角的正弦值。20（本小題滿分13分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將從點M出發(fā)沿縱、橫方向到達(dá)點N的任一路徑成為M到N的一條“L路徑”。如圖6所示的路徑都是M到N的“

5、L路徑”。某地有三個新建的居民區(qū)，分別位于平面xOy內(nèi)三點處?，F(xiàn)計劃在x軸上方區(qū)域（包含x軸）內(nèi)的某一點P處修建一個文化中心。（I）寫出點P到居民區(qū)A的“L路徑”長度最小值的表達(dá)式（不要求證明）；（II）若以原點O為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)部是保護區(qū)，“L路徑”不能進入保護區(qū)，請確定點P的位置，使其到三個居民區(qū)的“L路徑”長度值和最小。21（本小題滿分13分）過拋物線的焦點F作斜率分別為的兩條不同的直線，且，相交于點A，B，相交于點C，D。以AB，CD為直徑的圓M，圓N（M，N為圓心）的公共弦所在的直線記為。（I）若，證明；（II）若點M到直線的距離的最小值為，求拋物線E的方程。22（本小題滿分13分）已知，函數(shù)。（I）