第八章_單因素方差分析(1)

1、第八章 單因素方差分析（Onefactor ANOVA)ANOVA: Analysis of Variance目的要求 n掌握：方差分析的意義、功用與應(yīng)用范圍；多重比較法及多重比較結(jié)果的表示法。n熟悉：不同類(lèi)型單因素資料的方差分析方法。n了解：方差分析的線性模型和期望均方。統(tǒng)計(jì)軟件Excel、SPSS應(yīng)用。講授內(nèi)容n第一節(jié) 方差分析的基本原理n第二節(jié) 固定效應(yīng)模型n第三節(jié) 隨機(jī)效應(yīng)模型n第四節(jié) 多重比較n第五節(jié) 方差分析應(yīng)具備的條件第一節(jié) 方差分析的基本原理n一、方差分析要解決的問(wèn)題n二、方差分析的幾個(gè)概念n三、方差分析的數(shù)學(xué)模型n四、方差分析的原理v一、方差分析要解決的問(wèn)題？：，如平均數(shù)差異

2、的假設(shè)檢驗(yàn)如何進(jìn)行關(guān)于兩樣本的210H檢驗(yàn)法。的答：常采用第五章里講t）？假設(shè)檢驗(yàn)（個(gè)樣本的平均數(shù)差異的現(xiàn)在，如何進(jìn)行3 aa檢驗(yàn)。某人答：兩兩進(jìn)行t的。評(píng)論：這種方法是不行主要原因有三：原因（1）：檢驗(yàn)的工作量大個(gè)平均數(shù)的差。合，就有個(gè)樣本平均數(shù)，兩兩組當(dāng)有2) 1( aaa個(gè)平均數(shù)的差。時(shí)，就有例如，45291010a檢驗(yàn)，程序太繁瑣。次檢驗(yàn)法，要進(jìn)行換句話說(shuō)，采用兩兩tt45原因（2）：檢驗(yàn)的I 型錯(cuò)誤增大，從而檢驗(yàn)的可靠性低2102只有一個(gè)，即時(shí)， Ha 313221033，個(gè)，即有時(shí)， Ha 5432210, 105，個(gè)，即有時(shí)，Ha 95. 0120被接受的概率為時(shí)只作一次假設(shè)檢驗(yàn)

3、，Ha05. 095. 01)( 0定為真時(shí)，但卻被我們否型錯(cuò)誤 HI8574. 095. 0133330）被接受的概率為（次檢驗(yàn)，時(shí)作Ha1426. 08574. 01 型錯(cuò)誤I5987. 095. 01 10510100）被接受的概率為（次檢驗(yàn)，時(shí)作Ha4013. 05987. 01 型錯(cuò)誤I是不可靠的。大大增大，這樣的檢驗(yàn)型錯(cuò)誤的概率的增大，檢驗(yàn)的通過(guò)以上分析，隨著 Ia原因（3）檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的精確性低21212222112111 2) 1() 1( yy nnnnsnsnt 檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量是樣本的數(shù)值。的估計(jì)，它只用了兩個(gè)差這部分是對(duì)原始數(shù)據(jù)方2的估計(jì)有待改善。所以，我們認(rèn)為對(duì)。時(shí)的利用來(lái)

4、估計(jì)個(gè)樣本，沒(méi)有被全部同但我們有22a。檢驗(yàn)的精確性有待提高因此，兩兩t正確答案正確答案：析。統(tǒng)計(jì)分析方法方差分應(yīng)使用一種更為合理的設(shè)檢驗(yàn)，個(gè)樣本平均數(shù)差異的假進(jìn)行關(guān)于)3( aav二、方差分析的幾個(gè)概念1、方差分析（analysis of variance）：將試驗(yàn)數(shù)據(jù)的總變異分解成不同來(lái)源的變異，從而評(píng)定不同來(lái)源的變異相對(duì)重要性的一種統(tǒng)計(jì)方法。2、試驗(yàn)指標(biāo)（experiment index）：為衡量試驗(yàn)結(jié)果的好壞或處理效應(yīng)的高低，在試驗(yàn)中具體測(cè)定的性狀或觀測(cè)的項(xiàng)目。3、試驗(yàn)因素（experiment factor）：試驗(yàn)中所研究的影響試驗(yàn)指標(biāo)的因素：?jiǎn)我蛩?、雙因素或多因素試驗(yàn)。4、因素水平

5、（level of factor）：因素的具體表現(xiàn)或數(shù)量等級(jí)。5、試驗(yàn)處理（treatment）：在試驗(yàn)對(duì)象上實(shí)施的事先設(shè)計(jì)好的具體項(xiàng)目，簡(jiǎn)稱處理。在進(jìn)行單因素試驗(yàn)時(shí)，試驗(yàn)因素的一個(gè)水平就是一個(gè)處理；對(duì)于雙因素試驗(yàn)，處理的個(gè)數(shù)等于兩個(gè)因素水平個(gè)數(shù)的乘積。每個(gè)處理可以看做是一個(gè)總體，每個(gè)處理得到的一組數(shù)據(jù)可以看做是從這個(gè)處理總體中抽取的一個(gè)樣本的數(shù)據(jù)。6、試驗(yàn)單位（experiment unit）：在試驗(yàn)中能接受不同試驗(yàn)處理的獨(dú)立的試驗(yàn)載體，是獲得觀測(cè)數(shù)據(jù)的單位。7、重復(fù)（repetition）：在試驗(yàn)中，將一個(gè)處理實(shí)施在兩個(gè)或兩個(gè)以上的試驗(yàn)單位上稱為處理有重復(fù)，處理實(shí)施的試驗(yàn)單位數(shù)目稱為處理的

6、重復(fù)數(shù)。觀測(cè)數(shù)重復(fù)v三、方差分析的數(shù)學(xué)模型（一）單因素試驗(yàn)的數(shù)據(jù)描述處理（組別） （i=1,2,.,a） 重復(fù)數(shù)（j) 1 2 i a 1 y11 y21 yi1 ya1 2 y12 y22 yi2 ya2 3 y13 y23 yi3 ya3 j y1j y2j yij yaj n y1n y2n yin yan 組總和 組平均數(shù) y1. 1y y2. 2y yi. iy ya. ay 個(gè)處理所有數(shù)據(jù)的和表示第 iyy1njiji值個(gè)處理所有數(shù)據(jù)的平均表示第iy1yiin據(jù)的總和表示所有處理中全部數(shù)ainjij11yy全部數(shù)據(jù)的總平均值y1yan和”表示對(duì)一個(gè)下標(biāo)的求注意：“次觀測(cè)值個(gè)處理的第

7、表示第jiyijijiijijy y 可表示成均數(shù)，為全體試驗(yàn)值的總體平其中，。對(duì)試驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生的影響理個(gè)處理的效應(yīng)，表示處為第iiiaiiia1 , 0 是常數(shù)。且每個(gè)個(gè)不同處理，則有如果我們只研究這個(gè)處理的平均數(shù)。為第iii稱為噪聲）。的試驗(yàn)的隨機(jī)誤差（也是ijijy。布相互獨(dú)立且服從正態(tài)分我們假定), 0(2Nij這是方差分析的條件。因此，方差分析假定),(y2iijN固定效應(yīng)模型固定效應(yīng)模型（二）單因素試驗(yàn)的數(shù)據(jù)描述v（三）因素處理效應(yīng)和實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷姆诸?lèi)1、固定效應(yīng)模型 如果處理效應(yīng)是由固定因素所引起的效應(yīng)，就稱為固定效應(yīng)。 隨機(jī)因素是指因素的水平可以嚴(yán)格地人為控制，水平固定后它的效應(yīng)值也

8、是固定的，實(shí)驗(yàn)重復(fù)時(shí)可以得到相同的結(jié)果。 處理固定因素所用的模型稱為固定效應(yīng)模型，簡(jiǎn)稱為固定模型。隨機(jī)效應(yīng)模型的方差分析所得到的結(jié)論可以推廣到總體水平上2、隨機(jī)效應(yīng)模型 如果處理效應(yīng)是由隨機(jī)因素所引起的效應(yīng)，就稱為隨機(jī)效應(yīng)。 固定因素是指因素的水平可以嚴(yán)格地人為控制，水平固定后它的效應(yīng)值也是固定的，實(shí)驗(yàn)重復(fù)時(shí)可以得到相同的結(jié)果。 處理固定因素所用的模型稱為固定效應(yīng)模型，簡(jiǎn)稱為固定模型。 固定模型的方差分析所得到的結(jié)論只適合于選定的那幾個(gè)水平，并不能將其結(jié)論推廣到其他未考慮的水平上。2、混合模型 在多因素試驗(yàn)中，若即包括固定因素，有包括隨機(jī)因素，那么該實(shí)驗(yàn)應(yīng)該用混合實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦M(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。v四、方

9、差分析的原理：（一）兩類(lèi)誤差1、隨機(jī)誤差：在因素的同一水平（同一個(gè)總體）下，各樣本的各觀察值之間的差異。如同一鹽濃度下的不同堿蓬植株鮮重的差異2、系統(tǒng)誤差：在因素的不同水平（不同總體）下，各觀察值之間存在的差異。如不同鹽濃度處理的堿蓬植株鮮重的不同。（二）兩類(lèi)方差1、處理內(nèi)方差：在因素的同一水平（同一個(gè)總體）下，樣本數(shù)據(jù)的方差2、處理間方差：因素的不同水平（不同總體）下，各樣本之間的方差。（三）方差的比較如果不同鹽濃度對(duì)植株鮮重沒(méi)有影響，則處理間方差就只包含隨機(jī)誤差，處理內(nèi)方差與處理間方差的比值接近1，反之，則大于1，當(dāng)大到某個(gè)程度時(shí)，就可以說(shuō)不同水平之間存在著顯著差異。（四）方差分析的原理（

10、1）將數(shù)據(jù)的總變異分解為不同處理引起的變異（系統(tǒng)誤差或處理效應(yīng)）和隨機(jī)誤差（試驗(yàn)誤差）引起的變異（2）通過(guò)F檢驗(yàn)，比較不同處理引起的變異和隨機(jī)誤差引起的變異的相對(duì)大?。?如果不同處理引起的變異明顯比隨機(jī)誤差引起的變異大，則說(shuō)明不同處理確實(shí)有顯著差異 如果不同處理引起的變異明顯不比隨機(jī)誤差引起的變異大，則說(shuō)明不同處理沒(méi)有顯著差異第二節(jié) 固定效應(yīng)模型v一、固定模型的方差分析程序（一）假設(shè)（二）確定顯著性水平都相等不是所有的iAaHH:2100:0:210都等于不是所有的iAaHH即，ijiijy顯著。從而得出不同處理是否否為零，不同處理引起的變異是方差分析的目的是分析總變異總變異不同處理引不同處理

11、引起的變異起的變異誤差引起誤差引起的變異的變異（三）計(jì)算統(tǒng)計(jì)量和處理內(nèi)變異異異來(lái)源分解為處理間變個(gè)試驗(yàn)的總變異依據(jù)變，方差分析就是要把一1nyyS2n1ii2ijiijy總變異起的變異不同處理引起的變異隨機(jī)誤差引211)yy(ainjij21)yy(aiin211)yy(ainjiij如何定量地衡如何定量地衡量這些變異？量這些變異？稱為總平方和總平方和，記為 SST稱為處理平方處理平方和和，記為 SSA稱為誤差平方誤差平方和和，記為 SSe1、平方和的計(jì)算和分解總平方和SST處理平方和SSA誤差平方和SSeaiainjiijiainjijn11122211)yy()yy()yy(即，證明：21

12、1211 )yy()yy()yy(ainjiijiainjij)yy()yy)(yy(2)yy(1122ainjiijiijiiaiaiainjiijnjiijiin1111212)yy( )yy()yy(2)yy(aiainjiijinnjiij111220)yy()yy()yy(1平方和的簡(jiǎn)易求法CSSainjijT112yCnSSaiiA12y1ATeSSSSSS稱為校正數(shù)其中，,y2anCTainjijTdfSS的自由度，記為總平方和112)yy(,yyijan個(gè)離均差計(jì)算該量時(shí)，需要這一條件的約束?；?，但受到每個(gè)離均差可以自由變0)yy(11ainjij11目資料中所有觀測(cè)值的數(shù)所以

13、，自由度 andfT2、總自由度的計(jì)算和分解AaiiAdfnSS的自由度，記為處理平方和12)yy(,yy個(gè)量共計(jì)算該量時(shí)，需要ai這一條件的約束。但受到0)yy(1aii11 處理的數(shù)目所以，自由度 adfAeainjiijedfSS的自由度，記為誤差平方和112)yy(,yy個(gè)量共計(jì)算該量時(shí)，需要aniij。個(gè)條件的約束但受到), 2 , 1( 0)yy(1aianjiijATedfdfaandf所以，自由度理均方，和誤差均方，由度便得到總均方，處各平方和除以相應(yīng)的自即分別記為 , , , eATMSMSMSTTTdfSSMSAAAdfSSMSeeedfSSMSeATMSMSMS注意：*3

14、、方差（均方）的計(jì)算v4、顯著性檢驗(yàn)F檢驗(yàn)（上尾檢驗(yàn)）v（四）拒絕域的建立v（五）作出結(jié)論并給予相關(guān)知識(shí)領(lǐng)域的解釋eAdfdfMSMSFeA),(，自由度和均方。如下表。試求各平方和場(chǎng)，其稻谷產(chǎn)量盆，隨機(jī)置于同一盆栽盆，共有每個(gè)處理各不施氮肥。施尿素，施碳酸氫氨，水，兩種不同工藝流程的氨分別施用和個(gè)處理：試驗(yàn)，設(shè)置了，有一水稻施肥的盆栽例204545154321AAAAA處理A1A2A3A4A5產(chǎn)量2427313221302428332228212533162626302821合計(jì) 1089811412680526y。重復(fù)數(shù)驗(yàn)資料，處理數(shù)解：這是一個(gè)單因素實(shí)4n5,a如下：平方和和自由度的計(jì)算

15、8 .1383345526y 22校正數(shù)anC191 2 .4028 .1383314326213024y 112222andfCCSSTainjijT總平方和41 2 .3018 .1383314135 801261149810841y1 1222222adfCCnSSAaiiA處理平方和15419 1012 .3012 .402 ATeATedfdfdfSSSSSS誤差平方和17.21192 .402TTTdfSSMS所以，總均方30.7542 .301AAAdfSSMS處理均方73.615101eeedfSSMS誤差均方例2：5個(gè)小麥品系株高的調(diào)查資料 品 系 株號(hào)株號(hào) I I IIII

16、 IIIIII IVIV V V 1 1 6464.6.6 64.564.5 67.867.8 71.871.8 69.269.2 2 2 65.365.3 65.365.3 66.366.3 72.172.1 68.268.2 3 3 64.864.8 64.664.6 67.167.1 70.070.0 69.869.8 4 4 66.066.0 63.763.7 66.866.8 69.169.1 68.368.3 5 5 65.865.8 63.963.9 68.568.5 71.071.0 67.567.5 組總和組總和 iy 組平均數(shù)組平均數(shù) iy 326.5326.5 65.36

17、5.3 322.0322.0 64.464.4 336.5336.5 67.367.3 354.0354.0 70.870.8 343.0343.0 68.668.6 y=1682 單因素：品種；單因素：品種； 單因素的單因素的5個(gè)水平（也稱個(gè)水平（也稱處理處理）：）：I, II, III, IV, V。 每個(gè)水平設(shè)置了每個(gè)水平設(shè)置了5個(gè)重復(fù)個(gè)重復(fù)題解v解：1、原假設(shè)，備擇假設(shè)2、方差分析求校正項(xiàng)C C=129.96求各平方、自由度和值和均方值：SST=147.32 SSA=131.74 SSE=15.58 dfA=a-1=5-1=4；dfe=a（n-1）=20MSA=SSA/dfA=32.9

18、；MSe=SSe/dfe=0.783、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：F=MSA/MSe=42.234、拒絕域的建立：F4，20，0.05=2.87； F4，20，0.01=4.435、結(jié)論：這五個(gè)品種小麥的株高差異極顯著。二、均方期望與統(tǒng)計(jì)量F所構(gòu)造的。計(jì)量是根據(jù)均方的期望方差分析中所使用的統(tǒng)), 0( ,y2Nijijiij0: 0 210不等于至少有一個(gè)：待檢驗(yàn)的假設(shè)為iAaHHaiiAeanMSEMSE12221)( )(可以證明：的大小。的大小就可以反映出與因此，通過(guò)比較iAeMSMS的差異不大；與各相差不大，就可以認(rèn)為與如果0ieAMSMS。不可能全為各明顯的大，就可以認(rèn)為比如果0ieAMSMS常稱為處理效應(yīng)aiia122 ,11，即統(tǒng)計(jì)量，構(gòu)造和為了比較eAeAMSMS