高中數(shù)學(xué)必備考試技能之二級(jí)結(jié)論提高速度(2020版)考點(diǎn)42橢圓(講解)(解析版)

1、【思維導(dǎo)圖】考點(diǎn)42橢圓平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)為，%的距離的和等于常數(shù)2a（2a>&F/=2c）的 動(dòng)點(diǎn)P的軌跡叫做桶圓，這兩個(gè)定點(diǎn)F“ F2叫做橢園的供點(diǎn), 定義2。2<：一線段I 2a<2c 不存在橢圓上的一點(diǎn)P與兩個(gè)焦點(diǎn)則、眄組成的二角形稱為焦點(diǎn).角形周長(zhǎng)杷川邛用卜優(yōu)馬| = 2a + 2cJh2Ipf.IIpe1 1,1 14cosnF】PF,Sf =；|PFJPF, sin/F1PFob-ll=焦點(diǎn)三角形兩個(gè)底角分別為（!許則尸2c 二:El *ln(a 4 P) 2a ' |PFj7|PF, 5ina «Mop直線與的的位況關(guān)系（交點(diǎn)個(gè)數(shù)I離心

2、率令/*；PF：-O,當(dāng)P在短箱端點(diǎn)時(shí)，角。最大當(dāng)時(shí).b=C3C =理當(dāng)耐,b=t =理<c<l 納聰曰時(shí),b = co<0<c<yAF = XHi=>|ecos6| =”1（6是直線的賴斜角）（1）聯(lián)立？直線與橢園聯(lián)立方程整理成關(guān)于atbt"=O（2）判別式0 KOnA-0,相切,1個(gè)交點(diǎn)A >0,相交,2個(gè)交點(diǎn)AvO,相離4個(gè)交點(diǎn)在線叮橢圓的位置關(guān)系，"J以利用H線的定點(diǎn)9橢圓的位置關(guān)系來(lái)判斷 定點(diǎn)在橢圓外-一相交、柑切、柑自定點(diǎn)在桶舊上捫交、相切定點(diǎn)在橢回內(nèi)相交【常見考法】考點(diǎn)一橢圓的定義及運(yùn)用1.已知匕、乃是定點(diǎn)，1尸怎1=

3、6.若動(dòng)點(diǎn)M滿足+則動(dòng)點(diǎn)”的軌跡是（）A.直線B.線段C.圓D.橢圓【答案】B【解析】對(duì)于在平面內(nèi)，若動(dòng)點(diǎn)M到耳、工兩點(diǎn)的距離之和等于6,而6正好等于兩定點(diǎn)寫、尸2的距離， 則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以"，尼為端點(diǎn)的線段.故選：B.222.已知橢圓亍十三=1上一點(diǎn)尸（x,y）到其一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3,則點(diǎn)p到其另一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于（）A. 2B. 3C. 1D. y/lO【答案】c22*析】根據(jù)題意，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為: 事£- = 1,則其焦點(diǎn)在由軸上，且° = " = 2, 43芥橢園I二一點(diǎn)尸到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于3,那么點(diǎn)尸到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為23 = 1,

4、故選：C.223.把橢圓2 + 2 = 1的長(zhǎng)軸AB分成2018等份，過(guò)每個(gè)等分點(diǎn)作不軸的垂線交橢圓的上半部分于2017個(gè) 23 io點(diǎn)，尸是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則這2017個(gè)點(diǎn)到尸的距離之和為.【答案】10085 【解析】由知a = 5,若設(shè)過(guò)2017等分點(diǎn)作X軸的垂線交橢圓的上半部分于2017個(gè)點(diǎn)分別為號(hào)，序16，417,尸是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為戶,則根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，得曲川+島“/|二山目+ |" | = 2 ,同理尸|+|2016可=|鳥尸| + |鳥/=2。'山008尸| +出010尸|=|巴0()/| + |%08/=2n.又因?yàn)閨凡09日=揚(yáng)+1 =

5、"，所以|/F|4-|F|+|F| + - + |ol6F|+|ol7F| = 2xlOO8+6f = 2O176f=2O17x5=lOO85故答案為：10085224 .橢圓宗+卷=1上一點(diǎn)M到左焦點(diǎn)K的距離為2, N是"耳的中點(diǎn)，則|ON|等于【答案】4【解析】試題分析：根據(jù)橢圓的定義：口巧| + 3區(qū)| = 10,所以口11=8, A是"片中點(diǎn)，。是耳外的中點(diǎn)，所 以 ON;睡| = 4.5 .點(diǎn)41,1),耳是橢圓5/+9丁 =45的左焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則IP4I+|P用的最大值是【答案】6+022【解析】將5/+9/ =45變形為土 +t=1,設(shè)

6、尸2為橢圓的右焦點(diǎn)，則瑪(Z0),由橢圓定義知IR4I+|P娟=|/叫+ 6|尸引6 + |A可=6 +0，當(dāng)且僅當(dāng)P為AF?的延長(zhǎng)線叮橢圓的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào).故答案為：6 + 0考法二焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)及面積1 .過(guò)橢圓j + V=l的左焦點(diǎn)耳作直線/交橢圓于A,8兩點(diǎn)，F(xiàn)?是橢圓右焦點(diǎn)，則AAB用的周長(zhǎng)為()A. 8B. 4、技C. 4D. 2、/J【答案】B,【解析】橢圓：+ 丁=1的/=2.“=e，A4B5的周長(zhǎng)為46+8"+46+ 86=7 = 4點(diǎn)2,橢圓二+二=1的焦點(diǎn)為片、F?,P為橢圓上一點(diǎn)，己知PE«LPF),則片0居的面積為 25 9A. 9B. 12C.

7、10D. 8【答案】A【解析】由橢圓定義知|P周+ |P周= 1。，又心_LP% 所以|P劇2+歸入=4x(259) = 64,從而得"上|尸鳥| = 18,所以aEPF?的面積為9,故選A.3,已知橢圓G 二+二=1的左、右焦點(diǎn)分別為巴，64 39乙，點(diǎn)尸在橢圓。上，若|P用=6,則N刊花的余弦值為(3A.10B.710C.一D.【答案】A【解析】二+二=1，64 39附1=6用=勿=16.|夕周=10.而恒國(guó)= 2064 39=10 ,故 cosNP"入=附+歸閭尸人2 附 IMEl36 + 100-1002x6x10=, 故選：A.104.設(shè)0是橢圓工+t=1上一點(diǎn)，

8、G，居分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若IP"I.IPFJ=12,則/PF）的 16 9大小, 【答案】6022【解析】橢圓£ +卷=1,可得2=8,設(shè)用=團(tuán)，|尸巴卜,m + = 2。= 8mn = 124c2 =28 = m1 + n2 - 2mncosZ.FxPF1化簡(jiǎn)可得：cosZFPF2=-, :.AFxPF2= 故答案為60 . 2考法三離心率L橢圓工+二=1的離心率為 25 16【解析】在橢圓今+看=1中，"=5, b = 4, c = J7%T = 3,C 3因此，該橢圓的離心率為e = a 52.已知橢圓二十=1（。人0）的上頂點(diǎn)為4,右頂點(diǎn)為A，若過(guò)原

9、點(diǎn)。作A3的垂線交橢圓的右準(zhǔn) cr 3線于點(diǎn)。，點(diǎn)。到x軸的距離為二二，則此橢圓的離心率為【答案】B 2【解析】由題可知，橢圓1+與=1（06>0）的焦點(diǎn)在x加上, b-則A。,0 ,B 0,b ,所以砥8=.a由于點(diǎn)P在橢圓的右準(zhǔn)線工=土上，且P到X軸的距離為 ， CC（22 P 1,二所以勺加=2,I C C ）由題得，0P_LA8,則總8/加=一1，即2x1-gj = -l,則有. = %,即1=4，I 1Z?2 =a2-c2 .所以/ =4（/一/）,整理得：3"2=4?,則二=上，即/=,解得：e =立，6T 442即橢圓的離心率為正.3.己知橢圓C:2=1卜>

10、>°）的左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為3,右焦點(diǎn)為尸，若/45尸=90。，則橢圓C的離心率為【答案】避二12【解析】據(jù)題意，4(y,0), B(0,b), F(c,0),/? 0 b 。a-z-3-T 即，5 即c.又c? -b? . /. c2 -a2 +ac = O 同除/得+ -1=0,即*+。-1 = 0 . e = 2zl （舍） ci2或昨墾1 24.設(shè)巴，居分別是橢圓E:=十二=1（。>>0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F）的直線交橢圓于A，8兩點(diǎn),且 cr b-AFi AF； = 0, AF：=2FB則橢圓E的離心率為 【答案】叵3【解析】麗=2亭設(shè)則4g =2x由橢圓的

11、定義，可以得到A" =2。-2乂8" =2a-x.祈麗=0, afxlaf2/£ RtAFB 中，（2a-2x） +（3x）2 =（2-x），解制 x = ' AF2 ,AF= 333在RtZAGA中，有（如=（2cf整理得二=2,，6 = £ =在I 3 J I 3 J V 7 cr 935.已知點(diǎn)尸是橢圓二+=1（。>>0）的上焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在橢圓反匕 線段內(nèi)與圓/+（）£尸=生相 cr /廠216切于點(diǎn)。，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，且（6P +歷方=0,則橢圓萬(wàn)的離心率為-【答案】五3C b2【解析】設(shè)橢網(wǎng)的；占:為小 圓/+（）&#

12、163;）2=°的圓心為4,線12尸尸的中點(diǎn)為人 216因?yàn)椋ǘ?改）.方=0,所以（歷+改）.（加-赤）= 0,即|而|=|赤| = c；所以由于。8。耳，所以P"_LPF；因?yàn)榫€段PF Lj陽(yáng)x2+（y-）2 =相切于點(diǎn)Q，216所以AQ_L/VL所以P" /1。，所以照二：因?yàn)閨W| = 2c|AQ| = *|A/| = ,所以|P同=" / G根據(jù)橢圓定義可得|產(chǎn)曰=為匕，所以有（2一與2+2=牝2,整理得； = §,所以離心率e = £ =逆.« V U 37. 7t6 .若橢圓二十=1和圓/+/=（=+ c）2,

13、 （C為橢圓的半焦距）.有四個(gè)不同的交點(diǎn),cr b-2則橢圓的離心率的取值范圍是 【答案】（正,3）5 5,【解析】由題意得人ve + cva = v2c/v2(a c) = v4c212<4( c)2 ,即 2a2 -c2 <4c2,a2 -c2 <4("-c)2,也即/ >-,3-Se + 5e2 >0=> <6»< - 227 .已知橢圓£ +今=1(>人>0)的左焦點(diǎn)是耳，左頂點(diǎn)為A,直線 > =心.交橢圓于0、。兩點(diǎn)(P住第一象限)，直線尸耳與直線4。交于點(diǎn)O,且點(diǎn)。為線段A。的中點(diǎn)，則橢

14、圓的離心率為-【答案】-3【解析】如下圖所示，設(shè)橢圓的半焦距為J由題意知A(y,O), "(wO),設(shè)點(diǎn)尸(工，爐).由題意可知，點(diǎn)P、。關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則0(T',y)因?yàn)榫€段A。的中點(diǎn)為。，則。-% 一. _y2 ，方即上' 了x' + cx' + a- 2c乂因?yàn)辄c(diǎn)。在宜.線PFJ.，故%因=心。，即一二一rr2一 X+C X +_/.2c I整二 Lr =。一2（ = 3r. "：.率”=.a 3考法四標(biāo)準(zhǔn)方程221 .對(duì)于實(shí)數(shù)m，"1加2”是“方程 =1表示橢圓”的()m - 1 m 一 2A.充分不必要條件B.必要不充分條

15、件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】Bm -1 0v2【解析】橢圓三+匕=1，94 v23【解析】由“方程匕一=1表示橢圓得 2Vo ，解得1加211僧w7，所以m -1 ，一 2« -2加 一 1 W 2 m22是“方程一 = 1表示橢圓”的必要不充分條1m-1 團(tuán)一2故選：B.2 .過(guò)點(diǎn)(-3,2)且與三 +=1有相同焦點(diǎn)的橢圓的方程是。94【答案】三十二=115 10工焦點(diǎn)坐標(biāo)為：（逐，0）, "5 0）, C二小,2222 I的園的焦點(diǎn)與橢圓工+ L = 1有相同焦點(diǎn)設(shè)橢圓的方程為：二+二二1，94a2 b2-94工橢圓的半焦距c=有，即姬干=5結(jié)合4+=

16、 1, aM5, bFO22橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+2L=l15 103.已知橢圓G 二十二=1的右焦點(diǎn)為尸，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，。上有且只有一個(gè)點(diǎn)尸滿足|。曰=歸尸|,則。 cr 3的方程為-27【答案】二十二=143【解析】根據(jù)對(duì)稱性知尸在x軸上，|。日=歸尸故 = 2c.片=3 + °2,解得 =2. c = l,22故橢圓方程為:三十】二=1 .故選：D.43224.橢圓5 + £ = 1 ,過(guò)原點(diǎn)0斜率為、行的直線與橢圓交于。，。，若181= 4 ,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 o【答案】«=1【解析】由題意可知，直線8的方程為y = J5x，直線傾斜角為亨，不妨設(shè)。點(diǎn)在第

17、一象限，則。=2,因此可得221。r又點(diǎn)C在橢圓;+a=1上，所以亍+至=1 = =5,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為二十二二=1, 77考法五直線與橢圓的位置關(guān)系221.若直線y = x + 2與橢圓上+t=1有兩個(gè)公共點(diǎn)，則7的取值范圍是().m 3A. m> 1B.6>1 且？工3 C. m>3D. 7>0且zw3【答案】B【解析】橢圓二+二=1，則 7>0且 7工3, m 322而宜線y = x + 2，橢圓三十二=1有兩個(gè)公共點(diǎn)， m 3y = x+2則 < 儲(chǔ) y2 , 化簡(jiǎn)可得(? + 3)/+4"1%+7 =。'+ = 1,m 3所以

18、 = (4m)2 - 4m(m + 3)=12z(7 -1) > 0,可？j ? > 1 或? < 0.又因?yàn)閙 >011 m*3,可得m> 1 IL W 3，故選：B.2.若直線、=丘+ 1與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓二十二=1總有公共點(diǎn)，那么m的取值范圍是()5 mA. (0,5)B. (0,1)C. 1,5D. 1,5)【答案】D【解析】直線y = E+l恒過(guò)點(diǎn)(0,1),直線y = "+i0橢圓恒有公共點(diǎn).（0 J）在橢根橢圓內(nèi)， o + 4 1，加N /，又橢圓二+二=1焦點(diǎn)在軸匕，0 vmv5， 5 m,實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是1,5）,故選：D.223.

19、已知橢圓工+t=1,若此橢圓上存在不同的兩點(diǎn)A, B關(guān)于直線y=4x+m對(duì)稱，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（s/13 2>/213131313【答案】B22【解析】橢圓上+1=1,即：3/+4寸-12=0, 43設(shè)橢圓上兩點(diǎn)A（Xi, h）、B （xs, y：）關(guān)于直線y=4x+m對(duì)稱,AB中點(diǎn)為M （&,%）,則 3x：+4y：-12二0,3x；+4y；-12=0 -得：3 （xi+xs）（X1-X2） +4 <yi+ys） （yyD =0,即 3e2xoe（x：-x：） +4*2yoe（yi-y：）二0,.y-%=二.包再_超 4%4 .0.yo=3xot 代入直線方程 y=l

20、x+m 得 x（F-m, y°二-3m：因?yàn)椋╝. yo）在橢圓內(nèi)部，.3m:+ l-（-3m） =<12. BP 3m:+36m2<12,解得一名叵Vm<4叵 .故選：B.224 .直線y=A(*-2) +1與橢圓+二=1的位置關(guān)系是()16 9A.相離B.相交C.相切D.無(wú)法判斷【答案】B【解析】由題知，直線恒過(guò)定點(diǎn)(2.1),格(2.1)點(diǎn)代入三十 21可得故(2,1)在橢圓內(nèi)，直線叮摘 16 916 9圓相交故選：B5 .直線y二由一攵+1與橢圓二十二口的位置關(guān)系為()94A.相交B,相切C.相離D.不確定【答案】A 【解析】由題意得宜淺恒過(guò)定點(diǎn)(1,1),

21、而點(diǎn)(1,1)在橢也吟+亍1的內(nèi)部，所以直線與橢圓相交.故選：A.考法六弦長(zhǎng)1.若直線/：工一)1 = 0與橢圓C:/+=1交于43兩點(diǎn)，則IA8I=() 2A 2點(diǎn)R 3應(yīng)r 3y/2n 4V23243【答案】D入)-1【解析】由題意聯(lián)立方程可得：J2，消去了化簡(jiǎn)可得：3/ 一2工一1 =0,x V 1 = 0 ,g故交點(diǎn)A。,。）、B根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得：IA8I= J（l + ；j+（0_g）=孚故選:D.2 .過(guò)橢圓4/+5產(chǎn)=20內(nèi)一點(diǎn)HLD引一條恰好被P點(diǎn)平分的弦，則這條弦所在直線的方程是（）A. 4x + 5y-9 = 0 B. 5x + 4y-9 = 0 C. 4x-5y + l = 0D. 5x-4y-l = 0【答案】A【解析】由44+5y： =20,44+5只=20,作差得4（x； _ x；）+ 5（y； - £） = o 4（2 X1） + 5（2 X14=0 k 二 ±4y-l = -T（x-l）. 4x + 5y-9 = 0,選 A.3 .直線2過(guò)原點(diǎn)交橢圓16丁+25/=400于月、5兩點(diǎn)，則的最大值為（）A. 8B. 5C. 4D. 10【答案】D【解析】當(dāng)直線，的斜率不存在時(shí),A3是橢圓的短軸,顯然這時(shí)的|4回不是最大值;”的斜率存在時(shí)，