數(shù)學(xué)分析試題及答案

1、(二十一)數(shù)學(xué)分析期終考試題敘述題：(每小題5分，共15分)1 開集和閉集2函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的逐項(xiàng)求導(dǎo)定理3 Riemann可積的充分必要條件計(jì)算題：(每小題7分，共35分)91、1 x3 1 xdx2、求x2 (y b)2b2(0 a b)繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的幾何體的體積3、求哥級數(shù)n1、n2 n(1 -) xn的收斂半徑和收斂域4lim0y 02x2x2yy2125、f(x, y, z) x xy2yz , l 為從點(diǎn) P0(2,-1,2)到點(diǎn)(-1,1,2)的方向，求fl(R)討論與驗(yàn)證題：(每小題10分，共30分)/ 22、.11、已知 f(x,y) (xy)sinx2 y20點(diǎn)不連續(xù)，但它在該

2、點(diǎn)可微，人 sn21 八人，一2、討論級數(shù)ln n11的斂散性。n 1 n 1x 0, y0 ,驗(yàn)證函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在原0n n 1xx3、討論函數(shù)項(xiàng)級數(shù)( 一)n 1 nn 1x 1,1的一致收斂性。四 證明題：(每小題10分，共20分)1若 f(x)dx收斂，且f (x)在a,+ 8)上一致連續(xù)函數(shù)，則有 aJim f(x) 02設(shè)二元函數(shù)f (x,y)在開集DR2內(nèi)對于變量 x是連續(xù)的，對于變量y滿足Lipschitz 條件：f(x, y) f (x, y )L y y 其中(x, y ),(x, y )D,L為常數(shù)證明f (x, y)在D內(nèi)連續(xù)。參考答案一、1、若集合S中的每個(gè)點(diǎn)都是它的內(nèi)

3、點(diǎn)，則稱集合S為開集；若集合S中包含了它的所有的聚點(diǎn)，則稱集合 S為閉集。2設(shè)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)Un(x)滿足(1) Un(x)(n 1,2,)在a , b連續(xù)可導(dǎo)a)Un(x)在a ,1b點(diǎn)態(tài)收斂于S(x)b)Un(x)在a1b 一致收斂于(x)則 S(x) =Un(x)在an 1b可導(dǎo)，且d /、 d /、Un(x)Un(x)dx n 1n 1 dx3、有界函數(shù)f (x)在a , b上可積的充分必要條件是，對于任意分法，當(dāng)max( X )0時(shí)Darboux大和與Darboux小和的極限相等1 i n二、1、令 tv1 x (2 分)19 x31 xdx 323 34680 (1 t )t dt-6

4、-(5分)2、y1a / 2 (y1a3、解:y2 )dx2由于lim(n(124、lxm2y 0 .1 x分)5、解:fi(2,三、1、解、x2, y2b , a2a2b (5分)(1 1)n_(11n 112-)n (-)n( 1)(2分)所求的體積為:)n1(11，-收斂半徑為 e1,-(4分)，當(dāng) e0(n1 1),所以收斂域?yàn)?-,1) (3分)e e(x2 y2)( 1 x2y2 1)x2y21)(J x2y21)lxmG1 xy 02 y2 1) 2 (7設(shè)極坐標(biāo)方程為fx(2,1,2) 2, fy(2, 1,2)0.fz(2,1,2)4 (4 分)1,2) -6 (3 分).1

5、312x(sin -2fxx y11、-2 cos-2)x y x y0 (4分)由于011-2-COS-2當(dāng)趨于（0, 0）無極限。所以不連續(xù)，同理可的fy也不連續(xù)，（2分）x y x y2、解:1 （5分） 一_收斂，所以原級數(shù)收斂（5分）n 1 n 1一。 1.0,取N , n N時(shí)有xn 13、解：部分和Sn（x） x（3分）， n 1Sn （x） x |-x-| -,所以級數(shù)一致收斂（7分）四、證明題（每小題10分，共20分）1、證明：用反證法若結(jié)論不成立，則 0 0, X.a, x0 X ，使得f（x）, （3分）又因?yàn)樵趂 （x）在a, ）上一致連續(xù)函數(shù)，0(0,1), x ,x

6、f （x ） f（x ） 上，（3分）于是A0a,令Xa 1 ,取上述使 f（x。）0的點(diǎn)2x0X,不妨設(shè)f（x。） 0 ,則對任意滿足x x00的x ,有f （x） f （x0）0取 A和 A 分別等于x0 -和x0 -,則2222A0f （x）dx - 0有，由Cauchy收斂定理,f （x）dx不收斂）矛盾（4分）A2a2、證明：（x0,y0） D ,由 Lipschitz 條件f (x,y) f(x0,y。)f(x, y) f(x,y。)f(x, y。) fNy。)Ly V0f(x,yo) f(x0,y0) (1), (6 分)又由二元函數(shù) f(x, y)在開集 D R2 內(nèi) 對于變量

7、x是連續(xù)的，（1）式的極限為0, f （x,y）在（x0,y0）連續(xù)，因此f （x, y）在D內(nèi)連續(xù)（4分）（二十二）數(shù)學(xué)分析期末考試題敘述題：（每小題5分，共15分）1 Darboux 和2無窮限反常積分的 Cauchy收斂原理3 Euclid 空間計(jì)算題：（每小題7分，共35分）1、limnn.n!n0 (8 分)所以函數(shù)單調(diào)增加（2分）2、求由下列兩條曲線圍成的平面圖形的面積y2 2x2y x23、Ie xxndx（n是非負(fù)整數(shù)）n 04、設(shè)u f （x2 y2 z2,xyz）, f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求x5、求f（x） e的哥級數(shù)展開式三 討論與驗(yàn)證題：（每小題10分，共20分）1、討

8、論二元函數(shù)連續(xù)、偏可導(dǎo)、可微之間的關(guān)系。對肯定的結(jié)論任選一進(jìn)行證明；對 否定的結(jié)論，給出反例2、討論級數(shù)cosnxnp(0）的絕對和條件收斂性。四證明題：（每小題10分，共30分）1 f(x)在0 ,+OO）上連續(xù)且恒有f （x） 0,證明g（x）x0tf(t)dt在0 , +00)上0年）出單調(diào)增加設(shè)正項(xiàng)級數(shù)nxn收斂，xn單調(diào)減少，證明1lim nxnnyf(x,y) x，證明：lim f (x, y)不存在yy 0參考答案P一、1、有界函數(shù)f(x)定義在a,b上，給一種分法，a x0x1xnb和記M i sup f (x),xi 1,xi , mi inf f (x), xi 1, xi

9、 ,則_ nnPS(P) M i xi ,S(P)mi xi分別稱為相應(yīng)于分法 的Darboux大和和i 1i 1Darboux 小和。2、0. N a使得 m n N ,成立nf(x)dxm3、Rn向量空間上定義內(nèi)積運(yùn)算任,y x* Xnyn構(gòu)成Euclid空間、1、由于 lim ln nlim - ( ln i) n ln n)nn i 1 lim ln1ln xdx01 (7分）2、解：兩曲線的交點(diǎn)為（2, 2), (0, 0), (2 分)所求的面積為:(.2x2T)dx(5分)3、解：I n e xxndx n 0=xne x |0 + n exxn1dx=nIn1 e xxndx+

10、e xxndx (6分)10001In n!(1 分)24、：2x(2zfnxyf12) yf2 yz(2zf21 xyf22) (4uu =2fx yzf2 (3 分)xz x分）.一e兇n1 .5、解：由于余項(xiàng)rn（x） x 0（n）, （3分）所以（n 1）!2nex1 x (4 分)2!n!三、1、解、可微必可偏導(dǎo)和連續(xù)，證明可看課本 例子可看課本135頁（6分）133頁（4分），可偏導(dǎo)不一定連續(xù)和可微2、解：當(dāng)p 1時(shí)，級數(shù)絕對收斂，（4分）當(dāng)0 p 1,由Dirichlet定理知級數(shù)收斂，II2/八,但誓 cos- _X cos譽(yù)，所以 回警 發(fā)散，即級數(shù)條件收斂（4分）， np

11、np 2np 2npn 1 np當(dāng)p 0時(shí)，級數(shù)的一般項(xiàng)不趨于0,所以級數(shù)不收斂（2分）四、證明題（每小題10分，共30分）1證明：g （x）xxxf(x) 0 f(t)dt f(x) 0tf(t)dtxf(x)0(xf(t) tf (t)dtx2(0 f(t)dt)x2(0 f(t)dt)2 證明： m, n m,有（n m） xm 1Xn Xm由此得nXn（4分）由級數(shù)收斂，故 0可取定m0使得xm0有2, （4分）于是當(dāng)n n0時(shí)，有 n m3、證明： lim f（x, y） limX 0X 0 X2y x,又lim n 1 ,故 n0使得n n0時(shí), n n m00 nXn 2 ,得證

12、（2分）X 1一1 limf （x, y） lim 2一, 所以x x 0x 0x2 x22y x2lim0 f（x, y）不存在（10 分）y 0（二十三）數(shù)學(xué)分析期末考試題敘述題：（每小題5分，共15分）1微積分基本公式2無窮項(xiàng)反常積分3緊幾合計(jì)算題：（每小題7分，共35分）2. d r x dt 2 dx 1、 4dx 0 .1 t41 1 x2、求由下列兩條曲線圍成的平面圖形的面積y x 2 2 y x3、求n（n 2）xn的收斂半徑和收斂域n 14、設(shè)u xeyz e z y ,求偏導(dǎo)數(shù)和全微分1 xy 1xy討論與驗(yàn)證題：（每小題10分，共30分）2 2 x y 1討論f （x,

13、y）22一y2的二重極限和二次極限x y （x y）人 1dXt2討論edX的斂散性0 xp ln x3、討論函數(shù)項(xiàng)fn(x) xn xn 1(0 x1)的一致收斂性。證明題:設(shè) f (x)(每小題10分，共20分)x連續(xù)，證明f(u)(xy (x2 y2)滿足 y x設(shè)f (x)在a,b連續(xù)bf(x)dx F(b) F(a)。au)duu xyx uf (x)dx duF (x)是f (x)在a,b上的一個(gè) 原函數(shù),則成立2、設(shè)函數(shù)f (x)在a,)有定義，且在任意有限區(qū)間a, A上可積。若極限Alim f(x)dx存在，則稱反常積分收斂，否則稱反常積分發(fā)散 a a3、如果S的任意一個(gè)開覆蓋

14、U 中總存在一個(gè)有限子覆蓋,中的有限個(gè)開集Ui ：i,滿足S ,則稱S為緊集1、d-dx_dt_,1 t4dx4x=dx_dt_1 t4_2x_.1 x8(7分)2、解：兩曲線的交點(diǎn)為(-24), (1,1), (2分)1o所求的面積為：2 (2 x x )dx9 八(5 分)2lim n. n(n n2)1 ,收斂半徑為(4分)，由于x1時(shí)，級數(shù)不收斂,所以級數(shù)的收斂域?yàn)?-1 , 1) (3 分)u yz4： =eyxu一 =xze yyzuyz1 =xyezz (4 分)du eyzdx(xzeyz 1)dy(xyeyz e z)dz(3分)5、解:1 xy 1 lim 0 xylimx 0y 0(1 xy 1)(,1 xy 1)Ixy(. 1 xy 1)(7分)三、1、解、由于沿y kx趨于(00)時(shí),(xg,0)2 22x y (x y)2 2x y0k1k1重極限不存在（5分）lim lim 一x 0 y 0 x(xy)2220,lim lim 2 2 x yy 0x 0x2y2 (xy)20, (5 分)2: 01,由于1xp ln x0(x0)故dxd收斂xp ln x1xp ln x(x(4分)e dx0 xp ln x收斂,e dx0 xln x發(fā)散（2分）。3、lim fn(x)nf(x) (3 分)lim