中考數(shù)學(北師大版)圖形的相似講義word版本

1、此文檔僅供收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除第四章 圖形的相似一本章知識點1、 線段的比：在同一單位長度下，兩條線段長度的比叫做這兩條線段的比。2、 成比例線段：對于四條線段 a,b,c,d，如果其中兩條線段的長度的比與另外兩條線段的長 度的比相等， 即a2 （或 a： b=c： d），那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段。b d此時也稱這四條線段成比例。注：在 ab=cd 中，a 叫做第一比例項，b 叫做第二比例項，c 叫做第三比例項，d 叫做第四 比例項。2如果 a : b=c : d，那么 ad=cb。特別地，若 a : b=b : d，即 b =ad，則 b 叫 a，d 的比例中

2、 項，3、基本性質(zhì)：a cf；ad=cb 比例式與乘積式互化：b d如果 a：b=c：d，那么 ad=bc；反之亦成立；如果 a：b=b：c，那么 b2=ac；反之亦成立*等積式先變 4 個比例式上下顛倒或左右互換如果 ad=bc，那么ac；更換內(nèi)項a-；bdJcd更換外項d c;同時更換內(nèi)外項d b;b ac a4、合比定理：ab b如果a c，那么b d5、等比定理：a cb da a b bb ba bbm ac c d d(d dc ddc在分子上進行加或減）（了解）Ub寧得n 0)6 比例尺：比例尺二圖上距離，即圖上距離二實際距離x比例尺。實際距離7、平行線分三角形兩邊成比例平行于三

3、角形一邊的直線截其他兩邊，所得的 對應線段成比例.【如圖 DE/ BC 二上上下及其變形書寫】下，全，全，AD AE DB EC AD AB DB AB AD DB AB = = =即= AB AC AB AC AE AC CE AC AE CE ACAD AE AI+DBAE+EC AB AC DB EC=一 ，=即一=-=DBEC DB EC DBEC ABAC上下顛侄變形DBYEC D+ADEGAE AB AC=即=AD AE AD AE AD AE上下顛侄變形AD AEABAC8 黃金分割：點 C 把線段 AB 分成兩條線段 AC BC,且滿足 AC=AB?BC 或 BC=ACAB）,

4、貝 U 點 C即為線段 AB 的黃金分割點，AC:AB=BC:AC 或 BC:AB）即為黃金比.9、相似三角形的判定預備定理：平行于三角形一邊的直線，截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的三角形與原三 角形相似應用格式：TDE/ BCAD0AABCEF/ AB 證口 BDEF - DE=BFAD_AE_BF_DEAD_AE_BF_DEAB=AC=AB=AC= BC=BC= BCBC判定定理 1：兩角對應相等， 兩個三角形相似 判定定理 2:三邊對應成比例，兩三角形相似判定定理 3:兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似判定結論 4:斜邊、直角邊對應成比例，兩直角三角形相似10、相似三角形的性質(zhì)相

5、似三角形的對應角相等，對應邊成比例；相似三角形的對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比都等于相似比:相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等干 相似比的平方.注：相似多邊形有類似的性質(zhì)11、利用相似三角形測高此文檔僅供收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除1.利用陽光下的影子測物體的高度測量工具：皮尺測量方法：量出觀側者的身高以及同一時刻觀測者和被測物體的影子的長度。 測量數(shù)據(jù)：觀測者身高、影長和被測物體的影長 測量原理：由太陽光線是平行線得出兩個直角三角形相似。優(yōu)點：除觀測者外不需要其它工具，簡單易行，好操作。 缺點：受太陽光的限制，只能在有太陽光時進行操作。2.利用標桿測物體的高

6、度測量工具：標桿（高度要高于觀測者的身高），皮尺。 測量方法：觀測者的眼睛要與標桿的頂端和被測物體的頂端在一條直線上。測量數(shù)據(jù)：觀測者的眼睛到地面的距離、觀測者與標桿的距離、標桿與被測物體的距離 測量原理：由標桿和被測物體平行得出兩個直角三角行相似。優(yōu)點：只需要標桿和觀測者即可，不受太陽光的限制。 缺點：計算量大。3.利用鏡子的反射測物體的高度 測量工具：小鏡子、皮尺。測量方法：在鏡子上做標記，使被測物體頂端在鏡子中的像與鏡子上的標記重合。 測量數(shù)據(jù)：觀測者的眼睛與地面的距離、觀測者和鏡子的距離、鏡子和被測物體的距離 測量原理：由入射角等于反射角得出兩個直角三角形相似。優(yōu)點：只需要鏡子和觀測者

7、即可，不受太陽光的限制。 缺點：操作過程稍顯復雜。12、位似：如果兩個多邊形不僅相似，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行, 像這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心。13、圖形的放大（縮小）所謂圖形的放大與縮小，實際上就是畫原圖形的相似圖形。方法有：位似圖形法、平行 線法、測量法、格點法等。位似圖形法：1.確定位似中心；2.連接并延長對應點；3.連接關鍵點。14、平面直角坐標系中的圖形的位似在平面直角坐標系中，將一個多邊形每個頂點的橫、縱坐標都乘以同一個數(shù)k（k 工 0），所對應的圖形與原圖形位似，位似中心是坐標原點，它們的相似比為IkI。15、證明等積式（比例式）策略1、

8、直接法：通過證明三角形相似觀察比例式分子中兩條線段（三個頂點字母）與分母中兩條線段是否在兩個（相似）三角形 中；變化：等號同側的分子與分母組成三角形2、 間接法：3 種代換 等線段代換； 等比代換； 等積代換；創(chuàng)造條件添加平行線一一創(chuàng)造“ A”字型、“X”字型先證其它三角形相似一一創(chuàng)造 邊、角條件二規(guī)律與方法1 基本圖形及變化圖給出一對角相 等證相似1/ ADE=ADE=/ ABCABC 或/ AEDAED 玄ACBACB 證平行得相似2或： 根據(jù)所給 條件 （同上）加上 隱含條件（公共 角或對頂角相 等）證相似幾個重要模型DB給出一對角相等證相似EEAABAEBCBA平移EA減少字母BBCA

9、減少字母BBCBCEBE(C)BE)旋轉 ADE平移 DEEC旋轉ADEA-C平移 DE翻轉ADEB AC平移 DE平移 DEC BD-、C平移 DE翻轉ADEC角特殊A.C例：如圖，矩形 ABCD 中 AB=6 BC=8 點 E 為 DC 邊上的動點，EF 丄 AE 交 BC 于 F,連結 AF. 在厶ADE 與 CEF ADE 與 ABF ADE 與 AEF 中，(1)如果一定相似，請證明；(2)如果一定不相似，請說明理由；(3)如果不一定相似，請指出當點 E 在什么位置時相似.此文檔僅供收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除重要模型 1 雙垂直(射影定理) 如圖I/ACB=90 , CD!

10、AB / ACSACDBAABC幾個重要結論：()ACSACDBAC:BC=AD:CD=CD:BDCD=AD?BD(2)ACSAABC AC:AB=AD:AC=CD:BCAC=AD?AB(3)ACDBAABCCD:AB=BC:AC=BD:BCBC=BD?AB(4)十得 AC:BC2=AD:B(5)面積法得 AB?CD=AQBC比例式(6)特殊圖形/ ACD/ B(/ A=/ A)“雙垂直”中的計算：例 如圖，在 Rt ABC 中, / ACB=90已知 AB=29 AD=4 求 CD 和 AC已知 BC=5 CD=4,求 AD 和 BD已知BC=10 AD=6 求 BD 和 AC (4)已知C

11、D=10 AD=4 求 BC 和 AC.重要模型 2 “一線三等角”,CDLAB 于(圖 1)例(1)如圖 1:已知三角形 ABC 中,AB=AC/ADE/ B,那么一定存在的相似三角形有(2)如圖 2:已知三角形 ABC 中,AB=AC/ DEF/ B,那么一定存在的相似三角形有見多識廣：其他常見的一線三等角圖形ABEC第18題D此文檔僅供收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除重要模型 3三角形內(nèi)（外）角平分線定理及應用：三角形內(nèi)角平分線定理：三角形任意兩邊之比等于它們夾角的平分線分對邊之比。過 D 作 DE/ AC 交 AB 于 E過 B 作 BE/ AC 交 AD 的延長線于 E過 C 作

12、CE/ AD 交 BA 的延長線于 E,2、已知：如圖所示，人。是厶 ABC 中/BAC 的外角/ CAF 的平分線。求證:典型例題-選擇題1.下列四組圖形中，不是相似圖形的是（）2下列線段能構成比例線段的是（4 .如圖，在正三角形 ABC 中, D, E 分別在 AC, AB 上，且血=1，AE= BE,U（）AC 3(A)AAEDhBED( B)AAESACBD( C)AEDAABD(BABABCD三角形外角平分線定理：三角形兩邊之比等于其夾角的外角平分線外分對邊之比1 已知：如圖所示，人。是厶 ABC 的內(nèi)角/ BAC 的平分線，求證：按下列提示證一證:BA=BDAC DC3計算在VAB

13、(中,AD是AB(的平分線，AB=5cm,AC=4cm BC=7cm貝UBD=_4 計算.在 VABC 中，AD 是 ABC 的平分線，AB-AC=5, BD-CD=3, DC=8，貝 U AB=_A. 1cm,2cm,3cm,4cmB1cm,2cm,2 . 2cm,2cmC ., 2cm,5cm,3cm,1cm D2cm, 5cm, 3cm, 4cm3.梯形兩底分別為 m 段長為（）（A）丄mnn，過梯形的對角線的交點,（B）沁（C）如m nm n引平行于底邊的直線被兩腰所截得的線(D)m n2mnCEBA/AC=BD/DC;B B5. P 是 Rt ABC 斜邊 BC 上異于 B、 C 的

14、一點， 過點 P 作直線截厶 ABC 使截得的三角形與 ABC相似，滿足這樣條件的直線共有（）此文檔僅供收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除(A) 1 條(B) 2 條(C) 3 條(D) 4 條6如圖，/ ABD=ZACD 圖中相似三角形的對數(shù)是()(A) 2( B) 3(C) 4(D) 57如圖，ABCD!正方形，E 是 CD 的中點，P 是 BC 邊上的一點，下列條件中，不能推出 ABP 與厶 ECP 相似的是()(A)ZAPB=ZEPC (B)ZAPE= 90( C) P 是 BC 的中點(D) BP：BC= 2 : 38.如圖， ABC 中, ADLBC 于 D,且有下列條件：CD(1

15、)ZB+ZDAG 90; (2)ZB=/DAC(3)-CDAD其中一定能夠判定ABC 是直角三角形的共有(C題 99. 如圖，將 ADE 繞正方形 ABCD點 A 順時針旋轉下列結論中錯誤的是()14.某學生想測量學校旗桿的高度，如圖已知測得學生身高和其影子長均為1.75m,影子長 為13.8m，則學校旗桿的高度約為(A. 15.55mB. 13.8mC. 12.05mD.數(shù)據(jù)不夠不能確定15. 如圖，小李用長為 4m 竹竿做測量工具測量學校，竹移動竿，使竹竿、頂端影子恰好落在地面同一點.此時，竹竿與這一點相距 8m,與相距 22m 則高為()AC- (4) AE= BD- BCAB，)(D)

16、 0 個題 1090，得 ABF 連結 EF 交 AB 于 H,則(A) AE 丄 AF ( B) EF：AF=2: 1 (C) AF= FH FE ( D FB：FC= HB：EC10. 如圖，在矩形 ABC 沖，點 E 是 AD 上任意一點，則有()(A) AABE 的周長+ CDE 的周長= BCE 的周長(B) AABE 的面積+ CDE 的面積= BCE 的面積(C) AAB0ADEC(D)AABEAEBC11. 如圖，在口 ABCD 中, E 為 AD 上一點，點 F,則 SDEF: SAEBF：SABF等于()(A) 4 ： 10 ： 25(B) 4 : 9 : 25DE：CE=

17、連結 AE BE BD，且 AE、BD 交于 DEF EBF 等于(D) 2 : 5 : 25AB C D題 13BC: CD= 3 ： 1,則 AE: EC%().(C) 12 : 5(D) 3 : 2題 1112. 如圖，直線 a/ b,(A) 5 : 1213.如圖， 矩形紙片 ABCD 勺長 AD= 9 cm,寬 A 吐 3cm,將其折疊，使點 D 與點 B 重合，那題 12FB= 3 : 5,(B) 9 : 5AF:么折疊后 DE 的長和折痕 EF 的長分別為().10cm (C) 4 cm、23cm(A) 4 cm、(D) 5 cm、2 3 cm(A) 3 個(B) 2 個(C)

18、1 個S(C) 2 : 3 : 5AAfALffC DBD EJ0 cm(B) 5 cm、A. 11mB. 15mC. 30mD. 60m16. 小紅所在的數(shù)學興趣小組運用的反射來測教學樓的，其中不需要測量的量為()A. 人到鏡子的距離B. 鏡子到教學樓的距離C. 人眼到地面的距離D. 鏡子到人眼的距離17. 兩個相似三角形的相似比是 1:2 ,其中較小三角形的周長是 6CM 則較大的三角形的周長是只供學習與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除（）A.3CMB.6CMC.9CMD.12CM18.（2014?鄂州三模）如果兩個多邊形的比為 16： 9,那么這兩個多邊形的比為（）A.

19、16： 9B. 4: 3C. 2: 3D. 256: 8119.（2008?可北）圖中的兩個三角形是圖形，它們的中心是（）A.點 PB.點 OC.點 MD.點 N20. 下列說法正確的是（）A.位似圖形可以通過平移而相互得到B位似圖形的對應邊平行且相等C. 位似圖形的位似中心不是只有一個D, 位似圖形上對應點到位似中心的距離都相等21. 下列五個圖案：其中，位似圖形共有（）填空題1. 若 AB=1m CD=25cm 貝UAB：CD=_;若線段 AB=m, CD=n 貝UAB：CD=_2. 若 MN：PQ=4：7,貝UPQ：MN= , MN=_PQ PQ=_ MN3. 若線段 a, b, c,

20、d 成比例，其中 a=5cm,b=7cm,c=4cm,則,d=_ .4._ 若 a b=c d 貝 U 有 a : d=_ ; 若 m：x=n : y, 貝 U x :y=_ .5._ 已知 4x 5y=0，則(x+ y)：( x y)的值為_ .6. 若 x : y : z=2 : 7 : 5, 且 x 2y+ 3z=6，貝Ux= , y=_ , z=_ ;8.已知點 C 是線段 AB 的黃金分割點，且 ACBC 則 AC：AB=_ .9 .已知線段 a= 6 cm,b= 2 cm,貝 Ua、b、a+ b 的第四比例項是_cma+ b 與a b 的比例中項是_ cm丄10. 如圖，口 ABC

21、D 中, E 是 AB 中點，F(xiàn) 在 AD 上，且 AF=2FD, EF 交 AC 于 G,則 AG：AOC.3D.47 7設 3=5=7 ，x+yyy+3z，3y-2z.1 個個B.211 .如圖，AB/CD 圖中共有_ 對相似三角形.12 .如圖,已知 ABC P 是 AB 上一點,連結 CP,要使 ACPAABC 只需添加條件_（只要寫出一種合適的條件）.13 .如圖,AD ABC 的角平分線,DE/ AC, EF/ BC, A 吐 15 , AF= 4,則 DE 的長等于_.14 .如圖， ABC 中，A 吐 AC, AD 丄 BC 于 D, AE EC； AD= 18, BE 15,

22、貝 U ABC 的面積是_.15.要測量旗桿的高度，已測得旗桿的影長為 20m 如果此時附近小樹影長為 2.5m,且小樹高為 1.5m,那么旗桿的高度是 _m.16、41. （2011?朝陽）如圖，身高是 1.6m 的某同學直立于旗桿影子的頂端處，測得同一時刻該項同學和旗桿的影子長分別為 1.2m 和 9m 則旗桿的高度為_ m17. （2013?龍崗區(qū)模擬）如圖；課外活動小組測量學校旗桿的高度.如圖，在地面上C 處放一小鏡子，當鏡子離旗桿 AB 底端 6 米，小明站在離鏡子 3 米的 E 處，恰好能看到鏡子中旗桿的頂端，測得小明眼睛 D 離地面 1.5 米，貝 U 旗桿 AB 的高度約是_

23、米.目C18._ 為了測量操場中旗桿的高度，小明學習了 “太陽光與影子”，設計了如圖所示的測量方案, 根據(jù)圖中標示的數(shù)據(jù)可知旗桿的高度為.憐*X2羽*1_工屆宀1心119. 小華要測量鐵塔 AB 的，他在地面上放置一個平面鏡 E.與鐵塔的距離 EB=20m 小華距離ED=2m 此時小華剛好從中看到鐵塔的頂端 A.若小華的眼睛距離地面 CD=1.5m 則鐵塔的是_ m.DEB三解答題只供學習與交流C此文檔僅供收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除1 .方格紙中，每個小格的頂點叫做格點，以格點連線為邊的三角形叫做格點三角形.請你在圖示的 10X10 的方格紙中，畫出兩個相似但不全等的格點三角形，并加以

24、證明(要求所 畫三角形是鈍角三角形，并標明相應字母)5.在正方形 ABC沖，AB = 2，P 是 BC 邊上與 B、C 不重合的任意點，DQL AP 于 Q(1)試說明ADQMAABP(2)當 P 點在 BC 上變化時，線段 DQ 也隨之變化。設 PA= x,，DQ= y,求 y 與 x 之間的函數(shù)關系式？AE CG4.已知：如圖，F(xiàn) 是四邊形 ABCD 寸角線 AC 上一點, EF/ BC FG/ AD 求證AB+CD= 12. 如圖， ABC 與AADB 中，/ ABC ADB=90 , AC=5crpAB=4crp 如果圖中的兩個直角三6.如圖，在矩形 ABC沖，E 為 AD 的中點，E

25、F 丄 EC 交 AB 于 F,連結 FC (ABAE).(人丘卩與厶 EFC 是否相似？若相似，證明你的結論；若不相似，請說明理由；此文檔僅供收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除AB（2）設BC= k,是否存在這樣的 k 值，使得 AEFABFC 若存在，證明你的結論并求出 k 的值；若不存在，說明理由.7.如圖，在 Rt ABC 中，/ C= 90, BO 6 cm, CA 8 cm,動點 P 從點 C 出發(fā)，以每1秒 2 cm 的速度沿 CA AB 運動到點 B,則從 C 點出發(fā)多少秒時，可使 SABCP= 4 S ABCA8.如圖， 小華家 （點A 處）和公路（L）之間豎立著一塊 35m

26、?長且平行于公路的巨型廣告 牌（DE 廣告牌擋住了小華的視線，請在圖中畫出視點 A 的盲區(qū)，并將盲區(qū)內(nèi)的那段公路設 為 BC. 一輛以 60km/h 勻速行駛的汽車經(jīng)過公路段 BC 的時間是 3s，已千:知廣告牌和公路的距離是 40m 求小華家到公路的距離（精確到 1.35mD-E9.陽光通過窗口照射到室內(nèi)，在地面上留下 2.7m 寬的亮區(qū)（如圖所示） ,已知亮 墻腳距離 EC=8.7m 窗口高 AB=1.8m 求窗口底邊離地面的高BC.IJ 窗口下的l.SmA10、如圖，在ABC中，AB8cm, BC16cm.點 P 從點 A 開始，沿 AB 邊向點 B 以2cm/s的速度移動；點Q從點 B 開始，沿邊 BC 向點 4cm/s 以的速度移動，如果 P、Q同時出發(fā)，經(jīng) 過幾秒鐘，PBQ與 ABC 相似？11、如圖，在 ABC 中，C 90 , AC 3 , B