從有理數(shù)談起

1、從有理數(shù)談起左太政/國立高雄師範大學(xué)數(shù)學(xué)系、何謂有理數(shù)(rational numbers or quotients )（一）有理數(shù)的集合 Q=m|m,n為整數(shù)，n - 0,（m, n）=1n（二）Rational Numbers 名稱的意義（三）有理數(shù)具有稠密性但不具有完備性（四）單位分數(shù)及埃及分數(shù)1. 試問介於o與1之間的任意有理數(shù)是否可表為單位分數(shù)的和？如果可以，其表法是否只有一種？2. 試問任意單位分數(shù)是否能表為至少二個相異單位分數(shù)之和？3.設(shè)p,q, r為正整數(shù)，若n = P q為整數(shù)，試證:rpqpn qn4.設(shè)n _3為奇數(shù)，試證:22必可表成二相異單位分數(shù)之和n2（註：在西兀前1

2、650年Rhine papyrus已記載-可表為埃及分數(shù)的和，其中n為n介於5和101之間的奇數(shù)）5. 設(shè)m, n為互質(zhì)的正整數(shù)，試證：必存在互質(zhì)正整數(shù) a,b,使得m =-nab成立之充要條件為必存在正整數(shù) p, q,使得n = pq及r二-一q為整數(shù)。mp111 1 16. 設(shè)p, q為正整數(shù)，且滿足 一=1- - ，試證：p可被1979q2 3 41318 1319所整除。（五）未解決問題1.Erdos-Straus conjecture:4111一二一 一有相異正整數(shù)解（a,b,c）. n a b c51112.Sierpinski conjecture(1956):有相異正整數(shù)解(a

3、,b, c).n a b c(六) (Salamin and Gosper 1972)任取一個有理數(shù)使得其分母是偶數(shù)的機率為1 03(七) 猜測(Conjecture)-數(shù)學(xué)的本質(zhì)試證：若存在一個實數(shù)x,使得2x與3x都是整數(shù)，則x必為有理數(shù)。(八) 範例:1. 設(shè)n為一個三位正整數(shù)，若n2的末三位數(shù)正好是n,試求滿足這樣條件的所有n 值。2. 已知a,b,c為相異的有理數(shù)，試證： 1(a -b)2(b - c)2 (c - a)2必為某一個有理數(shù)的完全平方。3. 試證：必存在無窮多組(a,b,c),使得a,b,c為整數(shù)，(a,b,c)=1,及a2b2 b2c2 c2a2必為某一個整數(shù)的完全平

4、方。4. 試求滿足方程式x2 y2 z x y z 1的所有有理數(shù)解。5. 已知m, n為正整數(shù)且 m < n,試證：m (m 1) (m 2) (n -1) n二mn有無限多組解；已知(1,1 ), (3,6) , (15,35),(85,204) 為前四組解,試找出另三組解二、何謂無理數(shù)(irrational numbers )(一) 無理數(shù)的意義：凡不是有理數(shù)的時數(shù)者稱為無理數(shù)。(二) 無理數(shù)的個數(shù)比有理數(shù)多(Cardinal Number )有理數(shù)的集合是可數(shù)集但無理數(shù)的集合是不可數(shù)集。(三) 根號數(shù)、2是人類最早發(fā)現(xiàn)的無理數(shù)之一，又稱為 Pythagoras ' con

5、stants,早在西元前 500年人們已證明 2是無理數(shù)。問題1.2的長度如何求得？（可利用勾股定理（又稱畢氏定理）或正方形面積）問題2.試給.2是無理數(shù)的不同證明問題3.試給 a是無理數(shù)的不同證明，其中a不為某一個整數(shù)的完全平方。問題4.若r, s為有理數(shù)，r = 0,且a為無理數(shù)，試證：ra - s為無理數(shù)。問題5.若a為正無理數(shù)，且 n為正整數(shù)，試證：n a為無理數(shù)/ /I/問題6.若r,s為正有理數(shù)，且 .r, , s為無理數(shù)，試證：. s為無理數(shù)。又當(dāng)r = s時，則一 r - 一 s為無理數(shù)三、尺規(guī)作圖1. 已知a為正整數(shù)，試問如何用尺規(guī)做出、a的長度來?2. 已知 2的長度，試問

6、如何用尺規(guī)做出1的長度來？3. 試問能否用尺規(guī)做出3 2長度來呢？四、二個特殊的無理數(shù)：e與二1. e是無理數(shù)的證明（1）Euler （ Swizerland,1707-1783 ）於 1737 年證明 e和 e2 為無理數(shù)X X2 X3xn(1) 利用 ex =1 -，- xR.1! 2!3!n!(2) 利用反證法假設(shè)eJ為有理數(shù)，而得到矛盾。2. 二是無理數(shù)的證明由Lambert( France,1728-1777 )在1768年發(fā)表二是無理數(shù)的證明；他證明下列定理而得到結(jié)論：設(shè)x為異於零之有理數(shù)，則e-與tan -都不是有理數(shù)。但他的證明不完整，最後由Lengendre ( 1752-1

7、833,Franee )給予完整證明3. 其他無理數(shù)(1) n1/m為無理數(shù)，其中n不是整數(shù)的m次方幕。(2) lognm為無理數(shù)，其中n, m皆為整數(shù)。(3) er為無理數(shù)，其中r = 0為有理數(shù)。(4) cosr為無理數(shù)，其中r=0為有理數(shù)。(5) cos：為無理數(shù)，其中0 ： 90：', m 60：為有理數(shù)。(6) tanr為無理數(shù)，其中r=0為有理數(shù)。(7) 二n為無理數(shù)，n為正整數(shù)。五、代數(shù)數(shù)與超越數(shù)實數(shù)又分為代數(shù)數(shù) (algebraic number)和超越數(shù)(transeendental number)二種,1. 代數(shù)數(shù)：如果實數(shù)a為某一個整係數(shù)多項式的根，則此數(shù) a稱為代數(shù)數(shù)。例如所有有理數(shù)及根號數(shù)都是代數(shù)數(shù)。從集合論的觀點而言，所有代數(shù)數(shù) 所組成的集合是可數(shù)集(countable set )。2. 超越數(shù)：凡不是代數(shù)數(shù)的實數(shù)稱為超越數(shù)，例如二和e。(1) 1873年由 Hermite (1822-1901,Franee )證明 e為超越數(shù)；(2) 1882 年由 Lindemann (1852-1939,Germany) 證明 二