講義：等比數(shù)列及其前n項和(共11頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上（經典）講義：等比數(shù)列及其前n項和1等比數(shù)列的定義如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示2等比數(shù)列的通項公式設等比數(shù)列an的首項為a1，公比為q，則它的通項ana1·qn1.3等比中項若G2a·b(ab0)，那么G叫做a與b的等比中項4等比數(shù)列的常用性質(1)通項公式的推廣：anam·qnm，(n，mN)(2)若an為等比數(shù)列，且klmn(k，l，m，nN)，則ak·alam·an.(3)若an，bn(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則

2、an(0)，a，an·bn，仍是等比數(shù)列(4)公比不為1的等比數(shù)列an的前n項和為Sn，則Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn.5等比數(shù)列的前n項和公式等比數(shù)列an的公比為q(q0)，其前n項和為Sn，當q1時，Snna1；當q1時，Sn.【注意】6.利用錯位相減法推導等比數(shù)列的前n項和：Sna1a1qa1q2a1qn1，同乘q得：qSna1qa1q2a1q3a1qn，兩式相減得(1q)Sna1a1qn，Sn(q1) 7.1由an1qan，q0并不能立即斷言an為等比數(shù)列，還要驗證a10.7.2在運用等比數(shù)列的前n項和公式時，必須注意對q1與q1分類討論，防止因忽

3、略q1這一特殊情形導致解題失誤8.等比數(shù)列的判斷方法有：(1)定義法：若q(q為非零常數(shù))或q(q為非零常數(shù)且n2且nN*)，則an是等比數(shù)列(2)中項公式法：在數(shù)列an中，an0且aan·an2(nN*)，則數(shù)列an是等比數(shù)列(3)通項公式法：若數(shù)列通項公式可寫成anc·qn(c，q均是不為0的常數(shù)，nN*)，則an是等比數(shù)列一、知識梳理1.等比數(shù)列前項和公式(1)探索導引: 求和說明：對于等比數(shù)列的前項和公式:從方程觀點看:由等比數(shù)列的前項和公式及通項公式可知,若已知中的三個即可建立方程組求其余兩個,即“知三求二”.在運用等比數(shù)列的前項和公式時，一定要注意討論公比是否為

4、1.2. 與前項和有關的等比數(shù)列的性質(1)若等比數(shù)列中,公比為,依次項和成公比為的等比數(shù)列.(2)若等比數(shù)列的公比為,且項數(shù)為,則.探索導引: 等比數(shù)列中，已知，求，并考慮等式是否成立？ 說明：利用性質(1)可以快速的求出某些和.但在運用此性質時,要注意是成等比數(shù)列,而不是成等比數(shù)列.二、方法（一）等差數(shù)列前項和公式的應用理解例題1:在等比數(shù)列中，（1）已知求；（2）已知求；（3）已知求和；（4）已知求；分析:在等比數(shù)列中有五個重要量只要已知任意三個，就可以求出其他兩個.其中和兩個最重要的量,通常要先求出和.解:(1) .(2)，(3) ， (4) （2）÷（1）得 或 當時，當時

5、，知識體驗:已知等比數(shù)列的五個量中的任意三個求其他兩個時,要用等比數(shù)列的通項公式以其及前項和公式.（二）與等差數(shù)列前項和有關的性質的應用理解例題2:等比數(shù)列中,求.分析: 在有關等比數(shù)列的問題中, 均可化成有關、的關系列方程求解.本題中注意下標的關系,可考慮用等差數(shù)列前項和的有關性質來簡化運算.解法一: 由，可知（若） 解得， 解法二: 成等比數(shù)列 知識體驗: 在學習了等比數(shù)列前項和的有關性質后，我們用其來求解有關等差數(shù)列的前項和問題.方法提煉:求解該類問題一般有兩種方法:可化成有關、的關系列方程組求解.可利用等比數(shù)列中連續(xù)等段和成等比的性質即性質(1)求解.三、 例題（一） 題型分類全析1等

6、比數(shù)列前項和公式的基本運算例1：在等比數(shù)列的中:求公比,及. 思路直現(xiàn):由已知兩個條件，可建立關于的方程組，分別解出的值，代入即可求出.解:由已知可得 總結：在求數(shù)列的基本量問題時,把條件轉化成基本量解方程是解決數(shù)列問題的基本方法.例2 已知數(shù)列是等比數(shù)列,其前項和,若,求該數(shù)列的公比.思路直現(xiàn):由已知兩個條件，可建立關于的方程組，分別解出的值，代入即可求出.解: 若,則, ,此時 , 即, 即 故.筆記：在使用等比數(shù)列的前項和公式時,一定要注意公式的條件.若題目中不明確,應對進行討論.本題有關等比數(shù)列前項和的基本運算的考查.轉化為關于的方程組求解.本題考查了等比數(shù)列前項和公式的運用和分類討論

7、的思想.因不知的值,故對進行討論.2利用等差數(shù)列的性質求和例3：等比數(shù)列中，求?思路直現(xiàn):注意到,下標的關系,可考慮利用等比數(shù)列的性質解決.解: 是等比數(shù)列， 成等比 ，故故或注意到，同號,筆記：遇到類似下標成倍數(shù)關系的前項和問題,一般可考慮用等比數(shù)列中依次項和成等比數(shù)列來解決,可簡化計算量.在已知,利用這一性質求時,要考慮是否會出現(xiàn)增根的問題.例4 已知一個項數(shù)為偶數(shù),首項為1的等比數(shù)列,其奇數(shù)項的和為85,偶數(shù)項的和為170,求這個數(shù)列的公比及項數(shù).思路: 本題涉及到項數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列,且奇數(shù)項和與偶數(shù)項和都已知,由此利用等比數(shù)列的性質即可求出公比,進而求其通項.解：該數(shù)列是一項數(shù)為偶數(shù)

8、的等比數(shù)列 ，又故閱題筆記：利用等比數(shù)列奇、偶項數(shù)和的性質簡單明了，運算量較低.本題考查了等比數(shù)列連續(xù)等段和成等比的性質.利用等比數(shù)列分段和成等比.考慮是否兩解都滿足條件.建議：已知求時，盡量列方程求解，若用性質應考慮是否會出現(xiàn)增根.本題考查了等比數(shù)列的性質.注意這個性質是在項數(shù)為偶數(shù)這一前提下成立的.建議：巧用特例，熟記等差等比數(shù)列奇偶項的一些性質.3某些特殊數(shù)列的求和例5: (1)已知數(shù)列的通項公式，求該數(shù)列的前項和； (2)已知數(shù)列的通項公式，求該數(shù)列的前項和.解:(1) (2) =筆記:分組求和法適用于某些特殊數(shù)列的求和,這些特殊數(shù)列的通項是可寫成幾個等比數(shù)列或等差數(shù)列的和的形式.例6

9、：已知數(shù)列的通項公式，求該數(shù)列的前項和；思路:寫出數(shù)列的前項和注意其與等比數(shù)列形式類似，考慮用推導等比數(shù)列求和的方法來求其前項和.解： 筆記:錯位相減法適用與求一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的積組成的新數(shù)列的前項和.考查數(shù)列的分組求和問題.等差等比數(shù)列各自分組求和.不同公比的等比數(shù)列按公比各自分組求和建議：熟記幾種常見的數(shù)列求和類型及其對應方法.考查數(shù)列的錯位相減法求和的問題。建議：錯位相減法是高考的一個?？键c，平時訓練給予重視.（二）重點突破例7:（2007天津）在數(shù)列中，（）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（）求數(shù)列的前項和；（）證明不等式，對任意皆成立思路直現(xiàn): (1)由遞推關系式構造出數(shù)列,并證明其是

10、等比數(shù)列. (2)利用分組求和法求出的前項和. (3)考慮用作差法證明.()證明：由題設，得， 所以數(shù)列是首項為，且公比為的等比數(shù)列()解：由（）可知， ()證明：對任意的， 所以不等式，對任意皆成立筆記: 本題實際上第一步的證明起到一個提示的作用,即應從遞推關系出發(fā)構造出的形式,并證明其為等比數(shù)列.例8: （2007遼寧）已知數(shù)列，滿足，且,（I）令，求數(shù)列的通項公式；（II）求數(shù)列的通項公式及前項和公式思路:(1)由于要構造,故把已知兩式相加,即可得出規(guī)律. (2)由（I）提示,可考慮兩式相減.（）解：由題設可得， 即（） 易知是首項為，公差為的等差數(shù)列 （II）解：由題設得，令，則 易知

11、是首項為，公比為的等比數(shù)列 由解得 閱題: 這是一道創(chuàng)新題,題目較為新穎,遇見題目不要慌亂,其實(1)問已經提示解答本題的方法,應整體考慮.本小題考查等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列的通項公式及前項和公式、不等式的證明 利用遞推關系式證明數(shù)列成等比.利用分組求和法求和利用作差比較法證明不等式.建議：學會解題的技巧，有時候題目的提示往往在問題當中.本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎知識，考查基本運算能力兩式相加構造兩式相減構造列方程組求分組求和求建議：在學習中重視整體思想的訓練.四、習題一、選擇題1.（2008福建) 設是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若,則數(shù)列前7項的和為A.63B.64C.127D.12

12、82.（2008浙江）已知是等比數(shù)列，則=A. B. C. D. 3.（2008海南）設等比數(shù)列的公比，前項和為，則A. 2B. 4C. D. 4(2007陜西) 各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項和為，若則等于A.80B.30 C. 26 D.165（2006遼寧） 在等比數(shù)列中,前項和為,若數(shù)列也是等比數(shù)列,則等于A. B. C. D.6.數(shù)列的前項和為（ ）A.B.C.D.7.A.B.C.D.二、填空題8.等比數(shù)列共項，其和為，且奇數(shù)項的和比偶數(shù)項的和大80，則公比 9(2007全國) 等比數(shù)列的前項和為，已知，成等差數(shù)列，則的公比為10.若等比數(shù)列的前項和為滿足,則此數(shù)列的公比為三、解答題

13、11. （2007全國）設等比數(shù)列的公比，前項和為已知，求的通項公式12.(2008全國) 在數(shù)列中，（）設證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（）求數(shù)列的前項和13.已知數(shù)列滿足： 且（1）令，求的通項公式；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）求數(shù)列的前項和習題答案1. C. 分析：由及是公比為正數(shù)得公比，所以2. C. 分析：為等比數(shù)列， 設，是首項為8，公比為的等比數(shù)列. ，3. C 分析: 4. B 分析: 為等比數(shù)列，成等比 即或 各項均為正數(shù)，故，故， 成等比，所以，5. D 分析: 解：依題意，為首項為2，公比為的前項和，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式可得D6.C 分析：因數(shù)列為等比，則，因數(shù)列也是等比數(shù)列

14、，則，即，所以，故選擇答案C。7.A 分析： 8.B分析: 設， 則兩式相減得 9. 分析:由題意可知因為等比數(shù)列共項，10. 分析：假設塔每層有盞，塔尖有盞，由題意知道數(shù)列為公比為2的等比數(shù)列， ，11. 分析：，即解得的公比12. 分析 數(shù)列為等比數(shù)列，故成公比為的等比數(shù)列，故有,13. 分析:,確定,等比數(shù)列唯一確定.由,得即不能唯一確定,從而該數(shù)列不能唯一確定.,為奇數(shù)時,為偶數(shù),不唯一,而該數(shù)列不能唯一確定.唯一確定,等比數(shù)列唯一確定故滿足題意.14.分析：由條件列出關于的方程組求解進而得出結論.解：由題設知，則 由得，因為，解得或當時，代入得，通項公式；當時，代入得，通項公式點撥:等比數(shù)列求基本量的題目都可轉化為關于的方程組解題.當然,應在解題過程中注意有關性質的應用,可簡化計算量.15.分析:利用遞歸關系式構造等差數(shù)列,進而求出數(shù)列的通項公式,利用錯位相減法求其前項和.解：（1）， ， ， 則為等差數(shù)列， ，（2） 兩式相減，得 點撥:在求解題目的過程中,不應把思路集中在題目的條件上,有時考慮一下題目的問題上,往往會有“暮然回首，那人卻在燈火闌珊處”的感