平面幾何基本定理講解

1、一平面幾何1勾股定理（畢達(dá)哥拉斯定理） （廣義勾股定理） （1） 銳角對邊 的平方，等于其他兩邊之平方和，減去這兩邊中的一邊和另 一邊在這邊上的射影乘積的兩倍（2）鈍角對邊的平方等于其他兩邊的平方和，加上這兩邊中的一邊與另一邊在這邊上 的射影乘積的兩倍1523射影定理（歐幾里得定理）中線定理巴布斯定理）設(shè) ABC 的邊 BC 的中點(diǎn)為 P，則45有 AB 2AC2 2(AP 2 BP 2) ；16二圓相交，則該軌跡是此二圓的公共弦所在直線”這個(gè)結(jié) 論這條直線稱為兩圓的 “根軸”三個(gè)圓兩兩的根軸如果不2b 2 2c2 a 22 垂線定理： AB CD AC2 AD2 BC 2 BD2 高 線 長

2、中線長：17ma2 bchap(p a)( p b)( p c) sin A csin BaabsinC角平分線定理：三角形一個(gè)角的平分線分對邊所成的兩條線 段與這個(gè)角的兩邊對應(yīng)成比例18如 ABC 中，AD平分 BAC，則 BDDCAB ；（外角平分線AC定理）角平分線長：tac bcp( pa)2bc cos A(其中 c2p 為周長一半）6正弦定理：7sin A形外接圓半徑）2c余弦定理：8張角定理：sin91011121314sinBa2 b22R， sinC其中 R 為三角互相平行， 則它們交于一點(diǎn)， 這一點(diǎn)稱為三圓的“根心” 三 個(gè)圓的根心對于三個(gè)圓等冪當(dāng)三個(gè)圓兩兩相交時(shí)，三條公

3、共弦 （就是兩兩的根軸 ）所在直線交于一點(diǎn)托勒密（ Ptolemy ）定理：圓內(nèi)接四邊形對角線之積等于兩 組對邊乘積之和，即AC·BD=AB·CD+AD·BC， （逆命題成立） （廣義托勒密定理） AB·CD+AD·BCAC ·BD 蝴蝶定理： AB是 O的弦， M 是其中點(diǎn)，弦 CD、EF 經(jīng)過 點(diǎn) M，CF、DE 交 AB 于 P、 Q，求證： MP=QM費(fèi)馬點(diǎn)： 定理 1 等邊三角形外接圓上一點(diǎn)， 到該三角形較近 兩頂點(diǎn)距離之和等于到另一頂點(diǎn)的距離；不在等邊三角形外 接圓上的點(diǎn)，到該三角形兩頂點(diǎn)距離之和大于到另一點(diǎn)的距 離 定理

4、 2 三角形每一內(nèi)角都小于 120°時(shí)，在三角形內(nèi)必 存在一點(diǎn)，它對三條邊所張的角都是 120 °，該點(diǎn)到三頂點(diǎn) 距離和達(dá)到最小， 稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”，當(dāng)三角形有一內(nèi)角不小于 120°時(shí)，此角的頂點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)拿破侖三角形：在任意 ABC 的外側(cè)，分別作等邊 ABD、 BCE、 CAF，則 AE、AB、CD 三線共點(diǎn)，并且 AEBF CD，這個(gè)命題稱為拿破侖定理以 ABC 的三條邊分別向外作等邊 ABD、BCE、CAF ，它們的外接圓 C1 、 A1 、 B1 的圓心構(gòu)成的外拿破侖的三角形， C1 、 A1 、 B1三圓共點(diǎn)，外拿破侖三角形是一個(gè)等邊三角形； ABC 的

5、三條邊分別向 ABC 的內(nèi)側(cè)作等邊 ABD、BCE、 CAF ，它們的外接圓 C2 、 內(nèi)拿破侖三角形， C2 、 破侖三角形也是一個(gè)等邊三角形 有相同的中心 A2 、B2 的圓心構(gòu)成的 A2 、 B2 三圓共點(diǎn)，內(nèi)拿 這兩個(gè)拿破侖三角形還具2ab cosC19BAC sin BAD sin AD AC ABDAC（Stewart）定理：設(shè)已知 ABC 及其底邊上 B、 C 2·BC斯特瓦爾特兩點(diǎn)間的一點(diǎn) D，則有 AB2· DC + AC2· BD ADBC·DC ·BD圓周角定理：同弧所對的圓周角相等，等于圓心角的一 半（圓外角如何轉(zhuǎn)化？）

6、弦切角定理：弦切角等于夾弧所對的圓周角 圓冪定理：（相交弦定理：垂徑定理：切割線定理（割線定 理）：切線長定理：）布拉美古塔（ Brahmagupta ）定理： 在圓內(nèi)接四邊形 ABCD 中， ACBD ，自對角線的交點(diǎn) P 向一邊作垂線，其延長線 必平分對邊點(diǎn)到圓的冪：設(shè) P為O 所在平面上任意一點(diǎn)， PO=d， O的半徑為 r，則 d2 r2就是點(diǎn) P對于 O的冪過 P任作 一直線與 O 交于點(diǎn) A、B，則 PA·PB= |d2 r2|“到兩圓等 冪的點(diǎn)的軌跡是與此二圓的連心線垂直的一條直線，如果此20212223九點(diǎn)圓（ Nine point round 或歐拉圓或費(fèi)爾巴赫圓）

7、 ：三角形 中，三邊中心、從各頂點(diǎn)向其對邊所引垂線的垂足，以及垂 心與各頂點(diǎn)連線的中點(diǎn)，這九個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，九點(diǎn)圓具 有許多有趣的性質(zhì) ,例如 :（1）（2）點(diǎn)三角形的九點(diǎn)圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半九點(diǎn)圓的圓心在歐拉線上 ,且恰為垂心與外心連線的中（3）費(fèi)爾巴哈定理歐拉（ Euler ）線：三角形的外心、重心、九點(diǎn)圓圓心、垂 心依次位于同一直線（歐拉線）上三角形的九點(diǎn)圓與三角形的內(nèi)切圓 , 三個(gè)旁切圓均相切歐拉（ Euler）公式：設(shè)三角形的外接圓半徑為 R，內(nèi)切圓半 徑為 r ，外心與內(nèi)心的距離為 d，則 d2=R2 2Rr 銳角三角形的外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑的和等于外心到各 邊距離

8、的和重心：三角形的三條中線交于一點(diǎn)，成 2： 1 的兩部分； G（xAxB xC并且各中線被這個(gè)點(diǎn)分yAyByC )第 頁 共 20 頁 2020-2-20重心性質(zhì)：（ 1）設(shè) G 為 ABC 的重心，連結(jié) AG 并延長交4）設(shè) I 為 ABC 的內(nèi)心， BCa, AC b, AB c,BC 于 D，則 D 為 BC 的中點(diǎn)，則 AG:GD 2:1；A 平分線交 BC 于 D，交 ABC 外接圓于點(diǎn) K，則2 ） 設(shè) G 為 ABC 的 重 心 ， 則AI AK IK b cS ABG S BCGS ACG1SS ABC3ID KI KD a5)設(shè) I 為ABC 的內(nèi)心，BC a,AC b,A

9、B c, I（3）設(shè) G為ABC的重心，過G 作DEBC交 AB于 D， 交 AC于 E，過 G作 PFAC 交 AB于P，交 BC于 F，過G作HK AB 交AC 于K， 交 BC 于 H， 則DEFPKH2; DEFPKH2（4）設(shè)BCCAAB3; BCCAAB在 BC,AC, AB上的射影分別為 D,E,F，內(nèi)切圓半徑為r，令p 1(a b2c) SABC pr ； AEAFp a;BDBFpb;CE CD p c；abcrp AI BICI G 為 ABC 的重心，則2 2 2 2 2 2BC23GA2CA23GB2AB23GC 22 2 2 1 2 2 2GA2 GB2 GC 2(A

10、B2 BC2 CA2)32 2 2 2 2 2 2PA2PB2PC2GA2GB2GC23PG2( P 為ABC 內(nèi)任意一點(diǎn)) ；26 外心： 三角形的三條中垂線的交點(diǎn)外接圓圓心， 即外心 到三角形各頂點(diǎn)距離相等；sin 2 AxA sin2BxB sin 2CxC sin 2AyA sin 2ByB sin2A sin2B sin2C sin2A sin2B外心性質(zhì)：（1）外心到三角形各頂點(diǎn)距離相等到三角形三頂點(diǎn)距離的平方和最小的點(diǎn)是重心，即 2 2 2GA2 GB2 GC2 最?。?三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn)是重心；反之亦然（即滿足 上述條件之一，則 G為ABC 的重心）2）設(shè) O 為A

11、BC 的外心，則 BOC 2 A 或BOC 360 2 A（ 3） Rabc ；（4）銳角三角形的外心到三邊的4S24 垂 心三角形的三條高線的交點(diǎn)距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和H(axAcos AabxB cos B bccosCxCcos A cos B cos C27 旁心：一內(nèi)角平分線與兩外角平分線交點(diǎn)旁切圓圓心；a y b y c ycosA yA cosB yB cos設(shè)C yC）ABC 的 三 邊 BC a, AC b, AB c, 令 a b c 1cos A cos B cosCp 2（a b c） ，分別與 BC,AC, AB外側(cè)相切的旁切垂心性質(zhì)：（1）三角形任一頂

12、點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到 對邊的距離的 2 倍（2）垂心 H 關(guān)于 ABC 的三邊的對稱點(diǎn)， 均在ABC 的外接圓上；（3） ABC 的垂心為 H，則ABC， ABH，BCH，ACH 的外接圓是等圓；（4）設(shè) O，H 分別為ABC 的外心和垂 心， BAO HAC, CBO ABH, BCO HCA 25 內(nèi)心： 三角形的三條角分線的交點(diǎn)內(nèi)接圓圓心，即內(nèi)心到三角形各邊距離相等圓圓心記為 I A,IB,IC ，其半徑分別記為 rA,rB,rC 旁心性質(zhì)（1）BIAC901A, BI BCBICC1A,（對2B2于頂角B，C 也有類似的式子）（2）IAIBIC11 ( A C)2（3）設(shè)AIA的

13、 連 線 交 ABC的外接圓于D，則28 三角形面積公式1 CS ABC ABC1aha1absin Cabc22R2 sin A sin B sin C2224R222abcI（axA bxB cxC ,ayA byB cyC ）a b c a b c 內(nèi)心性質(zhì)：（1）設(shè) I 為ABC 的內(nèi)心，則 I 到ABC 三邊的 距離相等，反之亦然（ 2 ） 設(shè) I 為 ABC 的 內(nèi) 心 ， 則11BIC 90 A, AIC 90 B, AIB 9022（3）三角形一內(nèi)角平分線與其外接圓的交點(diǎn)到另兩頂點(diǎn)的DI A DB DC （對于 BIB,CIC 有同樣的結(jié)論）（4）ABC 是IAIBIC 的垂足

14、三角形， 且IAIBIC 的外接圓半 徑 R' 等于 ABC 的直徑為 2R距離與到內(nèi)心的距離相等；反之，若A 平分線交 ABC外接圓于點(diǎn) K， I 為線段 AK 上的點(diǎn)且滿足 KI=KB ，則 I 為 ABC 的內(nèi)心4(cot A cotB cotC)pr p(p a)(p b)(p c) ，其中 ha 表示 BC 邊上的第 頁 共 20 頁 2020-2-20293031323334353637383940414243高，R 為外接圓半徑， r 為內(nèi)切圓半徑， p 1（a b c）2于邊 BC、CA、AB 的對稱點(diǎn)和 ABC的垂心 H 同在一條（與 西摩松線平行的）直線上這條直線被

15、叫做點(diǎn)P 關(guān)于 ABC三角形中內(nèi)切圓，旁切圓和外接圓半徑的相互關(guān)系r 4RsinAsinBsinC;ra 4Rsin AcosBcosC,rb2 2 2 a 2 2 2 b的鏡象線44 牛A頓定理B1：四C邊形兩條對邊的延長A線的交B點(diǎn)所連C線段的中 4Rco點(diǎn)s和2兩si條n對2角c線os的2中,點(diǎn)rc，三4點(diǎn)R共c線os2這c條o直s線2叫si做n這2個(gè);四邊 形的牛頓線rrr1aBCbACcAB ; ratan tantan tantan tana222222梅涅勞斯（ Menelaus）定理：設(shè) ABC 的三邊 BC、CA、AB 或其延長線和一條不經(jīng)過它們?nèi)我豁旤c(diǎn)的直線的交點(diǎn)分別為 P

16、、Q、R 則有 BP CQ AR 1（逆定理也成立）PC QA RB 梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理 1：設(shè)ABC 的A 的外角平分線 交邊 CA 于 Q， C的平分線交邊 AB于 R， B的平分線交 邊 CA 于 Q，則 P 、Q、R 三點(diǎn)共線 梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理 2：過任意 ABC 的三個(gè)頂點(diǎn) A、 B、C 作它的外接圓的切線，分別和 BC、CA、AB 的延長線 交于點(diǎn) P、Q、R，則 P、Q、R 三點(diǎn)共線 塞瓦（ Ceva）定理：設(shè) X、Y、Z分別為 ABC的邊 BC 、CA、 AB 上的一點(diǎn)，則 AX、 BY、CZ 所在直線交于一點(diǎn)的充要條AZ BX CY 件是ZABZ·XBXC

17、·YCAY=1 塞瓦定理的應(yīng)用定理： 設(shè)平行于 ABC 的邊 BC 的直線與兩 邊AB、AC的交點(diǎn)分別是 D、E，又設(shè) BE和CD交于 S，則 AS一定過邊 BC 的中點(diǎn) M 塞瓦定理的逆定理： （略） 塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理 1：三角形的三條中線交于一 點(diǎn)，三角形的三條高線交于一點(diǎn)，三角形的三條角分線交于 一點(diǎn)塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理2：設(shè) ABC 的內(nèi)切圓和邊BC、CA、AB分別相切于點(diǎn) R、S、 T，則 AR、BS、CT 交于 一點(diǎn)西摩松（ Simson）定理：從 ABC 的外接圓上任意一點(diǎn) P 向三邊 BC、CA、AB 或其延長線作垂線， 設(shè)其垂足分別是 D 、 E、R

18、，則 D、E、R 共線，（這條直線叫西摩松線 Simson line） 西摩松定理的逆定理： （略）關(guān)于西摩松線的定理 1： ABC 的外接圓的兩個(gè)端點(diǎn) P、Q 關(guān)于該三角形的西摩松線互相垂直，其交點(diǎn)在九點(diǎn)圓上 關(guān)于西摩松線的定理 2（安寧定理）：在一個(gè)圓周上有 4 點(diǎn)， 以其中任三點(diǎn)作三角形，再作其余一點(diǎn)的關(guān)于該三角形的西 摩松線，這些西摩松線交于一點(diǎn)史坦納定理：設(shè) ABC 的垂心為 H，其外接圓的任意點(diǎn) P， 這時(shí)關(guān)于 ABC的點(diǎn) P的西摩松線通過線段 PH 的中心 史坦納定理的應(yīng)用定理： ABC 的外接圓上的一點(diǎn) P 的關(guān)451 牛1頓定理1 2：圓外切四邊形的兩條對角線的中點(diǎn)，及該圓的

19、rb 圓心rc ，三r點(diǎn). 共線46 笛沙格定理 1：平面上有兩個(gè)三角形 ABC、 DEF ，設(shè)它 們的對應(yīng)頂點(diǎn)（ A 和 D、 B 和 E、C 和 F）的連線交于一點(diǎn)， 這時(shí)如果對應(yīng)邊或其延長線相交，則這三個(gè)交點(diǎn)共線47 笛沙格定理 2：相異平面上有兩個(gè)三角形 ABC、 DEF ， 設(shè)它們的對應(yīng)頂點(diǎn)（ A和 D、B和 E、C和 F）的連線交于一 點(diǎn)，這時(shí)如果對應(yīng)邊或其延長線相交，則這三個(gè)交點(diǎn)共線48 波朗杰、騰下定理：設(shè) ABC 的外接圓上的三點(diǎn)為 P、Q、 R，則 P、Q、R關(guān)于ABC 交于一點(diǎn)的充要條件是：弧 AP+ 弧 BQ+弧 CR=0（mod2 ） 49 波朗杰、騰下定理推論 1：

20、設(shè) P、Q、R 為ABC 的外接圓 上的三點(diǎn)，若 P、 Q、 R 關(guān)于 ABC 的西摩松線交于一點(diǎn)， 則 A、B、C 三點(diǎn)關(guān)于 PQR 的的西摩松線交于與前相同的 一點(diǎn)50 波朗杰、騰下定理推論 2：在推論 1 中，三條西摩松線的交 點(diǎn)是 A、B、C、P、Q、R 六點(diǎn)任取三點(diǎn)所作的三角形的垂心 和其余三點(diǎn)所作的三角形的垂心的連線段的中點(diǎn)51 波朗杰、騰下定理推論 3：考查 ABC 的外接圓上的一點(diǎn) P 的關(guān)于ABC 的西摩松線，如設(shè) QR為垂直于這條西摩松線 該外接圓的弦，則三點(diǎn) P、 Q、 R 的關(guān)于 ABC 的西摩松線 交于一點(diǎn)52 波朗杰、騰下定理推論 4：從 ABC 的頂點(diǎn)向邊 BC、

21、CA、 AB 引垂線，設(shè)垂足分別是 D、 E、 F，且設(shè)邊 BC、CA、AB 的中點(diǎn)分別是 L、M、 N，則 D、E、F、 L、 M、N 六點(diǎn)在同 一個(gè)圓上，這時(shí) L、 M、N 點(diǎn)關(guān)于關(guān)于 ABC 的西摩松線交 于一點(diǎn)53卡諾定理：通過 ABC 的外接圓的一點(diǎn) P，引與 ABC 的三 邊 BC、CA、AB 分別成同向的等角的直線 PD、PE、PF，與 三邊的交點(diǎn)分別是 D、E、F，則 D、E、F 三點(diǎn)共線54 奧倍爾定理：通過 ABC 的三個(gè)頂點(diǎn)引互相平行的三條直 線，設(shè)它們與 ABC 的外接圓的交點(diǎn)分別是 L、 M、N，在 ABC 的外接圓上取一點(diǎn) P，則 PL、PM 、PN 與ABC 的

22、三邊 BC、CA、AB 或其延長線的交點(diǎn)分別是 D、E、F，則 D、 E、F 三點(diǎn)共線55 清宮定理：設(shè) P、Q 為 ABC 的外接圓的異于 A、B、 C 的 兩點(diǎn)， P點(diǎn)的關(guān)于三邊 BC、CA、AB 的對稱點(diǎn)分別是 U、V、 W，這時(shí)， QU、 QV、QW 和邊 BC、 CA、 AB 或其延長線的 交點(diǎn)分別是 D、E、F，則 D、E、F 三點(diǎn)共線56他拿定理：設(shè) P、Q 為關(guān)于 ABC 的外接圓的一對反點(diǎn)，點(diǎn)第 頁 共 20 頁 2020-2-205758596061626364656667681·4P 的關(guān)于三邊 BC、 CA、AB 的對稱點(diǎn)分別是 U、V、W，這 時(shí)，如果 QU

23、 、QV、QW 和邊 BC、CA、AB 或其延長線的交 點(diǎn)分別是 D、 E、F，則 D、E、F 三點(diǎn)共線(反點(diǎn)： P、Q 分別為圓 O的半徑 OC和其延長線的兩點(diǎn)， 如果 OC2=OQ×OP 則稱 P、Q 兩點(diǎn)關(guān)于圓 O 互為反點(diǎn)) 朗古來定理：在同一圓周上有A1、B1、C1、D1 四點(diǎn)，以其中任三點(diǎn)作三角形，在圓周取一點(diǎn) P，作 P 點(diǎn)的關(guān)于這 4 個(gè) 三角形的西摩松線，再從 P 向這 4 條西摩松線引垂線，則四 個(gè)垂足在同一條直線上從三角形各邊的中點(diǎn)， 向這條邊所對的頂點(diǎn)處的外接圓的切 線引垂線，這些垂線交于該三角形的九點(diǎn)圓的圓心 一個(gè)圓周上有 n 個(gè)點(diǎn)，從其中任意 n1 個(gè)點(diǎn)的

24、重心，向該 圓周的在其余一點(diǎn)處的切線所引的垂線都交于一點(diǎn)康托爾定理 1：一個(gè)圓周上有 n 個(gè)點(diǎn)，從其中任意 n2 個(gè) 點(diǎn)的重心向余下兩點(diǎn)的連線所引的垂線共點(diǎn)康托爾定理 2：一個(gè)圓周上有 A、B、 C、 D 四點(diǎn)及 M 、N 兩 點(diǎn)，則 M 和 N 點(diǎn)關(guān)于四個(gè)三角形 BCD、 CDA、DAB、 ABC 中的每一個(gè)的兩條西摩松線的交點(diǎn)在同一直線上這條直線叫做 M 、N 兩點(diǎn)關(guān)于四邊形 ABCD 的康托爾線 康托爾定理 3：一個(gè)圓周上有 A、 B、 C、D 四點(diǎn)及 M、N、 L三點(diǎn)，則 M、 N兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形 ABCD 的康托爾線、 L、 N 兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形 ABCD 的康托爾線、 M 、L 兩

25、點(diǎn)的關(guān)于 四邊形 ABCD 的康托爾線交于一點(diǎn)這個(gè)點(diǎn)叫做M、 N、L三點(diǎn)關(guān)于四邊形 ABCD 的康托爾點(diǎn)康托爾定理 4：一個(gè)圓周上有 A、B、 C、D、 E 五點(diǎn)及 M、 N、L 三點(diǎn)，則 M、N、 L 三點(diǎn)關(guān)于四邊形 BCDE、 CDEA 、 DEAB、EABC 中的每一個(gè)康托爾點(diǎn)在一條直線上 這條直線 叫做 M、N、L 三點(diǎn)關(guān)于五邊形 A、B、C、D、E 的康托爾線 費(fèi)爾巴赫定理：三角形的九點(diǎn)圓與內(nèi)切圓和旁切圓相切 莫利定理： 將三角形的三個(gè)內(nèi)角三等分， 靠近某邊的兩條三 分角線相得到一個(gè)交點(diǎn)，則這樣的三個(gè)交點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)正 三角形這個(gè)三角形常被稱作莫利正三角形 布利安松定理：連結(jié)外切于圓

26、的六邊形 ABCDEF 相對的頂 點(diǎn) A和 D、B和 E、C和 F，則這三線共點(diǎn)帕斯卡( Paskal)定理：圓內(nèi)接六邊形 ABCDEF 相對的邊 AB 和 DE、BC 和 EF、CD 和 FA 的(或延長線的) 交點(diǎn)共線 阿波羅尼斯( Apollonius )定理：到兩定點(diǎn) A 、B 的距離之比 為定比 m：n(值不為 1)的點(diǎn) P ，位于將線段 AB 分成 m：n 的內(nèi)分點(diǎn) C 和外分點(diǎn) D 為直徑兩端點(diǎn)的定圓周上 這個(gè)圓稱 為阿波羅尼斯圓69 庫立奇 *大上定理：( 圓內(nèi)接四邊形的九點(diǎn)圓) 圓周上有四點(diǎn)， 過其中任三點(diǎn)作三角形，這四個(gè)三角形的九點(diǎn)圓圓心都在同 一圓周上，我們把過這四個(gè)九點(diǎn)

27、圓圓心的圓叫做圓內(nèi)接四邊 形的九點(diǎn)圓70 密格爾( Miquel )點(diǎn)： 若 AE、AF、ED、FB 四條直線相交 于 A、B、C、D 、E、F 六點(diǎn)，構(gòu)成四個(gè)三角形， 它們是 ABF 、 AED 、 BCE、 DCF ，則這四個(gè)三角形的外接圓共點(diǎn)， 這個(gè)點(diǎn)稱為密格爾點(diǎn)71 葛爾剛( Gergonne)點(diǎn)： ABC 的內(nèi)切圓分別切邊 AB、BC、 CA 于點(diǎn) D、E、F，則 AE、BF、CD 三線共點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)稱為 葛爾剛點(diǎn)72歐拉關(guān)于垂足三角形的面積公式： O是三角形的外心， M 是 三角形中的任意一點(diǎn)， 過 M 向三邊作垂線， 三個(gè)垂足形成的 三角形的面積，其公式： S DEF |R2 d2

28、 | S ABC 4R二集合1. 元素與集合的關(guān)系x A x CU A , x CU Ax A .2. 德摩根公式CU (AI B) CU AUCU B;CU (AU B) CU AI CUB3. 包含關(guān)系A(chǔ)I B A AUB BA BCU B CU AAI CUBCUAU B R4.集合a1,a2,L ,an 的子集個(gè)數(shù)共有 2n 個(gè)；真子集有2n 1個(gè)；非空子集有 2n 1個(gè)；非空的真子集有 2n2 個(gè).5.集合 A中有 M個(gè)元素，集合 B 中有 N個(gè)元素，則可以構(gòu)造 M*N 個(gè)從集合 A到集合 B 的映射；6. 容斥原理card (AUB) cardA cardB card ( A I

29、B) card(AUBUC) cardA cardB cardC card (A I B) card ( A I B) card(BI C) card(CI A) card ( A I BI C)(3) 零點(diǎn)式 f (x) a(x x1)(x x2)(a 0) .三二次函數(shù)，二次方程二次函數(shù)的解析式的三種形式2(1) 一般式 f (x) ax2 bx c(a 0) ;2(2) 頂點(diǎn)式 f (x) a(x h)2 k(a 0);2·解連不等式 N f (x) M 常有以下轉(zhuǎn)化形式N f(x) M| f(x)N| f(x) M f (x) N 0MN2f (x) NM f (x)第 頁

30、共 20 頁 2020-2-201 1 .f(x) N M N3·方程 f(x) 0在(k1,k2) 上有且只有一個(gè)實(shí)根, 與f(k1)f(k2) 0不等價(jià) ,前者是后者的一個(gè)必要而不是充分條件 . 特別地 , 方程 ax 2 bx c 0(a 0) 有且只有一個(gè)(3)方程 f (x) 0 在區(qū)間 ( ,n) 內(nèi)有根的充要條件為 p2 4q 0 f (m) 0 或 p .m26·定區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式恒成立的條件依據(jù)實(shí)根在 (k1,k2) 內(nèi),等價(jià)于 f(k1) f(k2)且k1bk1 k22a2k1k2bk2 .22a4·閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值0,或 f

31、(k1)f (k2) 0二次函數(shù)f (x)ax2 bxc(a0) 在閉區(qū)間 p,q 上的最值只能在xbb 處及區(qū)間的兩端點(diǎn)處取得，具體如下：2ab p,q ，(1) 當(dāng)a>0時(shí)，若x則2a，不同)上含參數(shù)的二次不等式f (x,t)0 ( t 為參數(shù))恒成立的充要條件是f (x,t)min 0(xL).(2) 在給定區(qū)間 () 的子區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式f (x,t)0 ( t 為參數(shù))恒成立的充要條件是f (x,t)man 0(xL).(3)f (x) ax4b2 xc0 恒成立的 充要條件是(1) 在給定 區(qū)間 ( , ) 的 子區(qū)間 L (形如0 或 b204acf(x)minf(

32、), f(x)max2amaxf(p), f (q) ；xb2ap,q ， f (x)maxmaxf (p), f (q) ，f (x)minminf (p), f (q) .(2)當(dāng) a<0 時(shí) ， 若xbp,q ， 則2af (x)minminf(p), f(q) ，若xb p,q ，則2af (x) maxmax f (p), f (q)f (x)minminf(p), f(q) .5·一元二次方程的實(shí)根分布1·真值表2·常見結(jié)論的否定形式非或且真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假四簡易邏輯依據(jù)：若 f (m)f (n) 0，則方程 f (x) 0

33、在區(qū)間(m,n) 內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根設(shè) f(x) x2 px q ，則(1)方程 f (x) 0在區(qū)間 (m, ) 內(nèi)有根的充要條件為 p2 4q 0 f(m) 0 或p ；m2(2)方程 f (x) 0 在區(qū)間 (m,n) 內(nèi)有根的充要條件為f(m)f (n) 0 或f (m) 0f (n) 0p2 4q 0 或 p mn2f (m)af(n)f(n) 0af(m) 0原結(jié)論反設(shè)詞原結(jié)論反設(shè)詞是不是至少有一個(gè)一個(gè)也沒有都是不都是至多有一個(gè)至少有兩個(gè)大于不大于至少有n個(gè)至多有( n 1)個(gè)小于不小于至多有n個(gè)至少有( n 1)個(gè)對所有x，成立存在某x，不成立p或qp 且 q對任何 x， 不成立存

34、在某x，成立p且qp 或 q3·四種命題的相互關(guān)系5第 頁 共 20 頁 2020-2-204·充要條件(1)充分條件：若(2)必要條件：若(3)充要條件：若 p 條件.注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦 然.q ，則 p 是 q 充分條件 . p ，則 p 是 q 必要條件 .q ，且 qp ，則 p 是 q 充要(1) 函 數(shù) yf (x) 的 圖 象 關(guān) 于 直 線 x a 對 稱f (ax)f (a x)f (2ax)f (x) .(2) 函數(shù)yf(x) 的 圖 象 關(guān) 于 直 線 xab對稱2f (amx)f(b mx)五函數(shù)1·函數(shù)的

35、單調(diào)性(1) 設(shè) x1 x2 a,b,x1 x2 那么(x1x2) f(x1)f (x2)0f (x1)f(x2) 0f (x)在a,b 上是增函數(shù)；x1x2(x1x2) f(x1)f (x2)0f (x1)f (x2) 0f (x)在a,b 上是減函數(shù) .x1x2(2) 設(shè)函數(shù) y f (x) 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)， 如果 f (x)則 f(x)為增函數(shù)；如果f (x)0 ，則 f(x) 為減函數(shù)2·如果函數(shù) f(x) 和 g(x) 都是減函數(shù) ,則在公共定義域內(nèi) , 和函 數(shù)0，f (a b mx) f (mx) .9 兩個(gè)函數(shù)圖象的對稱性(1) 函數(shù) y f (x) 與函數(shù) y f

36、( x) 的圖象關(guān)于直線x 0(即 y 軸)對稱.(2) 函數(shù) y f (mx a) 與函數(shù) y f (b mx) 的圖象 ab關(guān)于直線 x a b 對稱 .2m1(3)函數(shù) y f(x)和 y f 1 (x)的圖象關(guān)于直線 y=x 對 稱.10 若將函數(shù) y f (x)的圖象右移 a、上移 b個(gè)單位，得到 函數(shù) y f(x a) b的圖象；若將曲線 f(x,y) 0 的 圖 象 右 移 a 、 上 移 b 個(gè) 單 位 ， 得 到 曲 線11f(x) g(x) 也是減函數(shù); 如果函數(shù) y f(u) 和 g(x)在其對應(yīng)的定義域上都是減函數(shù), 則復(fù)合函數(shù) fg(x) 是增函數(shù) .12y3

37、3;奇偶函數(shù)的圖象特征奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y 軸對稱 ; 在對稱區(qū)間上， 奇函數(shù)的單調(diào)性相同， 歐函數(shù)相反；，如果一個(gè)函 數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個(gè)函數(shù) 的圖象關(guān)于 y 軸對稱，那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)，如果一個(gè)奇函數(shù) 的定義域包括 0，則必有 f(0)=0;4 若函數(shù) y f (x) 是偶函數(shù)，則 f (x a) 若函數(shù) y f(x a)是偶函數(shù)，則 f (x 5· 對于函數(shù) y f (x)( x R), f (xa)a)a)；a).x) 恒f (x a,y b) 0的圖象 . 互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系 f (a) b 若 函 數(shù) y

38、11 f 1(x)k1f 1(b) a.f (kx b) 存 在 反 函 數(shù) , 則 其 反 函 數(shù) 為b , 并 不 是 y1 f 1(kx b) 是 y1k1f(x)成立, 則函數(shù) f (x)的對稱軸是 函數(shù) xf ( x f ( x f (b b b ; 兩 個(gè) 函數(shù) f 1(kx b) , 而 函 數(shù)b 的反函數(shù) .y f(x a) 與abx 對稱 .26·若 f (x)f (a,0)對稱; 若 f (x) 2期為 2a 的周期函數(shù) .7 多項(xiàng)式函數(shù) P(x)f(b x) 的a) , 則函數(shù) yf(xnanxan多項(xiàng)式函數(shù) P(x) 是奇函數(shù)的系數(shù)全為零 .多項(xiàng)式函數(shù) P(x

39、) 是偶函數(shù)的系數(shù)全為零 .8 函數(shù) y f (x) 的圖象的對稱性2圖象關(guān)于直線f (x) 的圖象關(guān)于點(diǎn)a) , 則函數(shù) yf (x) 為周n11xn 1 L a0 的奇偶性 P(x) 的偶次項(xiàng) ( 即奇數(shù)項(xiàng) )P(x) 的奇次項(xiàng) ( 即偶數(shù)項(xiàng) )(1)正比例函數(shù)f (x)cx, f (x y)f (x) f (y), f(1) c .(2)指數(shù)函數(shù)f (x)ax, f (x y)f (x) f(y), f(1) a 0 .(3)對數(shù)函數(shù)f (x)logaxf (xy)f(x) f(y), f(a) 1(a 0,a 1).(4)冪函數(shù)f (x)x , f (xy)f(x)f(y), f

40、9;(1) .(5)余弦函數(shù) f (x)cosx , 正弦函數(shù) g(x) sinx，f(xy) f(x)f (y) g(x)g(x)g(y) ，f (0)1,limx 0 x1.y幾個(gè)常見的函數(shù)方程13( 約定 a>0)14 幾個(gè)函數(shù)方程的周期1) f (x)f(xa)2)1f(x a)，則 f(x) 的周期 T=a；f (x) f (x a) 0f (x)( f(x) 0)，f(x a)f(x)(f(x) 0)第 頁 共 20 頁 2020-2-202 f(x) f 2(x) f(x a),( f(x) 0,1 ) f(x) 的周期 T=2a；(3)f (x)11 1( f (x)f(

41、x a)0) ，則 f (x) 的周期T=3a；(4)f (x1 x2) f (x1)f (x2)1 f(x1)f (x2)f(a) 的周期 T=4a；(5) f(x) f(x a) f(x 2a)f(x 3a) f(x 4a)1(f (x1) f (x2) 1,0 |x1 x2| 2a)，則 f (x)(3) loga M n nloga M(n R) .27 · 設(shè) 函 數(shù) f(x) log m (ax 2 bx c)(a 0) , 記 2b2 4ac. 若 f (x) 的定義域?yàn)?R,則 a 0，且 0; 若 f (x) 的值域?yàn)?R, 則 a 0，且 0. 對于 a 0 的情

42、形 , 需要單獨(dú)檢驗(yàn) .8·對數(shù)換底不等式及其推廣1若 a 0 , b 0 , x 0 , x , 則 函 數(shù)ay log ax(bx)f(x)f(x a)f(x 2a)f(x 3a)f(x 4a),則 f(x) 的 周期 T=5a；(6) f (x a) f (x) f (x a) ， 則 f (x) 的 周 期 T=6a.六1·分?jǐn)?shù)指數(shù)冪m(1) a n指數(shù)與對數(shù)m(2) a n1nma1a 0,m,nN ，且 n 1 ) .(1) 當(dāng)ab時(shí),在 (0, )和( ,)上ylog ax (bx)aa為增函數(shù) .， (2) 當(dāng)a1 b時(shí), 在(0, )1 和(1,) 上 y

43、log ax (bx)aa為減函數(shù) .推論:設(shè)nm 1 ， p0，a0 ，且 a1，則(1)logm p (np) logm n .(2)logamlogan loga2 m2 n9·平均增長率的問題m a 0,m,n anN ，且 n 1 ) .如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為 N，平均增長率為 p ，則對于時(shí)間2·根式的性質(zhì)(1) (n a)na.2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)， n an a；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， n an|a|a,a 0a,a 0x 的總產(chǎn)值 y ，有 y N(1 p) .39. 數(shù)列的同項(xiàng)公式與前 n項(xiàng)的和的關(guān)系s1,n 1an1 ( 數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)的和 為sn sn

44、1,n 23·有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1)ar a(ar)s(ab)r若 a>0，p 是一個(gè)無理數(shù)，則 ap 表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù) 述有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，對于無理數(shù)指數(shù)冪都適用 . 4·指數(shù)式與對數(shù)式的互化式 loga N bab5·對數(shù)的換底公式 logmN logma0).(2)(3)注：log a Nm 1, Nraars (a 0,r,s Q). arbr (a 0,b 0,r Q).s(a 0,r,s Q) .N (a 0,a 1,N( a 0, 且 a 1,0).推論 log am bnlogab( a 0,且a m0).1, m,n0,且 m 1

45、, n 1, N6·對數(shù)的四則運(yùn)算法則若 a> 0，a1， M> 0，N>0，則(1)log a( MN ) loga M logaN;(2)Mloga logaM loga N;N七 數(shù)列1·等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an a1 (n 1)ddna1d(n N*) ；其前n項(xiàng)和公式為n(a1 an)n(n1)snna1dn22上sna1 a2 Lan ).d n2 (a1 1d)n2 1 22·等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 an a1qn 1 a1 qn(n N* ) ； q其前 n 項(xiàng)的和公式為sna1(11nq)q,q1或 sna1 anq1qna1,q 1

46、na1,q 13·等比差數(shù)列 an : an 1qan d,a1 b(q 0) 的通項(xiàng)公式為第 頁 共 20 頁 2020-2-20b (n 1)d,q 1anbqn (d b)qn 1 d,qcos(n )2q其前 n 項(xiàng)和公式為 nb n(n( 1)2 cosn1( 1) 2 sin1)d,(qn1qq11)4·和角與差角公式(n 為偶數(shù) )sn (b 1dq)1q4·分期付款 (按揭貸款 ) 每次還款 x ab(1 nb)nx (1 b)n 1dqn,(q 1)元(貸款 a元,n次還清 ,每期利率為 b ).八 三角函數(shù)1·常見三角不等式1)若 x

47、 (0, )，則 sinx x tanx .2cos() cos cos msinsin) tantan .tan(1mtantansin()sin( )sin 22sin2 ( 平方正弦公式);cos()cos() cos22 sin .asinbcos = a2 b2 sin() ( 輔助角 所在象限由點(diǎn)(a,b) 的象限決定, tan b).sin( ) sin cos cos sin; (n 為奇數(shù) )a22sinsincos1 ，tan，tan cotcos3·正弦、余弦的誘導(dǎo)公式(2) 若 x (0, ) ，則1 sin x cosx2 .2(3) |sin x| |co

48、sx| 1. 2·同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式1.(n 為偶數(shù) )sinsin5·半角正余切公式：tan,cot21 cos1 cos6·二倍角公式sin2 sincos2cos2 cos2 sin22cos112sin 22tantan2 2 .1 tan27·最簡單的三角不等式及其解集(n1)2 sin)n1(1) 2 cosnsin(n2(n 為奇數(shù) )sin xa(|a|1)x(2ksin xa(|a|1)x(2kcosxa(|a|1)x(2kcosxa(|a|1)x(2ktanxa(aR)x(ktanxa(aR)x(k2()(角的變形：2()()8

49、·三倍角公式arcsin a,2 karcsin a,2k arccos a,2 k arccos a,2 k,k arctan a), k2)arctana,k ),k2arcsin a), k Zarcsin a), k Z),k Z arccos a), k Z 9·三角函數(shù)的周期公式arccosa2sin33sin4sin 34sin sin( )sin(33函數(shù) ysin( x)，x R及函數(shù) y cos(x ) ，x R(A, ,為常數(shù)，且A0，2> 0) 的周期 T；函數(shù)y tan( x)，xk,k Z (A, ,2為常數(shù)，且 A 0，>0) 的周期 T10·正弦定理abc2R.ZsinCsin Asin B11 余弦定理cos34cos33cos4cos cos( )cos(3tan33tantan322ab2 2 2 ; c a b 12·面積定理