_第一類_對弧長_的曲線積分

1、curvilinear integral and surface integral第第1010章章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分 10.1 第一類第一類(對弧長對弧長)的曲線積分的曲線積分2問題的提出問題的提出對弧長的曲線積分的概念與性質對弧長的曲線積分的概念與性質對弧長的曲線積分的對弧長的曲線積分的幾何與物理意義幾何與物理意義對弧長的曲線積分的計算對弧長的曲線積分的計算小結小結 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)arc length10.1 第一類第一類( (對對弧長弧長) )的的第第1010章章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分curvilinear integral曲線積分曲線積分 10

2、.1 第一類第一類(對弧長對弧長)的曲線積分的曲線積分3一、問題的提出一、問題的提出實例實例sM 勻質勻質之質量之質量分割分割121, nMMM,),(iiis 取取iiiisM ),( 求和求和 niiiisM1),( 取極限取極限M取近似取近似曲線形構件的質量曲線形構件的質量近似值近似值精確值精確值 niiiis1),( 0lim Oxy2M1 nMABL1 iM1MiMis ),(ii 元素法元素法 10.1 第一類第一類(對弧長對弧長)的曲線積分的曲線積分4二、對弧長的曲線積分的概念與性質二、對弧長的曲線積分的概念與性質定義定義10.110.1設設L為為 xOy面內一條光滑曲線弧面內一

3、條光滑曲線弧,),(ii 又又,),(iiisf ,),(1 niiiisf 函數函數 f (x, y)在在L上有界上有界.作乘積作乘積并作和并作和如果當各小弧段的長度的最大值如果當各小弧段的長度的最大值,0時時 在在L上任意插入一點列上任意插入一點列把把L分成分成n個小段個小段. 設第設第i個小段的個小段的為第為第i個小段上任意取定的一個小段上任意取定的一(1)(2)(3)長度為長度為si ,點點,(4)Oxy2M1 nMABL1 iM1MiMis ),(ii 121, nMMM1. .定義定義 10.1 第一類第一類(對弧長對弧長)的曲線積分的曲線積分5曲線形構件的質量曲線形構件的質量.d

4、),( LsyxM ,d),( Lsyxf即即 Lsyxfd),(這和的極限存在這和的極限存在, 則稱此極限為則稱此極限為函數函數 f (x, y)在曲線弧在曲線弧 L 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分或或第一類曲線積分第一類曲線積分. . 積分和式積分和式被積函數被積函數 弧元素弧元素積分弧段積分弧段記作記作 niiiisf1),( niiiisf1),( 0lim 10.1 第一類第一類(對弧長對弧長)的曲線積分的曲線積分62. 存在條件存在條件3. 推廣推廣 szyxfd),(.d),(存在存在 Lsyxf的曲線積分的曲線積分連續(xù)連續(xù), ,的曲線積分為的曲線積分為.),(lim10ini

5、iiisf 當當 f (x, y)在光滑曲線弧在光滑曲線弧L上上函數函數 f (x, y, z) 在空間曲線弧在空間曲線弧上對弧長上對弧長對弧長對弧長 10.1 第一類第一類(對弧長對弧長)的曲線積分的曲線積分74. 性質性質 Lsyxgyxfd),(),( 性質性質1 1 LLsyxgsyxfd),(d),( 則則為常數為常數設設, 性質性質2 2 21d),(LLsyxf)(21LLL 1d),(Lsyxf 2d),(Lsyxf(對路徑具有可加性對路徑具有可加性)若若L(或或)是分段光滑的是分段光滑的, 10.1 第一類第一類(對弧長對弧長)的曲線積分的曲線積分8性質性質3 3 設在設在L

6、上上),(),(yxgyxf 則則 Lsyxfd),( Lsyxgd),(特別地特別地, 有有 Lsyxfd),( Lsyxfd),(性質性質4(4(中值定理中值定理) )連續(xù)連續(xù), ,若函數若函數 f (x, y)在光滑曲線在光滑曲線弧弧L上上則在則在L上至少存在一點上至少存在一點,),(d),(sfsyxfL ),( 使得使得,),(L 其中其中s為曲線為曲線L的弧長的弧長. 10.1 第一類第一類(對弧長對弧長)的曲線積分的曲線積分9性質性質5(5(與積分路徑的方向無關與積分路徑的方向無關) ) Lsyxfd),( Lsyxfd),()(AB)(BA注意注意.d),( Lsyxf閉曲線閉

7、曲線L L上上 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分記作記作 函數函數 f (x, y)在在 10.1 第一類第一類(對弧長對弧長)的曲線積分的曲線積分10 設函數設函數f (x, y)在一條光滑在一條光滑(或分段光滑或分段光滑)的曲線的曲線當當f (x, y)是是L上上關于關于x 的奇函數的奇函數, Lsyxfd),(當當f (x, y)是是L上關于上關于x 的偶函數的偶函數 ,d),(21 LsyxfL1是曲線是曲線L落在落在y 軸一側的部分軸一側的部分.在分析問題和算題時常用的在分析問題和算題時常用的L關于關于y軸軸 對稱對稱,補充補充對稱性質對稱性質.L上連續(xù)上連續(xù), 則則, 0(或或y)

8、(或或y)(或或x軸軸)(或或x)運用對稱性簡化對弧長的曲線積分計算時運用對稱性簡化對弧長的曲線積分計算時, 應同時考慮被積函數應同時考慮被積函數 f (x, y)的奇偶性的奇偶性與積分曲線與積分曲線L的對稱性的對稱性. 10.1 第一類第一類(對弧長對弧長)的曲線積分的曲線積分11例例 Lsyx.d)(3其中其中L是圓周是圓周.222Ryx 解解 LLsysxdd3 Lsyxd)(3,d Lsx對對因因積分曲線積分曲線L關于關于被積函數被積函數x是是L上上0d Lsx Lsy,d3對對被積函數被積函數0d3 Lsy因因積分曲線積分曲線L關于關于3y222Ryx 由由對稱性對稱性, ,計算計算

9、得得0 是是L上上y軸軸對稱對稱,關于關于x的奇函數的奇函數x軸軸對稱對稱,關于關于y的奇函數的奇函數xyO 10.1 第一類第一類(對弧長對弧長)的曲線積分的曲線積分12,1),(時時當當 yxf S幾何意義幾何意義 Lsd(1)(2) Lsyxfd),(柱面面積柱面面積弧長弧長 L,0),(時時當當 yxf平面曲線平面曲線L上第一類曲線上第一類曲線在幾何上表示以在幾何上表示以L為準線為準線, 母線平行于母線平行于z軸的柱面軸的柱面之介于平面之介于平面z = 0和曲面和曲面 z = f (x, y)之間那部分的之間那部分的柱面面積柱面面積.積分積分:三、對弧長的曲線積分的三、對弧長的曲線積分

10、的幾何與物理意義幾何與物理意義 10.1 第一類第一類(對弧長對弧長)的曲線積分的曲線積分13,d2 LxsyI ,dd LLssxx ),()1(yx 當當 LsyxMd),( 物理意義物理意義 LysxId2 LLssyydd (2) 曲線弧曲線弧 L對對x軸及軸及y軸的轉動慣量軸的轉動慣量:(3) 曲線弧曲線弧 L的質心坐標的質心坐標:曲線弧曲線弧 L的質量的質量:表示曲線弧表示曲線弧L的線密度時的線密度時, 10.1 第一類第一類(對弧長對弧長)的曲線積分的曲線積分14四、對弧長曲線積分的計算四、對弧長曲線積分的計算定理定理10.1),()()( ttytxL的參數方程為的參數方程為上

11、上在在, 其中其中且且 f),(t )(t )( 設設f (x, y)在曲線弧在曲線弧L上上有定義且連續(xù)有定義且連續(xù),具有一階連續(xù)導數具有一階連續(xù)導數, Lsyxfd),( 解法解法 化為參變量的化為參變量的定積分定積分計算計算tttd)()(22 )(),(tt 10.1 第一類第一類(對弧長對弧長)的曲線積分的曲線積分15xdydsdxyO Lsyxfd),(tttttfd)()()(),(22 必須滿足必須滿足! (2) 注意到注意到 22)(d)(ddyxs tttd)()(22 x因此因此, 0d s(1) 因為因為, 0d t所以所以因此積分限因此積分限說明說明 10.1 第一類第

12、一類(對弧長對弧長)的曲線積分的曲線積分16特殊情形特殊情形bxaxyL ),(: Lsyxfd),()(ba xxsd)(1d2 baxf,(1)xx d)(12 )(x ),()()( ttytxL的參數方程為的參數方程為 f),(t )(t )( Lsyxfd),( dycyxL ),(: Lsyxfd),()(dc (2) dcyyf),( yysd)(1d2 yy d)(12 tttd)()(22 10.1 第一類第一類(對弧長對弧長)的曲線積分的曲線積分17 Lsyxfd),( d)()(sin)(,cos)(22 f),(: L (3),()()( ttytxL的參數方程為的參數

13、方程為 f),(t )(t )( Lsyxfd),( 特殊情形特殊情形)( )(),(),(: ttztytx推廣推廣 szyxfd),(tttttttfd)()()()(),(),(222 )( tttd)()(22 sin)(cos)(yx 10.1 第一類第一類(對弧長對弧長)的曲線積分的曲線積分18 ),(),(yxgzyxfz 0),(0),(21zyxzyx 或或此時需把它化為此時需把它化為參數方程參數方程再按上述方法計算再按上述方法計算.為參數為參數),如果積分路徑如果積分路徑L是兩個曲面的交線是兩個曲面的交線:(選擇選擇x, y, z中某一個中某一個 10.1 第一類第一類(對

14、弧長對弧長)的曲線積分的曲線積分19例例解解例例,sin,cos:,d ayaxsxyzI 其中其中求求解解 kaI 202sincos.21222kaka 上上自自原原點點到到為為其其中中求求xyLsyIL2,d2 20yI).155(31 xy22 )20( y22yx d22ka yy d12 對對x積分積分?)2 , 2( xy22 xyO.)2 , 2(的的一一段段)20(. 的一段的一段kz 10.1 第一類第一類(對弧長對弧長)的曲線積分的曲線積分20例例).0(222 xRyxABCL解解xysd1d2 xyyxd222 xyRd| Lsy d|xyRyRd|0 xyRyRd|

15、0 .22R 的的如如圖圖半半圓圓周周由由曲曲線線)(ABCL ABsy d| BCsy d|得得xyO即即是右半圓周是右半圓周其中其中計算計算,d|LsyL ,222Ryx 方程方程 10.1 第一類第一類(對弧長對弧長)的曲線積分的曲線積分21即即是右半圓周是右半圓周其中其中計算計算,d|LsyL ).0(222 xRyx解此題時也可用解此題時也可用故故 Lsy d|2xyRd.22R sydAB Ry02對稱性質對稱性質ABCLxyOL關于關于x軸對稱軸對稱, | y |為為y的偶函數的偶函數, 10.1 第一類第一類(對弧長對弧長)的曲線積分的曲線積分22,de22 Lyxs計算計算,

16、:222ayxL 由圓周由圓周軸軸及及直線直線xxy 在第一象限中所圍圖形的邊界在第一象限中所圍圖形的邊界.AB Lyxsde22 BOABOA提示提示解解:OA, 0 y OAyxsde22xsd01d2 :AB,sin,cos ayax 40 sAByxde22 de40aa xaxde0. 1e a.e4aa,0ax xyO 10.1 第一類第一類(對弧長對弧長)的曲線積分的曲線積分23AB:BO,xy sBOyxde22xsd11d2 xaxd2e2202. 1e a Lyxsde22故故.e4)1e (2aaa .220ax xyO OAyxsde22 sAByxde22. 1e a

17、.e4aa 10.1 第一類第一類(對弧長對弧長)的曲線積分的曲線積分24解解 LsxxxyLd),20(:2則則已已知知曲曲線線 x2032)41(3281x , xx ),20( x,2xy xx d412 )2 , 2( 2xy xyO Lsxd20)41d(412202xx 81613.613 考研數學一考研數學一, 填空填空, 4分分 10.1 第一類第一類(對弧長對弧長)的曲線積分的曲線積分25例例解解求圓柱面求圓柱面22222 RyRx被截在球被截在球2222Rzyx 內部的內部的柱面的面積柱面的面積.由圖形的對稱性由圖形的對稱性,只需求第一掛限部分的面積只需求第一掛限部分的面積

18、,再四倍之再四倍之. 柱面與柱面與xOy平面的交線平面的交線RxyzORR2222Rzyx Rxyx 22,0),(時時當當 yxf平面曲線平面曲線L上第一類曲線積分上第一類曲線積分 S Lsyxfd),(柱面面積柱面面積在幾何上表示以在幾何上表示以L為準線為準線,母線平行于母線平行于z軸的柱面之介于軸的柱面之介于平面平面z = 0和曲面和曲面z = f (x,y)之之之間那部分的柱面面積之間那部分的柱面面積. cos:RL .20 (極坐標極坐標)弧微分為弧微分為 dd22s,d R故所求的面積故所求的面積 S222yxR L4sd 24R.42R dR 22cosR20S Lsyxfd),

19、(柱面面積柱面面積 10.1 第一類第一類(對弧長對弧長)的曲線積分的曲線積分26研究生考題研究生考題, 填空填空(3分分)則則為為下下半半圓圓周周設設平平面面曲曲線線,12xyL ).(d)(22 syxL曲線積分曲線積分采用極坐標采用極坐標1: L則則syxLd)(22 Lsd2 . 2法三法三 在曲線在曲線L上上,故故 syxLd)(22. Lsd法二法二)2( d例例 解解采用參數方程采用參數方程tytxsin,cos 則則syxLd)(22 )sin(cos22tt . tttd)(cos)sin(22 2法一法一, 122 yx)2( t 10.1 第一類第一類(對弧長對弧長)的曲線積分的曲線積分27則則其周長為其周長為為橢圓為橢圓設設, 13422ayxL . )(d)432(22 Lsyxxya12解解 Lsxyd20 Lsyxd)43(1211222 Lsyxd)34(1222sLd112 .12a 對稱性對稱性 Lsyxxyd)432(220 Lsyxd)43(22 10.1 第一類第一類(對弧長對弧長)的曲線積分的曲線積分28例例,d2 sxI求求解解 曲線曲線的方程具有如下特點的方程具有如下特點: sx d2 sxId2 sa d2),d2(