專題02矢量的運(yùn)算模型-高考物理模型法之算法模型法解析版

1、高中物理系列模型之算法模型 2.2.矢量的運(yùn)算模型 模型界定矢量及矢量運(yùn)算是高中物理的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一，常見的矢量有位移、速度、加速度、力、動(dòng)量、電場強(qiáng)度、 磁感應(yīng)強(qiáng)度等.狹義的講，矢量的運(yùn)算是指矢量物理量之間的運(yùn)算，廣義的說，矢量運(yùn)算還包括運(yùn)動(dòng)形式 的分解與合成.適量運(yùn)算要遵循特殊的法則。本模型歸納總結(jié)高中物理中所涉及到的矢量矢量的加(減)法與 乘法的運(yùn)算. 模型破解 1 1 . .矢量加法 (i)(i)平行四邊形定則 矢量的加法運(yùn)算也即矢量的合成，其實(shí)質(zhì)是等效替代，一般可用平行四邊形法則。 如果用表示兩個(gè)矢量Ai和A2的有向線段為鄰邊作平行四邊形，那么合矢量A的大小和方向就可以用這兩個(gè) 鄰邊

2、之間的對(duì)角線表示，這叫做矢量運(yùn)算的平行四邊形定則 4 4 (ii)三角形法則與多邊形定則 如圖所示，兩矢量合成時(shí)由.平行四邊形法則可推廣至三角形法則：將兩矢量A1A2首尾相接，則合矢量 A就是由矢量A1的箭尾指向矢量A2箭首的有向線段所表示的矢量. Ai 多個(gè)矢量相加時(shí)，則三角形定則推廣可得到多邊形法則，如圖所示.最終合矢量的大小和方向與相加次序 ( (iii)iii)正交分解法 將矢量沿兩個(gè)相互垂直的方向分解，稱為正交分解.矢量A1、A2、A3相加時(shí)，可先將各矢量沿相互垂直 的x軸和y軸分解，Ai分解為Aix和Aiy,A2分解為A2x和A2、,A3分解為A3x和A3y,則x軸方向上的 矢量和

3、Ax=Aix+A2x+A3x+；y軸方向上的適量和 矢量方向與x軸夾角。滿足tane=A A (iv)(iv)矢量減法 矢量減法是矢量加法的逆運(yùn)算，也稱為矢量的分解.一個(gè)矢量減去另一個(gè)矢量，等于加上那個(gè)矢量的負(fù)矢 量,A1-A2=Ai+(-A2),如圖所不 矢量的分解雖然是矢量合成的逆運(yùn)算，但無其他限制，同一個(gè)矢量可分解為無數(shù)對(duì)大小、方向不同的分矢 量。因此，把一個(gè)矢量分解為兩個(gè)分矢量時(shí)，應(yīng)根據(jù)具體情況分解。 (v)(v)基本規(guī)律 當(dāng)兩矢量Ai和A2大小一定時(shí)，合矢量A隨著兩矢量間夾角a的增大而減小。當(dāng)兩矢量間的夾角a=0時(shí),合矢量最大，等于Amxa=Ai+A2；當(dāng)兩矢量間的夾角a=i80時(shí)，

4、合矢量最.小，等于Amin=IAi-A2I,即合矢量的取值范圍是|Ai-A2IA,A，而最小值要分下列兩種情況討論: 【解析】共點(diǎn)的兩個(gè)力合成，同向時(shí)最大為E+F2,反向時(shí)最小為Fi-F2,c正確. 例2.如圖所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O為球心，一質(zhì)量為m的小滑塊，在水平力F的作用下 靜止P點(diǎn)。設(shè)滑塊所受支持力為FN。OF與水平方向的夾角為0。下列關(guān)系正確的是() B.F=mgtanO 若n個(gè)矢量 Ai、A2、A3、 An中的大小最大的矢量Aj大于其余矢量的大小之和 n ZAi,則他們矢量 y,i；j 和的最小值是 n Aj-zA i,i=j 呼n個(gè)矢量Ai、A2、A3、An中的大小

5、最大的矢量Aj不大于其余矢量的大小之和 n AA A, ,則他們矢量 T,i鬲 和的最小值是0。 兩矢量大小相等時(shí)，合矢量的方向必在兩矢量的夾角平分在線 例1.兩個(gè)大小分別為Fi和F2(F2Fi)的力作用在同一質(zhì)點(diǎn)上，它們的合力的大小F滿足 A. F2FFi C.Fi-F2FFiF2 B. XMFMX 22 _2_2_2_2_2 D.Fi-F2FFiF2 【答案】A D.FN=mgtanO F=3-,FN=皿且，所以A正確。 tanfsin 例3.如圖，兩根相互平行的長直導(dǎo)線分別通有方向相反的電流I1和I2,且11Al2；a、b、c、d為導(dǎo)線某一 橫截面所在平面內(nèi)的四點(diǎn)，且a、b、c與兩導(dǎo)線共

6、面；b點(diǎn)在兩導(dǎo)線之間，b、d的連線與導(dǎo)線所在平面垂直。 磁感應(yīng)強(qiáng)度可能為零的點(diǎn)是 d a10.F.QAbh0 A.a點(diǎn)B.b點(diǎn) C.c點(diǎn)D.d點(diǎn) 【答案】C 【解析】由矢量的運(yùn)算法則可知兩矢量的矢量和為零時(shí)兩矢量必是等值反向的.由安培定則知兩電流在b點(diǎn)產(chǎn)生的磁場方向相同，在d點(diǎn)產(chǎn)生的磁場方向不在一條直線上，BD皆專靛吳.兩電流在前兩點(diǎn)處產(chǎn)生的磁場方向相反，但由于且a點(diǎn)距電流II近，故兩電流在a點(diǎn)處產(chǎn)生的磁場不可能大小相等，A錯(cuò)誤,同理可知C正確. 例4.如圖，兩等量異號(hào)的點(diǎn)電荷相距為2a M與兩點(diǎn)電荷共線，N位于兩點(diǎn)電荷連線的中垂線上，兩點(diǎn) n 電荷連線中點(diǎn)到M和N的距離都為L,且L|_a。略

7、去（a/L）（n至2）項(xiàng)的貢獻(xiàn)，則兩點(diǎn)電荷的合電場在 M和N點(diǎn)的強(qiáng)度（） 【解析】對(duì)小滑塊受力分析如圖所示，根據(jù)平行四邊形定則可得 A.大小之比為2,方向相反 B.大小之比為1,方向相反 C.大小均與a成正比，方向相反 D.大小均與L的平方成反比，方向相互垂直 【答案】AC 故有Ei：E2=2;又因N點(diǎn)處強(qiáng)場方向由對(duì)稱性知平行于兩場源電荷由十 -q產(chǎn)生的電場弱于+q產(chǎn)生的電場，總場強(qiáng)方向由一q指向+q,AC正確。 B、C三點(diǎn)與電場方向在同一個(gè)豎直面內(nèi)，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示.已知過 AC線段的中點(diǎn)，BD連線恰與AC垂直，質(zhì)點(diǎn)從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)所用的時(shí)間為tAB,質(zhì)點(diǎn)從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C 點(diǎn)所用的時(shí)間為tBC

8、。下列說法正確的是 A.tAB一定等于tBC,電場方向向左 B.tAB一定等于tBC,電場方向向右 【解析】如右下圖所示，合電場在 M和N點(diǎn)的強(qiáng)度分別為 Ei kqkq 22 (L-a)(La) 4kqaL 22、2 (L-a) 4kqa L31 a21-(-)2一L 4kqa C kqa E=2 E22 2kqa 3 3a2至 L31(-)2 一L， 2kqa q指向一q,在M點(diǎn)因距+q較近, 例5.在一個(gè)水平方向的勻強(qiáng)電場中，某帶負(fù)電荷的小球做勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，依次經(jīng)過 A、B、C三點(diǎn)、, A、 B點(diǎn)切線與AC連線平行，D點(diǎn)為 C.tAB不一定等于tBC,電場方向向左 D.tAB不一定等于t

9、BC,電場方向向右 【答案】B 【解析】小球在運(yùn)動(dòng)中受到豎直向下的重力與水平方向上的電場力作用二而曲線運(yùn)動(dòng)中合力方向指向運(yùn)動(dòng)軌跡的內(nèi)側(cè),則可知電場力的方向必是水平向左,因小球帶負(fù)電,故電場強(qiáng)度方向水平向右.AC錯(cuò)誤，因小球的運(yùn)動(dòng)是勻變速曲線運(yùn)動(dòng)， 可將其運(yùn)動(dòng)分解為沿AC方向上的勻變速運(yùn)動(dòng)與垂直于AC方向即沿DE方向上的勻變速運(yùn)動(dòng).由于B點(diǎn)切線與AC連線平行，可知小球在B點(diǎn)時(shí)沿DB方向上的分速度為零艮陰、球在從A運(yùn)動(dòng)到C的過程中沿DB方向上先;咸速再加速設(shè)4例沿DB方向上的加速度為&從A到B由勻加速運(yùn)動(dòng)的逆過程有而。嚷從B到C有毋=；，故有如=3 正確D錯(cuò)誤. 模型演練 1.如圖，三個(gè)大

10、小相等的力F,作用于同一點(diǎn)O,則合力最小的是 OF-O*F F FF A.B. 【答案】C 【解析】 在ABD三圖中三力的合）力等值反向，三個(gè)力的合力一定為零2.在等邊三角形白三個(gè)頂點(diǎn)a、流，方向如圖。過c點(diǎn)的導(dǎo)線所受 , ；場亡上 - -4*4* A.與ab邊平行，豎直1可上 C.與ab辿垂直，指向左邊 【答案】C 120F 0 0NO .F F C.D. 了大小雖不相同，但一定小為零，叩在C圖其中任兩個(gè)力的合力與第二個(gè) ,答案為C. b、c處， 各有一條長直導(dǎo)線垂直穿過紙面， 導(dǎo)線中通有大小相等的恒定電安培力的方向 B.與ab邊平行，豎直向下 D.與ab辿垂直，指1可右邊 a、b、c處均有

11、一通電導(dǎo)線，且導(dǎo)線中通有大小相等的恒定電流.由安培 F、，F(xiàn) F、120/FF. 定則可得：導(dǎo)線a、b的電流在c處的合磁場方向豎直向下.再由左手定則可得：安培力的方向是與 垂直，指向左邊. 3.四根相互平行的通電長直導(dǎo)線a、b、c電流均為I,如圖所示放在正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，每根通電直導(dǎo)線 單獨(dú)存在時(shí)，四邊形中心O點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度都是B,則四根通電導(dǎo)線同時(shí)存在時(shí)O點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小 和方向?yàn)?a，丁中b Z- I嗡 fI / I%，. !/： O； I，-I rI事. If r* IiF%I d-,-c IIc 練3圖 A.2/2B,方向向下 C.2/5B,方向向右D.2J2B,方向向上 【答案

12、】A 【解析】由安培定則知導(dǎo)線在。點(diǎn)處產(chǎn)生的磁場方向分別沿050a、Od、0a,再由矢量合成法則及 對(duì)稱性知A正確中 4.三根相互平行的通電長直導(dǎo)線放在等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，右圖為其截面圖，電流方向如圖所示。若每 根導(dǎo)線的電流均為I,每根直導(dǎo)線單獨(dú)存在時(shí)，在三角形中心O點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小都是B,則三根導(dǎo) 線同時(shí)存在時(shí)O點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為 A.0B.B C.2BD.3B ab邊 練4圖 【答案】C 【解析】根據(jù)安培定則判斷得知：三根導(dǎo)線在O點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向分別為：上面導(dǎo)線產(chǎn)生的B方 向水平向左，大小為B;下面左邊導(dǎo)線產(chǎn)生的B方向斜向左上方，與水平成60角，下面右邊導(dǎo)線產(chǎn)生的B 方

13、向斜向右上方，與水平成60。角，則根據(jù)平行四邊形定則進(jìn)行合成可知，下面兩根導(dǎo)線產(chǎn)生的合場強(qiáng)大小 為B,方向水平向左，所以三根導(dǎo)線同時(shí)存在時(shí)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為2B,方向水平向左. 5 5.取兩個(gè)完全相同的長導(dǎo)線，用其中一根繞成如圖（a）所示的螺線管，當(dāng)該螺線管中通以電流強(qiáng)度為I的 電流時(shí)，測得螺線管內(nèi)中部的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,若將另一根長導(dǎo)線對(duì)折后繞成如圖（b）所示的螺線管， 并通以電流強(qiáng)度也為I的電流時(shí)，則在螺線管內(nèi)中部的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為（） 【解析】雙線并繞的線圈相當(dāng)于兩個(gè)線圈一圈隔一圈地繞在同一個(gè)線圈架上.通電時(shí)兩個(gè)線圈中的電流方向正好相反，產(chǎn)生的磁場方向也相反，磁通量的變化為零J所以沒有

14、自感電動(dòng)勢，選項(xiàng)A正確. 2 2.矢量的乘法。 矢量乘法運(yùn)算中包括三種情況： 一種是矢量和標(biāo)量的乘積，其結(jié)果仍為矢量，如F=ma、F=qE等。此類運(yùn)算中，若該標(biāo)量大于零，則結(jié)果 與原矢量同向，小于零時(shí)則與原矢量反向. 第二種情況是矢量和矢量相乘，結(jié)果構(gòu)成了新的標(biāo)量，矢量間這樣的乘積叫標(biāo)積.兩矢量的標(biāo)積等于兩矢 量的大小及兩矢量間夾角余弦三者的乘積，如功W=FScos、a功率P=F-vco舞的計(jì)算是采用兩個(gè)矢量的 標(biāo)積。 第三種情況是矢量和矢量相乘結(jié)果卻構(gòu)成新的矢量，矢量間這樣的乘積叫矢積。兩矢量的矢積大小等于兩 矢量的大小及兩矢量間夾角正弦三者的乘積，如洛侖茲力f=qvBsina等的計(jì)算是采用

15、兩個(gè)矢量的矢積。新矢 量的方向與原兩矢量所決定的平面垂直. 例5.一質(zhì)點(diǎn)開始時(shí)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，從某時(shí)刻起受到一恒力作用。此后，該質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能可能 A.一直增大 B.先逐漸減小至零，再逐漸增大 C.先逐漸增大至某一最大值，再逐,漸減小 D.先逐漸減小至某一非零的最小值，再逐漸增大 【答案】ABD(A)0。(B)0.5B。 (C)Bo(D)2Bo 【解析】該質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能變化取決于該恒力的做功情況，設(shè)恒力與質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度之間的夾角為口，恒力的功率FwAc”物.若初始狀態(tài)下如3則恒力對(duì)質(zhì)點(diǎn)一直做正功，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能將一直增大，A正確s若初始狀態(tài)下90 a180?則初始階段恒力對(duì)質(zhì)點(diǎn)做負(fù)功，底點(diǎn)的動(dòng)靛減小，同時(shí)

16、a也斌小J當(dāng)a；射或1兜口之后，恒力又開始對(duì)質(zhì)點(diǎn)做正功，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)I次開始置匕D正瑜若初始狀態(tài)下a=180)則初始階段恒力對(duì)底點(diǎn)做負(fù)功直到廢點(diǎn)的動(dòng)能;底小零后，質(zhì)點(diǎn)反向加速運(yùn)動(dòng)，恒力開始對(duì)質(zhì)點(diǎn)做正功，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能雙開始熠加，B正確j無情況能C選項(xiàng)對(duì)應(yīng)，C錯(cuò)誤. 另解：從運(yùn)動(dòng)的合成與分解角度考慮，仍設(shè)恒力與速度間夾角為a，若口=0O,質(zhì)點(diǎn)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)， 速率增大動(dòng)能增加，若0 a90,質(zhì)點(diǎn)做勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，沿恒力方向加速運(yùn)動(dòng)，.垂直于合力方向 勻速運(yùn)動(dòng)，速率一直增大，動(dòng)能一直增加；若90 a(180,質(zhì)點(diǎn)也做勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，沿恒力方向 質(zhì)點(diǎn)先減速再反向加速，垂直于恒力方向質(zhì)點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，此情況下質(zhì)點(diǎn)的

17、速率先減小再增大，動(dòng)能也是先減小再增大，但其最小值不為零；若a=180。，質(zhì)點(diǎn)先做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，速度減小零后再反向加速， 其動(dòng)能也先減小到零再增加，故ABD正確. 例6長螺線管中通有恒定電流，把一個(gè)帶電粒子沿軸線方向射入螺線管，不計(jì)重力，粒子在管中將做： A.圓周運(yùn)動(dòng)B.沿軸線來回運(yùn)動(dòng) C.勻加速直線運(yùn)動(dòng)D.勻速直線運(yùn)動(dòng) 【答案】D 【解析】在螺線管內(nèi)磁感線的方向平行于其軸線，則帶電粒子進(jìn)入管內(nèi)后速度方向與磁場方向平行，在 f=Bqvsina中a=00,故粒子不受力，沿軸線做勻速直線運(yùn)動(dòng)，D正確. 模型演練 6 .運(yùn)動(dòng)員跳傘將經(jīng)歷加速下降和減速下降兩個(gè)過程。將人和傘看成一個(gè)系統(tǒng)，在這兩個(gè)過程

18、中，下列說法正確的是 A.阻力對(duì)系統(tǒng)始終做負(fù)功 B.系統(tǒng)受到的合外力始終向下 C.重力做功使系統(tǒng)的重力勢能增加 D.任意相等的時(shí)間內(nèi)重力做的功相等 【答案】A A正確.運(yùn)動(dòng)員跳傘將 【解析】阻力的方向始終與人的運(yùn)動(dòng)的方向相反，所以阻力對(duì)系統(tǒng)始終做負(fù)功，故 經(jīng)歷加速下降和減速下降兩個(gè)過程，在減速下降的過程中，由牛頓第二定律可知，此時(shí)合力的方向是向上的，所以B錯(cuò)誤.在下降的過程中重力做正功，由能的轉(zhuǎn)化和可知此時(shí)物體的重力勢能減小，所以C錯(cuò)誤.由 重力做的功W=mgh可知，由于人不是勻速運(yùn)動(dòng)的，在相等的時(shí)間內(nèi)下降的高度不同，所以任意相等的時(shí)間 內(nèi)重力做的功不相等，故D錯(cuò)誤. 7 . .一個(gè)25kg的小孩從高度為3.0m的滑梯頂端由靜止開始滑下，滑到底端時(shí)的速度為2.0