高中物理競(jìng)賽講義-振動(dòng)和波重要模型與專題

1、振動(dòng)和波重要模型與專題一、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的證明與周期計(jì)算物理情形：如圖5所示，將一粗細(xì)均勻、兩邊開(kāi)口的U型管固定，其中裝有一定量的水銀，汞柱總長(zhǎng)為L(zhǎng) 。當(dāng)水銀受到一個(gè)初始的擾動(dòng)后，開(kāi)始在管中振動(dòng)。忽略管壁對(duì)汞的阻力，試證明汞柱做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，并求其周期。模型分析：對(duì)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的證明，只要以汞柱為對(duì)象，看它的回復(fù)力與位移關(guān)系是否滿足定義式，值得注意的是，回復(fù)力系指振動(dòng)方向上的合力（而非整體合力）。當(dāng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)被證明后，回復(fù)力系數(shù)k就有了，求周期就是順理成章的事。本題中，可設(shè)汞柱兩端偏離平衡位置的瞬時(shí)位移為x 、水銀密度為、U型管橫截面積為S ，則次瞬時(shí)的回復(fù)力F = g2xS = x由于L、m為固定值，可令：

2、 = k ，而且F與x的方向相反，故汞柱做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。周期T = 2= 2答：汞柱的周期為2 。學(xué)生活動(dòng)：如圖6所示，兩個(gè)相同的柱形滾輪平行、登高、水平放置，繞各自的軸線等角速、反方向地轉(zhuǎn)動(dòng)，在滾輪上覆蓋一塊均質(zhì)的木板。已知兩滾輪軸線的距離為L(zhǎng) 、滾輪與木板之間的動(dòng)摩擦因素為、木板的質(zhì)量為m ，且木板放置時(shí)，重心不在兩滾輪的正中央。試證明木板做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，并求木板運(yùn)動(dòng)的周期。思路提示：找平衡位置（木板重心在兩滾輪中央處）力矩平衡和F6= 0結(jié)合求兩處彈力求摩擦力合力答案：木板運(yùn)動(dòng)周期為2 。鞏固應(yīng)用：如圖7所示，三根長(zhǎng)度均為L(zhǎng) = 2.00m地質(zhì)量均勻直桿，構(gòu)成一正三角形框架ABC，C點(diǎn)懸掛在一光

3、滑水平軸上，整個(gè)框架可繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)。桿AB是一導(dǎo)軌，一電動(dòng)松鼠可在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)。現(xiàn)觀察到松鼠正在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)，而框架卻靜止不動(dòng)，試討論松鼠的運(yùn)動(dòng)是一種什么樣的運(yùn)動(dòng)。解說(shuō)：由于框架靜止不動(dòng)，松鼠在豎直方向必平衡，即：松鼠所受框架支持力等于松鼠重力。設(shè)松鼠的質(zhì)量為m ，即：N = mg 再回到框架，其靜止平衡必滿足框架所受合力矩為零。以C點(diǎn)為轉(zhuǎn)軸，形成力矩的只有松鼠的壓力N、和松鼠可能加速的靜摩擦力f ，它們合力矩為零，即：MN = Mf現(xiàn)考查松鼠在框架上的某個(gè)一般位置（如圖7，設(shè)它在導(dǎo)軌方向上距C點(diǎn)為x），上式即成：N·x = f·Lsin60° 解兩式可得：f = x

4、，且f的方向水平向左。根據(jù)牛頓第三定律，這個(gè)力就是松鼠在導(dǎo)軌方向上的合力。如果我們以C在導(dǎo)軌上的投影點(diǎn)為參考點(diǎn)，x就是松鼠的瞬時(shí)位移。再考慮到合力與位移的方向因素，松鼠的合力與位移滿足關(guān)系= k其中k = ，對(duì)于這個(gè)系統(tǒng)而言，k是固定不變的。顯然這就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的定義式。答案：松鼠做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。評(píng)說(shuō)：這是第十三屆物理奧賽預(yù)賽試題，問(wèn)法比較模糊。如果理解為定性求解，以上答案已經(jīng)足夠。但考慮到原題中還是有定量的條件，所以做進(jìn)一步的定量運(yùn)算也是有必要的。譬如，我們可以求出松鼠的運(yùn)動(dòng)周期為：T = 2 = 2 = 2.64s 。二、典型的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)1、彈簧振子物理情形：如圖8所示，用彈性系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧連

5、著一個(gè)質(zhì)量為m的小球，置于傾角為的光滑斜面上。證明：小球在彈簧方向的振動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，并求其周期T 。學(xué)生自己證明。周期T = 2模型分析：這個(gè)結(jié)論表明，彈簧振子完全可以突破放置的方向而伸展為一個(gè)廣義的概念，且伸展后不會(huì)改變運(yùn)動(dòng)的實(shí)質(zhì)。其次，我們還可以這樣拓展：把上面的下滑力換程任何一個(gè)恒力（如電場(chǎng)力），它的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)仍然不會(huì)改變。當(dāng)然，這里的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)不變并不是所有運(yùn)動(dòng)參量均不改變。譬如，振子的平衡位置、振動(dòng)方程還是會(huì)改變的。下面我們看另一類型的拓展物理情形：如圖9所示，兩根相同的彈性系數(shù)分別為k1和k2的輕質(zhì)彈簧，連接一個(gè)質(zhì)量為m的滑塊，可以在光滑的水平面上滑動(dòng)。試求這個(gè)系統(tǒng)的振動(dòng)周期T 。解說(shuō)

6、：這里涉及的是彈簧的串、并聯(lián)知識(shí)綜合。根據(jù)彈性系數(shù)的定義，不難推導(dǎo)出幾個(gè)彈性系數(shù)分別為k1、k2、kn的彈簧串、并聯(lián)后的彈性系數(shù)定式（設(shè)新彈簧系統(tǒng)的彈性系數(shù)為k）串聯(lián)： = 并聯(lián)：k = 在圖9所示的情形中，同學(xué)們不難得出：T = 2當(dāng)情形變成圖10時(shí)，會(huì)不會(huì)和圖9一樣呢？詳細(xì)分析形變量和受力的關(guān)系，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，事實(shí)上，這時(shí)已經(jīng)變成了彈簧的并聯(lián)。答案：T = 2 。思考：如果兩個(gè)彈簧通過(guò)一個(gè)動(dòng)滑輪（不計(jì)質(zhì)量）再與質(zhì)量為m的鉤碼相連，如圖11所示，鉤碼在豎直方向上的振動(dòng)周期又是多少？解：這是一個(gè)極容易出錯(cuò)的變換因?yàn)閳D形的外表形狀很象“并聯(lián)”。但經(jīng)過(guò)仔細(xì)分析后，會(huì)發(fā)現(xiàn)，動(dòng)滑輪在這個(gè)物理情形中起到了

7、重要的作用致使這個(gè)變換的結(jié)果既不是串聯(lián)、也不是并聯(lián)。而且，我們前面已經(jīng)證明過(guò)，重力的存在并不會(huì)改變彈簧振子的振動(dòng)方程，所以為了方便起見(jiàn)，這里（包括后面一個(gè)“在思考”題）的受力分析沒(méi)有考慮重力。具體分析如下：設(shè)右邊彈簧的形變量為x2 、滑輪（相對(duì)彈簧自由長(zhǎng)度時(shí)）的位移為x 、鉤子上的拉力為F ，則k1x1 = k2x2x = F = 2 k2x2解以上三式，得到：F = x ，也就是說(shuō)，彈簧系統(tǒng)新的彈性系數(shù)k = 。答：T = 。再思考：如果兩彈簧和鉤碼通過(guò)輕桿和轉(zhuǎn)軸，連成了圖12所示的系統(tǒng)，已知k1 、k2 、m 、a 、b ，再求鉤碼的振動(dòng)周期T 。思路提示：探討鉤碼位移和回復(fù)力關(guān)系，和“思

8、考”題類似。（過(guò)程備考：設(shè)右彈簧伸長(zhǎng)x2 ，則中間彈簧伸長(zhǎng)x1 = x2 鉤碼的位移量x = x1 + x2 而鉤碼的回復(fù)力F = k1x1結(jié)合以上三式解回復(fù)力系數(shù)k = = ，所以）答：T = 2 。2、單擺單擺分析的基本點(diǎn)，在于探討其回復(fù)力隨位移的變化規(guī)律。相對(duì)原始模型的伸展，一是關(guān)于擺長(zhǎng)的變化，二是關(guān)于“視重加速度”的變化，以及在具體情形中的處理。至于復(fù)雜的擺動(dòng)情形研究，往往會(huì)超出這種基本的變形，而僅僅是在分析方法上做適當(dāng)借鑒。物理情形1：如圖13所示，在一輛靜止的小車內(nèi)用長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕繩靜止懸掛著一個(gè)小鋼球，當(dāng)小車突然獲得水平方向的大小為a的加速度后（ag），試描述小球相對(duì)小車的運(yùn)動(dòng)。模型

9、分析：小鋼球相對(duì)車向a的反方向擺起，擺至繩與豎直方向夾角= arctg時(shí)，達(dá)到最大速度，此位置即是小球相對(duì)車“單擺”的平衡位置。以車為參照，小球受到的場(chǎng)力除了重力G外，還有一慣性力F 。所以，此時(shí)小球在車中相當(dāng)于處在一個(gè)方向傾斜、大小變?yōu)榈男隆爸亓Α钡淖饔?，屬超重情況。這是一種“視重加速度”增加的情形。解說(shuō)：由于擺長(zhǎng)L未變，而g視 = ，如果a很小，致使最大擺角不超過(guò)5°的話，小角度單擺可以視為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，周期也可以求出來(lái)。答案：小球以繩偏離豎直方向= arctg的角度為平衡位置做最大擺角為的單擺運(yùn)動(dòng)，如果5°，則小球的擺動(dòng)周期為T(mén) = 2物理情形2：某秋千兩邊繩子不等長(zhǎng)，且

10、懸點(diǎn)不等高，相關(guān)數(shù)據(jù)如圖14所示，且有a2 + b2 = + ，試求它的周期（認(rèn)為人的體積足夠?。?。模型分析：用C球替代人，它實(shí)際上是在繞AB軸擺動(dòng)，類似將單擺放置在光滑斜面上的情形。故視重加速度g視 = gcos= g ，等效擺長(zhǎng)l = ，如圖15所示。由于a2 + b2 = + 可知，ACCB ，因此不難求出= ，最后應(yīng)用單擺周期公式即可。答案：T = 2 。相關(guān)變換1：如圖16所示，質(zhì)量為M的車廂中用長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)繩懸掛著一個(gè)質(zhì)量為m的小球，車輪與水平地面間的摩擦不計(jì)，試求這個(gè)系統(tǒng)做微小振動(dòng)的周期。分析：我們知道，證明小角度單擺作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)用到了近似處理。在本題，也必須充分理解“小角度”的含義

11、，大膽地應(yīng)用近似處理方法。解法一：以車為參照，小球?qū)⑾鄬?duì)一個(gè)非慣性系作單擺運(yùn)動(dòng)，在一般方位角的受力如圖17所示，其中慣性力F = ma ，且a為車子的加速度。由于球在垂直T方向振動(dòng)，故回復(fù)力F回 = Gsin+ Fcos= mgsin+ macos *由于球作“微小”擺動(dòng)，其圓周運(yùn)動(dòng)效應(yīng)可以忽略，故有T + Fsin mgcos 再隔離車，有 Tsin= Ma 解式得 F回 = *再由于球作“微小”擺動(dòng)，sin20 ，所以 F回 = 令擺球的振動(dòng)位移為x ，常規(guī)處理 sin 解即得 F回 = x 顯然， = k是恒定的，所以小球作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。最后求周期用公式即可。解法二：由于車和球的系統(tǒng)不受合外

12、力，故系統(tǒng)質(zhì)心無(wú)加速度。小球可以看成是繞此質(zhì)心作單擺運(yùn)動(dòng)，而新擺長(zhǎng)L會(huì)小于L 。由于質(zhì)心是慣性參照系，故小球的受力、回復(fù)力的合成就很常規(guī)了。若繩子在車內(nèi)的懸掛點(diǎn)在正中央，則質(zhì)心在水平方向上應(yīng)與小球相距x = Lsin，不難理解，“新擺長(zhǎng)”L= L 。（從嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊饬x上來(lái)講，這個(gè)“擺長(zhǎng)”并不固定：隨著車往“平衡位置”靠近，它會(huì)加長(zhǎng)。所以，這里的等效擺長(zhǎng)得出和解法一的忽略圓周運(yùn)動(dòng)效應(yīng)事實(shí)上都是一種相對(duì)“模糊”的處理。如果非要做精準(zhǔn)的運(yùn)算，不啟用高等數(shù)學(xué)工具恐怕不行。）答：T = 2 。相關(guān)變換2：如圖18所示，有一個(gè)均質(zhì)的細(xì)圓環(huán)，借助一些質(zhì)量不計(jì)的輻條，將一個(gè)與環(huán)等質(zhì)量的小球固定于環(huán)心處，然后用三根

13、豎直的、長(zhǎng)度均為L(zhǎng)且不可伸長(zhǎng)的輕繩將這個(gè)物體懸掛在天花板上，環(huán)上三個(gè)結(jié)點(diǎn)之間的距離相等。試求這個(gè)物體在水平方向做微小扭動(dòng)的周期。分析：此題的分析角度大變。象分析其它物理問(wèn)題一樣，分析振動(dòng)也有動(dòng)力學(xué)途徑和能量?jī)煞N途徑，此處若援用動(dòng)力學(xué)途徑尋求回復(fù)力系數(shù)k有相當(dāng)?shù)碾y度，因此啟用能量分析。本題的任務(wù)不在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的證明，而是可以直接應(yīng)用簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的相關(guān)結(jié)論。根據(jù)前面的介紹，任何簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的總能都可以表達(dá)為E = kA2 而我們對(duì)過(guò)程進(jìn)行具體分析時(shí)，令最大擺角為（為了便于尋求參量，這里把擺角夸大了）、環(huán)和球的質(zhì)量均為m ，發(fā)現(xiàn)最大的勢(shì)能（即總能）可以表達(dá)為（參見(jiàn)圖19）E = 2m·gL(1 co

14、s) 且振幅A可以表達(dá)為A = 2Lsin 解式易得：k = 最后求周期時(shí)應(yīng)注意，中間的球體未參與振動(dòng)，故不能納入振子質(zhì)量（振子質(zhì)量只有m）。答：T = 。三、振動(dòng)的合成物理情形：如圖20所示，一個(gè)手電筒和一個(gè)屏幕的質(zhì)量均為m ，都被彈性系數(shù)為k的彈簧懸掛著。平衡時(shí)手電筒的光斑恰好照在屏幕的正中央O點(diǎn)?，F(xiàn)在令手電筒和屏幕都在豎直方向上振動(dòng)（無(wú)水平晃動(dòng)或扭動(dòng)），振動(dòng)方程分別為y1 = Acos(t + 1)，y2 = Acos(t + 2) 。試問(wèn)：兩者初位相滿足什么條件時(shí)，可以形成這樣的效果：（1）光斑相對(duì)屏幕靜止不動(dòng)：（2）光斑相對(duì)屏幕作振幅為2A的振動(dòng)。模型分析：振動(dòng)的疊加包括振動(dòng)的相加和

15、相減。這里考查光斑相對(duì)屏幕的運(yùn)動(dòng)事實(shí)上是尋求手電筒相對(duì)屏幕的振動(dòng)，服從振動(dòng)的減法。設(shè)相對(duì)振動(dòng)為y ，有y = y1 y2 = Acos(t + 1) Acos(t + 2) = 2Asinsin()解說(shuō)：（1）光斑相對(duì)屏幕靜止不動(dòng)，即y = 0 ，得 1 = 2 （2）要振幅為2A ，必須 = 1 ，得1 2 = ±答案：初位相相同；初位相相反。相關(guān)變換：一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)垂直的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其表達(dá)式分別為x = 2cos(2t +2) ，y = sint 。（1）設(shè) = ，求質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程，并在xOy平面繪出其曲線；（2）設(shè) = ，軌跡曲線又怎樣？解：兩個(gè)振動(dòng)方程事實(shí)已經(jīng)構(gòu)成了質(zhì)點(diǎn)軌跡

16、的參數(shù)方程，我們所要做的，只不過(guò)是消掉參數(shù)，并尋求在兩個(gè)具體值下的特解。在實(shí)際操作時(shí)，將這兩項(xiàng)工作的次序顛倒會(huì)方便一些。（1）當(dāng) = 時(shí)，x = 2(1 2sin2t) ，即 x = 4y2 2描圖時(shí)應(yīng)注意，振動(dòng)的物理意義體現(xiàn)在：函數(shù)的定義域 1 y 1 (這事實(shí)上已經(jīng)決定了值域 2 x 2 )（2）當(dāng) =時(shí)，同理 x = 2(1 2sin2t)= 2 4y2 答：軌跡方程分別為x = 4y2 2和x = 2 4y2 ，曲線分別如圖21的（a）（b）所示四、簡(jiǎn)諧波的基本計(jì)算物理情形：一平面簡(jiǎn)諧波向x方向傳播，振幅A = 6cm ，圓頻率= 6rad/s ，當(dāng)t = 2.0s時(shí)，距原點(diǎn)O為12c

17、m處的P點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)為yP = 3cm ，且vP 0 ,而距原點(diǎn)22cm處的Q點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)為yQ = 0 ，且vQ 0 。設(shè)波長(zhǎng)10cm ，求振動(dòng)方程，并畫(huà)出t = 0時(shí)的波形圖。解說(shuō)：這是一個(gè)對(duì)波動(dòng)方程進(jìn)行了解的基本訓(xùn)練題。簡(jiǎn)諧波方程的一般形式已經(jīng)總結(jié)得出，在知道A、的前提下，加上本題給出的兩個(gè)特解，應(yīng)該足以解出v和值。由一般的波動(dòng)方程y = Acos（t - ）+ （說(shuō)明：如果我們狹義地理解為波源就在坐標(biāo)原點(diǎn)的話，題目給出特解是不存在的因?yàn)椴ㄏ騲方向傳播所以，此處的波源不在原點(diǎn)。同學(xué)們自己理解：由于初相的任意性，上面的波動(dòng)方程對(duì)波源不在原點(diǎn)的情形也是適用的。）參照簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移方程和速度方

18、程的關(guān)系，可以得出上面波動(dòng)方程所對(duì)應(yīng)質(zhì)點(diǎn)的速度（復(fù)變函數(shù)）v = Asin（t - ）+ 代t = 2.0s時(shí)P的特解，有yP = 6cos6（2 - ）+ = 3 ，vP = 36sin6（2 - ）+ 0即 6（2 - ）+ = 2k1 - 代t = 2.0s時(shí)Q的特解，有yQ = 6cos6（2 - ）+ = 0 ，vQ = 36sin6（2 - ）+ 0即 6（2 - ）+ = 2k2 + 又由于 = 22 12 = 10 ，故k1 = k2 。解兩式易得v = 72cm/s ， = （或）所以波動(dòng)方程為：y = 6cos6（t + ）+ ，且波長(zhǎng)= v = 24cm 。當(dāng)t = 0時(shí)，y = 6cos（x + ），可以描出y-x圖象為答案：波動(dòng)方程為y = 6cos6（t + ）+ ，t = 0時(shí)的波形圖如圖22所示。相關(guān)變換：同一媒質(zhì)中有甲、乙兩列平面簡(jiǎn)諧波，波源作同頻率、同方向、同振幅的