第一章 知識點(diǎn)ppt課件

1、 第一章 數(shù)列，極限及連續(xù)性一一 、數(shù)列的定義、數(shù)列的定義例如例如;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n注意：注意： 1.數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)數(shù)).(nfxn ;,)1( , 1 , 1, 11 n)1(1 n;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn ,333,33, 3 例例1 求下列極限：求下列極限：nnnnnnnnnnnnnn)1(lim)4()1(1321211lim)3(313131121212

2、11lim)2(143lim)1(2222 二、數(shù)列極限的性質(zhì)二、數(shù)列極限的性質(zhì)1.收斂數(shù)列的有界性收斂數(shù)列的有界性例如例如,;1 nnxn數(shù)列數(shù)列.2nnx 數(shù)數(shù)列列數(shù)數(shù)軸軸上上對對應(yīng)應(yīng)于于有有界界數(shù)數(shù)列列的的點(diǎn)點(diǎn)nx都都落落在在閉閉區(qū)區(qū)間間,MM 上上.有界有界無界無界注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件.推論推論 無界數(shù)列必定發(fā)散無界數(shù)列必定發(fā)散. .2.收斂數(shù)列的保號性收斂數(shù)列的保號性).0(0, 0),0(0,lim2 nnnnxxNnNaaax或或時(shí)，都有時(shí)，都有當(dāng)當(dāng)那么存在那么存在或或且且：如果：如果定理定理推論推論).0(0,lim00 或或則則）且

3、且（或或從從某某項(xiàng)項(xiàng)起起有有若若數(shù)數(shù)列列aaxxxxnnnnn3. 收斂數(shù)列的歸并性收斂數(shù)列的歸并性(子數(shù)列的收斂性子數(shù)列的收斂性) 定理定理3：如果數(shù)列收斂，那么它的子數(shù)列也收：如果數(shù)列收斂，那么它的子數(shù)列也收斂并斂并 且收斂于同一值。且收斂于同一值。 課本課本P40 例例9 4.唯一性唯一性定理定理4 4 每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限. .三、函數(shù)極限的定義三、函數(shù)極限的定義 自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限 自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限1、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限.sin時(shí)時(shí)的的

4、變變化化趨趨勢勢當(dāng)當(dāng)觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx播放播放)()()(lim xAxfAxfx當(dāng)當(dāng)或或:.10情情形形 x:.20情形情形xAxfx )(limAxfx )(lim自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限單側(cè)極限單側(cè)極限)()()(lim00 xxAxfAxfxx 當(dāng)當(dāng)或或.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或2.自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或單側(cè)極限單側(cè)極限3.單側(cè)極限單側(cè)極限:例如例如,. 1)(lim0, 10,1)(02 xfxxxxxfx證明證明設(shè)設(shè)兩種情況分

5、別討論兩種情況分別討論和和分分00 xx,0 xx從左側(cè)無限趨近從左側(cè)無限趨近; 00 xx記記作作,0 xx從右側(cè)無限趨近從右側(cè)無限趨近; 00 xx記記作作yox1xy 112 xy.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定定理理.lim0不不存存在在驗(yàn)驗(yàn)證證xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右極限存在但不相等左右極限存在但不相等,.)(lim0不不存存在在xfx例例2證證1)1(lim0 xxxxxxx00limlim 11lim0 x函數(shù)極限的統(tǒng)一定義函數(shù)極限的統(tǒng)一定義;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx

6、;)(lim0Axfxx ;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx 例例3試試問問函函數(shù)數(shù) 0,50,100,1sin)(2xxxxxxxf在在0 x處處的的左左、右右極極限限是是否否存存在在？當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí)，)(xf的的極極限限是是否否存存在在？解解)(lim0 xfx, 5)5(lim20 xx左極限存在左極限存在,)(lim0 xfx, 01sinlim0 xxx右極限存在右極限存在,)(lim0 xfx)(lim0 xfx)(lim0 xfx不存在不存在.1、無窮小、無窮小1.1 定義定義:極限為零的變量稱為無窮小極限為零的變量稱為無窮小.四、極限的運(yùn)算法則四、極限的運(yùn)算法則

7、例如例如, 0sinlim0 xx.0sin時(shí)時(shí)的的無無窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù)xx, 01lim xx.1時(shí)時(shí)的的無無窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù) xx, 0)1(lim nnn.)1(時(shí)的無窮小時(shí)的無窮小是當(dāng)是當(dāng)數(shù)列數(shù)列 nnn注意注意1.無窮小是變量無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆不能與很小的數(shù)混淆;2.零是可以作為無窮小的唯一的數(shù)零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).意義意義 1.將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題(無窮無窮小小);).(,)()(. 20 xAxfxxf 誤差為誤差為附近的近似表達(dá)式附近的近似表達(dá)式在在給出了函數(shù)給出了函數(shù)1.2.無窮小的運(yùn)算性質(zhì)無窮

8、小的運(yùn)算性質(zhì):定理定理1 在同一變化過程中在同一變化過程中,有限個(gè)無窮小的代有限個(gè)無窮小的代數(shù)和仍是無窮小數(shù)和仍是無窮小.注意無窮多個(gè)無窮小的代數(shù)和未必是無窮小注意無窮多個(gè)無窮小的代數(shù)和未必是無窮小. .定理定理2 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論推論1 在同一變化過程中在同一變化過程中,有極限的變量與無窮小有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小的乘積是無窮小.推論推論2 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論推論3 有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小.xxxxx1arctan,1sin,0,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)例例如如都是無窮小都

9、是無窮小2、無窮大、無窮大*絕對值無限增大的變量稱為無窮大絕對值無限增大的變量稱為無窮大.特殊情形：正無窮大，負(fù)無窮大特殊情形：正無窮大，負(fù)無窮大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或注意注意 1.無窮大是變量無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆不能與很大的數(shù)混淆;3. 無窮大是一種特殊的無界變量無窮大是一種特殊的無界變量,但是無但是無界變量未必是無窮大界變量未必是無窮大.)(lim. 20認(rèn)為極限存在認(rèn)為極限存在切勿將切勿將 xfxxxxy1sin1 .,1sin1,0,但但不不是是無無窮窮大大是是一一個(gè)個(gè)無無界界變變量量時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)例例如如xxyx 1(1)(0,1,2,3,

10、)22kxkk 取取()2,2ky xk lim().kkyx 無無 界界1(2)(0,1,2,3,)2kxkk 取取lim0 ,kkx 則則 kkxyk2sin2)(但但.0M 不是無窮大不是無窮大11lim.1xx .)(,)(lim:00的圖形的鉛直漸近線的圖形的鉛直漸近線是函數(shù)是函數(shù)則直線則直線如果如果定義定義xfyxxxfxx 11 xy.)(,)(lim:的的圖圖形形的的水水平平漸漸近近線線是是函函數(shù)數(shù)則則直直線線如如果果定定義義xfycycxfx 直線直線 為函數(shù)的鉛直漸近線。為函數(shù)的鉛直漸近線。1x 直線直線 為函數(shù)的水平漸近線。為函數(shù)的水平漸近線。0y 1lim.1xx 3、

11、無窮小與無窮大的關(guān)系、無窮小與無窮大的關(guān)系2.cot,0,111tan,0,0,yxxyyxxyyy 例例當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)為為無無窮窮大大. .當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)為為無無窮窮小小3.tan ,0,0,111cot ,0,yxxyyxxyyy 例例當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)為為無無窮窮小小當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)為為無無窮窮大大. .定理定理4 4 在同一變化過程中在同一變化過程中, ,無窮大的倒數(shù)為無無窮大的倒數(shù)為無窮小窮小; ;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大. .4、極限運(yùn)算法則、極限運(yùn)算法則定理定理. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfB

12、AxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中則則設(shè)設(shè)推論推論1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 則則為為常常數(shù)數(shù)而而存存在在如如果果常數(shù)因子可以提到極限記號外面常數(shù)因子可以提到極限記號外面.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 則則是是正正整整數(shù)數(shù)而而存存在在如如果果推論推論2 25、極限計(jì)算舉例、極限計(jì)算舉例例例4 4.531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx52322 , 03 531lim232 xxxx.37 解解)32(lim21 xxx, 0 商的法則不能用商的法則不能用)14(lim1 xx又又, 03 1432lim21

13、 xxxx. 030 由無窮小與無窮大的關(guān)系由無窮小與無窮大的關(guān)系,得得例例5 5.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx分母 = 0 , 分子0 ,注 在不能直接用極限的四則運(yùn)算法則時(shí)，可先考慮 將函數(shù)適當(dāng)變形，再考慮能否用極限的四則運(yùn)算法則。常用的變形方法有：通分，消去零因子，用非零因子同乘或同除分子分母，分子或分母有理化，等等。解解例例6 6.321lim221 xxxx求求。1 1后后再再求求極極限限因因子子先先約約去去不不為為零零的的無無窮窮小小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 )00(型型（

14、消去零因子法）（消去零因子法）例例7 7.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的極限都是無窮大分母的極限都是無窮大分子分子時(shí)時(shí) x)(型型 .,3再再求求極極限限分分出出無無窮窮小小去去除除分分子子分分母母先先用用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 (無窮小因子分出法無窮小因子分出法)“ 抓大頭抓大頭”小結(jié)小結(jié): :為為非非負(fù)負(fù)整整數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)有有和和當(dāng)當(dāng)nmba, 0, 000 , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)無窮小分出法無窮小分出法: :以分母中自變量的最高次冪除分以分母中

15、自變量的最高次冪除分子子, ,分母分母, ,以分出無窮小以分出無窮小, ,然后再求極限然后再求極限. .例8 求解 )1311(lim31xxx ) )型型( ( )1311(lim31xxx321131limxxxx )1(2lim321 xxxx12lim321 xxxx) )型型0 00 0( ()1)(1()1)(2(lim21 xxxxxx12lim21 xxxx. 1) )通分通分( (（消去零因子法）（消去零因子法）例9求xxx11lim0 解解xxx11lim0 ) )型型0 00 0( (（分子有理化）（分子有理化）)11()11)(11(lim0 xxxxx)11(1)1(

16、lim0 xxxx111lim0 xx.21 例10 求3662lim3 xxx解解) )型型0 00 0( (（分母有理化）（分母有理化）3662lim3 xxx)36)(36()36)(62(lim3 xxxxx9)6()36)(62(lim3 xxxx)36(2lim3 xx.12例例1111.sinlimxxx 求求解解為為無無窮窮小小，時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)xx1 是是有有界界函函數(shù)數(shù)，而而xsin. 0sinlim xxxxxysin 例例1212).(lim,0, 10,1)(02xfxxxxxfx 求求設(shè)設(shè)解解單側(cè)極限為單側(cè)極限為是函數(shù)的分段點(diǎn)，兩個(gè)是函數(shù)的分段點(diǎn)，兩個(gè)0 x)1(lim)

17、(lim00 xxfxx , 1 )1(lim)(lim200 xxfxx, 1 左右極限存在且相等左右極限存在且相等,.1)(lim0 xfx故故yox1xy 112 xy例例1313).21(lim222nnnnn 求求解解是是無無窮窮小小之之和和時(shí)時(shí), n222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先變形再求極限先變形再求極限.例例14 )2ln(lim 2xxx 2)4ln(lim 0 ttt換元法例例15150ln(1)limxxx . 1 xxx10)1ln(lim 原原式式)1(limln10 xxx eln 解解

18、極限符號可以與函數(shù)符號互換極限符號可以與函數(shù)符號互換;6.夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則x00 x0 x0 xy ay ayay )(xhy )(xfy )(xgy 注意注意: :.,的的極極限限是是容容易易求求的的與與并并且且與與鍵鍵是是構(gòu)構(gòu)造造出出利利用用夾夾逼逼準(zhǔn)準(zhǔn)則則求求極極限限關(guān)關(guān)nnnnzyzy原則原則 I和準(zhǔn)則和準(zhǔn)則I稱為夾逼準(zhǔn)則稱為夾逼準(zhǔn)則.例例1616).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼定理得由夾逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn

19、注：注：1) 1) 求求n n項(xiàng)和的數(shù)列極限時(shí)常用夾逼準(zhǔn)則。項(xiàng)和的數(shù)列極限時(shí)常用夾逼準(zhǔn)則。 2) 2) 使用夾逼準(zhǔn)則時(shí)需要對極限的值有個(gè)猜測使用夾逼準(zhǔn)則時(shí)需要對極限的值有個(gè)猜測。求求極極限限例例,1172nnxn 222211nnnnnx1x2x3x1 nxnx7、單調(diào)有界準(zhǔn)則、單調(diào)有界準(zhǔn)則滿滿足足條條件件如如果果數(shù)數(shù)列列nx,121 nnxxxx單調(diào)增加單調(diào)增加,121 nnxxxx單調(diào)減少單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列準(zhǔn)準(zhǔn)則則 單單調(diào)調(diào)有有界界數(shù)數(shù)列列必必有有極極限限.幾何解釋幾何解釋:AM注注: : 此準(zhǔn)則只給出了極限存在的充分性條件，并沒此準(zhǔn)則只給出了極限存在的充分性條件，并沒有給出極限是什

20、么。但是，在已知極限存在時(shí)常可以有給出極限是什么。但是，在已知極限存在時(shí)?？梢酝ㄟ^一些方法求出極限特別是由遞推公式給出的數(shù)通過一些方法求出極限特別是由遞推公式給出的數(shù)列的極限問題）。列的極限問題）。8、兩個(gè)重要極限、兩個(gè)重要極限(1)1sinlim0 xxx例例18. 求求xxx5sinlim0例例19. 求求xxxtanlim0例例20. 求求.)(3sinlimaxaxax例例21. 求求.cos1lim20 xxx例例18. 求求解解:xxx5sinlim0555sinlim55sinlim00 xxxxxx例例19. 求求解解:xxxtanlim0 xxxxxxxcos1sinlimt

21、anlim001cos1limsinlim00 xxxxx例例20. 求求解解: xa時(shí)，時(shí)， (x)= xa 0, 故故.)(3sinlimaxaxax3)(3sinlimaxaxax例例21. 求求解解:.cos1lim20 xxx2122sinlim2120 xxx220202sin2limcos1limxxxxxx22022sin21limxxx一般地，(i)kxxkxsinlim0(k為常數(shù)).(ii) 當(dāng)xx0(或x )時(shí)，(x)0，那么. 1)()(sinlim)(0 xxxxx注意：注意：xxx10sinlim1100 xxxsinlim10 xxxsinlim1xxx1sin

22、lim(2)exxx )11(lim（利用單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則）（利用單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則）ennn )11(limexxx 10)1(lim,1xt 令令)71828. 2( e例例2222.)11(limxxx 求求解解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e 例例2323.)(limxxxx21求解解22)11(lim)11(limxxxxxx 原式原式.2e 例例24. 求求解解:.)tan31(lim2cot20 xxx xxx2cot20)tan31(lim33tan31202)tan31(limexxx B)x(gXxXxXxg(x)A)x( flim B)x(gl

23、im , 0A)x( flim ,f(x)y 則則有有設(shè)設(shè)冪指函數(shù)冪指函數(shù).)(limsinxxx201求例例2525.)23(lim2xxxx 求求解解222)211(lim xxxx原式原式.2e 例例26269、無窮小的比較、無窮小的比較無窮小之比的極限無窮小之比的極限0/0可以出現(xiàn)各種情況：可以出現(xiàn)各種情況：極限不同極限不同, 反映了趨向于零的反映了趨向于零的“快慢程度不同快慢程度不同.例如例如,xxx20limxxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,022都是無窮小都是無窮小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxxxx ; 2快得多快得多比比 xx;sin大大致致相相同同與與xx

24、不可比不可比., 0 , 1 xx1sinlim0 .不不存存在在觀察各極限觀察各極限型）型）（0020limxxx; 2慢慢得得多多比比 xx, );(, 0lim)1( o記記作作高高階階的的無無窮窮小小是是比比就就說說如如果果定義定義: :. 0, 且且窮小窮小是同一過程中的兩個(gè)無是同一過程中的兩個(gè)無設(shè)設(shè);),0(lim)2(是是同同階階的的無無窮窮小小與與就就說說如如果果 CC;, 1lim 記作記作是等價(jià)的無窮小是等價(jià)的無窮小與與則稱則稱如果如果特殊地特殊地.),0, 0(lim)3(無窮小無窮小階的階的的的是是就說就說如果如果kkCCk ，03lim20 xxx，1sinlim0

25、xxx高階的無窮小，高階的無窮小，是比是比時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)xxx302；即即)0( )3(2 xxox).0( sinxxx例例1例例,lim212112nnnn例例3是是同同階階無無窮窮小小。與與時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)nnnn2112例例2727解解.tan4 ,0:3的的四四階階無無窮窮小小為為時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)證證明明xxxx 430tan4limxxxx30)tan(lim4xxx , 4 .tan4 ,03的的四四階階無無窮窮小小為為時(shí)時(shí)故故當(dāng)當(dāng)xxxx 例例2828.sintan,0的的階階數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于求求時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxx 解解30sintanlimxxxx )cos1tan(lim20 xxxxx ,21

26、 .sintan的三階無窮小的三階無窮小為為xxx 10、等價(jià)無窮小、等價(jià)無窮小定理定理( (等價(jià)無窮小替換定理等價(jià)無窮小替換定理) ).limlim,lim, 則則存存在在且且設(shè)設(shè)1、等價(jià)無窮小的代換性質(zhì)、等價(jià)無窮小的代換性質(zhì)例例2929.cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)22021)2(limxxx 原式原式. 8 不能濫用等價(jià)無窮小代換不能濫用等價(jià)無窮小代換.對于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換對于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換. .注意注意結(jié)論結(jié)論P(yáng)60）例例3030.2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,t

27、an,0 xxxxx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 30)2(limxxxx 原式原式. 0 解解,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 錯(cuò)錯(cuò) 時(shí)的幾個(gè)常見的等價(jià)無窮小時(shí)的幾個(gè)常見的等價(jià)無窮小*02x、例例31例例34例例32例例33xexx10lim求求10 xxxarcsinlim證：證：axxax110)(lim求求xxx)ln(lim10求求常用等價(jià)無窮小常用等價(jià)無窮小: :時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) 0 x，xxxxxx)1ln(arctanarcsintansin )0(1)1(,21cos1,12 aaxxxxxeax),(ln

28、101aaaxax總結(jié)總結(jié)1.極限的四則運(yùn)算法則及其推論極限的四則運(yùn)算法則及其推論;2.極限求法極限求法;a.多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出法求極限無窮小因子分出法求極限;d.利用無窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限利用無窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限利用左右極限求分段函數(shù)極限.特殊：1.裂項(xiàng)2.分子或分母有理化3.換元法4.夾逼法5.數(shù)列求和6.多項(xiàng)式除法（區(qū)別x趨于無窮大還是無窮?。?.重要極限8.等價(jià)無窮小替換(乘積) 課堂練習(xí)題課堂練習(xí)題例例34、求下列極限：、求下列極限：1、 2、3、 4、x

29、xxln)1arcsin(lim1mnxxx)(sin)sin(lim0)cos1 (cos1lim0 xxxx11sin( )1lim()xxxx 次序排列起來：次序排列起來：的的的無窮小按低階到高階的無窮小按低階到高階、將下列、將下列例例035x).arctan()(,)(,)cos()(,)(),ln()(sin322125141311211xexxxx可見 , 函數(shù))(xf在點(diǎn)0 x定義定義1:)(xfy 在0 x的某鄰域內(nèi)有定義 , , )()(lim00 xfxfxx則稱函數(shù).)(0連續(xù)在xxf(1) )(xf在點(diǎn)0 x即)(0 xf(2) 極限)(lim0 xfxx(3). )(

30、)(lim00 xfxfxx設(shè)函數(shù)連續(xù)必須具備下列條件:存在 ;且有定義 ,存在 ;五、函數(shù)的連續(xù)性五、函數(shù)的連續(xù)性例例3636.0, 0, 0, 0,1sin)(處處連連續(xù)續(xù)在在試試證證函函數(shù)數(shù) xxxxxxf證證, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定義由定義1知知.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù) xxf),0()(lim0fxfx 11.1單側(cè)連續(xù)單側(cè)連續(xù);)(),()0(,()(0000處左連續(xù)處左連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則稱則稱且且內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在若函數(shù)若函數(shù)xxfxfxfxaxf 結(jié)論：結(jié)論：.)()(00處處既既左左連連續(xù)續(xù)又又右右連連續(xù)續(xù)在在是是函函數(shù)數(shù)處處連連續(xù)續(xù)在在函

31、函數(shù)數(shù)xxfxxf.)(),()0(,),)(0000處右連續(xù)處右連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則稱則稱且且內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在若函數(shù)若函數(shù)xxfxfxfbxxf 例例3737.0, 0, 2, 0, 2)(連連續(xù)續(xù)性性處處的的在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右連續(xù)但不左連續(xù)右連續(xù)但不左連續(xù) ,.0)(處不連續(xù)處不連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)故函數(shù)故函數(shù) xxf11.2、區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)、區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù),或者說

32、函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).11.3、函數(shù)的間斷點(diǎn)、函數(shù)的間斷點(diǎn)處不連續(xù)或間斷。處不連續(xù)或間斷。在點(diǎn)在點(diǎn)此時(shí)也稱此時(shí)也稱0 xxf)(;)()(處無定義處無定義在點(diǎn)在點(diǎn)01xxf;)(lim)()(不不存存在在處處有有定定義義，但但在在點(diǎn)點(diǎn)xfxxfxx002).()(lim)(lim)()(00003xfxfxfxxfxxxx但但存存在在，處處有有定定義義且且在在點(diǎn)點(diǎn)).()()(或或間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)的的不不連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)是是那那么么一一，處處出出現(xiàn)現(xiàn)以以下下三三種種情情況況之之在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果xfxxxf00(1)可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn).)()(),()(lim,)(00000的的

33、可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)義義則則稱稱點(diǎn)點(diǎn)處處無無定定在在點(diǎn)點(diǎn)或或但但處處的的極極限限存存在在在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果xfxxxfxfAxfxxfxx 例例3838.1, 1,11, 10, 1,2)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 解解, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f .0為函數(shù)的可去間斷點(diǎn)x注意注意 可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義數(shù)的定義, , 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn)則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn). .如例如例38中中, 2)1( f令令.1, 1,1, 1

34、0,2)(處連續(xù)處連續(xù)在在則則 xxxxxxfoxy112(2)跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn).)(),0()0(,)(0000的的跳跳躍躍間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱點(diǎn)點(diǎn)但但存存在在右右極極限限都都處處左左在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果xfxxfxfxxf 例例3939.0, 0,1, 0,)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0為為函函數(shù)數(shù)的的跳跳躍躍間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) xoxy可去間斷點(diǎn)與跳躍間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)與跳躍間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn). .特點(diǎn)特點(diǎn).0處的左、右極限都存在處的左、右極限都存在函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在

35、點(diǎn) x(3)第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn).)(,)(00的第二類間斷點(diǎn)的第二類間斷點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)則稱點(diǎn)則稱點(diǎn)在在右極限至少有一個(gè)不存右極限至少有一個(gè)不存處的左、處的左、在點(diǎn)在點(diǎn)如果如果xfxxxf例例4040.0, 0, 0,1)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解oxy, 0)00( f,)00( f.0為函數(shù)的第二類間斷點(diǎn)x.斷斷點(diǎn)點(diǎn)這這種種情情況況稱稱為為無無窮窮間間例例4141.01sin)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxf解解xy1sin ,0處沒有定義處沒有定義在在 x.1sinlim0不不存存在在且且xx.0為為第第二二類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) x

36、.點(diǎn)這種情況稱為振蕩間斷注意注意 不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn)不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn). .可去型可去型第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)oyx跳躍型跳躍型無窮型無窮型振蕩型振蕩型第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)oyx0 xoyx0 xoyx0 xo1x2x3xyx xfy 判斷下列各間斷點(diǎn)類型判斷下列各間斷點(diǎn)類型:例例4242例例4343.0, 0, 0,cos)(,處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù)取取何何值值時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xxxaxxxfa解解xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af ),0()00()00(fff 要要使使,1時(shí)時(shí)故

37、當(dāng)且僅當(dāng)故當(dāng)且僅當(dāng) a.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù) xxf, 1 a六、最大值和最小值定理六、最大值和最小值定理.)()()()()()()(,),(0000值值小小上的最大上的最大在區(qū)間在區(qū)間是函數(shù)是函數(shù)則稱則稱都有都有使得對于任一使得對于任一如果有如果有上有定義的函數(shù)上有定義的函數(shù)對于在區(qū)間對于在區(qū)間IxfxfxfxfxfxfIxIxxfI 定理定理1 1 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在該區(qū)間上有界閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在該區(qū)間上有界并一定有最大值和最小值并一定有最大值和最小值. .注意注意:1.:1.若區(qū)間是開區(qū)間若區(qū)間是開區(qū)間, , 定理不一定成立定理不一定成立; ; 2. 2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn)若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn), , 定理不一定定理不一定成立成立. .七、零點(diǎn)定理與介值定理七、零點(diǎn)定理與介值定理定義定義: :.)(, 0)(000的的零零點(diǎn)點(diǎn)稱稱為為函函數(shù)數(shù)則則使使如如果果xfxxfx .),(0)(內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)根根在在即即方方程程baxf ab3 2 1 幾何解釋幾何解釋:.,)(軸至少有一個(gè)交點(diǎn)軸至少有一個(gè)交點(diǎn)線弧與線弧與則曲則曲軸的不同側(cè)軸的不同側(cè)端點(diǎn)位于端