寧波理工微積分輔導1-(極限與連續(xù))

1、微積分（微積分（1）輔導）輔導（一）（一）浙江大學數學系浙江大學數學系陳陳 錦錦 輝輝2022-2-52數學的學習數學的學習o 概念要清晰、定理要熟悉；o 計算方法要熟練掌握，并善于總結、歸納；o 養(yǎng)成良好的學習習慣(仔細)；o 通過適當的訓練，提高自己分析問題與解決問題 的能力；o 平時要做到：聽、記、想；要勤記勤思考.2022-2-532022-2-53第一章、極限與連續(xù)第一章、極限與連續(xù)知識點：知識點：(1) 數列極限的性質、計算和存在性證明；(2) 函數極限的定義與性質；(3) 函數極限的計算（不定型的極限）；(4) 函數的連續(xù)與間斷；(5) 閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質.2022-2-54

2、2022-2-54一、數列極限的定義與性質一、數列極限的定義與性質(1)lim00.().(2)0.nnnnnaANnNaAAAaMnNaM 數列極限的定義：對，當時，有幾何意義：落在區(qū)間，外的項只有有限項數列極限的性質：唯一性：若數列收斂，則極限唯一；有界性：收斂數列一定有界；即：若數列收斂，則存在，對任意均有2022-2-552022-2-55數列極限的定義與性質數列極限的定義與性質（續(xù)）（續(xù)）lim000. ().23000.nnnnnaAANA AnNaANnNAaAaA 保號性：若，則：對，當時，有實際應用時，常取、數列極限保號性的證明：取，對此，當時，有即：【注】：數列極限保號性與

3、函數極限保號性在證明與極限有關的問題時，經常用到.2022-2-562022-2-56【例題例題1】( )( )0( )0( )().f xabfafbf xab設在 ，上可導，且，則：在 ，內有最大值1122( )( )(1)( )lim00( )( )0( )( ).0( )( ).(2)( )( )(1)( )()( )max( ).xaa x bf xf afaxaf xf aaxaf xf axabxbf xf bf xabf xabf xabff x 由于，則：，當時，同樣，當時，又在 ，上連續(xù)，從而在 ，上有最大值，根據的最大值不可能在端點取到；因此，存在，使得【注( )()(

4、)0.f xabFermatf】：若在 ，內可導，由定理，2022-2-572022-2-57二、數列極限的存在性二、數列極限的存在性0(1)() limlimlim.(.) nnnnnnnnnnnnnnabcabcacAbAnnac兩邊夾 夾逼 定理：若數列、滿足，且，則：上面不等式只要對成立即可【注】：利用兩邊夾定理證明數列收斂，關鍵在于適當的“縮放”，即“縮小”、“放大”后所得的數列與極限存在且相等；否則說明不了問題.2022-2-582022-2-58【例題例題2】 22262626212lim.12nnnnnn計算：2226262622223622226262362222626262

5、121212(1)(21)6112(1)(21).6(1)(21)1(1)(21)1limlim.633612lim12nnnnnnnSnnnnnn nnSnnnn nnSnnnnn nnn nnnnnnnnnn記，則：，而，因此，1.32022-2-592022-2-59數列極限的存在性數列極限的存在性（續(xù)）（續(xù)）.nan【注】：利用單調收斂準則證明數列極限的存在，關鍵在于證明數列既是單調的，又是有界的；單調遞減有下界，單調遞增有上界由于數列通項與有關，因此，證明數列單調與有界時，數學歸納法是很實用的方法 可根據實際情況先后證明單調性或有界性.單調遞增數列的極限為其最小上界；單調遞減數列的極

6、限為其最大下界.(2).單調收斂準則：單調有界數列一定有極限2022-2-5102022-2-51011122123111212(1)()( ).( )()().()().nnnnnnnnnnnaaaf af xaaaf xaf af aaaaaf af aaaaaa設，且，若函數單調遞增，則： 數列單調遞增或遞減如果，由于單調遞增，則：假設，則：因此，數列單調遞增如果，則同樣可證明：數列單調遞減1()nnaf a遞推式為：的數列的單調性數列單調性的判別數列單調性的判別2022-2-5112022-2-511數列單調性的判別數列單調性的判別（續(xù)）（續(xù)）112211221232332343413

7、2134324521212(2)()( ) .()()().()().()()()().(nnnnnnnaaaf af xaaaaaf af aaaaaf af aaaaaaaf af aaaf af aaaaaf設，且，若單調遞減，則：子列、分別單調 一個遞增，另一個遞減.如果，則：，即：因此，即：如果，則：假設，則：212122212222321213212)()()().limlimlim.nnnnnnnnnnnnnnnaf aaaf af aaaaaaaaa，因此，數列單調遞增同樣可證，單調遞減如果，可得出類似結論最后，再計算極限、；如果它們相等，則存在2022-2-5122022-2

8、-512【例題例題3】 12lim121.32121.1nnxxxxxxx【分析】：如果數列極限存在，記，則：由于， 而其極限為 ，故數列應該單調遞減，且有下界下面用數學歸納法證明該數列單調遞減有下界 .11122()limnnnnxxnNxx設，求證：存在并求其極限.2022-2-5132022-2-513【例題例題3（續(xù)）（續(xù)）】112111111111(1)21121. 1(2)11(2)(2)0. .(1) (2) .1lim2nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx，假設，則：因此，有下界 ；由于，若，則：因此，單調遞減由、

9、 可得，數列單調遞減且有下界，故，收斂令，等式兩邊同時求極限，可得：1.2022-2-5142022-2-514【練習題練習題1】121101. .3nnnnnnxxxxxx顯然，故，有下界3112212lim.3nnnnnxxxxx設，且，證明：存在并計算其極限31210.3lim.lim1.nnnnnnnnnxxxxxxx則：單調遞減由上可得，存在 容易計算：.1.【注】：本題中單調性的證明需要知道數列的有界性因此，要先證明數列有下界2022-2-5152022-2-515數列極限存在的練習題數列極限存在的練習題1111111(1)lim12(2)46lim.(3)36lim.nnnnnn

10、nnnnnaannnnaaaaaaaa設，證明：極限存在.設，且，證明：存在，并計算此極限設，且，證明：存在，并計算此極限L11(3)211262222262lim2.nnnnnnnnnnaaaaaaaaa【注】：第題，數列的奇偶子列分別單調；本題可用下面方法證明：根據夾逼原理，數列收斂，且L2022-2-5162022-2-516三、函數極限三、函數極限00000()lim( )000( ).lim( )0000( ).23xxxxxxf xAMxxf xMf xAAxxf xAA 一 函數極限的性質：唯一性：若函數在處有極限，則極限唯一；局部有界性：若，則：和， 當時，有保號性：若，則：對

11、，當時，有【注】：實際應用時，經常取或2022-2-5172022-2-517函數極限的四則運算法則函數極限的四則運算法則00000lim( )lim( )lim( )( )lim( )lim( ).(0)().xxxxxxxxxxf xAg xBf xg xf xg xA BB 設，則：其中：“”表示：+、-、 . 除法運算時，【注意】：在運用極限四則運算法則時，要求運算的函數數列 極限均存在，且只能作有限次運算2022-2-5182022-2-5181“ ”型極限的計算( )( )( )lim( )0 lim ( )lim( ) ( )lim 1( ).ln 1( )limln 1( )l

12、im ( ) ( )( )lim 1( ).xaxaxag xAxag xxaxag xAxaf xg xf x g xAf xef xf xf x g xAf xf xe 設，且，則：由于，根據連續(xù)函數的性質，( ) ( )1( )( )lim 1( )lim1( ).f x g xg xAf xxaxaf xf xe此類極限計算的說明：2022-2-5192022-2-519【例題例題4】13(21)352133521(1).323limlim 1.3535xxxxxxxexx該極限為“ ” 的類型，將其表示為：的形式其中： 為無窮小量2132lim. (1)35xxxx求：型2022-2

13、-5202022-2-520四、極限的計算四、極限的計算(1) 先確定極限的類型；(2) 經過初等變換和無窮小量的等價替換無窮小量的等價替換，化 簡函數表達式(使求導計算盡可能簡單)；(3) 分母若為低階無窮小量，可用羅比塔法則； 若為高階無窮小量，一般用泰勒展開. 【注意】：極限計算時要弄清在那一點求極限；極限的類型.不要被表面現象蒙騙！2022-2-5212022-2-521無窮小量無窮小量0000000(1)lim( )0( )( )(1).(2)lim( )0 lim( )0( )lim0( )( )( )( )( ( ).( )lim0( )( )( )(limxxxxxxxxxxx

14、xxxxxxoxxxxxxxoxxcxxx定義：若，則：稱為時的無窮小量.記作無窮小量的比較：設，若，則稱是比更高階的無窮小量；記作若，則稱與為同階無窮小量；若)1( )( )( )( ).( )xxxxxx，則稱與為等價無窮小量；記作2022-2-5222022-2-522無窮小量無窮小量（續(xù)（續(xù)1）222200232235(1)012.lim1lim.(2) (1)(1)(1)()()()().() ()().()()()()()().xxnmnnmn mxxxxxxxxxoooo xo xo xnmo x o xo xo xo xo xo xo xo x 有關無窮小量階的問題：當時，為

15、階無窮小量，并非階無窮小量因為，而；其中：例如：；2022-2-523無窮小量無窮小量（續(xù)（續(xù)2）無窮小量的性質：無窮小量的性質：(1) 有限個無窮小量的和仍是無窮小量； (2) 有限個無窮小量的乘積仍是無窮小量； (3) 無窮小量與有界函數的乘積還是無窮小量.2022-2-5230000limlimlim.xxxxxxxxAA若時， 、 、均為無窮小量，且，則：無窮小量的等價替換定理：無窮小量的等價替換定理：2022-2-5242022-2-524等價無窮小量等價無窮小量 20(1) sin(2) tan(3) ln(1)(4)1(5) arctan(6) arcsin(7)1cos(8)

16、(1)1.2xxxxxxxxexxxxxxxxx當時，有：；:8個常見的等價無窮小量：個常見的等價無窮小量：【注】：無窮小量的等價替換只適用于；也就是乘除時可用，而加減時不能用.因因子子2022-2-5252022-2-525Maclaurin常見函數的展開式：52324343535553355558()(1)1()(2) cos1()2!3!2!4!2(3) sin()(4)tan()65!3153(5) arcsin()(6)arctan()64035(7)ln(1)xMaclaurinxxxxxexo xxo xxxxxxo xxxxo xxxxxxxo xxxo xx 下面為 個常見函

17、數的展開式 最高展開到；23322(1)()(8) (1)1().232!xxxo xxxxo x ；數列極限與函數極限計算的說明數列極限與函數極限計算的說明o 先弄清楚哪一點求極限，極限的類型；先弄清楚哪一點求極限，極限的類型；o 化簡極限表達式，主要應用無窮小量的等價替換；化簡極限表達式，主要應用無窮小量的等價替換；o 一般應用羅必塔法則，對于復雜極限可考慮一般應用羅必塔法則，對于復雜極限可考慮Taylor展展 開；但前提是熟悉開；但前提是熟悉Taylor展開式，否則還是展開式，否則還是“慎用慎用”；o 數列極限一般可化為函數極限計算；數列極限一般可化為函數極限計算；o 對于一些不熟悉點對

18、于一些不熟悉點x=a 處的可通過變量代換化為處的可通過變量代換化為x=0 處的極限，或將處的極限，或將化為2022-2-5272022-2-527【例題例題5】 211cos14cos120222001lim 1(cos1).1cos112limlim.224uuuuuuuIuexuuuu 令：，則：其中：21limcos. (1)xxx計算：型2022-2-5282022-2-528【例題例題6】220coslim. (1)cos2xxxx求極限：型222(coscos2 )2cos2coscos2cos230022002222000coscoscos2limlim 1.cos2cos22(

19、coscos2 )(cos1)(1cos2 )lim=2limcos21cos11cos222lim2lim2limxxxxxxxxxxxxxxxxxxexxxxxxxxxxxxxxx其中：2202200001(2 )22lim3.2(coscos2 )coscos2lim2limcos2sin2sin2cos4cos22lim2lim3.22xxxxxxxxxxxxxxxxxxx【或】：2022-2-5292022-2-529【練習練習2】2lim.(2)(1)(1)xxxxx型(2)(1)(2)22(2)(1)2002(1) limlim 1.(2)(1)(2)(1)1(2)(2)(1)l

20、n(12 )ln(1)ln(12 )ln(1)lim lnlimlim1.xxx xxxxxxxxxuuxxexxxxxyxxxuuuuuyuuu 記，令：，則：因此2lim.(2)(1)xxxexx，2022-2-5302022-2-530【例題例題7】320ln(1)sin0lim. ()011xxxx計算：型232000203220201cosln(1)sinln(1)sin1limlim3lim2113313limsin.2(1)2ln(1)sinlim.( 11)4lim42xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 【注】：若本題改為由于為非零常數，可先計算其極限，放到極限符號外

21、面；否則在應用羅比塔法則時，求導會很煩.2022-2-531【例題例題7】的變形情況的變形情況2022-2-531202ln(1)sin lim.ln(12 ) arcsin( 11)xxxxxxx計算：323333230333012()32.2 ()()236lim()lim1.xxx xxxL HosptialTaylorxxxxo xxo xxIxxo xx 【分析】：分母為 階無窮小量，用法則至少要用三次，分子的計算量會很大；考慮用展開2022-2-5322022-2-532【例題例題8】20sin0lim. ()(1cos )arctan30 xxxexxxx計算：型22200002

22、333222033330sin2(1)cos2limlim33322(2)sin214limlim (3)cos.36991()()26lim32()2426lim.393xxxxxxxxxxxexxxexxIxxxxexxexxxxxxo xxo xxIxxxxo xx【方法一】：【方法二】：【注】：由于分母為Taylor階無窮小量，用展開更簡單.2022-2-5332022-2-533【練習題練習題3】22011lim()sinxxx 計算：型4300022200(sin )(sin )sinsinlimlimlim1cos12lim2lim.363xxxxxxxxxxxxxIxxxxxx

23、x.L Hospital【注】：若直接用法則，計算量比較大3333000()6sinsin1limlim2lim.3xxxxxxo xxxxxIxxx2022-2-5342022-2-534【例題例題9】( )sinsin cos0( ).f xaxxbxxabxf x設，選取適當的常數 、 ，當時， 使成為盡可能高階的無窮小量353555355( )sinsin22(2 )(2 )()2()61202612012161(1)()().6312031041210634161310( )512044bf xaxxxxxbxxaxxo xxo xbabxb xxo xababbbabf x 令：；

24、而此時，因此，當，時，為 階無.窮小量2022-2-5352022-2-535一些常見的極限一些常見的極限000111110111ln(1) limlnlimlim0.(0)ln1(2) limlim0. (0)(1)()(3) limlimlim0.(4) limxxxxxkxxxxxxnnnnmmxmmxxxxxxxxxxk xeeea xaxa xab xxxb 其中：其中：0()0().(0)()nmnmamnbnma bxbnm其中：2022-2-5362022-2-536【例題例題10】ln(1)sin 201lim.1xxxxx計算：ln(1) lnsin2ln0001ln(1)

25、 lnlimlim1sin2lnln(1)1lim.sin22xxxxxxxexxIexxxxln(1)ln(1) ln0sin2000limlim1 lim1.xxxxxxxxeex【注】：，2022-2-5372022-2-537函數極限練習題函數極限練習題22111126200222cos(1) lim()(2) lim(sincos )3(3)lim232(11.)(4)lim232(13.)xxxxxxxexxexxaxbababxxaxbabab ；若，求： 、 的值；，若，求： 、 的值.，2022-2-5382022-2-538函數極限練習題解答函數極限練習題解答（1）2222

26、223cos111cos1360012011sincos122sincos10222220002coscos1(1) lim()lim 1.33(2) lim(sincos )lim 1(sincos1).sincos1sincos11limlimlimxxxxxxxxxxxxxxxxxxxexxxxexxxxxxx其中：.22022-2-5392022-2-539函數極限練習題解答函數極限練習題解答（2）2222222222(3)lim2320(23)()lim23()(1)(22)(3)lim2.231001121.(4)lim232(3)xxxuxxaxbaxxaxbIxxaxbaxab

27、 xbxxaxbaaaIbbxuIuuaub 由可得，；因此，而，則：； 因此，故，令，則：，與類似，13.(3) (4).abxu 可得，【注】： 、 實際上是漸近線的計算，對于可通過變量替換化為進行計算，可避免不必要的差錯2022-2-5402022-2-540五、函數的連續(xù)性五、函數的連續(xù)性0000(1)( )()lim( )()( ).xxf xU xf xf xf xx定義：如果在內有定義，且，則稱函數在處連續(xù)(2)可以證明：基本初等函數在定義區(qū)間內都是連續(xù)的，連續(xù)函數經過有限次四則運算或有限次復合后所得到的函數仍是連續(xù)的.由此可得：初等函數在定義區(qū)間內都是連續(xù)的.2022-2-54

28、12022-2-541函數的間斷函數的間斷0000( )( )lim( )().xxf xxf xxf xf x在處沒有定義；在處極限不存在：左右極限至少有一個不存在，或左右極限存在但不相等；極限存在但不等于函數值，(4)函數間斷點的分類：第一類間斷點：左右極限均存在.【其中】：若左右極限存在且相等但不等于函數值的間斷點為可去間斷點.第二類間斷點：左右極限至少有一個不存在的間斷點.2022-2-5422022-2-542閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質( )(1)( )(2)( )( )max( )( )min( ).(3)( ) ( )0()( )0(4)( ).a x ba x

29、 bf xabf xabf xababff xMff xmf a f babfmMcabf c 若在，上連續(xù)，則：有界性定理：在 ，上有界；最值定理：在，上有最大值和最小值；即：存在 、，使得，零點存在定理： 若，則，使得；介值定理：對任意，都，使得2022-2-5432022-2-543【例題例題11】2cos2cos(0)( )(0)0sinln(1)(0)xxxxf xAxxABxBxxx設在處連續(xù)，求： 、 的值.200000000cos2cos2sin2sin3lim( )limlim.22sinln(1)lim( )limlim1.35lim( )lim( )(0).22xxxxx

30、xxxxxxxf xxxxxf xBBxxf xf xfAB 而，則：，2022-2-5442022-2-544【例題例題12】11( )1xxf xe求函數的間斷點，并判斷其類型.1 01+00(1)1lim( )1 lim( )01( ).(2)0lim( )0( ).xxxxf xf xxf xxf xxf x 當時，；故，為的第一類間斷點當時，；故，為的第二類間斷點11100 00 0limlim0 lim.xxxxxxeee 【注意】：并不存在；因為，在求函數間斷點時，在分界點處一般應分別求其左右極限2022-2-5452022-2-545【例題例題13】1ln(1).(1)xyex x求曲線的漸近線012(1)lim( )0(2)lim( )1(3)lim( )lim ln(1)00( )1ln(1)(4)limlimlim1(1)