29聽俞正強老師講植樹問題

1、295.聽俞正強老師講“植樹問題”。郵發(fā)代號：4-312。訂閱2017年雜志請點擊文末“閱讀原文”，進入中國郵政官微訂閱，也可前往當(dāng)?shù)剜]局或登錄郵局官網(wǎng)訂閱（http:/）2015年1月，在“俞正強特級教師工作室”團隊活動中，我們對“植樹問題”進行了研究與探討。從傳統(tǒng)的教學(xué)，到我們的理解演繹，最后經(jīng)由師傅論道，使我們在這次活動中受益頗深。愿在此書寫心得，與眾人分享。（此處略去”且讀他人思路”“且看我們演繹”兩部分）且聽師傅論道一籌莫展之際，師傅俞正強拿起粉筆，展開了他的教學(xué)。1 .由示問題：20米路，每5米一段，一共分了幾段？（在黑板上畫了一條直線）生:5段，20+5=4,41=5。師：有沒有

2、不同的做法？生：4段，20+5=4。師：為什么要用除法來做？為什么不用205,不用20-5、20X5?生：題目說每5米一段。師：這是在干什么？生：平均分。師： （面向第一位學(xué)生）5段是怎么來的？生：奧數(shù)老師教的。 （這位學(xué)生在課外的奧數(shù)班學(xué)過“植樹問題”， 將這類問題統(tǒng)統(tǒng)模糊成了植樹問題。教師再次問他5段是怎么來的，以此來幫助糾錯）2 .由示問題：20米路，每5米種一棵樹，一共種幾棵？教師采訪一名學(xué)生：你不會做？生：有點不會。師：那就是有點會做，你說一說。生：老師教過了，這是植樹問題。20米分成4段，頭尾都種樹，要加上1棵。生：20+5=4,邊上要種加上1。生：4個間隔要種5棵。板書：4個間隔

3、20+5=45棵樹41=53,引導(dǎo)比較，進行梳理。師：這兩道題像嗎？像在哪里？哪里不像？生：都是20米路。生：都有一個一模一樣的算式：20+5=4。師：為什么都要用除法做呢？生：因為是平均分。師：不一樣的是什么？生：問題有一個算式，問題有兩個算式。師：既然兩題都是平均分成4段，為什么第題要再加1?生：因為頭尾兩端都要種。師：如果頭尾都要種，那不是要加2嗎？為什么只加1呢？學(xué)生答不上來。師：同學(xué)們，平均分是一段一段分的，但是種樹的時候是種在哪里的？生：種在段與段的點上。師：“點”和“段”有什么不一樣??？種是種在“點”上的，咱們平均分是分由“段”來的。那么，一段有幾個點啊？生：兩個。師：兩段有幾個

4、點??？生：三個。師：三段呢？四段呢？請問，點和段之間有什么關(guān)系？點多還是段多？生：點多。師：怎么個多法？生：一段線兩個點， 兩段線三個點， 三段線四個點師： 那么， 點比段多幾？生：點比段多1。師：在平均分的除法里面，點比線多1,而植樹是正好植在什么地方？生：點上。（聽到這里，我們似乎有些明白了。師傅認為，這個問題應(yīng)先讓學(xué)生理解20+5求的是段，再抓住點與段的區(qū)別，從而理解點與段的關(guān)系。）4,清晰對植樹問題的認識師：除了園林工人把樹種在點上，還有什么人把什么放在點上？生：工人把路燈放在點上。教師結(jié)合學(xué)生的回答畫了一幅草圖，并解釋這里把樹變成了路燈。生：紅綠燈，插旗子,樓房上的窗戶師：繼續(xù)說。說

5、著說著，學(xué)生忽然悟生了道理。有個學(xué)生站起來說：老師，只要是平均分的，都是放在點上！引導(dǎo)學(xué)生回頭看問題和問題：問題是什么問題？（平均分）問題是什么問題？（植樹問題）植樹問題用什么知識來解決？（平均分）小結(jié)：植樹問題是平均分的應(yīng)用。5.在具體情境中領(lǐng)會平均分在植樹問題中的應(yīng)用情境1:問題中，園林工人領(lǐng)了5棵樹，到那里一看，發(fā)現(xiàn)路的盡頭有座房子。怎么辦？生：拆房子。（眾生笑）生:一頭不種。師：這個點不種了，那樹怎么辦？生：-1。情境2:一個小朋友領(lǐng)了5棵樹，種好了還我2棵，這是為什么？生：兩頭都有房子，不種！小結(jié)：怎么植樹要看具體情況。追根溯源，用于非“?！庇懻摃r間，師傅先問了我們一個問題：植樹問題

6、的源是什么？正是對這個問題的討論，以及師傅的解說，結(jié)合傳統(tǒng)教學(xué)、 我們的演繹、師傅的課堂，使我們對植樹問題有了更深刻的認識。1.“模型”是植樹問題的源嗎在傳統(tǒng)教學(xué)中， 一般把“兩端都種”“只種一端”與“兩端都不種”三種類型的區(qū)分及相應(yīng)的計算方法看成是一種“模型”。為了達成知識目標(biāo)，教師往往帶領(lǐng)學(xué)生一一總結(jié)公式（甚至要求熟背），然后變化問題情境訓(xùn)練解題技能，讓學(xué)生牢固掌握并直接運用。因而，絕大多數(shù)學(xué)生解決植樹問題時， 首先想到用除法： 路的總長一間距=棵數(shù)； 其次看題中是否有“兩端種與不種”的明確提示語，以此決定是否加1或減1。然而，多數(shù)問題是隱藏提示語的，學(xué)生只能憑自我感覺決定是否加1或減1。

7、如此就造成學(xué)生對三種計算方法的機械應(yīng)用， 在解題錯誤百生的同時也束縛了學(xué)生的思維。由此可見，“模型”并非解決“植樹問題”的關(guān)鍵因素。2.什么才是植樹問題的源“植樹問題”是研究“樹的棵數(shù)”與“兩樹之間間隔數(shù)”之間數(shù)量關(guān)系的問題，其實質(zhì)是研究點與段的問題。如何讓學(xué)生建立“點段”關(guān)系呢？我們的教學(xué)， 是把“植樹”這件事根據(jù)“樹”與“間隔”所呈現(xiàn)由來的內(nèi)在規(guī)律，在簡化后得到一個抽象結(jié)構(gòu)一一點與段的一一對應(yīng)關(guān)系；用直觀圖理解“一一間隔排列”規(guī)律， 學(xué)會用“一一對應(yīng)”的方法來分析兩個量之間的數(shù)量關(guān)系；研究具體的實際問題，得由燈籠與彩帶是“一一間隔排列”的，并能運用規(guī)律分析它們之間的數(shù)量關(guān)系；再溝通不同情境

8、間的內(nèi)在聯(lián)系，抽象由這類問題的共同本質(zhì)特征“一一間隔排列”，并進一步鞏固“一一對應(yīng)”的分析方法；最后運用總結(jié)生的思想、方法解決簡單的實際問題。而師傅的教學(xué)，是直接從除法的意義入手，結(jié)合學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗，從除法問題引申由植樹問題。通過“20米，每5米分一段，共分幾段”和“游潞，每5米栽一棵樹，共栽幾棵樹”這兩題的比較分析，一來幫助學(xué)生理解這兩道題都是平均分，二來讓學(xué)生明白兩者的區(qū)別在于平均分是一段一段地分，而植樹是種在段與段之間的點上。進而，讓學(xué)生認識到“植樹問題”只是除法意義在生活中的延伸，明白“植樹問題”其實只是點和段的問題。接下來，結(jié)合“植樹問題”的生活原型重點教學(xué)“兩端都種”

9、的情形， 并且著重溝通數(shù)學(xué)與生活原型之間的聯(lián)系，從而讓學(xué)生在深刻建構(gòu)“兩端都種”的基礎(chǔ)上，順勢帶由另外兩種“植樹問題”模型，學(xué)以致用。從莫種角度說，從找規(guī)律入手，讓學(xué)生體會規(guī)律的有用，很多課都可以達成。而對點和段的感悟，豐富了對平均分的認識，離開了這節(jié)課，其他課很難實現(xiàn)，具有唯一性。3 .追根溯源，用于非“?！币簿褪钦f，師傅認為：植樹問題的源是“平均分”與對平均分的應(yīng)用。平均分有兩種，一種是完全平均分，如8+2;一種是不完全平均分，如9+2。不完全平均分解決生活中的余數(shù)問題，完全平均分帶來段和點的問題。行程問題、工程問題、總價問題等都是研究段的；而植樹問題、鋸木頭問題都是研究平均分中點的問題?！爸矘鋯栴}”來自哪里？來自平均分，體現(xiàn)學(xué)以致用的價值。應(yīng)該說，“植樹問題”不是橫空由世的，正如下圖所示，是一點一點生長由來的?！爸矘鋯栴}”的源，具體到上述兩個問題，就是：20米路，每5米一段，一共有幾段？（學(xué)）20米路，每5米種一棵樹，種幾棵？（用）學(xué)與用不一樣，學(xué)在“段”上，而用在“點”上，即求幾段是在學(xué)習(xí)平均分，而用在“植樹問題”中，則是對平均分這一知識的生活應(yīng)用。用師傅的話說，這叫“學(xué)以致用”。第二次“學(xué)以致用”是在三次情境設(shè)置中，即研究點比段多1（學(xué)），延伸至一頭種一頭不種，以及兩頭都不種（用）。正