雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程

1、雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 1. 1. 橢圓的定義橢圓的定義和和 等于常數(shù)等于常數(shù)2a ( 2a|F1F2|0) 的點(diǎn)的軌跡的點(diǎn)的軌跡.平面內(nèi)與兩定點(diǎn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的的距離的1F2F 0, c 0, cXYO yxM,2. 引入問題：引入問題：差差等于常數(shù)等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么呢？的點(diǎn)的軌跡是什么呢？平面內(nèi)與兩定點(diǎn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的的距離的復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)|MF1|+|MF2|=2a( 2a|F1F2|0) 雙曲線在生活中雙曲線在生活中 . 兩個定點(diǎn)兩個定點(diǎn)F1、F2雙曲線的雙曲線的焦點(diǎn)焦點(diǎn); |F1F2|=2c 焦距焦距.（1）2a0 ；雙曲線定義雙曲線定義

2、思考：思考：（1）若）若2a= |F1F2|,則軌跡是？則軌跡是？（2）若）若2a |F1F2|,則軌跡是？則軌跡是？說明說明（3）若）若2a=0,則軌跡是？則軌跡是？ | |MF1| - |MF2| | = 2a( (1) )兩條射線兩條射線( (2) )不表示任何軌跡不表示任何軌跡如何建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系？如何建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系？原則：盡可能使方程的形式簡單、運(yùn)算簡單；原則：盡可能使方程的形式簡單、運(yùn)算簡單； ( (一般利用對稱軸或已有的互相垂直的線段一般利用對稱軸或已有的互相垂直的線段所在的直線作為坐標(biāo)軸所在的直線作為坐標(biāo)軸.).) 探討建立平面直角坐標(biāo)系的方案探討建立平面直角坐標(biāo)系的

3、方案OxyOxyOxy方案一方案一Oxy(對稱、對稱、“簡簡潔潔”)1F2FMOxy方案二方案二F2 2F1 1MxOy求曲線方程的步驟：求曲線方程的步驟：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1. 1. 建系建系. .以以F1,F2所在的直線為所在的直線為x軸，線段軸，線段F1F2的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系2.2.設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)設(shè)設(shè)M（x , y）,則則F1(-c,0),F2(c,0)3.3.列式列式|MF1| - |MF2|=2a4.4.化簡化簡aycxycx2)()(2222即aycxycx2)()(2222222222)(2)(ycxaycx222)(ycxaacx)()

4、(22222222acayaxac222bac)0, 0(12222babyax此即為此即為焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在x軸上的軸上的雙曲線雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)的標(biāo)準(zhǔn)方程方程12222byax12222bxayF2 2F1 1MxOyOMF2F1xy)00(ba，若建系時若建系時,焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在y軸上呢軸上呢?看看 前的系數(shù)，哪一個為正，前的系數(shù)，哪一個為正，則在哪一個軸上則在哪一個軸上22, yx222bac | |MF1|- -|MF2| | =2a（ 2a0，b0，但，但a不一不一定大于定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2|MF1|MF2|=2a |MF1|+|MF2|=2a 橢橢 圓圓雙曲線雙曲線

5、F（0，c）F（0，c）22221(0)xyabab22221(0)yxabab22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab1. 過雙曲線過雙曲線 的焦點(diǎn)且垂直的焦點(diǎn)且垂直x軸的弦的長度軸的弦的長度 為為 .14322yx3382. y2-2x2=1的焦點(diǎn)為的焦點(diǎn)為 、焦距是、焦距是 .),(260 6練習(xí)鞏固練習(xí)鞏固:3.方程方程(2+ )x2+(1+ )y2=1表示雙曲線的充要條件表示雙曲線的充要條件 是是 . -2 680|AB|680m, ,所以爆炸點(diǎn)所以爆炸點(diǎn)的軌跡是以的軌跡是以A A、B B為焦點(diǎn)的雙曲線在靠近為焦點(diǎn)的雙曲線在靠近B B處的一支上處的一支上. .

6、 例例3 3.(.(課本第課本第5454頁例頁例) )已知已知A,BA,B兩地相距兩地相距800800m, ,在在A A地聽到炮彈爆地聽到炮彈爆炸聲比在炸聲比在B B地晚地晚2 2s, ,且聲速為且聲速為340340m/ /s, ,求炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程求炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程. .如圖所示，建立直角坐標(biāo)系如圖所示，建立直角坐標(biāo)系xO Oy, ,設(shè)爆炸點(diǎn)設(shè)爆炸點(diǎn)P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( (x, ,y) )，則則340 2680PAPB即即 2a=680，a=340800AB 8006800 ,0PAPBx1(0)11560044400 xyx22222800,400,cc xyoPBA因此炮彈爆炸點(diǎn)

7、的軌跡方程為因此炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程為44400bca 2 22 22 2答答: :再增設(shè)一個觀測點(diǎn)再增設(shè)一個觀測點(diǎn)C，利用，利用B、C（或（或A、C）兩處）兩處測得的爆炸聲的時間差，可以求出另一個雙曲線的方測得的爆炸聲的時間差，可以求出另一個雙曲線的方程，解這兩個方程組成的方程組，就能確定爆炸點(diǎn)的程，解這兩個方程組成的方程組，就能確定爆炸點(diǎn)的準(zhǔn)確位置準(zhǔn)確位置. .這是雙曲線的一個重要應(yīng)用這是雙曲線的一個重要應(yīng)用. .例例2 2: :如果方程如果方程 表示雙表示雙曲線，求曲線，求m的取值范圍的取值范圍. .22121xymm解解: :22121xymm 思考：思考：21mm 得得或或(2)(1

8、)0m m由由例例3【名師點(diǎn)評名師點(diǎn)評】雙曲線的定義是解決與雙曲線有關(guān)的問題雙曲線的定義是解決與雙曲線有關(guān)的問題的主要依據(jù)，在應(yīng)用時，一是注意條件的主要依據(jù)，在應(yīng)用時，一是注意條件|PF1|PF2|2a(02a|F1F2|)的使用，二是注意與三角形知識相結(jié)合，的使用，二是注意與三角形知識相結(jié)合，經(jīng)常利用正、余弦定理，同時要注意整體運(yùn)算思想的應(yīng)經(jīng)常利用正、余弦定理，同時要注意整體運(yùn)算思想的應(yīng)用用跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練1對雙曲線定義的理解對雙曲線定義的理解雙曲線定義中雙曲線定義中|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)，不要漏了絕對值，不要漏了絕對值符號，當(dāng)符號，當(dāng)2a|F1F2|時表示兩條射線時表示

9、兩條射線解題時，也要注意解題時，也要注意“絕對值絕對值”這一個條件，若去掉定義中的這一個條件，若去掉定義中的絕對值則軌跡僅表示雙曲線的一支絕對值則軌跡僅表示雙曲線的一支2雙曲線方程的求法雙曲線方程的求法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程包括求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程包括“定位定位”和和“定量定量”“定位定位”是是指除了中心在原點(diǎn)之外，判斷焦點(diǎn)在哪個坐標(biāo)軸上，以便使指除了中心在原點(diǎn)之外，判斷焦點(diǎn)在哪個坐標(biāo)軸上，以便使方程的右邊為方程的右邊為1時，確定方程的左邊哪一項為正，哪一項為負(fù)，時，確定方程的左邊哪一項為正，哪一項為負(fù)，“定量定量”是指確定是指確定a2，b2的值，即根據(jù)條件列出關(guān)于的值，即根據(jù)條件列出關(guān)于a2和和b

10、2的的方程組，解得方程組，解得a2和和b2的具體數(shù)值后，再按位置特征寫出標(biāo)準(zhǔn)的具體數(shù)值后，再按位置特征寫出標(biāo)準(zhǔn)方程方程精彩推薦典例展示精彩推薦典例展示易錯警示易錯警示 雙曲線定義運(yùn)用中的誤區(qū)雙曲線定義運(yùn)用中的誤區(qū)例例4【常見錯誤常見錯誤】(1)利用雙曲線定義利用雙曲線定義|PF1|PF2|8求求|PF2|時，時，易忽略絕對值號，而錯選易忽略絕對值號，而錯選A.(2)根據(jù)雙曲線的定義可得到答案根據(jù)雙曲線的定義可得到答案C，但由于雙曲線上的點(diǎn)到，但由于雙曲線上的點(diǎn)到雙曲線焦點(diǎn)的最小距離是雙曲線焦點(diǎn)的最小距離是ca642，而，而|PF2|12，不，不合題意，所以應(yīng)該舍去，造成錯誤的原因是忽略雙曲線的相合題意，所以應(yīng)該舍去，造成錯誤的原因是忽略雙曲線的相關(guān)性質(zhì)，沒有檢驗關(guān)性質(zhì)，沒有檢驗|PF1|PF2|10|F1F2|造成的造成的【解析解析】雙曲線的實(shí)軸長為雙曲線的實(shí)軸長為8，由雙曲線的定義得，由雙曲線的定義得|PF1|PF2|8，所以所以|9|PF2|8，所以所以|PF2|1或或17.因為因為|F1F2|12，當(dāng)，當(dāng)|PF2|1時，時，|PF1|PF2|10|F1F2|，不符合公理不符合公理“兩點(diǎn)之間線段最短兩點(diǎn)之間線段最短”，應(yīng)舍去，應(yīng)舍去所以所以|PF2|17.【答案答案】B【失誤防范失誤防范】運(yùn)用雙曲線的定義解決相關(guān)問