江蘇省2020屆高考數(shù)學(xué)壓軸卷

1、絕密啟封前江蘇省高考?jí)狠S卷一、 填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分.1,已知集合 A x|0 x 2 , B x|x 1，則 AI B 2 .已知復(fù)數(shù) z (1 i)(2 i),則 | z | =.3 .某校選修乒乓球課程的學(xué)生中，高一年級(jí)有30名，高二年級(jí)有40名.現(xiàn)用分層抽樣的方法在這70名學(xué)生中抽取一個(gè)樣本，已知在高一年級(jí)的學(xué)生中抽取了6名，則在高二年級(jí)的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)為.4 .根據(jù)如圖所示的偽代碼，可知輸出的結(jié)果 S為.|即出江/<1DO ；J f+2I S U *3I的4解加k；：Ft ini S!Word 可以修改BAC二10.在等差數(shù)列 an中,11 .三棱

2、錐P ABC中,1a9 Ta126 ,2已知PA 平面則數(shù)列an的前11項(xiàng)和§1ABC, n ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E為PC的中點(diǎn),若直線AE與平面PBC所成角的正弦值為叵,則PA的長(zhǎng)為712.如圖，在四邊形ABCD中，ABCD 1 ,點(diǎn)M , N分別是邊AD,BC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BA和CD交NM的延長(zhǎng)線于不同的兩點(diǎn)P,Q ,uuv uuv 則 PQ (ABuuuv 一DC)的值為ln x,x13 .已知函數(shù)f x x1 2,x，若 F x f 1f x 1m有兩個(gè)零點(diǎn)K, X2 ,則x1 X2的取值范圍14.在VABC中，記角A, BC所對(duì)的邊分別是S a , b , c ,面積

3、為S ,則一 的最大值 a 2bc解答題：本大題共 6小題,共90分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.在 ABC中，角A, B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知A,bsin2A 6cosAsinB.(1)求a的值；(2)若A ,求 ABC周長(zhǎng)的取值范圍316 .如圖，在直三棱柱ABC AB。中，BC AC, D,E分別是AB , AC的中點(diǎn).(1)求證：BlC1 /平面 A1DE ；(2)求證：平面ADE平面ACC1A .17 .如圖所示，為美化環(huán)境，擬在四邊形ABCD空地上修建兩條道路 EA和ED ,將四邊形分成三個(gè)區(qū)域，種植不同品種的花草，其中點(diǎn)E在邊BC的三等分點(diǎn)處

4、(靠近 B點(diǎn))，BC 3百米，BC CD, ABC 120°, EA 0百米， AED 60o.(1)求ABE區(qū)域的面積；(2)為便于花草種植，現(xiàn)擬過(guò) C點(diǎn)鋪設(shè)一條水管 CH至道路ED上，求水管CH最短時(shí)的長(zhǎng).19.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為An,且Anna1an,數(shù)列bn是公比為q的等比數(shù)列，它2的前n項(xiàng)和記為Bn.若ai bi 0,且存在不小于 3的正整數(shù)k, m,使得ak bm.(1)若 ai 1 , a35 ,求 a2 的值；(2)求證：數(shù)列an是等差數(shù)列；(3)若4= 2 ,是否存在整數(shù) m , k ,使得Ak 86Bm,若存在，求出 m , k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

5、2x 2八20,已知 f x lnx , a 0.x 1 2a(1)當(dāng)a 2時(shí)，求函數(shù)f x圖象在x 1處的切線方程；(2)若對(duì)任意x 1,不等式f x 0恒成立，求a的取值范圍；(3)若f x存在極大值和極小值，且極大值小于極小值，求a的取值范圍數(shù)學(xué)附加題（滿(mǎn)分40分，考試時(shí)間30分鐘）21.【選做題】 在A, B, C三小題中只能選做兩題，每小題 10分，共20分.若多做，則按作答 的前兩題計(jì)分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.A.（選彳42 :矩陣與變換）1 220求橢圓C：1在矩陣A 4對(duì)應(yīng)的變換作用下所得曲線 C的方程.1640 12B.（選彳44 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程

6、）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為3 2cos,（0為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn),4 2sin軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程;-2）, M是曲線C上任意一點(diǎn)，求那BM面（2）在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，A （ - 2, 0）, B （0,積的最小值.C.（選彳45 :不等式選講）113-“一，求證：x 4y 9z 10.y 1 z 121已知x, y, z均為正數(shù)，且x y【必做題】 第22, 23題，每小題10分，共20分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程 或演算步驟.22.廠家在產(chǎn)品出廠前，需對(duì)產(chǎn)品做檢驗(yàn)，廠家將一批產(chǎn)品發(fā)給商家時(shí)，商家按合同規(guī)定也需隨機(jī)

7、抽取一定數(shù)量的產(chǎn)品做檢驗(yàn)，以決定是否接收這批產(chǎn)品.（1）若廠家?guī)旆恐校ㄒ暈閿?shù)量足夠多） 的每件產(chǎn)品合格的概率為0.7,從中任意取出3件進(jìn)行檢驗(yàn),求至少有2件是合格品的概率；(2)若廠家發(fā)給商家20件產(chǎn)品，其中有4不合格，按合同規(guī)定 商家從這20件產(chǎn)品中任取2件,都進(jìn)行檢驗(yàn)，只有 2件都合格時(shí)才接收這批產(chǎn)品，否則拒收.求該商家可能檢驗(yàn)出的不合格產(chǎn)品的Cnn2,n N*,其中m為常數(shù)，a2 4.件數(shù)E的分布列，并求該商家拒收這批產(chǎn)品的概率.23 ,已知數(shù)列 an滿(mǎn)足a m CL C22 /222(1)求m, a的值(2)猜想數(shù)列 an的通項(xiàng)公式，并證明高二所抽人數(shù)為1440708.參考答案及解析1

8、 .【答案】x|1 x 2【解析】因?yàn)榧?A x|0 x 2 , B x|x 1,所以 AI B x|1 x 2.故答案為：x|1 x 22 .【答案】。記【解析】z 1 i 2 i 衣而廂.3 .【答案】8【解析】，、一 , 一 3070設(shè)樣本容量為N,則N 30 6,N 14,故答案為：84 .【答案】205【解析】模擬程序語(yǔ)言，運(yùn)行過(guò)程，可得I 1,滿(mǎn)足條件I 100,執(zhí)行循環(huán)體I 3,S 9；滿(mǎn)足條件I 100,執(zhí)行循環(huán)體I 5,S 13;滿(mǎn)足條件I 100,執(zhí)行循環(huán)體I 99,S 201；滿(mǎn)足條件I 100,執(zhí)行循環(huán)體I101,S 2 101 3 205 ,此時(shí)，不滿(mǎn)足條件I 10

9、0,退出循環(huán)，輸出S的值為205,故答案為205.5 .【答案】y 立x 2【解析】由已知可知離心率e c 3, c2 a 2b 9 ,即by 5. a 2 a a 4 a 422雙曲線與 t 1的焦點(diǎn)在x軸上a2 b2.5X .2b.該雙曲線的漸近線方程為y X,即ya故答案為：y16 .【答案】一4由題意，三名學(xué)生各自隨機(jī)選擇兩個(gè)食堂中的一個(gè)用餐的情況共有2 2 2 8 （種），其中他們?cè)?同一個(gè)食堂用餐的情況有 2種，根據(jù)古典概型概率的計(jì)算公式得，所求概率為7 .【答案】7【解析】.P -PA PF dA l 55 2 72 .【答案】65【解析】又sin-cos都是銳角，（0,）,4-

10、,cos( 53/二，sin(5sin sin()sin(123 5_416135 13565故答案為16.659 .【答案】1【解析】)cos cos()sin設(shè)三棱柱ABC AiB1ci的底面積為S',高為h,El9則 S'h 9, S' 一， h11 9再設(shè)S到底面ABC的距離為h',則S'h ' 2 ,得33 hh'2所以一一，h 31則S到上底面AB1C1的距離為一 h,3111所以三棱錐S ABC1的體積為1S'h 1 9 1.339故答案為1.h' 210.【答案】132【解析】由 a9 a12+6 ,得 2

11、a9-a12=12,2即 2a1+16d a1 11d = 12, .21+5d = 12, ae=12 .貝U S11 = 11a6=11 X12 = 132 .故答案為：13211 .【答案】2或百【解析】Word 可以修改C設(shè)F是BC的中點(diǎn)，連接 sink cos 2k 1 0 ,Q PA 平面 ABC, PA BC ,Q ABC為正三角形，BC AF ,BC 平面PAF ,在平面PAF內(nèi)作AH PF ,則 BC AH , AH 平面 PBC ,連接EH ,則 AEH是AE與平面PBC所成的角,Word 可以修改設(shè)PA m,在直角三角形PAF中，AH PFPA AF ，求得AHPA AF

12、 3mPF-m2=31 -1 AE -PC -Vm 4, 22 AE平面PBC所成的角的正弦值為7'3msin AEH 和-m 迎AE 1 -2；7一.: m 42解得m 2或m 點(diǎn)，即PA的長(zhǎng)為2或J3 ,故答案為2或，3 .12.【答案】0【解析】如圖，連AC,取AC的中點(diǎn)E,連ME,NE,則ME, NE分別為ADC, CAB的中位線，所以u(píng)uuv 1 uuv uuuv 1 uuv EN AB,ME DC, 22uuuv 所以MNuuuvMEuuuvEN1 uuiv (DC2uuuvAB) .uuu由PQ與uuurMN共線,uuuv 所以PQuuuvMN (R)，uuuv uuv

13、uuiv故 PQ (AB DC)uuuv uuuv uuuvMN (AB DC)uuuv uuiv uuv uuiv -(AB DC) (AB DC) 2uuv2 uuiv2一 (AB DC ) 0.2答案：013 .【答案】,7e【解析】當(dāng) x 1 時(shí)，f(x) Inx 0, f (x) 1 1, ff(x) 1 ln( f (x) 1),x當(dāng) x 1, f (x) 1 一 2132, f(x) 1 ff(x) 1 |n(f(x) 1),綜上可知：F xm ln( f (x) 1) m 0,則 f(x) 1 e m , f (x) e m 1 有兩個(gè)根 x1，x2,(不妨設(shè) x1 x2當(dāng) x

14、 1 時(shí)，lnx2 e m 1,當(dāng) x 1 時(shí),1 * e m 1,2In x2tX2Xit 一 12t ,取2e (2 2t) , t2設(shè) g(t) et(22t)1t -,所以g(t)2tet,g (t) 0 ,函數(shù)g(t)單調(diào)遞減，g(t) ge,g（x）的值域?yàn)椋ㄇ?x1x2取值范圍為（2bcsinAc 2 2cosA b故答案為：（，e）121 . AbcsinA2 b2 c2 2bccosA 2bcsinAcosA 2（當(dāng)且僅當(dāng)b c時(shí)取得等號(hào)令 sinA y,cosAy,因?yàn)?x2y2 1 ,x 20,故可得點(diǎn)x,y表示的平面區(qū)域是半圓弧上的點(diǎn),如下圖所示:目標(biāo)函數(shù)z 一，表示

15、圓弧上一點(diǎn)到點(diǎn)A 2,0點(diǎn)的斜率,x 2數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)且僅當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)H 1,，即A 60時(shí)，取得最小值 叵, 2 23故可得zyX-2、,3T，0)又 TS一1 y,故可得 FS1Y3Y3.a 2bc4x2a 2bc4312當(dāng)且僅當(dāng)A 60 ,b c,也即三角形為等邊三角形時(shí)，取得最大值故答案為：3L .1215 .【答案】（1） 3； （2） 6,9 .【解析】（1）由 bsin2A 6cos Asin B及二倍角公式得 bsinA 3sin B ,a b又bsinA asinB,所以 a 3； SinA sinB(2)由正弦定理得 b aSin B273sin B , c asinC

16、2j3sinCsin Asin A2ABC 周長(zhǎng)：a b c 3 273sin B 2 石sin C 3 273 sin B 273 sin(B)33 273 3 sin B - cosB 3 6sin B 一，22621又因?yàn)锽 (0,)，所以sinB (一,1.32因此ABC周長(zhǎng)的取值范圍是 6,916 .【答案】（I）詳見(jiàn)解析（n）詳見(jiàn)解析【解析】證明：（1）因?yàn)镈,E分別是AB, AC的中點(diǎn)，所以DE/BC ,2分又因?yàn)樵谌庵鵄BC AB1c1中，bQibc，所以bCide4分又bici平面Aide , de平面ADE ,所以bici /平面ADE6分（2）在直三棱柱ABC Aibi

17、Ci中，CC1底面abc,又DE 底面ABC ,所以CC1 de又 BC AC , DE/BC ,所以 DEAC,10分又 CCi,AC平面 ACC1A, HCC1IAC C ,所以DE平面ACC1A12又DE 平面A1DE ,所以平面A|DE平面acciA .14分17 .【答案】（1） J3平方百米；（2） 千 百米.【解析】（1）由題知BE 1, ABC120o, EA在VABE中,由余弦定理得AE1 2AB2BE2 2AB BEcos ABE,即 21 AB2 1所以AB 4百米所以SVABE1AB2BE sinABE（平方百米）(2)記AEB,在VABE中,ABsinsin ABE4

18、即sin.213，2所以sin2 <7,cos71 sin2217當(dāng)CHDE時(shí)，水管CH最短,在 RtVECH 中，CHCEsinHEC2sin2 7t32sin 25cos32cos2Jt sin35.77百米.1 - 3(2)一或一22218 .【答案】（1） x4（1）因?yàn)闄E圓離心率為 PF1F2的面積有最大值J3.2y3c 1a 2所以a2 b2 c2,所以12cb .3 22_2囪，故橢圓C的方程為：土2Word 可以修改（2）設(shè)直線PQ的方程為y k x 1 ,22當(dāng)k 0時(shí)，y k x 1代入x_ L 1 , 43得：3 4k2 x2 8k2x 4k2 12 0.設(shè) P x

19、,y1， Q X2,y2 ,線段 PQ 的中點(diǎn)為 N xo, yo ,Xo4k23 4k2y。3k3 4k24k2 3k2 ，23 4k2 3 4k23k 1一 2- 二因?yàn)門(mén)N PQ ,則扁kpQ1 ,所以4k一產(chǎn) k 1 ,4k24k2 3 一 o13化間得4k 8k 3 0 ,解得k 或k 二二，22即直線PQ的斜率為1或旦.2219 .【答案】（1）a23 （2）見(jiàn)解析（3）存在m 8, k340滿(mǎn)足題意。(1)當(dāng) n 3時(shí)，a3 a1 a2 a33 a1a3因?yàn)閍1 1& 5 ,所以a2 3 .(2)由 Ann a1an一丁叫，得An 1(n 1) a an 12兩式相減，得

20、an 1a (n 1)an 1nan/一，即（n1)an 1nana10,所以nan 2 (n 1同1a10兩式相減，得2an 1an 2 ，所以數(shù)列an為等差數(shù)列.(3)依題意:akC0m 1,a1 2 ，由Aka1 ak .86Bm得：k86a qamm即 a1a1 286a12ma11 22m12 86 24 86 k516 所以 344 k J!6 2m 1 1因?yàn)?9512 ,且m, 39,又因?yàn)?164 129 43 43,且2m1 1為奇數(shù),所以516129 時(shí)，-是整數(shù), 1此時(shí)7,所以m 8,340 .20.(1)x 2y；(2)1,(3)0，2 .(1)當(dāng) a2時(shí),lnx2

21、x 2x 3又因?yàn)閒 10,所以函數(shù)f x圖象在x1處的切線方程為2y0.(2)因?yàn)閘nx 且2x 1 2a所以4a2x 1 2a2x 2x4a2 4a 14a24a22a2x x 1 2a10.因?yàn)閍 0,所以12a 1.當(dāng)4a2 4a 0 時(shí)，即 a 1 ,因?yàn)閒' x 0在區(qū)間1,上恒成立，所以1,上單調(diào)遞增.Word 可以修改當(dāng) x 1, 時(shí)，f x f 10所以a 1滿(mǎn)足條件.當(dāng)4a2 4a 0時(shí)，即0 a 1時(shí)，由 f'x 0,得 x1 1 27a a20,1, x2 1 24a a21,當(dāng)x 1,x2時(shí)，f'x 0,則f x在1,x2上單調(diào)遞減，所以x 1

22、,x2時(shí)，f x f 10,這與x 1, 時(shí)，f x0恒成立矛盾所以0 a 1不滿(mǎn)足條件.綜上，a的取值范圍為1,.(3)當(dāng)a 1時(shí)，因?yàn)閒' x 0在區(qū)間0,上恒成立，所以f x在0,上單調(diào)遞增，所以f x不存在極值，所以a 1不滿(mǎn)足條件.一 1,八當(dāng)2 a 1時(shí)，1 2a 0,所以函數(shù)f x的定義域?yàn)?0,由 f'x 0,得 x1 1 2& a20,1, x2 1 2& a21,列表如下：x0,x1x1x1，x2x2x2,f' x00f x極大值極小值由于f x在x1，x2是單調(diào)減函數(shù)，此時(shí)極大值大于極小值，不合題意,1所以一a 1不滿(mǎn)足條件.2-1

23、. 一-當(dāng)a 時(shí)，由f ' x 0,得x 2.2列表如下:x0,222,f' x0f x極小值此時(shí)f x僅存在極小值，不合題意，1所以a 不滿(mǎn)足條件.21當(dāng)0 a 時(shí)，函數(shù)f x的定義域?yàn)?0,1 2a 1 2a,2且 0 x1 1 2& a2 1 2a，x2 1 2>/a a2 1 2a.列表如下：x0,xXx ,1 2a1 2a8又2x2,f' x00f x極大值極小值所以f x存在極大值f 4和極小值f x2 ,此時(shí)f x,f x2lnx1烏3 x1 1 2alnx22x2 2x2 1 2aInx,x24 axi x2x1 1 2a x2 1 2a因

24、為 0 x1 1 2a x2 ,一一 ，x1所以 In 一0,x1x20, x11 2a 0,x21 2a 0 ,X2所以 f x1fx20,即 f x1 f x2 ,1所以0 a -滿(mǎn)足條件.2一 ，一-1綜上，所以a的取值范圍為 0,1 .21 .【答案】x2 y2 1【解析】2設(shè)P x, y是曲線C上的任一點(diǎn)，它是橢圓C：16141上的點(diǎn)P x,y在矩陣A 40對(duì)應(yīng)變換作用下的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則x4 y_2x ：x,代入上黃1得：x2 y2 1.y 2y 164即曲線C的方程為x2 y2 1.22.【答案】(1) p2 6pcos0- 8psin 9+210. (2) 9 - 2 72x 3 2

25、cos(1) .曲線C的參數(shù)方程為y 4 2sinx 3 2cos(0為參數(shù))，有y 4 2sin上下平方相加得曲線C的直角坐標(biāo)方程為(x 3)2 (y 4)2 4,化簡(jiǎn)得 x2 y2 6x 8y 21 0x cos ccc將與x2 y22,代入得曲線C的直角坐標(biāo)方程有:y sin6 cos 8 sin 21 0 .(2)設(shè)點(diǎn) M(3 2cos ,42sin )到直線 AB: x+y+2 =0的距離為d,皿 I2>/2sin-9則 2sin 2cos 94dJ22當(dāng) sin (一)=-1時(shí),d有最小值49 222所以AABM面積的最小值S 1 AB d 9-2J2 - 223 .【答案】

26、見(jiàn)證明【解析】因?yàn)閤, v, z均為正數(shù)，所以x1,y 1,z 1均為正數(shù),21 2 336,由柯西不等式得x 1 4 y 19 z 1.一 .222當(dāng)且僅當(dāng)x 14 y 19 z 1時(shí)，等式成立因?yàn)?所以 x 14 y 19 z 136 =24 ,3所以 x 4y 9z 10.24 .【答案】(1) 0.784；(2)分布列見(jiàn)解析，19【解析】(1)從中任意取出3件進(jìn)行檢驗(yàn)，至少有 2件是合格品”記為事件A,其中包含兩個(gè)基本事件恰有2件合格”和“料都合格_2_2_3_P(A) C； (0.7)2 0.3 (0.7)3 0.784；(2)該商家可能檢驗(yàn)出不合格產(chǎn)品數(shù)可能的取值為0, 1, 2,

27、P(0)C6C20篙P( 1)警3295 'P(2)CC20的分布列為:012P12193295395因?yàn)橹挥?件都合格時(shí)才接收這批產(chǎn)品,故商家拒收這批產(chǎn)品的對(duì)立事件為商家任取2件產(chǎn)品檢驗(yàn)都合格,記商家拒收”為事件B ,則 P(B) 1 P( 0)19商家拒收這批產(chǎn)品的概率為1925 .【答案】(1) m1, a12;(2)猜想:an2nn N ,證明見(jiàn)解析(1)C； 12C2222C3Cna2C1 C2m 3 4 ,解得：m 1,24ai1 2.(2)由aia24, a3 8可猜想：an2n證明：當(dāng)n 1時(shí),由(1)知結(jié)論成立;假設(shè)k時(shí)，結(jié)論成立,則有akCk 1那么當(dāng)1時(shí),ak iC222C2 2Ck 1 323C33-23-Ckk 11 k 12kCk k由C：CnkCn得:Ok 1Ck 1C01CMC12C3Ck 3CkCkk1Ckk 11 k 122kC01C1Ck2 33FCk2kk 1Ck 1 k 1 _ 2k2kC01C；21Ck23Ck 112kck21Ck2kCk 1 kCk2k又Ckk2k2k2k 1 ! 2k 22kakk!C01由得,k!ikCkC2 322Ckk11CkCk2k 12k11 k 1k-12k1 ak2ak2kk