大一微積分學(xué)習(xí)報(bào)告

1、哈爾濱工業(yè)大學(xué)項(xiàng)目名稱： 大一微積分學(xué)習(xí)報(bào)告院系及專業(yè)： 機(jī)電學(xué)院 機(jī)械設(shè)計(jì)制造及其自動化 制作人： 王茫茫 學(xué)號：1110810124摘要：本文介紹了微積分學(xué)產(chǎn)生的背景、建立過程以及其產(chǎn)生重大的歷史意義。此外，在文章中也對微積分學(xué)的理論知識、基本內(nèi)容進(jìn)行了介紹和與說明。微積分是為了解決變量的瞬時變化率而存在的。從數(shù)學(xué)的角度講，是研究變量在函數(shù)中的作用。從物理的角度講，是為了解決長期困擾人們的關(guān)于速度與加速度的定義的問題?！白儭边@個字是微積分最大的奧義。因此，了解微積分在生活中的應(yīng)用對于我們解決實(shí)際問題有很大的幫助。關(guān)鍵字：微積分 牛頓 萊布尼茨 一 微積分學(xué)的歷史進(jìn)程十七世紀(jì)，人們因面臨著有

2、許多科學(xué)問題需要解決，如研究運(yùn)動的時候直接出現(xiàn)的，也就是求即時速度的問題；求曲線的切線的問題等，這些問題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素。微分方法的第一個真正值得注意的先驅(qū)工作起源于 1629 年費(fèi)爾瑪陳述的概念，他給同了如何確定極大值和極小值的方法。其后英國劍橋大學(xué)三一學(xué)院的教授巴羅又給出了求切線的方法，進(jìn)一步推動了微分學(xué)概念的產(chǎn)生。十七世紀(jì)的許多著名的數(shù)學(xué)家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作。十七世紀(jì)下半葉，在前人工作的基礎(chǔ)上，英國大科學(xué)家牛頓和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國度里獨(dú)自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作。 在創(chuàng)立微積分方面，萊布尼茨與牛頓功績相當(dāng)。 這兩位數(shù)學(xué)家在微積分學(xué)領(lǐng)域中的

3、卓越貢獻(xiàn)概括起來就是：他們總結(jié)出處理各種有關(guān)問題的一般方法,認(rèn)識到求積問題與切線問題互逆的特征，并揭示出微分學(xué)與積分學(xué)之間的本質(zhì)聯(lián)系。兩人各自建立了微積分學(xué)基本定理，并給出微積分的概念、法則、公式及其符號。前人工作終于使牛頓和萊布尼茨在 17 世紀(jì)下半葉各自獨(dú)立創(chuàng)立了微積分。 1605 年 5 月 20 日，在牛頓手寫的一面文件中開始有 “ 流數(shù)術(shù) ” 的記載，微積分的誕生不妨以這一天為標(biāo)志。牛頓關(guān)于微積分的著作很多寫于 1665 - 1676 年間，但這些著作發(fā)表很遲。他完整地提出微積分是一對互逆運(yùn)算，并且給出換算的公式，就是后來著名的牛頓-萊而尼茨公式。 有了這些理論知識作為前提為以后的微

4、積分學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)而重要的基礎(chǔ)。微積分學(xué)的創(chuàng)立，極大地推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展，過去很多初等數(shù)學(xué)束手無策的問題，運(yùn)用微積分，往往迎刃而解，顯示出微積分學(xué)的非凡威力?？梢哉f微積分學(xué)的誕生是數(shù)學(xué)發(fā)展的一個里程碑式的事件。二 微積分的重大意義積分誕生之前，人類基本上還處在農(nóng)耕文明時期。微積分學(xué)是繼解析幾何產(chǎn)生后的又一個偉大的數(shù)學(xué)創(chuàng)造。微積分為創(chuàng)立許多新的學(xué)科提供了源泉。微積分的建立是人類頭腦最偉大的創(chuàng)造之一，是人類理性思維的結(jié)晶。它給出一整套的科學(xué)方法，開創(chuàng)了科學(xué)的新紀(jì)元，并因此加強(qiáng)與加深了數(shù)學(xué)的作用。微積分的產(chǎn)生不僅具有偉大的科學(xué)意義，而且具有深遠(yuǎn)的社會影響。有了微積分，就有了工業(yè)革命，有了大工

5、業(yè)生產(chǎn)，也就有了現(xiàn)代化的社會。在微積分的幫助下，萬有引力定律發(fā)現(xiàn)了。微積分學(xué)強(qiáng)有力地證明了宇宙的數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)，摧毀了籠罩在天體上的神秘主義、迷信和神學(xué)。這一切都表明微積分學(xué)的產(chǎn)生是人類認(rèn)識史上的一次空前的飛躍。積分學(xué)極大的推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展，同時也極大的推動了天文學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué)、社會科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)各個分支中的發(fā)展。并在這些學(xué)科中有越來越廣泛的應(yīng)用，特別是計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)更有助于這些應(yīng)用的不斷發(fā)展。微積分的產(chǎn)生和發(fā)展被譽(yù)為“近代科技文明產(chǎn)生的關(guān)鍵事件之一”，它引入了若干極其成功的，對以后許多數(shù)學(xué)家的發(fā)展起了決定性作用的思想。恩格斯稱之為“17世紀(jì)自然科學(xué)的三大發(fā)明

6、之一”微積分的建立無論是數(shù)學(xué)還是對其他的科學(xué)以致于科技的發(fā)展都產(chǎn)生了巨大的影響，充分顯示了數(shù)學(xué)對人的認(rèn)識發(fā)展、改造世界的能力的巨大促進(jìn)作用。三 微積分的基本介紹和基本內(nèi)容積分學(xué)是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱。微積分學(xué)基本定理指出，求不定積分與求導(dǎo)函數(shù)是互為逆運(yùn)算的過程，而把上下限代入不定積分即得到積分值，微分則是導(dǎo)數(shù)值與自變量增量的乘積。作為一種數(shù)學(xué)的思想微分就是“無限細(xì)分”，而積分就是“無限求和”。牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無窮小量，但是理論基礎(chǔ)是不牢固的。因?yàn)椤盁o限”的概念是無法用已經(jīng)擁有的代數(shù)公式進(jìn)行演算，所以，直到十九世紀(jì)，柯西和維爾斯特拉斯建立了極限理論，康托爾等建立了嚴(yán)格的實(shí)

7、數(shù)理論，這門學(xué)科才得以嚴(yán)密化。學(xué)習(xí)微積分學(xué)，首要的一步就是要理解到，“極限”引入的必要性：因?yàn)?，代?shù)是人們已經(jīng)熟悉的概念，但是，代數(shù)無法處理“無限”的概念。所以，必須要利用代數(shù)處理代表無限的量，這時就精心構(gòu)造了“極限”的概念。在“極限”的定義中，我們可以知道，這個概念繞過了用一個數(shù)除以0的麻煩，相反引入了一個過程任意小量。 就是說，除的數(shù)不是零，所以有意義，同時可以取任意小，只要滿足在區(qū)間，都小于，我們就說他的極限就是這個數(shù)。雖然這個概念給出的比較取巧，但是，它的實(shí)用性證明，這樣的定義還算比較完善，給出了正確推論的可能性。因此這個概念是成功的。四 大學(xué)的微積分學(xué)的相關(guān)知識點(diǎn)1、（極限）這一章求

8、極限的方法多種多樣，很容易混淆出錯。下面是兩道易錯的求極限的方法。（1）錯解：原式=0=0解析：時， 無極限，因此不能用法則分項(xiàng)求極限。正解：<0,所以原極限=0 .(2)錯解：因?yàn)?，所以=-2解析：與是不等價的兩個函數(shù)，不能用等號連接。正解：=-2在這兩個題目中，我們都習(xí)慣用正常的思維去解決，求捷徑，但不想這卻導(dǎo)致了錯誤的結(jié)果。當(dāng)不知道從和下手時，應(yīng)當(dāng)從原定義去著手，按照書上的公式入手。 無論在什么時候，等價無窮小的幾個公式都必須牢記：下列常用等價無窮小關(guān)系（） ； ； ； ； ； ； ； 2、（導(dǎo)數(shù)與微積分）在這章中，最主要的就是記住那些書本中出現(xiàn)的公式，只有記住公式再加上靈活的運(yùn)

9、用，才能完整的解出問題。細(xì)心的同學(xué)們也不能放過隱函數(shù)中隱在式子中的未知數(shù)。這張需要的技巧性很高，公式應(yīng)用的很靈活。例如：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（有指數(shù)，求對數(shù)）解：先取對數(shù)，再對x求導(dǎo)，最后得出 有很多看似很簡單的題目，卻不知道怎么求出來，這個時候就返璞歸真，回到課本的公式或者定義上來。下面是 復(fù)習(xí)題二的第一道題目。但是看著很多人都覺得很簡單，然而，拿起筆去來卻不知道從什么地方，等到老師一講出來，所有同學(xué)都豁然開朗。例：設(shè)，則 。解：原式=這就很簡單的解出來了。直接是用定義，一下子就得出答案。3、（微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用） 記住羅爾、拉格朗日、柯西這三個中值定理，還有就是熟練的應(yīng)用幾個不定式類型的轉(zhuǎn)換

10、，再使用洛必達(dá)法則。求最大值最小值的問題在高中已經(jīng)有學(xué)習(xí)，在這個基礎(chǔ)上在熟練掌握使用連續(xù)兩次求導(dǎo)方程式來求就能在運(yùn)算中事倍功半了，很簡便。4、（多元函數(shù)微積分）在前面幾章中，我們都是討論的函數(shù)中只有一個自變量，而這一章中，將要學(xué)習(xí)多個變量的相互關(guān)系。微分法、偏導(dǎo)數(shù)、二重積分這些的計(jì)算將是重點(diǎn)。理解二元函數(shù)，再從這個基礎(chǔ)上理解二元以上的函數(shù)。需要知道它的幾何意義與算式相結(jié)合的方法才能更深的理解它的含義。（在一個區(qū)域上連續(xù)的二元函數(shù)的圖形是一連續(xù)的空間曲面，其在面上的投影為區(qū)域D。） 求二元函數(shù)的極限又牽扯到了第一章中一元函數(shù)極限的求法，等價無窮小那幾個公式莫要忘記！在這一章中，由于牽扯的變量很多

11、，一些公式很容易混淆，這就要很注意了。分清：導(dǎo)數(shù)（）、偏導(dǎo)數(shù)()和隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，很有必要。例：設(shè)方程，求，解： 方法1：設(shè)函數(shù)則 ， ，于是 ，上式再對求偏導(dǎo)數(shù)，得 方法2：方程兩邊對求偏導(dǎo)，得 ，解得，通理得。 再有就是二元函數(shù)極大極小值的問題，記住公式，題目就不會太難解。拉格朗日乘數(shù)在這方面必須得掌握，考試也就考這個了。問題還是最后這一節(jié)二重積分的計(jì)算，由于之前定積分關(guān)于體積計(jì)算的問題很模糊，直接導(dǎo)致了這一小節(jié)很多地方都很費(fèi)解。直角坐標(biāo)系下計(jì)算的二重積分還好說，極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算就真一片模糊了。5、曲面積分和曲線積分 (一) 對弧長的曲線積分1定義：，其中表示第個小弧段的弧長。2性質(zhì)

12、：具有與定積分類似的性質(zhì)。如線性性質(zhì)，對積分路徑的可加性等。3計(jì)算：(1) 若曲線的界數(shù)方程為，()且，在上連續(xù)，在上連續(xù)，則。(2) 若曲線的方程為且在連續(xù)，上連續(xù)，則。(3) 若曲線的極坐標(biāo)方程為()，且在上連續(xù)，在上連續(xù)，則。(4) 若空間曲線的方程為，在上連續(xù)在上連續(xù)，則。(二) 對坐標(biāo)的曲線積分1定義：其物理意義是變務(wù)沿有向弧段所作的功，即2性質(zhì)：除了與弧長的曲線積分相同的性質(zhì)外，應(yīng)注意方向性3計(jì)算：(1) 若曲線的參數(shù)方程為，且曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)所對應(yīng)的的值為和，又，在或上連續(xù)，在上連續(xù)，則(2) 若曲線的直角坐標(biāo)方程為，且曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)所對應(yīng)的的值為和，又在或上連續(xù)，則(3) 若

13、空間曲線的參數(shù)方程為，且曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)所對應(yīng)的的值為和，又，在或上連續(xù)，則(三) 格林公式，曲線積分與路徑無關(guān)的條件1格林公式設(shè)和及一階導(dǎo)數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)，則有其中分段光滑曲線是區(qū)域的正向邊界。2四個等價命題若，在單連通區(qū)域內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則在內(nèi)下列四個命題相互等價：(1) 曲線積分與路徑無關(guān)，其中是中分段光滑曲線；(2) 沿中任一分段光滑閉曲線有。(3) 對內(nèi)的任一點(diǎn)有。(4) 在內(nèi)存在一函數(shù)使，則有3兩種曲線積分之間的關(guān)系其中，是上任一點(diǎn)方向上的切向量的方向余弦。(四) 對面積的曲面積分1定義：，其中()是曲面塊上的第個塊的面積。物理意義是密度的曲面塊的質(zhì)量當(dāng)時為面積。2計(jì)算若曲面可

14、用單值函數(shù)表示設(shè)為在平面上的投影區(qū)域，則若曲面的方程為單值函數(shù)若，設(shè)和為在平面和平面上的投影，則曲面積分可類似地化成重積分：或 (五) 對坐標(biāo)的曲面積分1定義：其中表示的第子塊在平面上的投影，含義類似。物理意義：設(shè)流體密度為1，流速為 ，則單位時間內(nèi)流進(jìn)有向曲面指定一側(cè)的流量為2計(jì)算若曲面的方程為，則(當(dāng)為曲面的上、下側(cè)時分別取正、負(fù)號)類似地，若曲面的方程為則 (當(dāng)為曲面的前、后側(cè)時分別取正、負(fù)號)若曲面的方程為則 (當(dāng)為曲面的右、左側(cè)時分別取正、負(fù)號)3兩類曲面積分的關(guān)系其中，是有向曲面上點(diǎn)處的法向量的方向余弦。(六) 高斯公式設(shè)空間閉區(qū)域由分片光滑的閉曲面所圍成，函數(shù)、在上是有一階連續(xù)偏

15、導(dǎo)數(shù)，則其中中的整個邊界的外側(cè)。(一) 第一類曲線積分的計(jì)算應(yīng)掌握弧長微分的基本公式所有形式的計(jì)算公式均可由此推出，第一類曲面積分也有類的公式。(二) 第二類曲線積分與積分曲線的方向有關(guān)第二類曲面積分與曲面空間有關(guān)(三) 第一類曲面積分的計(jì)算時，應(yīng)注意“一投、二代、三換”以及利用積分區(qū)域的對線性和被積函數(shù)的第二類曲面積分的計(jì)算應(yīng)注意“一投、二代、三定號”。(四) 利用第二類曲線積分求平面圖形面積是格林公式的一個簡單應(yīng)用可利下面各式計(jì)算面積：。(五) 利用格林公式時，要注意條件：1曲線是閉曲線，錄不封閉則應(yīng)添加曲線使其封閉；2函數(shù)和在封閉曲線圍成的區(qū)域內(nèi)應(yīng)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；3曲線積分的方向是正

16、向，即逆時針方向。利用高斯公式時也應(yīng)注意類似問題。(六) 有關(guān)重心公式線度的空間曲線的重心公式， 面度為的空間曲面的重心坐標(biāo)，。 六、公式一、 （系數(shù)不為0的情況）二、重要公式（1） （2） （3）（4） （5） （6）（7） （8） （9）（10） （11）三、下列常用等價無窮小關(guān)系（）四、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則五、基本導(dǎo)數(shù)公式 六、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則（1） （2）（3） （4）七、基本初等函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)公式（1） （2） (3)(4)(5) (6) (7) 八、微分公式與微分運(yùn)算法則 九、微分運(yùn)算法則十、基本積分公式 十一、下列常用湊微分公式積分型換元公式十二、補(bǔ)充下面幾個積分公式十三、分部積分法公式形如，令，形如令，形如令，形如，令，形如，令，形如，令均可。十四、第二換元積分法中的三角換元公式(1) (2) (3) 【特殊角的三角函數(shù)值】 （1） （2） （3） （4） （5）（1） （2） （3） （4） （5）（1） （2） （3） （4）不存在 （5）（1）不存在 （2） （3）（4）（5）不存在十五、三角函數(shù)公式1.兩角和公式2.二倍角公式3.半角公式4.和差化積公式5.積化和差公式6.萬能公式7.平方關(guān)系8.倒數(shù)關(guān)系9.商數(shù)關(guān)系十六、幾種常見的微分方