大一高數(shù)期末考試題精

1、一、單項選擇題 (本大題有4小題, 每小題4分, 共16分)1. .（A） （B）（C） （D）不可導(dǎo).2. . （A）是同階無窮小，但不是等價無窮??； （B）是等價無窮??； （C）是比高階的無窮小； （D）是比高階的無窮小. 3. 若，其中在區(qū)間上二階可導(dǎo)且，則（ ）.（A）函數(shù)必在處取得極大值；（B）函數(shù)必在處取得極小值；（C）函數(shù)在處沒有極值，但點為曲線的拐點；（D）函數(shù)在處沒有極值，點也不是曲線的拐點。（A） （B）（C） （D）.二、填空題（本大題有4小題，每小題4分，共16分）4. .5. .6. .7. .三、解答題（本大題有5小題，每小題8分，共40分）8. 設(shè)函數(shù)由方程確定，

2、求以及.9. 設(shè)函數(shù)連續(xù)，且，為常數(shù). 求并討論在處的連續(xù)性.10. 求微分方程滿足的解.四、 解答題（本大題10分）11. 已知上半平面內(nèi)一曲線，過點，且曲線上任一點處切線斜率數(shù)值上等于此曲線與軸、軸、直線所圍成面積的2倍與該點縱坐標(biāo)之和，求此曲線方程.五、解答題（本大題10分）12. 過坐標(biāo)原點作曲線的切線，該切線與曲線及x 軸圍成平面圖形D.(1) 求D的面積A；(2) 求D繞直線x = e 旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V.六、證明題（本大題有2小題，每小題4分，共8分）13. 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)且單調(diào)遞減，證明對任意的，.14. 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且，.證明：在內(nèi)至少存在兩個不同的點，使（提示：

3、設(shè)）一、單項選擇題(本大題有4小題, 每小題4分, 共16分)1、D 2、A 3、C 4、C二、填空題（本大題有4小題，每小題4分，共16分）5. . 6.7. . 8.三、解答題（本大題有5小題，每小題8分，共40分）9. 解：方程兩邊求導(dǎo)，10. 解：11. 解：12. 解：由，知。 ，在處連續(xù)。13. 解： ，四、 解答題（本大題10分）14. 解：由已知且， 將此方程關(guān)于求導(dǎo)得特征方程：解出特征根：其通解為代入初始條件，得故所求曲線方程為：五、解答題（本大題10分）15. 解：（1）根據(jù)題意，先設(shè)切點為，切線方程：由于切線過原點，解出，從而切線方程為：則平面圖形面積（2）三角形繞直線x

4、 = e一周所得圓錐體體積記為V1，則曲線與x軸及直線x = e所圍成的圖形繞直線x = e一周所得旋轉(zhuǎn)體體積為V2D繞直線x = e 旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積六、證明題（本大題有2小題，每小題4分，共12分）16. 證明：故有： 證畢。證：構(gòu)造輔助函數(shù)：。其滿足在上連續(xù)，在上可導(dǎo)。，且由題設(shè)，有，有，由積分中值定理，存在，使即綜上可知.在區(qū)間上分別應(yīng)用羅爾定理，知存在和，使及，即. 高等數(shù)學(xué)I 解答一、單項選擇題（在每個小題四個備選答案中選出一個正確答案，填在題末的括號中）(本大題有4小題, 每小題4分, 共16分)1. 當(dāng)時，都是無窮小，則當(dāng)時（ D ）不一定是無窮小. (A)(B) (C

5、)(D) 2. 極限的值是（ C ）.（A） 1（B） e （C） （D） 3. 在處連續(xù)，則a =（ D ）.（A） 1 （B） 0 （C） e （D） 4. 設(shè)在點處可導(dǎo)，那么（ A ）.（A） （B） (C) （D） 二、填空題（本大題有4小題，每小題4分，共16分）5. 極限的值是 .6. 由確定函數(shù)y(x)，則導(dǎo)函數(shù) .7. 直線過點且與兩平面都平行，則直線的方程為 .8. 求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 （¥，0）和（1，+¥ ） .三、解答題（本大題有4小題，每小題8分，共32分）9. 計算極限.解：10. 已知：，求。解： ，11. 設(shè)在a，b上連續(xù)，且，試求出。解

6、：12. 求 解：四、解答題（本大題有4小題，每小題8分，共32分）13. 求 .14. 求函數(shù) 的極值與拐點.解：函數(shù)的定義域（¥，+¥）令得 x 1 = 1, x 2 = -1 x 1 = 1是極大值點，x 2 = -1是極小值點極大值，極小值令得 x 3 = 0, x 4 = , x 5 = -x(-¥,-)(-,0)(0, )(,+¥)+故拐點（-，-），（0，0）（，）15. 求由曲線與所圍成的平面圖形的面積.16. 設(shè)拋物線上有兩點，在弧A B上，求一點使的面積最大.解：六、證明題（本大題4分）17. 設(shè)，試證.證明：設(shè)，因此在（0，+

7、65;）內(nèi)遞減。在（0，+¥）內(nèi)，在（0，+¥）內(nèi)遞減，在（0，+¥）內(nèi)，即亦即當(dāng) x>0時， 。高等數(shù)學(xué)I A一、單項選擇題（在每個小題四個備選答案中選出一個正確答案，填在題末的括號中）(本大題有4小題, 每小題4分, 共16分)18. 函數(shù) 的全體連續(xù)點的集合是 （ ）(A) (-,+)(B) (-,1) (1,+ )(C) (-,0) (0,+)(D) (-,0) (0,1) (1,+ )19. 設(shè)，則常數(shù)a,b的值所組成的數(shù)組（a,b）為（ ）（A） （1，0） （B） （0，1） （C） （1，1） （D） （1，-1）20. 設(shè)在0，1上二階可導(dǎo)

8、且，則（ ）（A）(B) (C) （D）21. 則（ ）（A） M < N < P（B） P < N < M（C） P < M < N（D） N < M < P二 填空題（本大題有4小題，每小題4分，共16分）1. 設(shè)（ ）2. 設(shè)則（ ）3. 直線方程，與xoy平面，yoz平面都平行，那么的值各為（ ）4. （ ）三 解答題（本大題有3小題，每小題8分，共24分）1. 計算 2. 設(shè)試討論的可導(dǎo)性，并在可導(dǎo)處求出3. 設(shè)函數(shù)連續(xù)，在x¹0時二階可導(dǎo)，且其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示，給出的極大值點、極小值點以及曲線的拐點。dycbOax四 解

9、答題（本大題有4小題，每小題9分，共36分）1. 求不定積分 2. 計算定積分3. 已知直線,求過直線l1且平行于直線l2的平面方程。4. 過原點的拋物線及y=0,x=1所圍成的平面圖形繞x軸一周的體積為，確定拋物線方程中的a，并求該拋物線繞y軸一周所成的旋轉(zhuǎn)體體積。五、綜合題（本大題有2小題，每小題4分，共8分）1. 設(shè)，其中在區(qū)間1,2上二階可導(dǎo)且有，試證明存在（）使得。（1） 求的最大值點；（2） 證明：一、單項選擇題 B D B C.二、填空題（本大題有4小題，每小題4分，共16分）5. .6. .7. .8. .三、解答題（本大題有3小題，每小題8分，共24分）9. (8分)計算極限

10、 .解：10. (8分)設(shè)，試討論的可導(dǎo)性，并在可導(dǎo)處求出.解：當(dāng)；當(dāng)故f (x)在x=0處不可導(dǎo)。11. (8分)設(shè)函數(shù)在連續(xù)，在時二階可導(dǎo)，且其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖.給出的極大值點、極小值點以及曲線的拐點. dycbOax解：極大值點： 極小值點：拐點四 解答題（本大題有4小題，每小題9分，共36分）12. (9分)求不定積分 .解：原式=13. (9分)計算定積分.解：原式=14. (9分)已知直線，,求過直線l1且平行于直線l2的平面方程.解： 取直線l1上一點M1(0,0,1) 于是所求平面方程為15. (9分)過原點的拋物線 及y=0, x=1所圍成的平面圖形繞x軸一周的體積為. 求a

11、，并求該拋物線繞y軸一周所成的旋轉(zhuǎn)體體積.解：由已知得 故 a = 9 拋物線為：繞y軸一周所成的旋轉(zhuǎn)體體積：五 綜合題（每小題4分，共8分）16. (4分)設(shè)，其中在區(qū)間1,2上二階可導(dǎo)且有. 證明：存在（）使得。證明：由在1，2上二階可導(dǎo)，故F (x)在1，2二階可導(dǎo)，因 f (2)=0,故F (1)=F (2) = 0在1，2上用羅爾定理，至少有一點使得在1，x0上對用羅爾定理，至少有點17. (4分).解：（1）為的最大值點。，當(dāng)，；當(dāng)，。為極大值，也為最大值。（2）高等數(shù)學(xué)上B（07）解答一、 填空題：（共24分，每小題4分）1，則。2 已知，=_1_。3 。4 過原點的切線方程為。

12、5已知，則=。6，時，點是曲線的拐點。二、計算下列各題：（共36分，每小題6分）1求的導(dǎo)數(shù)。解：2求。解：3求。解：4設(shè)在點處可導(dǎo)，則為何值？解：5求極限。解： =6求過點且與兩直線和平行的平面方程。解：兩直線的方向向量分別為，平面的法向量。平面方程為。三、解答下列各題：（共28分，每小題7分）1設(shè)，求。解：2求在上的最大值和最小值。解： 最大值為，最小值為。3設(shè)由方程確定，求。解：方程兩邊同時對x求導(dǎo)將代入上式4求由與圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積。解：四、證明題：(共12分，每小題6分)1證明過雙曲線任何一點之切線與二個坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為常數(shù)。證明：雙曲線上任何一點的切線方

13、程為 切線與軸、軸的交點為故切線與二個坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為 2設(shè)函數(shù)與在閉區(qū)間上連續(xù)，證明：至少存在一點使得 證明：令 ，由Rolle定理，存在一點，使，即高等數(shù)學(xué)上解答（07）一、 單項選擇題（每小題4分，共16分）1是 A 。（A）奇函數(shù)； （B）周期函數(shù)；（C）有界函數(shù)； （D）單調(diào)函數(shù)2當(dāng)時，與 B 是同階無窮小量。（A）； （B）； （C）； （D）3直線與平面的位置關(guān)系是 C 。（A）直線在平面內(nèi)；（B）平行； （C）垂直； （D）相交但不垂直。4設(shè)有三非零向量。若，則 A 。（A）0； （B）-1； （C）1； （D）3二、 填空題（每小題4分，共16分）1曲線上一點P的

14、切線經(jīng)過原點，點P的坐標(biāo)為。2。3方程確定隱函數(shù)，則 0 。4曲線、與軸所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為。三、 解下列各題（每小題6分，共30分）1已知，求。解： 2求不定積分。解: 3計算定積分。 解： 4求不定積分。 解：5已知，且，求。 解：令， ， 四、 （8分）設(shè)對任意有，且。求。 解：由， 五、（8分）證明：當(dāng)時，。證明：只需證明。 令 ，在單調(diào)遞增。 ，當(dāng)時，。即。六、 （8分）已知，連續(xù)，且當(dāng)時，與為等價無窮小量。求。解： 七、 （8分）設(shè)有曲線和直線。記它們與軸所圍圖形的面積為，它們與直線所圍圖形的面積為。問為何值時，可使最?。坎⑶蟪龅淖钚≈?。解： 令，得。 ，為最小值

15、點。 八、設(shè)在內(nèi)的點處取得最大值，且。證明：證明： 在對應(yīng)用拉格朗日定理在對應(yīng)用拉格朗日定理一、單項選擇題（在每個小題四個備選答案中選出一個正確答案，填在題末的括號中）(本大題分5小題, 每小題2分, 共10分)1、答( )2、3、4、5、答( )二、填空題（將正確答案填在橫線上）(本大題分5小題, 每小題3分, 共15分)1、2、3、設(shè)空間兩直線與相交于一點，則_ 。4、5、三、解答下列各題( 本 大 題4分 )設(shè)平面與兩個向量和平行，證明：向量與平面垂直。四、解答下列各題 ( 本 大 題8分 )五、解答下列各題( 本 大 題11分 )六、解答下列各題( 本 大 題4分 )求過與平面平行且與

16、直線垂直的直線方程。七、解答下列各題( 本 大 題6分 )八、解答下列各題( 本 大 題7分 )九、解答下列各題( 本 大 題8分 )十、解答下列各題( 本 大 題5分 )。十一、解答下列各題( 本 大 題4分 )十二、解答下列各題( 本 大 題5分 )重量為的重物用繩索掛在兩個釘子上，如圖。設(shè)，求所受的拉力。十三、解答下列各題( 本 大 題6分 )十四、解答下列各題( 本 大 題7分 )、單項選擇題（在每個小題四個備選答案中選出一個正確答案，填在題末的括號中）(本大題分5小題, 每小題2分, 共10分)1、C2、答：B3、10分4、（）5、C二、填空題（將正確答案填在橫線上）(本大題分5小題

17、, 每小題3分, 共15分)1、10分2、5分10分3、4、-15、10分三、解答下列各題( 本 大 題4分 )平面法向量4分與平行8分從而平面與垂直。10分四、解答下列各題 ( 本 大 題8分 ) 5分7分10分五、解答下列各題( 本 大 題11分 ) 3分7分10分 3分 5分 7分 10分六、解答下列各題( 本 大 題4分 )的法向量為的方向向量為3分所求直線方向向量為7分從而所求直線方程為10分七、解答下列各題( 本 大 題6分 )3分7分10分八、解答下列各題( 本 大 題7分 ) 4分 7分10分九、解答下列各題( 本 大 題8分 )2分5分8分10分十、解答下列各題( 本 大 題

18、5分 )4分8分10分十一、解答下列各題( 本 大 題4分 )4分8分10分十二、解答下列各題( 本 大 題5分 )按點受力平衡，應(yīng)有，即解得(10分)十三、解答下列各題( 本 大 題6分 )2分4分10分十四、解答下列各題( 本 大 題7分 ) 3分5分 8分 10分一、單項選擇題（在每個小題四個備選答案中選出一個正確答案，填在題末的括號中）(本大題分4小題, 每小題3分, 共12分)1、2、3、4、二、填空題（將正確答案填在橫線上）(本大題分4小題, 每小題3分, 共12分)1、2、_.3、4、直線與平面的交點為_ 。三、解答下列各題(本大題共2小題，總計12分)1、(本小題6分)2、(本

19、小題6分)指出錐面被平行于平面的平面所截得的曲線的名稱。 四、解答下列各題(本大題共5小題，總計24分)1、(本小題1分)2、(本小題2分)3、(本小題5分)4、(本小題5分)5、(本小題11分)五、解答下列各題(本大題共2小題，總計14分)1、(本小題7分)2、(本小題7分)試證：對角線向量是的平行四邊形是菱形，并計算其邊長。六、解答下列各題(本大題共3小題，總計20分)1、(本小題6分)2、(本小題6分)3、(本小題8分)七、解答下列各題 (本大題共2小題，總計6分)1、(本小題1分)2、(本小題5分)一、單項選擇題（在每個小題四個備選答案中選出一個正確答案，填在題末的括號中）(本大題分4

20、小題, 每小題3分, 共12分)1、D10分2、10分3、B10分4、B10分二、填空題（將正確答案填在橫線上）(本大題分4小題, 每小題3分, 共12分)1、2、3、=10分4、三、解答下列各題(本大題共2小題，總計12分)1、(本小題6分)7分10分2、(本小題6分)用所截得的曲線為 4分故時為一對相交直線時為雙曲線 10分四、解答下列各題(本大題共5小題，總計24分)1、(本小題1分)10分2、(本小題2分)7分 10分3、(本小題5分)3分7分10分4、(本小題5分)4分 6分 8分 10分5、(本小題11分)2分10分五、解答下列各題(本大題共2小題，總計14分)1、(本小題7分)2

21、分6分 8分 10分2、(本小題7分)因為，故因此這個平行四邊形的對角線是垂直的，于是它是菱形。（6分）邊長=（10分）六、解答下列各題(本大題共3小題，總計20分)1、(本小題6分)4分8分10分(注如用切線平行于已知直線解也可以)2、(本小題6分)3分5分10分3、(本小題8分)3分6分 10分七、解答下列各題 (本大題共2小題，總計6分)1、(本小題1分)4分10分2、(本小題5分)4分6分10分1、2、3、4、5、答( )二、填空題（將正確答案填在橫線上）(本大題分3小題, 每小題3分, 共9分)1、_.2、3、對于的值，討論級數(shù)（1）當(dāng)_時，級數(shù)收斂（2）當(dāng)_時，級數(shù)發(fā)散三、解答下列

22、各題(本大題共3小題，總計13分)1、(本小題4分)2、(本小題4分)級數(shù)是否收斂，是否絕對收斂？3、(本小題5分)設(shè)是以為周期的函數(shù)，當(dāng)時，。又設(shè)是的以為周期的Fourier級數(shù)之和函數(shù)。試寫出在內(nèi)的表達(dá)式。四、解答下列各題(本大題共5小題，總計23分)1、(本小題2分)2、(本小題2分)3、(本小題4分)4、(本小題7分)5、(本小題8分)試將函數(shù)在點處展開成泰勒級數(shù)。五、解答下列各題( 本 大 題5分 )如果冪級數(shù)在處條件收斂，那么該級數(shù)的收斂半徑是多少? 試證之.六、解答下列各題(本大題共2小題，總計16分)1、(本小題7分)2、(本小題9分)七、解答下列各題 ( 本 大 題6分 )八

23、、解答下列各題( 本 大 題6分 )九、解答下列各題( 本 大 題12分 )一、單項選擇題（在每個小題四個備選答案中選出一個正確答案，填在題末的括號中）(本大題分5小題, 每小題2分, 共10分)1、2、B10分3、10分4、10分5、二、填空題（將正確答案填在橫線上）(本大題分3小題, 每小題3分, 共9分)1、10分2、10分3、時收斂時發(fā)散三、解答下列各題(本大題共3小題，總計13分)1、(本小題4分)4分8分10分2、(本小題4分) 記 由于 6分故原級數(shù)絕對收斂，從而收斂 10分3、(本小題5分)對作周期為的延拓，在內(nèi)的表達(dá)式為 (3分)滿足Fourier級數(shù)收斂的充分條件。 (5分

24、)故 (10分)注：只要寫出的表達(dá)式即可得10分。四、解答下列各題(本大題共5小題，總計23分)1、(本小題2分)5分8分10分2、(本小題2分)5分10分3、(本小題4分)4分 6分 8分 10分4、(本小題7分)5分10分5、(本小題8分)因為 3分而 5分所以 10分五、解答下列各題( 本 大 題5分 )由題意,知:當(dāng)時, 級數(shù)絕對收斂； 4分當(dāng)時, 級數(shù)不可能收斂. 8分故收斂半徑是2. 10分六、解答下列各題(本大題共2小題，總計16分)1、(本小題7分)3分6分8分10分2、(本小題9分)3分6分8分 10分七、解答下列各題 ( 本 大 題6分 )3分5分10分八、解答下列各題(

25、本 大 題6分 )5分 10分九、解答下列各題( 本 大 題12分 )4分6分8分10分一、 一、             填空1. 1.        設(shè)當(dāng)a= 時，x=0是f(x)的連續(xù)點。 解：2。解：3 A，則a= ，b= ， A= 。解：要使極限存在，分子與分母應(yīng)是極限過程中的同階無窮小或高階無窮小，于是有1a+b=0，用一次羅必達(dá)法則分子仍為無窮小，有a+4b=0解出：a=-4/3 b=1/3

26、代入求得極限A8/34函數(shù)的極小值點為。解：駐點,在駐點處y>0,故駐點為極小值點。5設(shè)f (x) = x lnx在x0處可導(dǎo)，且f(x0)=2,則 f (x0)= 。解：則f(x)在x=0取得（填極大值或極小值）。解：二、是否連續(xù)？是否可導(dǎo)？并求f(x)的導(dǎo)函數(shù)。解：當(dāng)x>0及x<0時，f(x)為初等函數(shù)，連續(xù)。三、 三、             解下列各題1解：原式.2；解：原式3,求此曲線在x=2 的點處的切線方程,及。解：四、 四、 

27、60;         試確定a,b,c的值，使y=x3+ax2+bx+c在點(1,-1)處有拐點，且在x=0處有極大值為1，并求此函數(shù)的極小值。解：五、 五、             若直角三角形的一直角邊與斜邊之和為常數(shù)，求有最大面積的直角三角形。解：設(shè)所給直角邊為x,斜邊與其之和為L，則六、 六、        

28、     證明不等式：七、 七、             y=f(x)與y=sin(x)在原點相切，求極限八、 八、             設(shè) f (x)在0,1上連續(xù)且在 (0,1 ) 內(nèi)可導(dǎo)，且f (0) = f (1) = 0, f (1/2) = 1.證明：(1)至少有一點(1/2,1)，使得f()= ;(2

29、)"lÎR ，存在hÎ(0,x)，使得f(h)-lf(h)-h=1證：（1）令F(x)=f(x)-x,則f在0,1連續(xù)，在(0,1)可導(dǎo)，F(xiàn)（1/2）=f(1/2)-1/2>0F(1)=f(1)-1=0-1<0,在(1/2,1)內(nèi)至少有一點x，使F（x ）=0,即f (x)=x.。(2)證：一、 一、    選擇題（每題4分，共16分）1（ D ）。A、； B、； C、； D、2設(shè)在處可導(dǎo)，且，則（ B ）。A、； B、； C、； D、。 3若是的一個原函數(shù)，則（ D ）。A、； B、；C、； D、。4已知函數(shù)在處取得極值

30、，則（ B ）。A、且為函數(shù)的極小值點；B、且為函數(shù)的極小值點；C、且為函數(shù)的極大值點；D、且為函數(shù)的極大值點。 二、填空題（每題5分，共20分）1 。2。3。4設(shè)為向量，為實數(shù)。若，則。三、計算下列各題（每題9分，共45分）1求極限。解：2函數(shù)由方程確定，求。解： 又，得。3求定積分。解：4求過點且與平面和平行的直線方程。解：，。5設(shè)，求。解：， ，四、（7分）長為的鐵絲切成兩段，一段圍成正方形，另一段圍成圓形，問這兩段鐵絲各為多長時，正方形的面積與圓的面積之和最??？解：設(shè)正方形的邊長為，則正方形的面積與圓的面積之和為。，。所以兩段鐵絲分別為時，正方形的面積與圓的面積之和最小。五、解答下列各題（每小題4分，共12分）1設(shè)曲線，軸以及軸所圍區(qū)域被曲線分成面積相等的兩部分，求。解：由，2設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且。判斷方程在內(nèi)有幾個實根？并證明你的結(jié)論。解：，在上連續(xù)，所以在內(nèi)有一個零點。又，在上是單調(diào)遞增的，所以在內(nèi)有唯一零點，即在內(nèi)有唯一實根。3、設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，且，求證在內(nèi)至少存在一點，使得。解：，在上可導(dǎo)。由，存在，使得，即。由Roll定理，存在，使得，即。高等數(shù)學(xué)第一學(xué)期半期試題解答（05）一