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文檔簡介
1、第一章 復數與復變函數一、 選擇題1當時,的值等于()(A) (B) (C) (D)2設復數滿足,那么()(A)(B)(C)(D)3復數的三角表示式是()(A)(B)(C)(D)4若為非零復數,則與的關系是()(A)(B)(C)(D)不能比較大小設為實數,且有,則動點的軌跡是()(A)圓(B)橢圓(C)雙曲線(D)拋物線一個向量順時針旋轉,向右平移個單位,再向下平移個單位后對應的復數為,則原向量對應的復數是()(A)(B)(C)(D)使得成立的復數是()(A)不存在的(B)唯一的(C)純虛數(D)實數設為復數,則方程的解是()(A)(B)(C)(D)滿足不等式的所有點構成的集合是()(A)有界
2、區(qū)域(B)無界區(qū)域(C)有界閉區(qū)域(D)無界閉區(qū)域10方程所代表的曲線是()(A)中心為,半徑為的圓周 (B)中心為,半徑為的圓周(C)中心為,半徑為的圓周(D)中心為,半徑為的圓周11下列方程所表示的曲線中,不是圓周的為()(A)(B)(C)(D)12設,則()(A) (B) (C) (D)13()(A)等于 (B)等于 (C)等于 (D)不存在14函數在點處連續(xù)的充要條件是()(A)在處連續(xù) (B)在處連續(xù)(C)和在處連續(xù)(D)在處連續(xù)15設且,則函數的最小值為()(A) (B) (C) (D)二、填空題1設,則 2設,則 3設,則 4復數的指數表示式為 5以方程的根的對應點為頂點的多邊形
3、的面積為 不等式所表示的區(qū)域是曲線 的內部方程所表示曲線的直角坐標方程為方程所表示的曲線是連續(xù)點 和 的線段的垂直平分線對于映射,圓周的像曲線為10三、若復數滿足,試求的取值范圍四、設,在復數集中解方程.五、設復數,試證是實數的充要條件為或.六、對于映射,求出圓周的像.七、試證.的充要條件為;. 的充要條件為.八、若,則存在,使得當時有.九、設,試證.十、設,試討論下列函數的連續(xù)性:1.2.第二章 解析函數一、選擇題:1函數在點處是( )(A)解析的 (B)可導的(C)不可導的 (D)既不解析也不可導2函數在點可導是在點解析的( )(A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件(C)充分必要條件
4、(D)既非充分條件也非必要條件3下列命題中,正確的是( )(A)設為實數,則(B)若是函數的奇點,則在點不可導(C)若在區(qū)域內滿足柯西-黎曼方程,則在內解析(D)若在區(qū)域內解析,則在內也解析4下列函數中,為解析函數的是( )(A) (B)(C) (D)5函數在處的導數( )(A)等于0 (B)等于1 (C)等于 (D)不存在6若函數在復平面內處處解析,那么實常數( )(A) (B) (C) (D)7如果在單位圓內處處為零,且,那么在內( )(A) (B) (C) (D)任意常數8設函數在區(qū)域內有定義,則下列命題中,正確的是(A)若在內是一常數,則在內是一常數(B)若在內是一常數,則在內是一常數
5、(C)若與在內解析,則在內是一常數(D)若在內是一常數,則在內是一常數9設,則( )(A) (B) (C) (D)10的主值為( )(A) (B) (C) (D)11在復平面上( )(A)無可導點 (B)有可導點,但不解析(C)有可導點,且在可導點集上解析 (D)處處解析12設,則下列命題中,不正確的是( )(A)在復平面上處處解析 (B)以為周期(C) (D)是無界的13設為任意實數,則( )(A)無定義 (B)等于1 (C)是復數,其實部等于1 (D)是復數,其模等于114下列數中,為實數的是( )(A) (B) (C) (D)15設是復數,則( )(A)在復平面上處處解析 (B)的模為(
6、C)一般是多值函數 (D)的輻角為的輻角的倍二、填空題1設,則 2設在區(qū)域內是解析的,如果是實常數,那么在內是 3導函數在區(qū)域內解析的充要條件為 4設,則 5若解析函數的實部,那么 6函數僅在點 處可導7設,則方程的所有根為 8復數的模為 9 10方程的全部解為 三、設為的解析函數,若記,則四、試證下列函數在平面上解析,并分別求出其導數12五、設,求.六、設試證在原點滿足柯西-黎曼方程,但卻不可導.七、已知,試確定解析函數.八、設和為平面向量,將按逆時針方向旋轉即得.如果為解析函數,則有(與分別表示沿,的方向導數).九、若函數在上半平面內解析,試證函數在下半平面內解析.十、解方程.第三章 復變
7、函數的積分一、選擇題:1設為從原點沿至的弧段,則( )(A) (B) (C) (D)2設為不經過點與的正向簡單閉曲線,則為( )(A) (B) (C) (D)(A)(B)(C)都有可能3設為負向,正向,則 ( )(A) (B) (C) (D)4設為正向圓周,則 ( )(A) (B) (C) (D)5設為正向圓周,則 ( )(A) (B) (C) (D)6設,其中,則( )(A) (B) (C) (D)7設在單連通域內處處解析且不為零,為內任何一條簡單閉曲線,則積分 ( )(A)于 (B)等于 (C)等于 (D)不能確定8設是從到的直線段,則積分( )(A) (B) (C) (D) 9設為正向圓
8、周,則 ( )(A) (B) (C) (D)10設為正向圓周,則( )(A) (B) (C) (D)11設在區(qū)域內解析,為內任一條正向簡單閉曲線,它的內部全屬于如果在上的值為2,那么對內任一點,( )(A)等于0 (B)等于1 (C)等于2 (D)不能確定12下列命題中,不正確的是( )(A)積分的值與半徑的大小無關(B),其中為連接到的線段(C)若在區(qū)域內有,則在內存在且解析 (D)若在內解析,且沿任何圓周的積分等于零,則在處解析13設為任意實常數,那么由調和函數確定的解析函數是 ( )(A) (B) (C) (D)14下列命題中,正確的是( )(A)設在區(qū)域內均為的共軛調和函數,則必有(B
9、)解析函數的實部是虛部的共軛調和函數(C)若在區(qū)域內解析,則為內的調和函數(D)以調和函數為實部與虛部的函數是解析函數15設在區(qū)域內為的共軛調和函數,則下列函數中為內解析函數的是( )(A) (B) (C) (D)二、填空題1設為沿原點到點的直線段,則 2設為正向圓周,則 3設,其中,則 4設為正向圓周,則 5設為負向圓周,則 6解析函數在圓心處的值等于它在圓周上的 7設在單連通域內連續(xù),且對于內任何一條簡單閉曲線都有,那么在內 8調和函數的共軛調和函數為 9若函數為某一解析函數的虛部,則常數 10設的共軛調和函數為,那么的共軛調和函數為 三、計算積分1.,其中且;2.四、設在單連通域內解析,
10、且滿足.試證在內處處有;對于內任意一條閉曲線,都有五、設在圓域內解析,若,則.六、求積分,從而證明.七、設在復平面上處處解析且有界,對于任意給定的兩個復數,試求極限并由此推證(劉維爾Liouville定理).八、設在內解析,且,試計算積分并由此得出之值.九、設是的解析函數,證明.十、若,試求解析函數.第四章 級 數一、選擇題:1設,則( )(A)等于 (B)等于 (C)等于 (D)不存在2下列級數中,條件收斂的級數為( )(A) (B)(C) (D)3下列級數中,絕對收斂的級數為( )(B) (B)(C) (D)4若冪級數在處收斂,那么該級數在處的斂散性為( )(A)絕對收斂 (B)條件收斂(
11、C)發(fā)散 (D)不能確定5設冪級數和的收斂半徑分別為,則之間的關系是( )(A) (B) (C) (D)6設,則冪級數的收斂半徑( )(A) (B) (C) (D)7冪級數的收斂半徑( )(A) (B) (C) (D)8冪級數在內的和函數為(A) (B)(D) (D) 9設函數的泰勒展開式為,那么冪級數的收斂半徑( )(A) (B) (C) (D)10級數的收斂域是( )(A) (B) (C) (D)不存在的11函數在處的泰勒展開式為( )(A) (B)(C) (D)12函數,在處的泰勒展開式為( )(A) (B)(C) (D)13設在圓環(huán)域內的洛朗展開式為,為內繞的任一條正向簡單閉曲線,那么
12、( )(A) (B) (C) (D)14若,則雙邊冪級數的收斂域為( )(A) (B) (C) (D)15設函數在以原點為中心的圓環(huán)內的洛朗展開式有個,那么( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4二、填空題1若冪級數在處發(fā)散,那么該級數在處的收斂性為 2設冪級數與的收斂半徑分別為和,那么與之間的關系是 3冪級數的收斂半徑 4設在區(qū)域內解析,為內的一點,為到的邊界上各點的最短距離,那么當時,成立,其中 5函數在處的泰勒展開式為 6設冪級數的收斂半徑為,那么冪級數的收斂半徑為 7雙邊冪級數的收斂域為 8函數在內洛朗展開式為 9設函數在原點的去心鄰域內的洛朗展開式為,那么該洛朗級數收斂域的外半徑
13、 10函數在內的洛朗展開式為 三、若函數在處的泰勒展開式為,則稱為菲波那契(Fibonacci)數列,試確定滿足的遞推關系式,并明確給出的表達式四、試證明12五、設函數在圓域內解析,試證1.2。六、設冪級數的和函數,并計算之值.七、設,則對任意的,在內。八、設在內解析的函數有泰勒展開式試證當時.九、將函數在內展開成洛朗級數.十、試證在內下列展開式成立:其中.第五章 留 數一、選擇題:1函數在內的奇點個數為 ( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)42設函數與分別以為本性奇點與級極點,則為函數的( )(A)可去奇點 (B)本性奇點(C)級極點 (D)小于級的極點3設為函數的級極點,那么( )(
14、A)5 (B)4 (C)3 (D)24是函數的( )(A)可去奇點 (B)一級極點(C) 一級零點 (D)本性奇點5是函數的( )(A)可去奇點 (B)一級極點(C) 二級極點 (D)本性奇點6設在內解析,為正整數,那么( )(A) (B) (C) (D)7設為解析函數的級零點,那么( )(A) (B) (C) (D)8在下列函數中,的是( )(A) (B)(C) (D) 9下列命題中,正確的是( )(A) 設,在點解析,為自然數,則為的級極點(B) 如果無窮遠點是函數的可去奇點,那么(C) 若為偶函數的一個孤立奇點,則(D) 若,則在內無奇點10 ( )(A) (B) (C) (D)11 (
15、 )(A) (B) (C) (D)12下列命題中,不正確的是( )(A)若是的可去奇點或解析點,則(B)若與在解析,為的一級零點,則(C)若為的級極點,為自然數,則(D)如果無窮遠點為的一級極點,則為的一級極點,并且13設為正整數,則( )(A) (B) (C) (D)14積分( )(A) (B) (C) (D)15積分( )(A) (B) (C) (D)二、填空題1設為函數的級零點,那么 2函數在其孤立奇點處的留數 3設函數,則 4設為函數的級極點,那么 5雙曲正切函數在其孤立奇點處的留數為 6設,則 7設,則 8積分 9積分 10積分 三、計算積分四、利用留數計算積分五、利用留數計算積分六
16、、利用留數計算下列積分: 七、設為的孤立奇點,為正整數,試證為的級極點的充要條件是,其中為有限數八、設為的孤立奇點,試證:若是奇函數,則;若是偶函數,則九、設以為簡單極點,且在處的留數為A,證明.十、若函數在上解析,當為實數時,取實數而且,表示的虛部,試證明第六章 共形映射一、選擇題:1若函數構成的映射將平面上區(qū)域縮小,那么該區(qū)域是 ( )(A) (B) (C) (D)2映射在處的旋轉角為( )(A) (B) (C) (D)3映射在點處的伸縮率為( )(A)1 (B)2 (C) (D)4在映射下,區(qū)域的像為( )(A) (B)(C) (D)5下列命題中,正確的是( )(A)在復平面上處處保角(
17、此處為自然數)(B)映射在處的伸縮率為零(C) 若與是同時把單位圓映射到上半平面的分式線性變換,那么(D)函數構成的映射屬于第二類保角映射6關于圓周的對稱點是( )(A) (B) (C) (D)7函數將角形域映射為 ( )(A) (B) (C) (D)8將點分別映射為點的分式線性變換為( )(B) (B)(C) (D) 9分式線性變換把圓周映射為( )(E) (B) (F) (D) 10分式線性變換將區(qū)域:且映射為( )(A) (B) (C) (D)11設為實數且,那么分式線性變換把上半平面映射為平面的( )(A)單位圓內部 (B)單位圓外部 (C)上半平面 (D)下半平面12把上半平面映射成
18、圓域且滿足的分式線性變換為( )(A) (B) (C) (D)13把單位圓映射成單位圓且滿足的分式線性變換為( )(A) (B) (C) (D)14把帶形域映射成上半平面的一個映射可寫為( )(A) (B) (C) (D)15函數將帶形域映射為( )(A) (B) (C) (D)二、填空題1若函數在點解析且,那么映射在處具有 2將點分別映射為點的分式線性變換為 3把單位圓映射為圓域且滿足的分式線性變換 4將單位圓映射為圓域的分式線性變換的一般形式為 5把上半平面映射成單位圓且滿足的分式線性變換的= 6把角形域映射成圓域的一個映射可寫為 7映射將帶形域映射為 8映射將扇形域:且映射為 9映射將上
19、半平面映射為 10映射將上半單位圓:且映射為 三、設是兩個分式線性變換,如果記,試證1的逆變換為;2與的復合變換為四、設與是關于圓周的一對對稱點,試證明圓周可以寫成如下形式其中五、求分式線性變換,使映射為,且使映射為六、求把擴充復平面上具有割痕:且的帶形域映射成帶形域的一個映射七、設,試求區(qū)域且到上半平面的一個映射八、求把具有割痕:且的單位圓映射成上半平面的一個映射九、求一分式線性變換,它把偏心圓域映射為同心圓環(huán)域,并求的值十、利用儒可夫斯基函數,求把橢圓的外部映射成單位圓外部的一個映射第二章 復數與復變函數一、1(B) 2(A) 3(D) 4(C) (B) (A) (D) (B) (D) 10(C)11(B) 12(C) 13(D) 14(C) 15(A)二、1 2 3 4 5 (或 ) 10三、(或)四、當時解為或當時解為.六、像的參數方程為表示平面上的橢圓.十、1在復平面除去原點外連續(xù),在原點處不連續(xù);2在復平面處處連續(xù).第二章 解析函數一、1(B) 2(B) 3(D) 4(C) (A) (C) (C) (C) (A) 10(D)
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