第6章--測量誤差基本知識.

1、第6章-測量誤差基本知識.第六章第六章 測量誤差基本知識測量誤差基本知識 主要目的： 了解誤差的來源與分類，中誤差公式；理解觀測值中誤差、相對誤差、極限誤差；掌握由一組等精度觀測值計算觀測值中誤差的公式。主要內容： 測量誤差的分類、偶然誤差的特征，觀測精度的定量指標、觀測值函數中誤差。研究測量誤差的目的：分析測量誤差產生的原因及其 性質，合理處理含有誤差的測 量數據，求出最可靠值，正確 評估測量成果的精度。 第六章 測量誤差的基本知識測量誤差概述測量誤差概述偶然誤差特性偶然誤差特性衡量觀測值精度的標準衡量觀測值精度的標準誤差傳播定律誤差傳播定律等精度直接觀測平差等精度直接觀測平差不等精度直接觀

2、測平差不等精度直接觀測平差6.1 6.1 測量誤差概述測量誤差概述通過一定的儀器、工具和方法對某量進行量測，稱為觀測，獲得的數據稱為觀測值。測量中的被觀測量，客觀上都存在著一個真實值， 簡稱真值。對該量進行觀測得到觀測值。 二、測量誤差及其來源二、測量誤差及其來源一、測量與觀測值一、測量與觀測值 1、測量誤差定義真誤差觀測值真值真誤差觀測值真值 = l - X觀測值與真值之差，稱為真誤差。2、 誤差來源誤差來源儀器設備不盡完善儀器設備不盡完善人的感官不穩(wěn)定人的感官不穩(wěn)定如：整平誤差、照準誤差、讀數誤差等。如：用只刻有厘米分劃的普通水準尺進行水準測量、水準儀的視準軸不平行于水準管軸等。自然環(huán)境的

3、影響自然環(huán)境的影響如：溫度、風力、大氣折光等因素三、研究目的三、研究目的衡量精度（評定精度）衡量精度（評定精度）評定觀測結果質量的優(yōu)劣，即評定精度。評定觀測結果質量的優(yōu)劣，即評定精度。這項工作在測量上稱為測量平差，簡稱平差。這項工作在測量上稱為測量平差，簡稱平差。求取最可靠值（最或是值）求取最可靠值（最或是值）最接近未知量真值的估值，稱為最或是值。最接近未知量真值的估值，稱為最或是值。測量工作由于受到上述三方面因素的影響，觀測結果總會產生這樣或那樣的觀測誤差，也就是說測量工作中觀測誤差是不可避免的。按測量誤差對測量結果影響性質的不同，可將測量誤差分為粗差、系統(tǒng)誤差和偶然誤差三類。按測量誤差對測

4、量結果影響性質的不同，可將測量誤差分為粗差、系統(tǒng)誤差和偶然誤差三類。四、測量誤差分類四、測量誤差分類 粗差也稱錯誤，是由于觀測者不正確地使用儀器或疏忽大意，如測錯、讀錯、聽錯、算錯等造成的錯誤或因外界條件意外的顯著變動引起的差錯，其數值往往偏離較大，使觀測結果顯著偏離真值，直接影響到觀測結果的正確與否。（一）粗差（一）粗差（二）系統(tǒng)誤差（二）系統(tǒng)誤差在相同的觀測條件下，對某量進行的一系列觀測中，數值大小和正負符號固定不變，或按一定規(guī)律變化的誤差，稱為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差具有累積性，它隨著單一觀測值觀測次數的增多而積累。系統(tǒng)誤差的存在必將給觀測成果帶來系統(tǒng)的偏差，反映了觀測結果的準確度。準確度是指

5、觀測值對真值的偏離程度或接近程度。準確度是指觀測值對真值的偏離程度或接近程度。1、測定系統(tǒng)誤差的大小對觀測值加以改正。如用鋼尺量距時，通過對鋼尺的檢定求出尺長改正數，對觀測結果、測定系統(tǒng)誤差的大小對觀測值加以改正。如用鋼尺量距時，通過對鋼尺的檢定求出尺長改正數，對觀測結果加尺長改正數來消除尺長引起的系統(tǒng)誤差。加尺長改正數來消除尺長引起的系統(tǒng)誤差。2、采用對稱觀測的方法、采用對稱觀測的方法 使系統(tǒng)誤差在觀測值中以相反的符號出現，加以抵消。如水準測量時，采用前、后視距使系統(tǒng)誤差在觀測值中以相反的符號出現，加以抵消。如水準測量時，采用前、后視距相等的對稱觀測，經緯儀測角時，用盤左、盤右兩個觀測值取中

6、數的方法可以消除視準軸誤差等系統(tǒng)誤差相等的對稱觀測，經緯儀測角時，用盤左、盤右兩個觀測值取中數的方法可以消除視準軸誤差等系統(tǒng)誤差的影響。的影響。如果系統(tǒng)誤差的大小在允許范圍以內，可采用適當的措施消除或減弱其影響，通常有以下三種方法：3、檢校儀器、檢校儀器 將儀器存在的系統(tǒng)誤差降低到最小限度，或限制在允許的范圍內，以減弱其對觀測結果的影響。將儀器存在的系統(tǒng)誤差降低到最小限度，或限制在允許的范圍內，以減弱其對觀測結果的影響。如經緯儀照準部管水準軸不垂直于豎軸的誤差對水平角的影響，可通過精確檢校儀器，并在觀測中仔如經緯儀照準部管水準軸不垂直于豎軸的誤差對水平角的影響，可通過精確檢校儀器，并在觀測中仔

7、細整平的方法來減弱其影響。細整平的方法來減弱其影響。（三）偶然誤差（三）偶然誤差在相同的觀測條件下對某量進行一系列觀測，單個誤差的出現沒有一定的規(guī)律性，其數值的大小和符號都不固定，表現出偶然性，這種誤差稱為偶然誤差，又稱為隨機誤差。對剔除了粗差的觀測值，首先應排除系統(tǒng)誤差，然后根據偶然誤差的特性對該觀測值進行數學處理，求出最或是值，同時評定該觀測值精度。 如：經緯儀測角時，由于受照準差、讀數誤差、外界條件變化及儀器自身不完善而引起的誤差等綜合影響。就單一觀測值而言，測角誤差無論是數值的大小或符號的正負不能預知，具有偶然性。研究測量誤差主要是針對偶然誤差而言。研究測量誤差主要是針對偶然誤差而言。

8、一、偶然誤差的四個特性一、偶然誤差的四個特性舉例：舉例：abc180（1,2, 358） 將觀測得到的將觀測得到的358個誤差，取區(qū)間個誤差，取區(qū)間d為為 ，按數值大小及符號進行排列，統(tǒng)計結果列表，按數值大小及符號進行排列，統(tǒng)計結果列表 2. 0 6.2 6.2 偶然誤差特性偶然誤差特性 負 誤 差 正 誤 差 誤差區(qū)間 d 個數k 相對個數k/n 個數k 相對個數k/n 0.0 0.2 0.2 0.4 0.4 0.6 0.6 0.8 0.8 1.0 1.0 1.2 1.2 1.4 1.4 1.6 1.6 以上 45 40 33 23 17 13 6 4 0 0.126 0.112 0.092

9、 0.064 0.047 0.036 0.017 0.011 0.000 46 41 33 21 16 13 5 2 0 0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006 0.000 總 和 181 0.505 177 0.495 結論結論1. 有界性：有界性： 在一定的條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限度；在一定的條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限度；2. 集中性：集中性： 絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現的機會多；絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現的機會多；3. 對稱性：對稱性： 絕對值相等的正負誤差出現的機會相等；絕對值相等的正

10、負誤差出現的機會相等；4. 抵償性：抵償性： 偶然誤差的算術平均值趨近于零，即偶然誤差的算術平均值趨近于零，即 021nlinnlinnnn二、誤差概率分布曲線二、誤差概率分布曲線+knd(頻率頻率/組距組距)00.20.40.60.81.01.21.41.6-0.4-0.6-0.8-1.0-1.2-1.4-1.6-0.2k/n(頻率頻率)頻率直方圖頻率直方圖偶然誤差分布曲線（正態(tài)分布曲線）偶然誤差分布曲線（正態(tài)分布曲線）偶然誤差出現在微小區(qū)間（偶然誤差出現在微小區(qū)間（ , ）內的概率）內的概率21di21di)()(dfPii(稱為概率元素) +ydiy=f()p (i) =f(i) d偶然

11、誤差出現在微小區(qū)間d內的概率的大小與f (i)值有關，f (i)越大，表示偶然誤差出現在該區(qū)間內的概率也越大，反之則越小。高斯根據偶然誤差的統(tǒng)計特性，推導出偶然誤差分布的概率密度函數（即偶然誤差分布曲線方程） 22221ef概率密度自然對數底標準差偶然誤差偶然誤差三、分析標準差三、分析標準差1. 與觀測誤差與觀測誤差及偶然誤差概率密度及偶然誤差概率密度f()的關系的關系愈小愈小 ， f()愈大，愈大，=0 ， 有最大值21f愈大愈大 ， f()愈小，愈小， f() 0即橫軸是曲線的漸近線即橫軸是曲線的漸近線22221ef2. 與誤差分布曲線拐點的關系與誤差分布曲線拐點的關系 拐得：010121

12、22222322efy=f()y-+3. 標準差標準差的概率值的概率值P（ ）683.0dfP+y=f()y-+f()+1211 2精度高精度高精度低精度低-4. 標準差標準差的大小與誤差分布曲線的形態(tài)關系的大小與誤差分布曲線的形態(tài)關系221離散程度6.3 6.3 衡量觀測值精度的標準衡量觀測值精度的標準一、方差和中誤差一、方差和中誤差方差方差nDnlim觀測誤差平方總和X方差和標準差的關系方差和標準差的關系2222221deD中誤差（用中誤差（用m表示）就是標準差表示）就是標準差標準差標準差的計算公式的計算公式nDnlim中誤差估算值的計算公式中誤差估算值的計算公式nm X觀測次數一組觀測值

13、的中誤差6.3 6.3 衡量觀測值精度的標準衡量觀測值精度的標準應用中誤差公式衡量精度的計算實例應用中誤差公式衡量精度的計算實例 例：對同一三角形，在同精度條件下兩個同學進行例：對同一三角形，在同精度條件下兩個同學進行 觀測，每次閉合差（觀測，每次閉合差（i 180）分別為：）分別為： 甲同學（甲同學（i ）：）： + 3 -2-4 +2 0 +4 +3 +2 -3- 1 乙同學（乙同學（i ） ： 0 -1 -7 +2 +1 -3 0 +3+1+17. 21013234024232222222222 甲m同理計算得：同理計算得：m乙乙=3.6 m甲甲m乙乙 甲同學的觀測精度高于乙同學的觀測精

14、度甲同學的觀測精度高于乙同學的觀測精度6.3 6.3 衡量觀測值精度的標準衡量觀測值精度的標準二、平均誤差二、平均誤差nnlim三、極限誤差（容許誤差）三、極限誤差（容許誤差）m容許容許 =3m 2m 中誤差中誤差m容許容許 的概率含義的概率含義997.033955.022PP注意：應從概率的意義去理解注意：應從概率的意義去理解m容許容許 6.3 6.3 衡量觀測值精度的標準衡量觀測值精度的標準四、用相對誤差來衡量精度四、用相對誤差來衡量精度NDmk1例：量測距離例：量測距離100m和和200m，分別都量測，分別都量測6次，算得量測值中誤差均為：次，算得量測值中誤差均為：0.01m，求各段量測

15、值的中誤差。，求各段量測值的中誤差。10000110001.0100m20000120001.0200m m100m200量測量測200米的精度高于量測米的精度高于量測100的精度的精度6.3 6.3 衡量觀測值精度的標準衡量觀測值精度的標準6.4 6.4 誤差傳播定律誤差傳播定律 一、倍乘一、倍乘xzkmmxznnmkmnxknZxkZxkZxkZxkZkxZ2222222211二、和或差二、和或差02lim2222222111nyxnyxnxnxnZyxZyxZyxZyxZyxZyxZnnnn22222yxZyxZmmmmmm例：例：設在三角形A、B、C中，直接觀測了A、和B。3、 4，由

16、A、 B計算C，求。C =180A Bm2 m 2 m 2（ 3 ）2+（ 4 ）2 5推廣推廣22232322222121332211nnznnmkmkmkmkmxkxkxkxkz注意：各觀測值必須是相互獨立的變量注意：各觀測值必須是相互獨立的變量三、一般函數三、一般函數2222222121222112211,32,1,nnZnniiinnnmxfmxfmxfmxxfxxfxxfZdxdzxzxzdxxfdxxfdxxfdzzxxxxfZ及代替及可近似用都很小，及取全微分，得對函數）（2222222121nnzmxfmxfmxfm 觀測值函數中誤差公式匯總觀測值函數中誤差公式匯總 函數式 函

17、數的中誤差一般函數倍數函數 和差函數 線性函數 算術平均值 ),(21nxxxFZ2222222121nnZmxFmxFmxFmxxZKmmKmKxZ22nxxxZ21nmmZnnxkxkxkZ22112222222121nnZmkmkmkmnnnnnllllx12111nmmX四、誤差傳播定律公式應用實例四、誤差傳播定律公式應用實例ymymDDy 的中誤差求：，已知：函數式02030015706.085.225sinmcmmmDmmmymDymDyDyyDyDy031. 01 . 33 . 48 . 552062602)0300157cos22585(6)0300157(sincossinc

18、ossin22222222222222 解：例1：例2：有一長方形獨立地觀測得其邊長20.000m0.004m , 15.000m0.003m,求該面積 s 及 。22222222222222222085.0000.300085.0003.020004.015,000.300000.15000.20mmsmmambmmbsmasmabsbasmbasbasbas例例3：確定限差確定限差 普通水準測量中，由實驗知儀器至標尺75m時，一次讀數中誤差約2，試確定高差閉合差的容許值。mmnfmmnnmfmmnmnmnmmmmmhhhhmmmmmmmmbahhhhhnhhhniii84.88.2338.

19、28.222222222122122取限差為：閉合差：每一站容站站讀讀讀站解：mdD25.1172345.0500500mmmdD10.00002.0500500 xzkmm 例例4：在1：500地形圖上量得某兩點間的距離d=234.5mm，其中誤差 ，求該兩點間的地面水平距離D的長度及其中誤差mD。 mm2 . 0dm6.5 6.5 等精度直接觀測平差等精度直接觀測平差一、求最可靠值（最或是值）一、求最可靠值（最或是值） nlnlllxn21最可靠值最可靠值觀測次數觀測次數觀測值觀測值證明證明 11X 22X X nnXnln nlXnn0lim nlx 由此可得：二、評定精度二、評定精度求

20、觀測值的中誤差求觀測值的中誤差求最可靠值中誤差求最可靠值中誤差1. 求觀測值的中誤差求觀測值的中誤差nm真值未知怎么辦？真值未知怎么辦？ X用最或是值誤差求觀測值的中誤差用最或是值誤差求觀測值的中誤差 x最或是值觀測值最或是值誤差最或是值誤差真誤差真誤差用真誤差求觀測值的中誤差用真誤差求觀測值的中誤差1nvvm公式推導公式推導 X = xi x X1= v1+2= v2 + 2 = 2 2+2 v v1= l1 - x v2= l2 - x vn= ln - x v= l - nxn n nv=0令：令：x X = = x X 2= (x X)2 11222111222222223121231

21、212222122212212222nvvmmnnvvmnnvvnnnvvnvvnnnnnXlXlXlnnnXnlXnlnnn此項等于此項等于0 2 = 2 2+2 v nmnnvvMx12. 求最可靠值中誤差求最可靠值中誤差公式推導公式推導 nlnlllxn21式中：式中： l1、 l2 為同等精度的一組觀測值為同等精度的一組觀測值 m 為同等精度一組觀測值的中誤差為同等精度一組觀測值的中誤差最可靠值中最可靠值中誤差誤差觀測值中觀測值中誤差誤差觀測次數觀測次數 nmmnnmnmnmnMmllllnlnlnnlxxnn222221211111111差為為等精度觀測值，中誤，用最或是值誤差求觀測

22、值中誤差及最可靠值中誤差的計算實例用最或是值誤差求觀測值中誤差及最可靠值中誤差的計算實例例：設對某角進行五次同精度觀測，觀測結果如下表， 試求其觀測值的中誤差，及最或是值的中誤差。 觀 測 值 V v v 351828 +3 9 351825 0 0 351826 +1 1 351822 -3 9 351824 -1 1 5281350 nlxv=0=20 2 .215201 nvvm0.152.2 nmMx0 .15281350 x算術平均值的中誤差與觀測次數的平方根成反比。算術平均值的中誤差與觀測次數的平方根成反比。 nmMx 不同的觀測次數對應的不同的觀測次數對應的M值值 因此，增加觀測

23、次數可以提高算術平均值的精度。因此，增加觀測次數可以提高算術平均值的精度。n觀測次數 246810121416算術平均值中誤差（米）0.710.500.410.350.320.290.270.25 當觀測次數達到了一定數值后（如6次以后）隨著觀測次數的增加,中誤差減小得愈來愈慢。因此，測量一般精度的角，要求觀測13測回，對中等精度要求的角，觀測36測回，只是對于精度要求很高的角才觀測924測回。 以觀測次數為橫坐標，算術平均值中誤差M 為縱坐標，并令1，nmMx6.6 6.6 不等精度直接觀測平差不等精度直接觀測平差例：ABCS=4kmS=2kmS=2.5kmE已知：、已知：、 、 ， 求：求

24、： 一、權（用一、權（用 p 表示）表示） 權是表示觀測值可靠程度的一個相對性數值權是表示觀測值可靠程度的一個相對性數值權的特性權的特性權愈大表示觀測值愈可靠權愈大表示觀測值愈可靠權是相對數值，故單獨一個值無意義權是相對數值，故單獨一個值無意義權始終取正號權始終取正號權可以用一數乘除其意義不變權可以用一數乘除其意義不變怎樣定權？怎樣定權？取中誤差定權取中誤差定權2iimp從實際出發(fā)從實際出發(fā)任意常數任意常數觀測值中誤差觀測值中誤差iiLp水準測量的線路長度水準測量的線路長度測角取測回數測角取測回數iinp測回數測回數在不同精度觀測中引入“權”的概念，可以建立各觀測值之間的精度比值，以便更合理地

25、處理觀測數據。例如，設一次觀測值的中誤差為m，其權為p0，2m1220mmp 等于1的權稱為單位權，而權等于1的中誤差稱為單位權中誤差，一般用（m0）表示。對于中誤差為 的觀測值，其權為 22iimp2iimp并設則設單位長度（一公里）的丈量中誤差為m，則長度為 s公里的丈量中誤差為 。取長度為c公里的丈量中誤差為單位權中誤差，即 。權在距離丈量工作中的應用權在距離丈量工作中的應用smmscm1)(22220cmcmmpc說明距離丈量的權與長度成反比 則得距離丈量的權為: scmpss22在定權時，并不需要預先知道各觀測值中誤差的具體數值。在確定了觀測方法后權就可以預先確定。這一點說明可以事先

26、對最后觀測結果的精度給予估算,在實際工作中具有很重要的意義。二、求不同精度觀測值的最可靠值二、求不同精度觀測值的最可靠值 加權算術平均值加權算術平均值加權算術平均值加權算術平均值 pplppplplplpxnnn212211一組不同精度的觀測值一組不同精度的觀測值相應觀測值的權相應觀測值的權加權算術平均值加權算術平均值三、最可靠值（最或是值）的精度評定三、最可靠值（最或是值）的精度評定 pplppplplplpxnnn212211 222222212122.1nnxmpmpmppM 若令單位權中誤差0等于第一個觀測值 l1 的中誤差m1 ，即 01 ，則各觀測值的權為 （一）最或是值的中誤差（一）最或是值的中誤差22iimpiipm22iipm 22 pppppppMnx2202202220212.最或是值的中誤差最或是值的中誤差 pMx加權平均值的中誤差加權平均值的中誤差 222222212122.1nnxmpmpmppM （二）單位權觀測值中誤差（二）單位權觀測值中誤差 m0nnpmpmpm2222221212. .pmmpmpmpmnnn22221212.npmmm0np