基于EMD算法的濾波系統(tǒng)設計

1、摘 要快速傅里葉、Wigner-Ville變換、小波變換在分析非線性非平穩(wěn)信號時都存在著各自的缺陷與不足。為了更好地解決這些問題，本文采用了經驗模態(tài)分解EMD (Empirical Mode Decomposition)來對信號進行分析和濾波。EMD 分解將復雜信號分解成有限個固有模態(tài)函數(shù) IMF（Intrinsic Mode Functions）之和，具有很高的頻率分辨率和自適應性。本文對經驗模態(tài)分解整個理論體系進行了深入的研究，重點研究了EMD 時頻分析的應用和基于 EMD 的濾波方法。本文首先引入了瞬時頻率的概念，論述了IMF的基本概念和EMD分解算法原理，并且分析了EMD算法的特點，結

2、合IMF給出了邊際譜和Hilbert譜的物理含義，對整個 EMD 時頻分析理論進行了詳細的論述。分析EMD時頻分析方法在模態(tài)混疊、停止準則等方面存在的不足。然后通過仿真實驗將EMD時頻分析方法與傳統(tǒng)的時頻分析方法進行了比較研究，驗證了EMD時頻分析方法具有很高的時頻分辨率。最后研究了基于EMD的濾波方法，驗證了該方法的有效性及優(yōu)越性。關鍵詞：經驗模態(tài)分解；時頻分析；HHT譜ABSTRACTFast Fourier, Wigner-Ville transform and wavelet transform have their own flaws and shortcomings when an

3、glicizing the nonlinear and non-stationary signals. In order to solve these problems, the empirical mode decomposition EMD (Empirical Mode Decomposition) used to signal analysis and filtering in this article. EMD decomposes a complex signal into a finite number of IMF (Intrinsic Mode Functions), and

4、 EMD is a high frequency resolution and adaptive method. In this paper, the entire theoretical systems of empirical mode decomposition have been researched deeply, focused on the filtering methods based on EMD and EMD application of time-frequency analysis.In this article, the concept of instantaneo

5、us frequency is introduced firstly. Then, the basic concepts of IMF and principles of EMD decomposition algorithm are discussed, and the characteristics of the EMD algorithm are analyzed. Combined with IMF, it is given that the physical meaning of the Hilbert marginal spectrum and the Hilbert spectr

6、um are formulated, and the theories of the whole time-frequency analysis are discussed in detail. Besides, the problem of EMD time-frequency method is also analyzed, including modes mixing, end effect, sifting stop condition and so on. Secondly, compared to traditional time-frequency analysis method

7、s, show that EMD spectrum has perfect time-frequency concentration. Finally, study the EMD-based filtering method, and verified the validity and the superiority of the method.Keywords: EMD; time-frequency analysis; HHT spectrum目 錄第1章 緒論11.1 課題的研究背景和意義11.2 EMD 方法的提出31.3 EMD方法的研究發(fā)展概況41.4 論文結構與安排5第2章 E

8、MD時頻分析的基本理論72.1 EMD方法的基本概念72.2 EMD方法的基本原理82.3 基于EMD的HHT時頻分析122.4 EMD算法存在的問題及改進132.5 本章小結15第3章 EMD 時頻分析方法的應用163.1 EMD 時頻分析仿真及性能比較163.2 EMD在信號趨勢提取中的應用193.3 EMD 時頻分析在奇異信號檢測中的應用213.4 本章小結24第4章 基于EMD的濾波器設計及仿真254.1 傳統(tǒng)的信號濾波和EMD濾波254.2 EMD 的二進濾波特性及仿真264.3 基于EMD的濾波方法及仿真284.4本章總結30結 論31參考文獻32致 謝34附 錄35第1章 緒論1

9、.1 課題的研究背景和意義 信號往往包含著許多的重要信息，如時間特征、頻率特征等。信號處理分析的目的就是快速有效的獲取和處理信號的各種信息特征。傳統(tǒng)的信號處理分析方法大多數(shù)都是以線性平穩(wěn)的高斯信號作為研究對象，而實際生活和實際工程中的大多數(shù)信號都是非平穩(wěn)、非線性、非高斯的，如語音信號、地震信號等。所以，現(xiàn)代信號處理分析方法更多的是研究如何提取非平穩(wěn)非線性信號的各種特征信息，經過近幾十年的發(fā)展和研究，已經涌現(xiàn)出了許多新的信號處理分析方法，其中許多的方法已經被廣泛的應用于各種實際的工程領域當中，如水波分析、機械故障診斷、生物醫(yī)學、地震信號分析等。對非線性非平穩(wěn)信號進行處理分析，提取和時間相關的特征

10、參數(shù)，已經成為現(xiàn)代信號處理分析的一個熱門的發(fā)展方向。 信號處理分析學科起始于傅里葉分析理論，傅里葉分析揭示了信號的頻域特征，建立了一個從信號時域到頻域的通道，但是它最大的貢獻不在于把時域和頻域聯(lián)系起來，而是在于產生了一種新的信號的頻譜分析表示的方法，從而使那些隱藏在時域里面而使我們難以直接觀察到的信號頻譜特征，能夠很容易的在頻域內十分清楚地觀察到各種頻率成分的大小。盡管傅里葉分析在通常情況下是十分有效的，但是它基于一些假設：所分析的系統(tǒng)必須是線性的，所分析信號必須是嚴格周期或者平穩(wěn)的，如果這些假設不成立，傅里葉變換所得到的信號頻譜里面不具有任何物理意義。由于傅里葉分析是只適用于用來處理和分析線

11、性、平穩(wěn)和高斯信號，它是一種時域和頻域全局變換，傅里葉變換對信號的表征要么完全在時域，要么只能完全在頻域表示被分析信號的頻率特征，從傅里葉變換得到的頻譜圖中我們根本無法得到信號的時頻局域特征，即不知道頻譜圖上面的頻率成分到底在什么時間出現(xiàn)的，而我們處理和分析非線性非平穩(wěn)信號的主要目的就是得到它們的頻率成分相應的時間信息、振幅信息。為了克服傅里葉變換在這方面的缺陷，許多學者不斷探索研究，在傅里葉變換的研究發(fā)展基礎上，提出并發(fā)展了許多的新的能夠對非線性非平穩(wěn)信號進行處理和分析的信號分析理論：調幅調頻信號分析、短時傅里葉變換、Gabor 變換、循環(huán)統(tǒng)計量理論、小波變換、高階譜分析和 Radon-Wi

12、gner 變換等12。下面對幾種主要的常見的幾種非平穩(wěn)非線性信號處理方法的優(yōu)缺點一一進行描述。 （1） 短時傅里葉變換(STFT) STFT 是傅里葉變換的一種改進，和傅里葉變換把信號看成是很多正弦信號的疊加有所不同，它通過對基函數(shù)乘以一個很小的窗口函數(shù)，認為信號在這個很小的窗口時間內是近似平穩(wěn)的，STFT通過在時間域上加窗來實現(xiàn)信號的短時平穩(wěn)，通過該短時窗口的不斷滑動，從而覆蓋整個時間域，從而可以得到該信號在整個時間域上的局部的時頻分布。其定義式如下所示：STFT(t,)=Z()w(t-)e (1-1) 式中，Z (t)為信號s(t)通過 Hilbert 變換得到的的解析信號，w( -t)為

13、滑動的短時時間窗，*表示共軛信號。 STFT 假設被分析的信號是分段平穩(wěn)的，由于STFT的時頻窗口大小固定不變，只適合分析所有特征尺度大致相同的各種信號，窗口沒有自適應性。對于實際工程中的信號，為了表現(xiàn)出其局部化效果，窗口的寬度必須很窄，但是其頻譜分量變化很快，所以會受到 Heisenberg 不確定原理的制約，時域上的窗口和頻域上的窗口不可能同時達到最小，正是由于這個原因，要想使信號在短時窗函數(shù)這個時間間隔內能夠近似平穩(wěn)，要找到這樣的短時窗函數(shù)是十分困難的。從本質上來講，STFT 并沒有擺脫傅里葉變換的影響，其分辨率單一。 （2） Wigner-Ville 分布 Wigner-Ville 是

14、一種同時具有高的時間和頻率分辨率的時頻聯(lián)合分布，作為一種能量型時頻聯(lián)合分布，和其他的時頻分布相比較，Wigner-Ville 分布的時間窗口與頻率窗口的乘積已經達到了 Heisenberg 不確定原理的下限，所以 Wigner-Ville 分布能夠具有很高的時頻分辨率，除此以外，Wigner-Ville 分布而且還具有真邊緣性、頻移性、弱支撐性、歸一性以及可逆性等許多的優(yōu)良性質。Wigner-Ville 分布是一種中心協(xié)方差函數(shù)的傅里葉變換，它的表示式如下所示： (1-2)Wigner-Ville分布通過改進，在一定程度上克服了STFT分辨率單一的問題，但是Wigner-Ville分布是雙線性

15、的，不能保證非負性，所以往往會出現(xiàn)交叉項，交叉項的存在將會干擾對信號時頻特征的分析，從而嚴重限制了它在很多工程領域的廣泛應用。為了減少交叉項帶來的影響，近十年來人們在它的基礎上不斷作出改進，提出了很多種改進形式，我們把它們統(tǒng)稱為Cohen類時頻分布。平滑的Wigner-Ville分布就是其中的一種典型的代表。在Wigner-Ville分布的積分式乘上一個核函數(shù)就可以得到平滑的Wigner-Ville分布，如下式所示： (1-3) 式中， ( , )是乘上的核函數(shù)，當 ( , )=1時即是Wigner-Ville分布。通過乘以一個核函數(shù)，該平滑方法能夠較好地抑制某些類型的信號交叉干擾項，但是不可

16、避免的降低了信號的時頻分辨率。 （3） 小波分析 小波分析是近二十多年信號處理分析的研究熱點，1982 年由法國地球物理學家 Morlet J 在在分析地震信號的時候，在 STFT 的基礎上，提出來一種能夠自動調節(jié)時間窗從而具有多分辨率特性的信號處理分析方法，該方法稱為小波變換: (1-4)上式中，為尺度參數(shù)與頻率相對應，是平移參數(shù)與時間 相對應， (t )是稱為基本小波或者母小波。不同的和就對應著不同的小波函數(shù)。小波變換方法因為能夠自動調節(jié)時間窗口，所以具有多分辨分析特性，由于采用不同的尺度分解信號，所以信號的高頻部分和低頻部分能夠得到不同的分辨率，在高頻部分一般持續(xù)時間短，具有較高的時間分

17、辨率；在低頻處持續(xù)時間比較長，具有較高的頻率分辨率。然而，小波分析無論是在理論上還是在工程信號處理分析中還存在著很多不足之處3：比如說小波分析存在著能量泄露，分辨率還不是很高，小波基函數(shù)和小波的分解層數(shù)都不好選擇，一旦選定小波基函數(shù)和小波的分解層數(shù)，在整個分解過程中都只能采用同一個小波基函數(shù)，其效果不是特別理想。上面敘述的時頻分析方法都具有各自的優(yōu)勢和缺點，通過不斷的發(fā)展和應用，這些方法在實際工程領域也產生了一定的成果4。盡管如此，上述的幾種時頻分析分析技術都還不能完全滿足非線性非平穩(wěn)信號處理分析的要求，各自都存在著缺陷和不足，比如 STFT 存在著頻率分辨率比較單一、小波變換存在著能量泄漏、

18、Wigne分布存在著交叉項、分辨率不夠高等缺點，都是采用對信號和基函數(shù)進行積分的分析方法。由于對于瞬時頻率的概念難以確定，很難真正的從時域和頻域兩方面聯(lián)合的對信號的局部特征進行詳細的、完整的、直觀的描述56。為了更好的解決上述存在的問題，美國學者 N. E. Huang 于 1996 年研究并提出了一種全新的時頻分析方法：經驗模態(tài)分解法(Empirical Mode Decomposition,EMD)，和傳統(tǒng)的非線性非平穩(wěn)處理方法相比較，EMD 方法能夠很好的表述出信號的局部特征，從信號自身進行分解而不需要核函數(shù)，具有高分辨率等等，正是由于 EMD 方法的這些優(yōu)良特性，EMD已經在很多工程領

19、域中得到了迅速的發(fā)展7。1.2 EMD 方法的提出 傳統(tǒng)的傅里葉變換是一種整體變換，從整體上建立了時間和頻率之間的通道，它對信號的表征要么完全在時域上，要么完全在頻域上，變換后得到的頻域表示的頻譜或功率譜并不能說明其中的頻率成分出現(xiàn)在什么時刻及其什么時候發(fā)生變化。 而對于頻率特征信息隨時發(fā)生變化的非線性非平穩(wěn)信號，某個頻率成分的存在，僅僅代表該頻率成分可能在某個對應的小時間范圍內存在過，傳統(tǒng)的傅里葉變換完全不能描述出二變量的時間頻率特征，從而無法表示出頻率隨時間變化的詳細情況。盡管許多的學者在傳統(tǒng)傅里葉變換的基礎上不斷做出改進，比如對原始非平穩(wěn)信號加窗，在基函數(shù)的基礎上乘以各種系數(shù)作為新的基函

20、數(shù)，來對非線性非平穩(wěn)信號進行分析，但是這些方法都沒有從本質上對傅里葉變換進行改進，或多或少的還保留著傅里葉變換的一些思想，還是受到 Heisenberg不確定原理的制約頻率分辨率還不夠高，所以不能夠從根本上擺脫傅里葉變換的局限性。 為了徹底的擺脫上述時頻分析方法的局限性，更好的描述非線性非平穩(wěn)信號的局部時間和頻率特征，美國學者 N. E. Huang7研究并提出了一種非平穩(wěn)非線性信號的分析方法，稱為基于經驗的模式分解方法，并且很快的得到了許多學者的關注，該方法的理論和工程應用也得到了迅速的發(fā)展。EMD 方法的思想是從信號的自身出發(fā)，采用三次樣條插值法，將信號分解成許多具有不同時間特征的尺度之和

21、，通過對這些不同時間特征尺度的分量進行 Hilbert 變換，采用求導的方式給出了瞬時頻率精確的定義，通過瞬時頻率和時間的二變量函數(shù)，可以很好的刻畫信號的局部特征信息，通過EMD分解得到的每一個分量都是一個基本的分量，通過對所有的基本分量進行 Hilbert 變換,可以得到整個信號的 Hilbert 譜圖。通過Hilbert 譜圖不但能夠知道信號具有那些頻率成分以及對應成分的大小，更關鍵的是還能夠知道各個頻率成分出現(xiàn)的時刻，從而將時域和頻域特征很好的聯(lián)系起來。EMD 方法的意義在于：創(chuàng)造性的給出了瞬時頻率和固有模態(tài)函數(shù)的合理定義，基于信號波形的局部特征和瞬時特征提出了瞬時頻率的統(tǒng)一定義，由于瞬

22、時頻率的定義是采用求導的方式給出的，因而能夠不受 Heisenberg 不確定原理的約束，所以能夠達到很高的頻率分辨率。EMD 方法沒有采用基函數(shù)，而是從信號的自身特征出發(fā)對信號進行分解，所以具有自適應性。此外，EMD 方法還具有很好的正交性和完備性。1.3 EMD方法的研究發(fā)展概況 EMD 分解算法從提出到現(xiàn)在只有十幾年時間，但是此方法已經引起了很多相關研究人員的關注，EMD 分解算法整個理論體系不斷的得到完善。Huang 等人主要建立了 EMD 的基本理論框架，通過引入了固有模態(tài)函數(shù)和瞬時頻率的概念，分析了 EMD 的基本理論依據(jù)，提出了經驗模態(tài)分解和連續(xù)均值篩法的具體實現(xiàn)，進一步討論和定

23、義了 Hilbert 譜和邊際譜概念7，Huang 還提出了一種基于周期尺度的解決方法來解決 EMD 分解過程中出現(xiàn)的模態(tài)混疊問題。 重慶大學的鐘佑明等人介紹了 EMD 方法并將其應用到磨床主軸振動信號的處理分析，獲得了很好的效果8。黃海提出應用傅里葉變換對信號進行插值預處理，能夠有效去除 Hilbert 譜圖的虛假成分，提高了Hilbert 譜圖的精度9。王玉靜將小波閾值濾波方法和 EMD 方法結合應用于心電信號去噪10。大連理工大學的馬孝江1112教授對瞬時頻率的定義及物理意義進行了分析，結合 EMD 算法和 Huang 的思想，提出了局域波的概念；湖南大學的于德介將該方法與小波相結合用于

24、提取信號的瞬時特征參數(shù)13國外的許多學者還試圖通過 EMD 算法來解釋科學中的許多隨機現(xiàn)象，如 Wuzhaohua14通過分析白噪聲的 EMD 分解特性，從而得到了白噪聲 EMD 各IMF分量的統(tǒng)計分布規(guī)律，在此基礎上 Patrick Flandrin15提出當信號被這種白噪聲污染時的相應的濾波去噪方法；Stephen C. Phillips16用 EMD分解方法成功地模擬出了分子的運動。 在 EMD 算法成熟的運用于一維信號的基礎上，通過不斷的研究，EMD 算法對二維信號的處理分析也得到了迅速的發(fā)展。瑞典學者 Linderhed.A17還另辟蹊徑，提出了用 EMD 分解算法對數(shù)據(jù)進行分解，然

25、后對得到的各 IMF 分量進行數(shù)據(jù)壓縮的新方法，并和小波分析進行比較，為信號傳輸技術領域提供了一個新的思路。孫艷爭提出了將二維 EMD 方法應用于數(shù)字圖像水印算法當中，提出了一種基于BEMD 算法的數(shù)字水印新算法18。 EMD 算法經過短短十幾年的發(fā)展研究，己經涌現(xiàn)出了各種各樣的成果，在許多實際工程領域得到了廣泛的應用。EMD分解算法通過引入 IMF 分量和瞬時頻率的定義，從而解決了非平穩(wěn)非線性信號分析中的一些困難，隨著EMD方法的進一步的深入研究，將會給許多信號處理分析領域的學者帶來新的思路，有力的促進實際工程應用的發(fā)展18。1.4 論文結構與安排本文從經驗模態(tài)分解算法入手，提出了IMF分量

26、和瞬時頻率的定義，分析EMD方法的原理和特性，在此基礎上，以仿真實例論述了EMD時頻分析的應用并和其它時頻分析方法比較，論證了 EMD 分解方法的特性，最后重點討論了基于 EMD的濾波方法，并通過仿真實驗說明該方法的有效性。論文的內容安排如下：第1章，論述了課題的研究背景和意義，介紹了傳統(tǒng)的時頻分析方法的不足之處和 EMD 算法的提出背景和國內外發(fā)展研究狀況。第2章，首先介紹了瞬時頻率的統(tǒng)一概念，給出了一種使瞬時頻率有意義的固有模態(tài)函數(shù)的概念和條件，并介紹了Hilbert譜和邊際譜的概念；推導出基于EMD的時頻分析方法分解固有模態(tài)函數(shù)的表達式；介紹EMD分解的原理和步驟，并討論了EMD的特點；

27、討論了基于EMD的HHT時頻分析原理和特性以及EMD算法存在的問題及改進。第3章，通過仿真實例分析，研究了基于 EMD 的時頻分析方法的應用和傳統(tǒng)的時頻分析比較，驗證了EMD時頻分析的時頻聚集性和高分辨率的特性。 第4章，介紹了EMD濾波的二進濾波特性，并以仿真實驗體現(xiàn)了EMD濾波算法的有效性。第2章 EMD時頻分析的基本理論2.1 EMD方法的基本概念 瞬時頻率 頻率是信號的重要特征信息之一，我們對信號進行處理分析很多都是為了得到信號的詳細的頻率特征。傅里葉變換建立了一個從時域到頻域的通道，通過傅里葉變換我們能夠得到信號的頻率成分信息，但是這些頻率信息成分是全局的，我們更希望的是得到頻率的局

28、部特征信息，這樣才能更好的分析信號。 在Hilbert變換方法產生之前，瞬時頻率沒有統(tǒng)一的定義，人們接受瞬時頻率的概念比較困難，主要有兩個方面的原因：一是受到傅里葉變換的影響；二是瞬時頻率沒有唯一的定義。Hilbert 變換可以使離散數(shù)據(jù)解析化，這時候瞬時頻率的概念才得到了統(tǒng)一1。 對于原始信號 X (t)，可以得到它的 Hilbert 變換Y (t)，如下式 (2-1)式中，式中P 代表柯西主值。將得到的作為復數(shù)的實部，作為復數(shù)的虛部，構造解析函數(shù)： (2-2)其中a(t)=，arctan，a (t)和 (t)分別是解析信號的包絡和相位，因為a (t)和 (t)都是時間的函數(shù)，解析信號Z (

29、t)是X (t)與1/t的卷積，保留了原始信號 X (t )的局部時間特性，對相位函數(shù)求導即為瞬時頻率。(t)= (2-3)瞬時頻率的定義表明在一個時間點上只有一個頻率值相對應。1995年 Cohen第一次提出了“單分量信號”的概念，用單分量和多分量信號進行解釋，提出瞬時頻率對應著一個單分量信號的頻率成分。但是，由于缺乏單分量信號的嚴格定義，我們沒有辦法判斷一個信號是不是單分量的，在很多情況下，需要采用“窄帶”的要求來約束原始信號使之可以滿足瞬時頻率的定義18。 固有模態(tài)函數(shù) 瞬時頻率的定義需要滿足一定的條件，并不是對任意信號都能討論瞬時頻率，當信號近似的滿足單分量信號的時候，每一時刻對應著單

30、一的頻率成分，瞬時頻率才有實際的物理意義。為了更好的描述瞬時頻率，Norden E.Huang 等人提出了固有模態(tài)函數(shù)的概念。固有模態(tài)函數(shù)的概念的提出是 EMD 分解方法的重大創(chuàng)新之一。 為了滿足高斯正態(tài)平穩(wěn)過程的傳統(tǒng)窄帶要求，固有模態(tài)函數(shù)的極值點和過零點的數(shù)目必須相等或者相差最多不能超過1個；為了避免模態(tài)混疊，保證一個固有模態(tài)函數(shù)僅僅包含一個基本模式的振蕩，沒有不必要的波動存在，要求固有模態(tài)函數(shù)的局部均值為零，這樣可以去除波形的不對稱，避免了瞬時頻率的波動7。通過對原始信號的固有模態(tài)函數(shù)進行Hilbert 變換我們能夠得到對應分量的瞬時頻率，對 EMD 分解得到的所有的固有模態(tài)函數(shù)進行 Hi

31、lbert 變換我們可以得到整個信號在整個時間段上瞬時頻率的詳細信息，能夠更好的刻畫信號的特征信息。2.2 EMD方法的基本原理EMD分解過程EMD 分解方法從信號本身出發(fā)，通過層層篩選，先將時間特征尺度小的高頻IMF 分量分離出來，然后將時間特征尺度大的低頻 IMF 分量分離出來，根據(jù)停止準則，最后得到一個近似單調的殘余分量。對原始信號x (t)進行 EMD 的具體分解的步驟如下所示： （1） 先識別出原始信號所有的極大值點和極小值點，采用三次樣條插值擬合出信號的上包絡線eupp(t)，用同樣方法擬合出信號的下包絡線elow(t)，并計算出上下包絡線的平均m1(t) (2-4)圖2-1 EM

32、D分解過程中包絡線求取過程( 2 )將x (t)減去m1 (t)得到h1 (t)，即h1 (t) = x (t)-m1(t)：圖2-2 EMD第一次篩選的結果圖如果此時得到的h1(t)是一個基本IMF分量，則停止分解。但一般h1(t)并不滿足IMF分量的條件，所以將h1(t)看成新的x(t),重復上面步驟經過k次篩選出，直到h1k (t)是基本IMF分量。圖2-3 EMD第k次篩選過程( 3 )得到了第一個基本IMF分量c1 (t)，c1 (t)h1k (t)，由于具有最小的時間特征尺度，所以第一個基本IMF分量的頻率最高。將原始信號x(t)中減去分量c1 (t)，得到剩余部分r1(t)： (

33、2-5)（4）為了進一步得到低頻部分的信息，r1(t)被看成是新的數(shù)據(jù)，然后重復步驟(1)、(2)和(3)，可以進一步得到第二個基本 IMF 分量c2 (t)，反復迭代 n 遍，直到滿足預先設定的停止準則得到第 N 個 IMF 分量cN(t)為止，得到如下結果： (2-6)（5）x (t )最終可以表示為x(t)=, (2-7)上述第(4)步中的停止準則被稱為分解過程的停止準則，它應該滿足以下兩個條件之一：1.當最后一個基本IMF分量cN(t)或者剩余部分rN(t)小于預先設定的數(shù)值；2.當剩余部分rN(t)近似成了單調函數(shù)，迭代過程中止。定義兩個連續(xù)的處理結果之間的標準差Sd，表達式如下所示

34、：S= (2-8) 上式中hi,k (t)和, hi,k-1 (t)分別是兩個連續(xù)的處理結果的時間序列，T 代表時間跨度，當Sd的值處于0.2到0.3之間即停止篩分過程。從 EMD 的分解過程可以看出，它是一個不斷篩分的過程，通過層層篩分，使波形輪廓更加對稱，消除了模態(tài)波形的疊加。EMD 分解方法也可以看成是一個不斷濾波的過程，首先分解出來的是高頻分量，然后對低頻分量進一步進行分解。2.2.2EMD 算法的特點 （1）自適應性。首先，EMD 的基函數(shù)是自動產生的，直接從信號本身產生。其次，EMD 的濾波具有自適應性，EMD 分解是一個高通濾波的過程，不需要預先確定它的截止頻率和帶寬。 （2）直

35、觀合理和高效。對于一個由兩個不同頻率正弦信號合成的信號，通過 EMD 分解后，得到的IMF分量正好是這兩個不同頻率的正弦信號，兩個 IMF分量的瞬時頻率是時頻平面上的兩條分辨率非常高的直線。對一個線性調頻信號進行處理分析，它本身就是一個最基本的IMF，其瞬時頻率分布就是時間軸上的一條直線，因此EMD是直觀合理和高效的。 （3）最高分辨率?，F(xiàn)有傳統(tǒng)的時頻分析方法，由于它們幾乎本質上都是以傅里葉分析為理論依據(jù)，所以都受到 Heisenberg 不確定原理的限制，都不可能同時在時域和頻域同時達到任意高分辨率，因此時頻聯(lián)合分析的結果對時變頻率的描述往往是十分含糊的。而EMD突破了傅里葉變換的限制，最終

36、采用的求導而不是積分來計算瞬時頻率，因而可以不再受Heisenberg不確定原理的限制，從而可以達到任意高分辨率。 （4）高度無冗余。Wigner-Ville 分布的由于交叉項的存在有明顯的冗余，而小波基的有限長會造成信號能量的泄露，造成分解具有比較大的冗余，如常出現(xiàn)多余小波分量。因為 EMD 基函數(shù)是自動產生的，每次分解都高度無冗余，因此整體也高度無冗余。 （5） 應用潛力大。EMD 是一種自適應的時頻分析方法，在短短十幾年左右時間內，建立了比較完整的理論框架體系，涌現(xiàn)出了很多研究成果，開始逐步應用于實際工程領域，展示了強大的生命力和重大的潛力。2.3 基于EMD的HHT時頻分析 EMD 分

37、解算法通過層層篩選，得到信號不同時間特征尺度的 IMF 分量。EMD分解的主要目的是為了將信號進行平穩(wěn)化處理，對IMF 分量進行 Hilbert 變換，進一步得到 IMF 分量對應的瞬時頻率成分，這樣得到的瞬時頻率有了合理的物理意義。通過 Hilbert 得到的的Hilbert/Huang頻譜圖是時間和頻率的二變量函數(shù)，從中可以得到任意時刻的頻率信息，包括頻率的大小和幅度以及出現(xiàn)的對應時刻，能夠詳細的刻畫非平穩(wěn)非線性信號的時頻特性。2.3.1 Hilbert 譜和邊際譜 EMD 分解方法從信號本身出發(fā)，經過層層篩選，將信號分解成有限個IMF 分量之和，通過對得到的 IMF 分量進行 Hilbe

38、rt 變換，就可以得到每一個 IMF 分量的瞬時頻率和瞬時幅度，進一步得到整個信號在整個時間段上的頻率成分分布。對每個 IMF 分量ci(t)分別作Hilbert變換H(ci(t)，構造解析函數(shù) Zi (t) ，則ci(t)的包絡譜ai (t)和角頻率i (t)分別為 (2-9)(t)= (2-10) 由于得到的殘余項函數(shù)rN(t)或者是單調函數(shù)，或者為常量，代表著較大的能量的低頻成分，在實際工程應用中，我們往往會比較關心那些低能量的高頻率分量，因此，在Hilbert譜分析中常常將該分量省略。得到x(t)的Hilbert表達式x(t)=Re (2-11)根據(jù) Hilbert 譜的定義，也能夠定

39、義其邊際譜( )( )= (2-12)式中， H ( , t)是 Hilbert 譜。x (t )的傅里葉表示為：x(t)=Re (2-13)式中，ai(t)、i (t)是常量1819。2.3.2 基于EMD的HHT時頻分析特性 （1）EMD 時頻譜的廣義線性時頻表示特性 如果用H1( , t)、H2 ( , t)分別表示信號X1和X2的 EMD 時頻表達式， H ( , t)表示對信號X1 + X2的 EMD 時頻表達式，則有：H (,t) H(,t)+ H(,t) (2-14) （2）EMD 時頻譜的時移不變性若t0是信號s(t)的時間移位，H(, t0)是移位后的EMD時頻譜分布，則H

40、(, t0)定義如下： (2-15) （3）EMD 時頻分布不滿足邊緣分布。即 (2-16) （4） 自適應濾波器組特性。EMD方法從信號自身出發(fā)，經過篩選得到IMF分量，由于先分解出來的是高頻的IMF分量，然后是低頻的IMF分量，所以我們可以根據(jù)需要，由于這些濾波器的帶寬和截止頻率是和信號自身相適應的，所以具有自適應濾波器組特性。2.4 EMD算法存在的問題及改進EMD 作為一種新的非平穩(wěn)非線性信號分解方法，從提出到現(xiàn)在只有短短十幾年時間，由于是基于經驗分解，而不是基于數(shù)學表達式的，所以還需要一個逐漸完善的過程。EMD 的整個理論框架體系還不是十分完善，在進行理論分析和實際工程應用中還存在一

41、些問題。就目前來說，存在以下一些主要問題：2.4.1 模態(tài)混疊EMD 分解方法在大多數(shù)情況下分解的結果都與人們的直觀感覺相符合，但是當復雜信號的時間尺度存在著跳躍性變化時，在EMD分解方法中，直接對復雜信號進行EMD分解將會出現(xiàn)同一個IMF分量包含一些不同時間尺度特征成分的情況, 我們把這種現(xiàn)象稱為模態(tài)混疊現(xiàn)象，直觀地說，就是無法根據(jù)特征時間尺度有效地分離出不同的模態(tài)成分，使得同一固有模態(tài)函數(shù)里面包含著多個模態(tài)成分，所以就不能清晰地反映原始信號的內在性質。模態(tài)混疊現(xiàn)象的出現(xiàn)有兩方面的原因：一方面和EMD算法及分解過程有關；另一方面原始信號包含的頻率成分、采樣率、振幅等都會影響分解的結果20。文

42、獻21中通過對于兩個不同頻率的正弦信號的疊加，推導證明模態(tài)混疊產生的條件：(t)= Acos(+Acos( (2-17)式中，A1>0,A2>0 分別表示兩個正弦波的幅值，1,2為兩個正弦波對應的頻率，如果1> 2。則不會產生 EMD 模態(tài)混疊現(xiàn)象的充分條件是：A> A (2-18)反之，將會出現(xiàn)模態(tài)混疊現(xiàn)象。Huang 為了避免模態(tài)混疊現(xiàn)象的出現(xiàn)，提出了一種方法中斷檢測法，來改進EMD時頻分析算法。該方法的思想是不斷對EMD分解過程得到的IMF分量進行檢測，一旦發(fā)現(xiàn)EMD分解得到的 IMF 分量存在模式混疊問題，就重新進行 EMD分解。重慶大學的譚善文22提出了一種類

43、似小波變換的多分辨率EMD的思想，通過限定每個IMF的特征尺度范圍，從而來避免模態(tài)混疊現(xiàn)象的產生。但是由于該方法限定了每個IMF的特征尺度范圍，犧牲了EMD時頻分析的自適應性，還不是很成熟。2.4.2 停止準則EMD分解過程本質上是一個篩選過程，一般情況下，我們需要通過經過多次篩選，達到一定的停止準則，才能夠得到一個完全滿足條件基本IMF分量。篩分的次數(shù)既不能太多也不能太少，篩分的次數(shù)太多，一方面會增加運算量，另一方面上下包絡線的均值會越接近零從而導致IM分量可能是幅度恒定的頻率調制信號；篩分次數(shù)太少，很難使得到的IMF分量的上下包絡線的均值真正的為零。為了保證IMF分量能夠保存足夠多的反映物

44、理實際的頻率與幅度調制信息，必須確定一個使篩選過程可以停止的準則。這個篩選過程停止的條件準則是可以通過限制兩個連續(xù)的處理結果之間的標準差Sd的大小來實現(xiàn)。S= (2-19)上式中，hi,k (t)和, hi,k-1 (t)分別是兩個連續(xù)的處理結果的時間序列，T 代表時間跨度，當Sd的值處于0.2到0.3之間即停止篩分過程。法國學者 Gabriel Rilling23進一步改進了上述停止準則，提出一種新的中止條件，定義函數(shù)： (2-20)式中，a(t)作為判定是否中止篩選過程的判據(jù)，emax，emin分別為上下包絡線均值。設定三個門限值 、1、2（默認值為 =0.95，1=0.05，2=0.5）

45、，規(guī)定當a(t)不存在大于2的值，且小于1的比率達到時，中止篩選過程。和 Huang 提出的停止準則相比，a(t)進一步的反映出 IMF 分量的局部均值特性，通過這兩個條件的互相補充，避免信號經常出現(xiàn)較大的波動,從而保證了IMF分量包絡均值為零,使用該停止準則能夠生成的IMF分量更少更準確，能量泄露少和正交性提高。2.5 本章小結本章分析了EMD時頻分析方法的基本原理，為了表示瞬態(tài)非平穩(wěn)信號的特征，創(chuàng)造性的給出了瞬時頻率的定義，進一步引出了固有模態(tài)函數(shù) IMF，描述了 EMD分解信號的基本思想和實現(xiàn)步驟，論述了EMD時頻分析方法的特性；最后討論了EMD存在的問題及改進，盡管EMD時頻分析方法有

46、許多獨特的優(yōu)點，但是無論從理論上還是實際工程應用，都還有很多工作值得研究和改進。第3章 EMD 時頻分析方法的應用3.1 EMD 時頻分析仿真及性能比較基于EMD分解的時頻分析是一種基于經驗的分解，而不是基于數(shù)學表達式的分解，它直接從信號本身產生基函數(shù)，沒有交叉干擾項，因此具有很好的自適應性；除此之外，EMD 時頻分布還具有很好的時頻聚集性和高分辨率，時頻分布平面內的能量分布十分密集。此外 EMD 時頻分析方法還可以快捷地給出有效的時頻表示，突出時變信息24。下面用一個仿真線性調頻信號x (t)來說明EMD時頻分析分解的過程以及EMD時頻分析的特性。仿真信號x (t)為） （3-1）其中采樣率

47、為1000Hz，T = 1。原始信號如圖3-1所示：圖3-1 變頻信號的波形圖圖3-2 STFT 時頻分布圖圖3-3 Wigner-Ville時頻分布圖頻率 f/hz時間 t/msHilbert-Huang spectrum100200300400500600700800900050100150200250300350400450500圖3-4 EMD時頻分布圖從圖3-1可以看出x(t)是一個線性變頻信號，瞬時頻率在前500ms信號線性增加，后500ms信號頻率線性減少，而且遞增的系數(shù)和遞減的系數(shù)完全相同。對該信號分別做STFT變換、Wigner-Ville變換及EMD分解，結果分別如圖 3-

48、2、圖 3-3、圖 3-4所示。由圖3-2、圖3-3、圖3-4可知，STFT、Wigner-Ville變換及EMD時頻分析都是時頻聯(lián)合分布圖，從圖中可以反映出信號頻率隨時間變化特征，但是這些時頻分布在分辨率以及能量分布上面都存在著一些差異。從圖3-2我們可以看出STFT的時頻分析圖一定程度上能夠反映信號的時頻特征，但是頻率分辨率比較低，這是因為STFT進行時頻局部化分析，STFT窗口大小是固定不變的，窗口沒有自適應性，只適合分析時間特征尺度大致相同的信號，不適合分析實際信號中常見的多尺度復雜信號和突變信號；此外，時間和頻率的最高分辨率受到 Heisenberg不確定性原理的制約，如果選定窗口的

49、時間很長，就難以保證該窗口時間內信號的局部平穩(wěn)性，反映信號高頻成分需要用窄時間窗口，反映信號低頻成分需要用寬時間窗口，顯然這是互相矛盾的。由于 STFT的時頻窗口大小固定不變，另外其離散形式沒有正交展開，難以實現(xiàn)高效算法，這些缺點都大大限制了STFT的廣泛應用。在圖3-3中，Wigner-Ville分布的時頻分析圖也能較好的反映信號的時頻特征，但是由于Wigner-Ville分布是一種二次型時頻分布，破壞了線性疊加原理，從而產生了交叉項，影響了對信號頻率特征的識別。尤其是在在對多分量復雜信號進行時頻分析時，交叉項的影響更加嚴重。Wigner-Ville分布頻率分辨率較 STFT有了一定的提高，

50、但是還不是十分理想。從圖3-4可以看出EMD時頻分析圖具有很高的時頻分辨率，從圖中我們可以明顯的看出信號頻率隨時間變化的具體情況，從EMD時頻圖上我們可以十分清晰地識別出該跳頻信號在500 ms的頻率跳變，能夠準確的定位信號的頻率突變位置，不存在交叉項而且具有很高的頻率分辨率。（程序見附錄）下面再以一個包含兩個不同頻率正弦成分的仿真信號來進一步說明 EMD 時頻分析的特性，信號表達式如下式所示：y=sin(100t)+cos(20t) （3-2）圖3-5 EMD分解圖頻率 f/hztimeHilbert-Huang spectrum1002003004005006007008009000501

51、00150200250300350400450500圖3-6 EMD時頻分布圖從圖3-5中可以看出原諧波信號經EMD分解后得到的一階IMF分量c1剛好就是其中的高頻分量sin(100t)，二階IMF分量c2剛好就是其中的低頻分量cos(20t)。從圖3-6中可以看出信號存在10Hz和50Hz的頻率成分，而且在整個時間段上一直存在這兩個頻率，由此可以看出EMD分解具有時頻聚合性，而且頻率和時間分辨率都很高，具有直觀高效的特點。（程序見附錄）3.2 EMD在信號趨勢提取中的應用通過 EMD 算法介紹，我們已知將一個信號x(t)做EMD分解得到 （3-3）對原始信號完成分解后，第1個IMF分量imf

52、1中包含有原信號中時間尺度最小(即頻率最高)的成分，隨IMF階數(shù)的增加，其對應頻率成分逐漸降低，余量rn中則包含頻率最低的成分。EMD分解的收斂準則使得分解余量rn為單調函數(shù)，則其周期大于信號的記錄長度，所以，rn就是信號的趨勢項。即信號的趨勢項rn可以由上式得 （3-4）因此，應用 EMD 方法可以在無需任何先驗假定的條件下通過 EMD 分解得到的余量來方便地確定、提取信號趨勢項。除了大于記錄時間的長周期項外，有時還需要處理信號中更為復雜的趨勢項情況，即可以進一步將 EMD方法所得趨勢項的定義由余量推廣至分解結果中所有小于指定頻率c的 IMF 分量的和。 由于rn是由信號分解方法得到的非平穩(wěn)

53、隨機信號中的趨向性序列，而不是趨向性的數(shù)學表達式。所以，rn可能更真實地反映非平穩(wěn)隨機信號中的趨向性，更準確地逼近它的趨向性曲線。這種方法是處理方差平穩(wěn)隨機信號的通用方法，它適用于含有任何復雜趨向性的方差平穩(wěn)隨機信號的趨勢項的剔除，而且方法簡單，在處理含有周期性趨向的方差平穩(wěn)隨機信號時，甚至無需周期已知。若需要趨勢項的確切的函數(shù)關系式，則對趨向性序列rn進行插值計算，便可得到。下面以一具有指數(shù)趨勢項的仿真信號來檢驗 EMD 分解方法在趨勢項提取方面的有效性和可行。給定分析信號為三個正弦信號與一個指數(shù)趨勢信號加和的情況，方程式如下： （3-5）圖3-7 信號圖與信號EMD分解圖圖3-8 去除趨勢

54、項的平穩(wěn)隨機信號對該信號進行EMD分解得到x(t)的 IMF 圖，如圖(3-7)，三個 IMF 分量 C1、C2、C3 及一個趨勢項 C4。圖(3-8)是去除指數(shù)趨勢項的平穩(wěn)隨機信號，即 C1、C2、C3 分量之和。（程序見附錄）對由信號進行 EMD 分解得到指數(shù)趨勢項與實際的指數(shù)趨勢項做差，結果表明這個差值極小。通過上面的仿真研究，說明 EMD 分解方法是一種良好的信號趨勢提取方法。3.3 EMD 時頻分析在奇異信號檢測中的應用從工程的角度來看, 奇異點就是指信號中的一些突變點, 奇異性則是關于奇異點突變程度的定量和定性的描述。從數(shù)學的角度來看, 由于信號在突變點處是不可微的，一個函數(shù)的突變

55、點可以用它的可微性來表示。同時, 對于無限次可導的函數(shù)則稱它沒有奇異性。奇異性是信號的重要特征之一，信號中比較重要的信息往往包含在信號中不規(guī)則的突變部分和奇異點中25。長期以來,我們往往采用傅里葉變換來對函數(shù)奇異性的整體性質進行研究,但是傅里葉變換難以確定奇異點在空間的位置分布,小波分析雖然能夠分析信號的局部特征,但是其頻率分辨率不夠高。信號的奇異性可分為兩種情況：一種是信號在某一時刻起幅度發(fā)生了突變,從而引起信號的不連續(xù),這種信號的突變是第一種類型的突變;另一種是信號波形上很光滑,其幅值沒有突變,但是在信號的一階微分值上有突變產生,而且一階微分是不連續(xù)的,稱這種突變?yōu)榈诙N類型的突變。當信號噪聲比較小的時候，我們可以從時域上識別出一些比較大的突變，但噪聲信號很大將突變信號淹沒時，就很難確定突變的時刻了，除此以外，僅僅從時域上也很難區(qū)分出奇異類型；僅僅從信號的頻譜圖上，也可以看到一些突變時刻的信息，但是頻譜圖沒有時間變