數(shù)學(xué)分析選講參考答案

1、數(shù)學(xué)分析選講A/B模擬練習(xí)題參考答案一、選擇題：(共18題，每題3分)1、下列命題中正確的是(A B )A、若F'(x) f(x),則F(x) c是f(x)的不定積分，其中c為任意常數(shù)B、若f (x)在a,b上無(wú)界，則f(x)在a,b上不可積C若f(x)在a,b上有界，則f(x)在a,b上可積D 若f(x)在a,b上可積,則f(x)在a,b上可積2、設(shè) f (x) 3x 4x 2 ,則當(dāng) x 0時(shí)，有(B )A.”刈與*是等價(jià)無(wú)窮小B. f(x)與x同階但非是等價(jià)無(wú)窮小C. f(x)是比x高階的無(wú)窮小D. f(x)是比x低階的無(wú)窮小3、若f為連續(xù)奇函數(shù)，則f sinx為(A )A、奇函

2、數(shù) B 、偶函數(shù)C、非負(fù)偶函數(shù) D、既不是非正的函數(shù)，也不是非負(fù)的函數(shù).4、函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)是f(x)在a,b上可積的(A )條件A.充分非必要B. 必要非充分C.充分必要條件D.非充分也非必要條件.5、若f為連續(xù)奇函數(shù)，則f cosx為(B )A、奇函數(shù) B 、偶函數(shù)C、非負(fù)偶函數(shù) D、既不是非正的函數(shù)，也不是非負(fù)的函數(shù).6、設(shè)f(x)型處，則x 0是“刈的(B ) xA.連續(xù)點(diǎn) B. 可去間斷點(diǎn) C.跳躍間斷點(diǎn)D.第二類間斷點(diǎn)7、設(shè)N ，當(dāng)n N時(shí)，包有an bn,已知lim an A, lim bnB.則正確的選項(xiàng)是(A )nnA A BB、A BC、A BDX A和B的大小關(guān)

3、系不定.8、函數(shù)f(x,y) 在點(diǎn)(xo,yo)連續(xù)是它在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)都存在的(A )A.既非充分也非必要條件B 充分條件充要條件C.必要條件D.9、極限 lim，3x1 ( D )x 3 2x3 1A、,33 2B、C、332D不存在.10、部分和數(shù)列Sn有界是正項(xiàng)級(jí)數(shù)Un收斂的(C )條件n 1A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要 D. 非充分非必要111、極限 lim . x ( A )x 0 x1 1A、e 3 B 、e3C 、e3 D 、不存在.12、與limxna的定義等價(jià)的是(B D )nA、 0,總有 xnaB、 0,至多只有xn的有限項(xiàng)落在(a ,a )之外C、存在自然數(shù)N

4、,對(duì) 0,當(dāng)n N ,有4 aD 0(01),存在自然數(shù)N,又t n N,有凡a13、曲線yx2 ex2 eA、沒有漸近線 B 、僅有水平漸近線C、僅有垂直漸近線D 、既有水平漸近線，也有垂直漸近線14、下列命題中，錯(cuò)誤的是(A D )A、若f(x)在點(diǎn)Xo連續(xù)，則f (x)在Xo既是右連續(xù)，又是左連續(xù)B、若對(duì)0, f(x)在a ,b 上連續(xù)，則f(x)在(a,b)上連續(xù)C、若f(x)是初等函數(shù)，其定義域?yàn)?a,b), Xo (a,b),則lim f(x) f(%) x x0函數(shù)y f (x)在xo點(diǎn)連續(xù)的充要條件是f(x)在xo點(diǎn)的左、右極限存在且相等15、設(shè)an為單調(diào)數(shù)列，若存在一收斂子列

5、anj ,這時(shí)有(A )A、 lim an lim an.nj JB、 an不一定收斂C、a n不一定有界D當(dāng)且僅當(dāng)預(yù)先假設(shè)了an為有界數(shù)列時(shí)，才有A成立16、設(shè)f(x)在R上為一連續(xù)函數(shù)，則有(C )A、當(dāng)I為開區(qū)間時(shí)f(I)必為開區(qū)間B、當(dāng)f (I)為閉區(qū)間時(shí)I必為閉區(qū)間C、當(dāng)f ( I )為開區(qū)間時(shí)I必為開區(qū)間D以上A,B,C都不一定成立17、下列命題中錯(cuò)誤的是(AC)若lim11 ,級(jí)數(shù)Vn收斂，則Un收斂;nVnn 1n 1B、C、若Un Vn(n 1,2L),級(jí)數(shù)vn收斂，則Un不一定收斂;n 1n 1若Un是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且 N, n N,有 1,則 Un收斂;n 1Unn 1若 l

6、im unn0 ,則Un發(fā)散n 118、設(shè)nun1為一正項(xiàng)級(jí)數(shù)，這時(shí)有(D )A、若 limn0 ,則 un收斂n 1B、若 un收斂，則lim uni1n 1n UnC、若un 收斂，則 lim nun n 1nD以上A,B,C都不一定成立二、填空題：（共15題，每題2分）1、設(shè) x2siny cosy cos2y 0 ,貝U y1 n -1lim (1一) 一一2、nn elim (1 1)n 1= e3、 n n lim4、x2 12x2 x 25、設(shè) (xnn 110)2 收斂,則 lim xn = 10n n6、2. xlim -2x 1 2x27、lim(x,y) (0.0)xyx

7、y 1 18、lxm0sin 4x9、設(shè) F (x)sin x2或-2. 3sn C310、設(shè) y ex,貝U y(2016)3xn”,11、幕級(jí)數(shù)nx=的收斂半徑為 11 n2 132112、積分x sin x2一dx的值為01x4 2x2 113、曲線y x2 2x 8與x軸所圍成部分的面積為36lim 14、 x 1 x2 215、（/"。打三、計(jì)算題：（共15題，每題8分）1、求 Txsin Txdx .解：x t, .xsin ,xdx 2t2 sin tdt 2 t2d cost 2t2 cost 4 tcostdt_22.4 sintdt2t cost 4 td sin

8、 t 2t cost 4t sin t2xcos、. x 4、. xsin x 4cosx C2、將 f(x)一x展開成x的幕級(jí)數(shù), 1 x 2x并指出其收斂域。解：f（x）一3 1 x 1 2x=1 xn3 n 0n2x)三n 1 n n1 ( 1) 2 x1且由x2x11 知 1x 1n 13、求 lim( , sin n!) n .n3 5解：原式=0 （有界量乘以無(wú)窮小量）4、求鄴xdx x解：令或t,原式=2cos tdt 2sin t2sin x25、ln(1 x x )5、求 lim -x 01 cosx25解：原式: lim -J-X 0 x226、求極限網(wǎng)Fx)解：limx

9、0xex ln(1 x)x elim x 0x 1xe (1 x)2x2 _x sin一7、設(shè)y解：當(dāng)x0時(shí),8、設(shè) f (x)解：limx 02exlimxxe1(1 x)212xsin 一 x2一x sin , xxA,x 02ax b,xf(x) f(0)lim xsin 一limx 00,故要使1 cos- ;y2 .1門x sin 0xx(sin1 1)x，其中A,a,b為何值時(shí),x2 sin Axxf' (0)存在,f(x)在x=0處可導(dǎo)，為什么，并求f '(0)。lim (xsin -)必須A 0又limx 0f(x)xf(0)limx 02ax bb、lim (

10、ax -)要使有導(dǎo)數(shù)存在，必須b=0.綜上可知，當(dāng)A=b=0,a為任意常數(shù)時(shí),f(x)在x=0處可導(dǎo)，且f'(0) 09、計(jì)算下列第一型曲面積分:(x2Sy2 z)ds,其中 S 為 z 1, x2 y2 1.解：S由平面構(gòu)成：S2：z 1, x21.10、x(1 x)解:x1x(1 x)xx.dxx(1 x)11、解:2 J-sin2xdx02( (sin x-cosx)2dxsin x-cosxdx1 x11(一 )dx In x In 1x 1 xx 2cos tdtllm'nr-解：由洛必達(dá)(L' Hospital )法則得12、A"訪2xdx4 (c

11、osx sin x)dx2(sin x cosx)dx04(sin x cosx)|04 (sin x cosx)2413、sin xcosx_22一 cos x sin xdx解:sin xcosx ,1 sin2x ,t dx 一 :dx.cos x sin2 x 2 cos2x1 d cos2x4.cos2x1-.?cos2x C214、解:15、解：1 cosx , dxx sin xcosx sin xln ln xxdxdxln ln x , dxxd x sin xx sin xln ln x d ln xln x sin x Cln x ln ln xdxxln x ln ln

12、 x 1 C四、證明題(共17題，共156分)f '(x) 0 。試證：如果(6分)設(shè)函數(shù) f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且 f(a) f(b) 0,則方程f (x) 0在(a,b)內(nèi)僅有一個(gè)實(shí)根。證明：因?yàn)閒(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a) f(b) 0,于是由零點(diǎn)存在定理知，至少存在一點(diǎn) a,b使得f( ) 0,又f'(x) 0, 因此知f x在a,b上為嚴(yán)格格單調(diào)增加的，故方程f(x) 0在(a,b)內(nèi)僅有一個(gè)實(shí)根。2、(10分)指出函數(shù)f(x)2-x 2x4)的不連續(xù)點(diǎn)，并判定不連續(xù)點(diǎn)的類型解：f(x)的不連續(xù)點(diǎn)為x 0,x又 lim f

13、 (x) lim x(: 2)1x 0 0 x 0 0 x(x 4)2而f(x)在x 2點(diǎn)沒有定義，于是知x 0為f(x)的第一類不連續(xù)點(diǎn);x 2為f(x)的第二類不連續(xù)點(diǎn)；x 2為f(x)的第三類不連續(xù)點(diǎn)。3、(10分)設(shè)f(x)在a,b上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),f '(x) 0,又 F(x)xf (t)dta,證x a明在(a,b)內(nèi)有F'(x) 0.證明：由于F(x)xa f(t)dtax ax(x a) f (x) f(t)dta(x a)2x(f(x) f(t)dt a(x a)2(t,x)使得又在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，f'(x) 0,由拉格朗日

14、中值定理知,f(x) f(t) f ( )(x t) 0 ,從而在(a,b)內(nèi)有 F'(x) 02222xy22xyx y4、(12 分)設(shè) f (x, y)x2 y20(1)證明f(x,y)在(0, 0)點(diǎn)連續(xù) 求 fx(x, y), fy(x,y)(3)證明f(x,y)在(0, 0)點(diǎn)可微解：(1)令 x cos , y sin ,則故f (x, y)在(0, 0)點(diǎn)連續(xù)(2) fx(x, y)/ 42 24、y(x 4x y y )/ 22、2(x y )lxm0f(x,0)f(0,0)x22x y 022x y 0(3)由于即f (x, y)在(0, 0)點(diǎn)可微.5、(6 分)

15、設(shè) f(x)在a,b嚴(yán)格單調(diào)遞減，f(x)存在，f(b),f(a)-,-,2 2一 一 -b2且 f(x) m0,試證明 cosf(x)dx.am證明：令f (x) t ,則由題意有6、(10 分)設(shè) y y(x)為可微函數(shù).求 y'(0),其中 yyex 2ey sin x 7x (1)解：將已知等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)得 x x yy-/ c、y' y'e ye 2e y'sinx 2e cosx 7(2) 將x=0代入 式解得y(0) 0,再將x=0代入(2)得7、(10 分)(x)oxlnTdt 在-1<x<1 有意義，證明(x)( x) 1 (x2

16、)1 c證明：令 F(x) (x)( x) (x2),則21 cF(x) C,即(x)( x) (x2) C 1)21將 x=0 代入(1) C (0)(0) (0)2但(0) 0. C 0.(x)( x) 1 (x2)28、(10分)求幕級(jí)數(shù)(U 的收斂域。n 1 n 2解：由于lim1,則R=2,即當(dāng)2 x 1 2時(shí)其絕對(duì)收斂n n 22又當(dāng)x+1=2,即x=1時(shí)，原級(jí)數(shù)為1發(fā)散n 1 n當(dāng)x 12,即x 3時(shí)，原級(jí)數(shù)為(上收斂n 1 n故原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?,1)9、(7 分)證明：當(dāng) x 0時(shí)，(1 x)ln(1 x) arctanx .證明：設(shè) f(x) (1 x)ln(1 x) ar

17、ctan x (x 0),則 f (x)在0,)連續(xù)2當(dāng) x 0日1 f (x) ln(1 x) -x 0,則“*)在0,)單調(diào)增加。1 x則對(duì)任意x 0有f(x) f(0) 0,即(1 x)ln(1 x) arctanx 0 (x 0) 110、(10分)設(shè)f(x)在0,1上可微，且滿足f(1) 2 o2xf(x)dx 0 (1)求證：在(0,1)內(nèi) 至少存在一點(diǎn)，使f'( ).證明：由(1)式及積分中值定理知，存在10,，使,210f(1) 2 1f(1),f(1)1f( 1) (2)2令F(x) xf (x),則由(2)式及假設(shè)可知F(x)在1,1上滿足羅爾定理的條件，故存在(1

18、,1)(0,1)使 f'()山11、(10分)求 n2xn1的收斂域，并求其和函數(shù) n 1解：設(shè)an n2,則由lim 簪 1及(1)n 1n2都發(fā)散, n I an I n 1可知n2xn1的收斂域?yàn)?1,-1).n 1(1,1)xx再由于f (t)dt n tn dt nxn00n 1n 1112、(10 分)設(shè) f(x)e ,x 0試證明：f'(x)在x=0處連續(xù).0,x 0,證明：f'(x)lxm0lim111 _ x2則 f'(x)x3e ,x 00,x 0,因此f'（x）在x=0處連續(xù).b13、（6分）證明由積分確定的連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)定理：設(shè)f

19、x在a,b上連續(xù)，若f xdx 0,a則x°a,b ,使得f x°0.證明：用反證法.若對(duì)xa, b , f x 0,由連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理可知，f x在a,b上不變號(hào).不妨設(shè)在a,b上f xb0,由定積分的性質(zhì)可得f x dx 0,此與條件矛盾a，于是,必x0a,b ,使得f x°0.14、（ 10 分）設(shè)af x在Qa上連續(xù)，且滿足 f xdx 0.試證: 00,a,使得f a f 0.證明：取變換x at,則 dxdt,已知積分等式變?yōu)閍0 f xdx0at dt f a0t dt.注意到x0,a時(shí)，也有t 0,a,因而f a t在0, a上連續(xù)，于是f a x dx 0.由此可得0, a ,使得f a0.15、（ 12分）設(shè)f在0,1上連續(xù)