副三角板擺放、旋轉(zhuǎn)等問(wèn)題

1、一副三角板擺放、旋轉(zhuǎn)等問(wèn)題例1.（2004年福建南平）如圖1,將兩塊三角板的直角頂點(diǎn)重合后重疊在一起，如果71=40° ,那么 7 2=。同樣問(wèn)題改變?cè)O(shè)問(wèn)就是（山西臨汾）中考題:若/ AOD=145 ,貝U/ BOC=圖1圖2圖3例2.（廣東梅州）如圖2,將一副三角板重疊在一起,使直角頂點(diǎn)重合于 D點(diǎn)，則/ AOB吆DOC=例3.（山東威海）如圖 3,將一副三角尺如圖放置，已知AE/ BC,則/ AFD的度數(shù)是 例4. （2008揚(yáng)州）一副三角板如圖 4所示疊放在一起，則圖中/ ” 的度數(shù)是圖4'是2010河南中考題易得所求問(wèn)題相同。例5. （2007浙江衢州）一副三角板按圖

2、5所示疊放在一起，若固定 AOB,將 AC跺著的某公共頂點(diǎn) A,按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)a度（0° <“<180° ）,當(dāng)4ACD的一邊與 AOB一邊平行時(shí)，相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角a的值是ADC將三角板ABC繞點(diǎn)A依例6. （2006安徽）取一副三角板圖 6 （1）拼接，固定三角板順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)大小為a的角（0° <aW45° ）等到 ABC ,如圖6 （2）所示。試問(wèn)(1)當(dāng)a為多少度時(shí)，能使得圖 6 (2)中的AB/ DC(2)當(dāng)旋轉(zhuǎn)至圖6 (3)位置時(shí)，此時(shí) a又為多少度圖中你能找出哪幾對(duì)相似三角形，并求出其中一對(duì)的相似比；(3)連接BR當(dāng)0&

3、#176; <a<45°時(shí)，探尋/ DBC +/CAC +/BDC直的大小變化情況，并給 出你的證明。例7.(上海)將兩塊三角板如圖 7放置，其中/ C=Z EDB=90 , / A=45°，/E=30° ,AB=DE=6 求重疊部分四邊形 DBCF勺面積。 如圖7',已知AB=14cm,求陰影部分面積(2010吉林)例8.(湖北荊門(mén))將一副三角尺如圖8擺放在一起，連接 AD,試求/ ADB的正切值。例9.(2008徐州)如圖9 (1), 一副三角板滿(mǎn)足 AB=BC,AC=DE操作：將三角板 DEF的直角頂點(diǎn)E放置于三角板 ABC的斜邊AC上，

4、再將三角板 DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，并使 DE與AB交于點(diǎn)P, EF與BC交于點(diǎn)QA(D)A.FtX. X Er / / “ 口 <r XZ/ B、LB f -二BC (I) DFF圖9(1)fflO (2)圖9 c3)探究1:在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，(1)如圖9 (2),當(dāng)CE =1時(shí)，EP與EQ滿(mǎn)足怎樣的數(shù)量關(guān)系，并給出證明。 EA(2)如圖9 (3),當(dāng)CE=2時(shí)，EP與EQ滿(mǎn)足怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由。 EA(3)根據(jù)你對(duì)(1) (2)的探究結(jié)果，試寫(xiě)出當(dāng)CE=m時(shí)，EP與EQ滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系式 EA其中m的取值范圍是 .(直接寫(xiě)出結(jié)論，不必證明)探究2：如圖9 (3),若AC=30cm連接PQ

5、設(shè) EPQ的面積為S(cm2),在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中:(1) S是否存在最大值或最小值若存在，求出最大值或最小值，若不存在，說(shuō)明理由。(2)隨著S取不同的值，對(duì)應(yīng) EPQ的個(gè)數(shù)有哪些變化求出相應(yīng)S值的取值范圍。例10. (2007遼寧十二市)如圖10,小穎利用一個(gè)銳角是 30。的三角形測(cè)量一棵樹(shù)的高度，已知她與樹(shù)之間的水平距離 BE為5m,AB為(即小穎的眼睛距地面的距離)，那么這課樹(shù)的高圖11例11. (2008甘肅蘭州)如圖 11,已知EF是。的直徑，把/ A為60°的直角三角板 ABC的一條直角邊放在直線(xiàn) EF上，余邊AB與。交于點(diǎn) 巳點(diǎn)B與點(diǎn)O重合，將三角板 ABC沿OE方向平移，使

6、得點(diǎn) B與點(diǎn)E重合為止，設(shè)/ POF=X ,則x的取值范圍是 。例12. (2008遵義)如圖12,在矩形ABCD, AD=2AB E是AD的中點(diǎn)，一塊三角板的直角頂點(diǎn)與E點(diǎn)重合，將三角板繞點(diǎn) E按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)三角形的兩直角邊與AB BC分別相交于點(diǎn)M、N時(shí)，觀(guān)察或測(cè)量 BM與CN的長(zhǎng)度，你能得到什么結(jié)論并證明你的結(jié)論。913例13. (2007河北)在 ABC中，AB=AC CGL BA交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn) G 一等腰直角三角尺 按如圖13 (1)所示的位置擺放， 該三角尺的直角頂點(diǎn)為 F, 一條直角邊與 AC邊在一條直線(xiàn) 上，另一條直角邊也恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn) Bo(1)在圖13(1)中請(qǐng)你通過(guò)

7、觀(guān)察，測(cè)量 BF與CG的長(zhǎng)度，猜想并寫(xiě)出 BF與CG滿(mǎn)足的數(shù)量 關(guān)系，然后證明你的猜想；(2)當(dāng)三角尺沿 AC方向平移到圖13 (2)所示的位置時(shí)，一條直角邊仍與 AC邊在同一直 線(xiàn)上，另一條直角邊交 BC邊于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作DE! BA于點(diǎn)E。此時(shí)請(qǐng)你再通過(guò)觀(guān)察測(cè)量 DE DF與CG的長(zhǎng)度，猜想并寫(xiě)出 DE+DFW CG之間滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想；(3)當(dāng)三角尺在圖13 (2)的基礎(chǔ)上沿 AC方向平移到圖13 (3)所示位置(點(diǎn)F在線(xiàn)段AC 上，且點(diǎn)F與點(diǎn)C不重合)時(shí)，圖13 (2)中的猜想是否仍然成立(不用說(shuō)明理由)例14.(吉林長(zhǎng)春)用兩塊相同的含30°角的三角尺如圖

8、14放置，若AD=6 ,求三角尺各邊的長(zhǎng)。AL, /K '/圈M閽鋁例15.(山東棗莊)如圖15,兩個(gè)全等的含 30°、60°的三角板 AD訝口 ABC如圖所示放置， E、A、C三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上，連接 BD,取BD中點(diǎn)M,連接ME,MC試判斷 EMC 的形狀, 并說(shuō)明理由。例16. (2008湖北荊門(mén))將兩塊全等的含 30°角的三角尺如圖16 (1)擺放在一起，它們的較短直角邊為 3 。(1)將 ECM直線(xiàn)l向左平移到圖16 (2)的位置，使 E點(diǎn)落在A(yíng)B上，則CC =;(2)將 EC逐點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖16(3)的位置，使點(diǎn)E落在A(yíng)B上，則 ECD點(diǎn) C

9、 旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為 ;(3)將 ECD&直線(xiàn)AC翻折到圖16 (4)的位置，ED'與AB相交于點(diǎn)F,求證：AF=FD例17. (2006湖南常德)把兩塊全等的直角三角板ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點(diǎn) D與三角板 ABC的斜邊中點(diǎn) O重合，其中/ ABC=/ DEF=90 , / C=Z F=45° ,AB=DE=4把三角板 ABC固定不動(dòng)，讓三角板 DEF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線(xiàn) DE與射線(xiàn)AB相交于 點(diǎn)P,射線(xiàn)DF與線(xiàn)段BC相交與點(diǎn) Q(1)如圖17 (1),當(dāng)射線(xiàn)DF經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,即點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，易證 APD CDQ 此時(shí)，AP- CQ=。(2)將三角板

10、DEF由圖17 (1)所示的位置繞點(diǎn) O沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a ,其中0° <a <90° ,問(wèn)AP- CQ的值是否改變說(shuō)明你的理由。(3)在(2)的條件下，設(shè) CQ=x兩塊三角板重疊面積為 y ,求y與x的函數(shù)關(guān)系式。例18. (2008山東威海)(1)把兩個(gè)含有45°角的直角三角板如圖 17 (3)圖18 (1)放置，點(diǎn)D在BC上，連結(jié)BE,AD, AD的延長(zhǎng)線(xiàn)交BE于點(diǎn)F。求證:AF ± BE(2)把兩個(gè)含有30°角的直角三角板如圖18 (2)放置，點(diǎn) D在BC上，連結(jié) BE,AD,AD的延長(zhǎng)線(xiàn)交BE于點(diǎn)F。問(wèn)AF與BE是否垂直并說(shuō)明理由。19 (