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1、教師教學(xué)發(fā)展中心核心示范課程聽(tīng)課記錄章雪富：古代西方哲學(xué)和柏拉圖主義教學(xué)主題柏拉圖蒂邁歐篇的數(shù)學(xué)宇宙論課堂性質(zhì)授課對(duì)象本科生，聽(tīng)課教師授課教師章雪富職稱上課時(shí)間2014年3月31日（周一）上午9:50-12:15上課地點(diǎn)紫金港校區(qū)西1-508內(nèi)容提要：本課主要闡釋了柏拉圖蒂邁歐篇中的數(shù)學(xué)宇宙論。本課的教學(xué)結(jié)構(gòu)如下：課前導(dǎo)入：回顧上節(jié)課所講內(nèi)容，并介紹蒂邁歐篇及柏拉圖第一部分：學(xué)生講解蒂邁歐篇中的數(shù)學(xué)模型第二部分：學(xué)生講解調(diào)和數(shù)第三部分：學(xué)生講解數(shù)學(xué)史以及數(shù)學(xué)與音樂(lè)的關(guān)系第四部分：學(xué)生講解“弦理論”第五部分：學(xué)生講解康福德的相關(guān)理念教學(xué)片斷實(shí)錄課刖導(dǎo):我們已經(jīng)花了一周的時(shí)間講柏拉圖的蒂邁歐篇，蒂

2、邁歐篇里面最關(guān)鍵的部分也是古典的哲學(xué)宇宙觀里面特別的一部分。古代的哲學(xué)家在描述宇宙的演化時(shí)，我傾向于將他們分為兩種哲學(xué)觀：第一種就是物理學(xué)家的宇宙觀，就是把宇宙描述為由自然要素構(gòu)成的并進(jìn)行演化的。通過(guò)自然要素如水、火、土、氣等原子的組合形成了宇宙，這是一種物理學(xué)家的宇宙觀。我們知道物理學(xué)家的宇宙觀是整個(gè)古代希臘、古代世界里最主要的，也可以說(shuō)是主流的宇宙觀。所以在蘇格拉底之前的哲學(xué)家以及亞里士多德之后的哲學(xué)家如伊壁鳩魯?shù)日軐W(xué)家都可以看作是為物理學(xué)家做圖解。但是柏拉圖他非常特別，他完整地提出了一個(gè)數(shù)學(xué)模型下的宇宙觀念。而這個(gè)數(shù)學(xué)模型下的宇宙觀念對(duì)現(xiàn)代宇宙觀念具有深遠(yuǎn)的影響，因?yàn)槲覀兘裉旎旧隙际怯?/p>

3、數(shù)學(xué)來(lái)描述宇宙的變化。無(wú)論是物理學(xué)還是化學(xué)，最后都?xì)w到到數(shù)學(xué)。雖然柏拉圖對(duì)宇宙的描述以及數(shù)學(xué)圖形的猜想有原始的部分，但他的思路是很重要的。我們說(shuō)理念的東西很重要，一個(gè)經(jīng)驗(yàn)的東西過(guò)時(shí)了就過(guò)時(shí)了，但是理念的東西的影響是全方位的，影響一個(gè)民族，一種地域文化，甚至是整個(gè)人類思想的框架。這是理念的重要性。我們這節(jié)課繼續(xù)討論數(shù)學(xué)圖景下的宇宙觀形式。因?yàn)槲覀冞@個(gè)課是專業(yè)課，需要進(jìn)入到研究的環(huán)節(jié)，探索這些文本的含義。研究古代哲學(xué)的學(xué)者們很少有用數(shù)學(xué)的形式來(lái)呈現(xiàn)蒂邁歐篇的數(shù)學(xué)模型。譯者謝文郁教授主要是依據(jù)劍橋?qū)W派的康福德教授，他是希臘研究的創(chuàng)始者。劍橋大學(xué)的研究基本是傾向于柏拉圖的研究，而牛津大學(xué)是傾向于亞里士

4、多德的研究，這是兩個(gè)傳統(tǒng)。我去牛津大學(xué)，他們有一門古典學(xué)研究的課程，這門課大部分都是亞里士多德的研究。當(dāng)然它也綜合了其他研究。所以劍橋?qū)W派基本上代表了柏拉圖哲學(xué)研究的最高成就。文中謝文郁教授主要是援引了康福德對(duì)這個(gè)問(wèn)教學(xué)智慧捕捉對(duì)以前所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行回顧，并適時(shí)地引出本節(jié)課所講內(nèi)容。題的研究。所以我們會(huì)請(qǐng)同學(xué)對(duì)這個(gè)問(wèn)題的研究做一個(gè)呈現(xiàn)。我們今天要完成蒂邁歐篇。我們先請(qǐng)si對(duì)柏拉圖蒂邁歐篇的數(shù)學(xué)模型做一個(gè)呈現(xiàn)。同學(xué)們對(duì)她的呈現(xiàn)、文本、理解、數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)上有任何疑問(wèn)，都可以提出來(lái)。我們爭(zhēng)取把文本非常清晰地呈現(xiàn)出來(lái)，看看能不能對(duì)今天中國(guó)學(xué)術(shù)界做出貢獻(xiàn)。因?yàn)橹袊?guó)哲學(xué)界搞希臘哲學(xué)的都是沒(méi)有數(shù)學(xué)背景的，我們很好有

5、很多數(shù)學(xué)背景的同學(xué)。我們請(qǐng)S1來(lái)呈現(xiàn)。第一部分：學(xué)生講解蒂邁歐篇中的數(shù)學(xué)模型S1:我們先回顧上周的PPT,第一個(gè)數(shù)學(xué)模型是他在探討宇宙是立體的這一方面。柏拉圖認(rèn)為火和土是構(gòu)成平面的基礎(chǔ)，他需要兩個(gè)東西作為粘合劑。我們把它展示成數(shù)學(xué)模型就是，平面上有一個(gè)點(diǎn)代表火，另一個(gè)點(diǎn)代表土。構(gòu)成一個(gè)平面至少需要3個(gè)點(diǎn)，連接這3個(gè)點(diǎn)就構(gòu)成一個(gè)二維平面?；鸷屯林虚g用水。構(gòu)成一個(gè)立體至少需要空間上的另外一個(gè)點(diǎn)，這樣就構(gòu)成了一個(gè)四面體。柏拉圖所構(gòu)建的幾何圖形中還有一個(gè)正八面體，我們畫出一個(gè)正八面體。還有一個(gè)正二十面體，它的每個(gè)面都是一個(gè)三角形。還有一個(gè)正方體。這就是柏拉圖用原始三角形所做的。再回顧一下上節(jié)課講的原始

6、三角形。有兩個(gè)原始三角形，一個(gè)是等腰直角三角形，它的每一個(gè)角都是45。，從而拼成一個(gè)正方形。我們用正方形就能拼出一個(gè)正方體。另外一個(gè)原始三角形的一個(gè)角是60。，一個(gè)角是30。，柏拉圖用這個(gè)三角形構(gòu)造出了很多東西。他說(shuō)用6個(gè)這樣的三角形就能拼出一個(gè)等邊三角形。我們換一個(gè)角度來(lái)思考，先做出一個(gè)等邊三角形，然后找到三條中線。其中每一個(gè)小三角形就是我們畫的一個(gè)角是30。的原始三角形。所以我們就不難理解柏拉圖所說(shuō)的原始三角形一個(gè)是等腰直角三角形，它是用來(lái)拼成正方形，然后再以此為基礎(chǔ)拼成我們所說(shuō)的正立方體。其他的是正四面體、正八面體和正二十面體，它們的共同點(diǎn)是每一個(gè)面都是一個(gè)等邊三角形。這個(gè)等邊三角形可以

7、由6個(gè)原始三角形拼成。上節(jié)課說(shuō)道，為什么柏拉圖沒(méi)有討論正十二面體。先畫一個(gè)正十二面體，它的每一個(gè)面是一個(gè)五邊形。正五邊形每一個(gè)內(nèi)角是144。我們將每個(gè)五邊形分成5個(gè)三角形，這樣每個(gè)三角形的內(nèi)角肯定不是60°。因?yàn)榇蟮膬?nèi)角是144。，所以分成兩部分就是72。所以我們說(shuō)它跟其他三個(gè)立方體是不一樣的，不能用柏拉圖所說(shuō)的原始三角形拼出來(lái)，所以柏拉圖就沒(méi)有采用它。另外一個(gè)是動(dòng)物的形體，柏拉圖沒(méi)有說(shuō)它具體是由哪一個(gè)東西演變出來(lái)的，它可能是其他三者的組合，因?yàn)閯?dòng)物的形體不是像正立方體這樣一個(gè)明確的數(shù)學(xué)模型。此外柏拉圖也用這個(gè)方法推演出球體。他覺(jué)得球體的合成不是問(wèn)題，如果有一個(gè)中心點(diǎn)確定，就可以由無(wú)

8、數(shù)個(gè)平面構(gòu)成一個(gè)正無(wú)數(shù)面體，也就是球體。這個(gè)球體就是作為宇宙。T:這個(gè)上次是不是有爭(zhēng)論，柏拉圖認(rèn)為球體可以通過(guò)三角形分析出來(lái)，你們不是這樣認(rèn)為的。S2:按照他的定義，如果他把正六面體變成正無(wú)數(shù)面體，那也可以理解為一個(gè)球。它的面是無(wú)限的，在極小極小的情況下就會(huì)變成一個(gè)球。如果直接從三角形變成球體，就不太現(xiàn)實(shí)。正無(wú)數(shù)面體就是無(wú)窮，無(wú)窮就成為一個(gè)球。如剛才的正二十面體就很像一個(gè)球。面越多，到無(wú)數(shù)的時(shí)候就可以理解為一個(gè)球。S3:但是理解一個(gè)球和從數(shù)學(xué)上定義一個(gè)球是不一樣的?？梢园阉胂蟪梢粋€(gè)球，但是不能說(shuō)是數(shù)學(xué)上的球。充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的 積極性，發(fā)揮學(xué)生 的智慧，鼓勵(lì)學(xué)生 上臺(tái)展示。指出學(xué)生困惑的T:今天

9、的數(shù)學(xué)是定義的結(jié)果，但是他是分析的結(jié)果。要注意柏拉圖并沒(méi)有定義球是什么。你們數(shù)學(xué)上是從定義入手的，但是思想家們思考的時(shí)候不是從定義入手的，他是從分析入手的。定義是分析的結(jié)果，是千百年來(lái)人們不斷進(jìn)行分析的結(jié)果。我們今天是把結(jié)論當(dāng)前提來(lái)使用，實(shí)際上前提是分析，不旦小C/7E7E乂。S3:但是數(shù)學(xué)上的定義牽扯到證明。T:對(duì)，一定要證明。所以他這是分析的結(jié)果。S1:但是我認(rèn)為通過(guò)文本的閱讀，柏拉圖討論的球體跟立方體不在一個(gè)系列里。柏拉圖講球體就直接是在第一部分，說(shuō)它是一個(gè)自我相向的，就直接假設(shè)宇宙是這樣的。我們剛才所探討的其他圖形是他在講宇宙的具體元素時(shí)才講到的。他講水、火、土、氣，土就是正方體，最活

10、躍的火是三角形，水是正二十面體，氣是正八面體。他是在討論這些具體的元素之前講球體，他直接假定我們所看到的宇宙是一個(gè)圓球體。之所以這么認(rèn)為是因?yàn)閳A球體是自我相向著，每一個(gè)面上的點(diǎn)到中心的距離都一樣，并且做自我旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。T:我想有兩點(diǎn)是很有意思的。第一點(diǎn)，柏拉圖認(rèn)為水、火、土、氣是一個(gè)幾何。這個(gè)看法和自然哲學(xué)家們對(duì)水、火、土、氣的看法是不一樣的。自然哲學(xué)家們一一泰勒斯、安娜科希曼等認(rèn)為水、火、土、氣只是元素，他們并沒(méi)有說(shuō)水、火、土、氣是幾何圖形。雖然大家都在使用這些概念，但賦予的含義是完全不同的。這正是柏拉圖的特別之處，他用數(shù)學(xué)的方式來(lái)描述水、火、土、氣這些要素是什么。是從幾何的角度描述，而不是從

11、它構(gòu)成的特點(diǎn)。這是很關(guān)鍵的，一個(gè)人的理念是很重要的。理念不同，思想從屬不同。他給水、火、土、氣空間，并且描述他們的空間要素，而不是描述他們的資料要素，這兩者是完全不同的。這是柏拉圖思想中非常具有轉(zhuǎn)折性的一部分。第二點(diǎn)是關(guān)于球體的問(wèn)題。球體被認(rèn)為是最完美的，這是希臘當(dāng)時(shí)的文化信念。所以科學(xué)后面是有信念的?？茖W(xué)不僅是單純的實(shí)證研究，而是有信念的支撐的實(shí)證研究。大家有沒(méi)有問(wèn)題？S1：其實(shí)這個(gè)就足夠了，他所建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型我已經(jīng)講過(guò)了。一個(gè)就是平面上的正方形和正三角形，其中有兩個(gè)是他所認(rèn)為的原始三角形。這兩個(gè)原始三角形是柏拉圖數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)，四種元素都可以由這兩種三角形拼湊出來(lái)。另外就是球體。球體正如老

12、師所說(shuō)是柏拉圖的信念，也是古希臘人所認(rèn)為的信念，他沒(méi)有從證明的角度來(lái)證明宇宙到底是什么，是基于對(duì)宇宙的想象。他所認(rèn)為的宇宙是自我旋轉(zhuǎn)的，球體正好是這樣一種東西。這四種元素構(gòu)成了宇宙的萬(wàn)事萬(wàn)物。他所建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型就是這些。但是我還有一個(gè)問(wèn)題，有關(guān)宇宙的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題。在42頁(yè)36c,他說(shuō)“造物者把這整體按長(zhǎng)度一分為二，分別取其中點(diǎn)相接，使其形如十字，并使它們各自彎曲，兩頭相接呈圓形，再在相接處兩圓交叉，隨后使之作原處連續(xù)運(yùn)動(dòng)。其一作外圈，其一作內(nèi)圈。外圈為同的運(yùn)動(dòng)，內(nèi)圈為異的運(yùn)動(dòng)。同的運(yùn)動(dòng)側(cè)面作向右旋轉(zhuǎn)，異的運(yùn)動(dòng)斜著作向左旋轉(zhuǎn)?！庇袥](méi)有同學(xué)能上來(lái)講解一下這個(gè)模型？T:大家誰(shuí)能夠把這個(gè)模型弄出來(lái)？S4：

13、我來(lái)。首先他說(shuō)，“造物者把這整體按長(zhǎng)度一分為二”，這張紙是個(gè)整體，一分為二就是從中間撕開(kāi)。然后“分別取其中點(diǎn)相接，使其形如十字”，將兩條紙的中點(diǎn)相接呈十字狀。接著是“并使它們各自彎曲”，彎曲的方向很多，關(guān)鍵之處。對(duì)學(xué)生所講的問(wèn) 題進(jìn)行歸納、深 化、提升。鼓勵(lì)學(xué)生自主學(xué) 習(xí)。但是他說(shuō)要“兩頭相接呈圓形”。我覺(jué)得應(yīng)該是一條這樣彎曲，另一條是這樣彎曲。這就是兩個(gè)圓?！霸僭谙嘟犹巸蓤A交叉”就是這樣交叉?！半S后使之作原處連續(xù)運(yùn)動(dòng)”，他下面有說(shuō)道是一個(gè)外圈，一個(gè)內(nèi)圈。為什么一個(gè)作外圈，一個(gè)作內(nèi)圈呢？理由在42頁(yè)解釋2,首先整個(gè)宇宙正-個(gè)運(yùn)動(dòng)，就相當(dāng)于銀河系會(huì)有一個(gè)運(yùn)動(dòng)。然后系里面各自的小天體也會(huì)有運(yùn)動(dòng)。所

14、以外圈的運(yùn)動(dòng)就是整個(gè)宇宙的運(yùn)動(dòng)。內(nèi)圈要以兩倍或三倍的距離分成7個(gè)圈，內(nèi)圈的運(yùn)動(dòng)就是指這7個(gè)圈的運(yùn)動(dòng)。后面就比較簡(jiǎn)單，相當(dāng)于現(xiàn)在的太陽(yáng)系。他說(shuō)“外圈為同的運(yùn)動(dòng)，內(nèi)圈為異的運(yùn)動(dòng)，向的運(yùn)動(dòng)側(cè)面向右旋轉(zhuǎn)”，這就是問(wèn)的。我理解的“向右”是這樣的，就是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)?！爱惖倪\(yùn)動(dòng)斜著向左旋轉(zhuǎn)”，我覺(jué)得就是逆時(shí)針。像地球一樣。他提到“斜著”可能是猜到類似地軸的東西。T:他是根據(jù)調(diào)和數(shù)的比例算出來(lái)的。S4:我以前學(xué)到的天文史知識(shí)，說(shuō)天義學(xué)家在觀察行星運(yùn)動(dòng)時(shí)有爭(zhēng)議，不知道行星是斜著轉(zhuǎn)還是直著轉(zhuǎn)。他們最后猜想是斜著轉(zhuǎn)。繼續(xù)往下說(shuō)。后面就是“造物者賦予同和整一的運(yùn)動(dòng)以統(tǒng)治權(quán)，以此保持宇宙的統(tǒng)一完整。對(duì)于內(nèi)圈運(yùn)動(dòng)，在六處按

15、照雙倍和三倍的間隔，劃分為七個(gè)圈?！被旧鲜沁@個(gè)意思，就是在里面面洞心圓。我開(kāi)始想為什么六處會(huì)誕生七個(gè)圈呢？他所說(shuō)的“六處”不是指圈而是指中間的間隔，比如這樣。他沒(méi)有具體說(shuō)是從外向里還是從里向外。不過(guò)我猜想是從里面向外，先兩倍后三倍，這也符合現(xiàn)在的行星運(yùn)行規(guī)律，越到外面距離是越遠(yuǎn)的?！捌渲腥幰噪p倍的間隔，另三處以三倍的間隔。這兩組圈作相反方向運(yùn)動(dòng)”。他前面說(shuō)的是七個(gè)圈，我覺(jué)得兩組圈應(yīng)該是去除最外面一個(gè)圈。因?yàn)樽钔饷娴娜σ呀?jīng)規(guī)定了它的運(yùn)動(dòng)，然后里面二個(gè)是一個(gè)方向，外面二個(gè)是一個(gè)方向。當(dāng)然他沒(méi)有說(shuō)里面與外面到底哪個(gè)是順時(shí)針，哪個(gè)是逆時(shí)針。他只要符合相反原則就好。然后“其中一組的三個(gè)圈的運(yùn)動(dòng)速度相

16、近”，我認(rèn)為柏拉圖在這里是一個(gè)猜想，他覺(jué)得離得越近，圈越小，它們的速度差距是越小的，越大的話速度差距就越大。他最后說(shuō)“所有的運(yùn)動(dòng)都是有比例的”，我認(rèn)為這個(gè)猜想是很到位的。因?yàn)楦鶕?jù)力招引力定律，能夠具體算出軌道運(yùn)行的角速度、線速度，它們確實(shí)是有比例的。他的“有比例”應(yīng)該是指宇宙中天體運(yùn)行是遵循一定的規(guī)律的。這個(gè)規(guī)律后來(lái)被牛頓發(fā)現(xiàn)了。大家有什么問(wèn)題嗎？S5:他說(shuō)對(duì)于內(nèi)圈運(yùn)動(dòng)，在六處按照雙倍和三倍的間隔，你為什么覺(jué)得就是按照同心圓？如果他說(shuō)“對(duì)于內(nèi)圈，在六處按照雙倍和三倍的間隔”，那畫成同心圓我可以理解。但是他說(shuō)的是運(yùn)動(dòng)。S4：你覺(jué)得應(yīng)該怎樣畫？我試了好幾種方式，覺(jué)得只有這種比較合理。S5:但是你不

17、能覺(jué)得它像我們現(xiàn)在太陽(yáng)系的運(yùn)動(dòng)就畫成這樣。S4:按照柏拉圖給出的數(shù)字，“內(nèi)圈運(yùn)動(dòng)彼此相隔?！笔裁唇小皟?nèi)圈運(yùn)動(dòng)彼此相隔”？你覺(jué)得是不是同心圓？T:按照比例的話這個(gè)相隔也必須是按照比例，只有以圓形的方式運(yùn)動(dòng)它才能始終按照比例。S3:我還有一個(gè)問(wèn)題。柏拉圖認(rèn)為宇宙是地球呢還是整個(gè)太陽(yáng)系行星系？S4:我覺(jué)得是整個(gè)。S3:如果柏拉圖已經(jīng)認(rèn)識(shí)到宇宙除了地球以外還有很多東西，那么這個(gè)外圈一定是個(gè)大的球體。那么這個(gè)大圈就是合理的，一定是在一個(gè)大的球體里再分成6個(gè)部分，6個(gè)間隔，是7個(gè)星道。S4:所以你是覺(jué)得我是正確的？S3:對(duì)的。（全班笑）S5:這樣理解的話，那外圈是不是就是整個(gè)宇宙，內(nèi)圈就是星星？S4:我認(rèn)

18、為不能把外圈理解成整個(gè)宇宙，是外圈和外圈內(nèi)的東西是整個(gè)宇宙。只不過(guò)外圈是運(yùn)動(dòng)的，他用外圈的運(yùn)動(dòng)來(lái)表示宇宙的運(yùn)動(dòng)。拿人體來(lái)說(shuō)，整個(gè)身體在走動(dòng)，但是里面的心和肺都會(huì)有各自的運(yùn)動(dòng)。投射到人的眼中是一個(gè)輪廓，你看到的是外面這層?xùn)|西在運(yùn)動(dòng)。整體是包括外面這層?xùn)|西加里面所有東西。S5:就是說(shuō)外圈是輪廓？T:相當(dāng)于直觀的外表。S4:我覺(jué)得可以這么說(shuō)。S6:問(wèn)題就出在對(duì)于外面的輪廓我們也不是很清楚，是在猜想。如果外表都看不清楚又怎么能弄明白里面的東西。就像你說(shuō)的人體內(nèi)部器官也都有自己運(yùn)動(dòng)的軌道。怎么能想象出那些東西？我認(rèn)為那6個(gè)圈里面的東西可能是實(shí)質(zhì)的，也可能是空的。不是說(shuō)整個(gè)圈都是它。問(wèn)題是這樣的，所以很難

19、理解。點(diǎn)出爭(zhēng)論的焦點(diǎn)， 并通過(guò)小說(shuō)、生活 中的例證來(lái)幫助 學(xué)生更好地理解 這一問(wèn)題。S4:我認(rèn)為他說(shuō)的圈還是運(yùn)動(dòng)軌跡。T:這里有個(gè)爭(zhēng)論，它是運(yùn)動(dòng)的軌跡還是包括里面的星體。有一個(gè)核心的東西要注意：他講到一個(gè)外圈和一個(gè)內(nèi)圈，外圈是同的運(yùn)動(dòng)，內(nèi)圈是異的運(yùn)動(dòng)。這是很關(guān)鍵的，他為什么說(shuō)“外圈是同的運(yùn)動(dòng)"？為什么說(shuō)“內(nèi)圈是異的運(yùn)動(dòng)”？同學(xué)們需要注意，當(dāng)我們講“異”的時(shí)候，是講有變化的。什么叫做“我不一樣”呢？你今天看到這位同學(xué)是這樣的，50年后他得了諾貝爾動(dòng)物學(xué)獎(jiǎng)，你們看我現(xiàn)在是這樣，50年后我白發(fā)蒼蒼，拄了個(gè)拐杖，這是有變化的?！白兓笔侵肝易冃瘟?，形狀變了，眼睛、耳朵、嘴巴都擠到一塊了，所以

20、我就不再像是原來(lái)的那個(gè)樣子，這叫做“異”。但是大家要注意的是，他有一個(gè)基本觀念“外圈是同”，就是內(nèi)圈里面的星體、軌跡都會(huì)發(fā)生變化，但是整個(gè)外圈、整個(gè)宇宙是保持“同”的，同一的狀態(tài)。希臘人有個(gè)基本的看法，只有一個(gè)宇宙，并且這個(gè)宇宙是長(zhǎng)存的。所以這個(gè)宇宙是球體的，球體是完美的，是自足的。武俠小說(shuō)里描述美女“增之一分則多，減之一分則少”，就是剛好。這個(gè)宇宙的球形就是剛好，剛好就表示“同”，是完美。他為什么一定要設(shè)定外圈是“同”，他是基于一個(gè)數(shù)學(xué)的模型。為什么要基于數(shù)學(xué)模式呢？他講到了原始三角形的問(wèn)題，他說(shuō)宇宙是始于原始三角形的。他認(rèn)為原始三角形可以拼湊出所有合理的物體的模型，所以原始三角形可以剛好拼

21、出整個(gè)宇宙的萬(wàn)物，甚至拼出圓形。他整個(gè)宇宙論的想法是有一連串的考慮的，他并不是任意的設(shè)定球、原始三角形，然后同、異。這些觀念并不是他任意設(shè)定的，而是有整體考慮的。他設(shè)定外圈是一個(gè)同的東西，始終是有形的。希臘人講“形”，一個(gè)東西好不好就是看它有沒(méi)有形。S4:我開(kāi)始在想一個(gè)問(wèn)題，既然要分外圈和內(nèi)圈，那么外圈肯定要稍微大一點(diǎn)，內(nèi)圈稍微小一點(diǎn)。我覺(jué)得只能從“包含”的關(guān)系來(lái)解釋，否則找不到其他理由來(lái)說(shuō)明外圈要比內(nèi)圈大。還有問(wèn)題嗎？沒(méi)有好。T:我們一定要注意，科學(xué)后面是有文化的。文化為科學(xué)提供動(dòng)機(jī)，這就是為什么我們要接受通識(shí)教育，從文化匯聚到知識(shí)發(fā)現(xiàn)上。沒(méi)有文化就沒(méi)有動(dòng)機(jī)，你只能做一個(gè)實(shí)驗(yàn)，而不能做出一個(gè)

22、更廣泛意義上的理念。所以你們一定要注意，文化性要素的吸取是很重要的。好，我們休息一下，一會(huì)兒繼續(xù)討論。（休息）T：我們繼續(xù)。上節(jié)課一位同學(xué)把柏拉圖基本的數(shù)學(xué)構(gòu)做了基本介紹，另外一個(gè)同學(xué)呈現(xiàn)了宇宙運(yùn)行的模式，我覺(jué)得很清晰。所以我們現(xiàn)在對(duì)于柏拉圖的蒂邁歐篇宇宙論中的相關(guān)的數(shù)學(xué)模型已經(jīng)比較清楚了。我們注意到很重再次提到科學(xué)與 文化的關(guān)系，并指 出不同文化之間 的共同之處。要的一些方面，就是我剛才提到的，科學(xué)背后的文化直覺(jué)與科學(xué)的關(guān)系。大家還需要注意柏拉圖的數(shù)學(xué)宇宙論中有兩個(gè)東西很重要，一個(gè)是球體，一個(gè)是三角形。他通過(guò)分析三角形來(lái)呈現(xiàn)球體，這是找到球體和三角形之間的關(guān)系，然后建立出他的數(shù)學(xué)分析方法。柏

23、拉圖認(rèn)為30。，60。，90。的三角形是原始三角形。這一點(diǎn)畢達(dá)哥拉斯曾經(jīng)討論過(guò)，但是他沒(méi)有清楚的說(shuō)明，他只是說(shuō)三角形是宇宙的開(kāi)始。所以畢達(dá)哥拉斯“一生二，二生三，三生萬(wàn)物”。其實(shí)很多文化都是這么認(rèn)為的，三是萬(wàn)物的開(kāi)始。按照畢達(dá)哥拉斯的說(shuō)法，三是第一個(gè)封閉圖形的形成。一個(gè)事物的形成必須是封閉的，無(wú)限的事物是不存在的。還是希臘人的基本觀點(diǎn)，有形才有事物。蒂邁歐篇很多是定量分析。做科學(xué)研究不能只做定性分析，而且要做定量分析。所以當(dāng)柏拉圖講這樣的三角形是萬(wàn)物的開(kāi)始時(shí)，他已經(jīng)把畢達(dá)哥拉斯的定性研究推進(jìn)到定量研究。由此才會(huì)形成對(duì)音樂(lè)的研究，因?yàn)橐魳?lè)本質(zhì)上也是一種數(shù)學(xué)，是音層的關(guān)系。鋼琴里有非常復(fù)雜的音樂(lè)比

24、例關(guān)系。同學(xué)你說(shuō)說(shuō)是怎樣的比例關(guān)系？S5:鋼琴的白健、黑健是和數(shù)學(xué)相關(guān)的，兩個(gè)相鄰的音是二分之一音，所以會(huì)有三度和弦，幾又幾分之一。T:那些發(fā)明鋼琴的人如巴赫為鋼琴奠定了基礎(chǔ)，練鋼琴的都要彈巴赫的，練手指的準(zhǔn)確性，耳朵聽(tīng)音的準(zhǔn)確性。這里面全部是希臘人的貢獻(xiàn)，特別是透過(guò)柏拉圖學(xué)園里面的人，如阿基米德、歐幾里得等。這是上節(jié)課提到的，這節(jié)課我們繼續(xù)來(lái)講蒂邁歐篇數(shù)學(xué)宇宙論中更細(xì)節(jié)的東西，也就是涉及到調(diào)和數(shù)的問(wèn)題。請(qǐng)同學(xué)上來(lái)講。第二部分：學(xué)生講解調(diào)和數(shù)S6:簡(jiǎn)單說(shuō)一下調(diào)和數(shù)是什么。T:你先介紹一下蒂邁歐篇里調(diào)和數(shù)提到的內(nèi)容。S6:調(diào)和數(shù)是一組數(shù)據(jù)的倒數(shù)的平均數(shù)的倒數(shù)。一組數(shù)據(jù)X1,X2到Xn,倒數(shù)是1/

25、X1,1/X21/Xn。先說(shuō)簡(jiǎn)單平均數(shù)，從1/X1,加1/X2一直加到1/Xn,再除以n,這是倒數(shù)的平均數(shù)。倒數(shù)的平均數(shù)的倒數(shù)，就是把剛才的結(jié)果取倒數(shù)。這就是簡(jiǎn)單的調(diào)和平均數(shù)，其實(shí)和平均數(shù)的定義差不多。還有一個(gè)加權(quán)平均數(shù)，其實(shí)和這個(gè)是一樣的。平均數(shù)是加權(quán)平均數(shù)的一個(gè)特殊形式，加權(quán)就是加它的權(quán)重。同樣的道理，加權(quán)調(diào)和平均數(shù)就是一組數(shù)據(jù)的倒數(shù)的加權(quán)平均數(shù)的倒數(shù)。還按照剛才的方式，這是一組數(shù)據(jù)的倒數(shù)，X1的權(quán)ml,X2的權(quán)m2,一直到Xn的權(quán)mn,這些數(shù)與各自的權(quán)重相乘，再用結(jié)果除以ml力口m2一直到mn,這就是一個(gè)加權(quán)平均數(shù)。再把它倒過(guò)來(lái)，就是加權(quán)調(diào)和平均數(shù)。平均數(shù)是分成簡(jiǎn)單平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)，調(diào)

26、和數(shù)亦然。當(dāng)m1=m2=mn=1的時(shí)候，加權(quán)就是簡(jiǎn)單平均數(shù)。簡(jiǎn)單平均數(shù)是加權(quán)平均數(shù)的一種特殊形式。它可以干什么用呢？比如我們以前算電子，并聯(lián)的時(shí)候，(R1+R2)/R1R2,它和調(diào)和平均數(shù)的形式是很類似的，不過(guò)它是調(diào)和數(shù)的一半。還有平均速度，一段路程長(zhǎng)是2S,在第一個(gè)S內(nèi)速度是V1,第二個(gè)是V2,那么平均速度是2s路程除以時(shí)間，時(shí)間是第一段的時(shí)間加上第二段的時(shí)間，2S/(S/V1+S/V2)=2/(1/V1+1/V2),這就是調(diào)和平均數(shù)。它的用途相對(duì)來(lái)說(shuō)比較窄，能用平均數(shù)的時(shí)候一般不會(huì)用它。它有局限，一個(gè)數(shù)據(jù)如果是0的話就沒(méi)辦法用了。所以它用的不是特別多，在一些簡(jiǎn)單場(chǎng)合會(huì)被用到。T:那你覺(jué)得柏

27、拉圖是用什么方法發(fā)現(xiàn)調(diào)和平均數(shù)的？引導(dǎo)學(xué)生思考數(shù) 學(xué)與音樂(lè)的關(guān)系。S6:柏拉圖是用比例找出來(lái)的，但是現(xiàn)在不會(huì)用這種方式。這里大概有他底下講的一個(gè)和諧關(guān)系。但是他那時(shí)還是一個(gè)分析階段，現(xiàn)在就不能這樣講了。他可能覺(jué)得這調(diào)和出來(lái)挺好的，有一個(gè)很好的比例關(guān)系。T:如果你發(fā)現(xiàn)了其他數(shù)學(xué)關(guān)系，那么柏拉圖是很歡迎的。柏拉圖的學(xué)園里面充滿了辯論，非常開(kāi)放。這也使得柏拉圖學(xué)園到公園529年的時(shí)候都一直存在，存在了將近一千年，只是那個(gè)時(shí)候被一個(gè)皇帝關(guān)閉了。他到底為什么要得出這個(gè)調(diào)和平均數(shù)？他這里涉及到了9/8的一個(gè)比例和半音，這其實(shí)都是有考慮的。他是根據(jù)對(duì)全因和半音的理解來(lái)計(jì)算調(diào)和平均數(shù)。為什么他得出這樣的調(diào)和數(shù)

28、的算法呢？他這樣不止是感覺(jué)，肯定和當(dāng)時(shí)的音樂(lè)有關(guān)系。進(jìn)一步解釋柏拉 圖哲學(xué)中的數(shù)學(xué) 與音樂(lè)的關(guān)系。S7：當(dāng)時(shí)音樂(lè)有那么發(fā)達(dá)嗎？T:有。那時(shí)候就探究音層的問(wèn)題，用數(shù)學(xué)來(lái)描述音樂(lè)。他后面講的階拍，嗒、嗒、嗒就是根據(jù)這個(gè)比例來(lái)計(jì)算的。他研究的就是最簡(jiǎn)單的音樂(lè)和最簡(jiǎn)單的宇宙常數(shù)的設(shè)定。其實(shí)他不僅僅講調(diào)和數(shù)，他是希望找到一個(gè)宇宙常數(shù)。宇宙演化是有一個(gè)基本常數(shù)的，希臘人對(duì)這一點(diǎn)是有信念的。這一點(diǎn)我們現(xiàn)今也論證，也會(huì)說(shuō)存在一個(gè)宇宙常數(shù)。這里肯定有他的考慮的，這個(gè)考慮是來(lái)自于音樂(lè)還是來(lái)自于數(shù)學(xué)？我覺(jué)得這是很有趣的。如果他對(duì)數(shù)學(xué)的研究、對(duì)宇宙常數(shù)的設(shè)想是來(lái)自于音樂(lè)對(duì)他的啟發(fā)，那就很有意思。就是人從自己的聽(tīng)覺(jué)系統(tǒng)

29、獲得的啟發(fā)，音樂(lè)聽(tīng)覺(jué)對(duì)于聲音的美有一個(gè)很直接的把握。S4:我突然有一個(gè)想法。他為什么去研究數(shù)學(xué)和音樂(lè)的關(guān)系呢。大家都知道有一個(gè)神曲叫做江南Style,當(dāng)時(shí)音樂(lè)學(xué)家解釋為什么這首歌會(huì)流行，是因?yàn)樗墓?jié)奏符合人心跳的節(jié)奏。人是宇宙萬(wàn)物的一份子，其發(fā)展規(guī)律可以通過(guò)音樂(lè)體現(xiàn)出來(lái)。人為什么會(huì)覺(jué)得音樂(lè)好聽(tīng)，因?yàn)橐魳?lè)符合自己的節(jié)奏。然后找出這種節(jié)奏，再用數(shù)學(xué)來(lái)描述。就是通過(guò)人的發(fā)展節(jié)奏來(lái)想萬(wàn)物發(fā)展的節(jié)奏。S8：我前段時(shí)間看一檔節(jié)目，就是人在聽(tīng)音樂(lè)的時(shí)候，就可以準(zhǔn)確地說(shuō)出發(fā)出這個(gè)聲音需要多少毫升的水。所以聲音可能是一種比例。既然如此為什么要將音樂(lè)和數(shù)學(xué)分得很清楚呢？T:那個(gè)神戶牛肉聽(tīng)說(shuō)是讓牛聽(tīng)音樂(lè)，所以肉入口

30、即化。我去日本的時(shí)候沒(méi)有買，太貴了。這也是一件有趣的事情。S1:能不能找到古希臘人的數(shù)學(xué)與音樂(lè)的關(guān)系的資料，然后來(lái)證明柏拉圖是受音樂(lè)的影響？T:應(yīng)該是可以的。我上次推薦你們?nèi)タ聪ＥD的數(shù)學(xué)史。來(lái)，這位看過(guò)的同學(xué)說(shuō)一下。S9:這本書從埃及之前數(shù)的起源一直講到現(xiàn)在。最早的數(shù)學(xué)起源于埃及，再傳到泰勒斯，然后畢達(dá)哥拉斯把數(shù)和宇宙結(jié)合起來(lái)。后面又經(jīng)過(guò)英雄時(shí)代，再到柏拉圖和亞里士多德的時(shí)代。柏拉圖本身并沒(méi)有多少數(shù)學(xué)上的成就，但是柏拉圖學(xué)園里有很多數(shù)學(xué)家。他的學(xué)園有規(guī)定，不懂?dāng)?shù)學(xué)的不能進(jìn)入。因此那個(gè)時(shí)候數(shù)學(xué)取得了很大的進(jìn)步。T：你給我們講講具體的內(nèi)容。S9:具體是指哪方面？T:就是數(shù)學(xué)內(nèi)容方面，音樂(lè)與數(shù)學(xué)以及

31、數(shù)學(xué)本身。S9:其實(shí)早期的數(shù)學(xué)與我說(shuō)的驚奇是有關(guān)系的，或者是感覺(jué)。比如畢達(dá)哥拉斯對(duì)某些數(shù)有特別的感覺(jué)，所以這些數(shù)就特別有地位。這條線我覺(jué)得就是感覺(jué)線，從感覺(jué)走向數(shù)學(xué)。再比如德謨克利特的原子論，他先想出原子論，然后再把它引到數(shù)學(xué)里。這是一種純粹的感覺(jué)，兩者相似，他就把他們連在一起。然后另外一條線就是證明。古希臘有很多數(shù)學(xué)問(wèn)題需要證明，如畫方為圓。S10:畫方為圓就是畫一個(gè)方形，一個(gè)圓形，兩者面積一樣。其實(shí)就是要畫一個(gè)兀,在一條線上找到一個(gè)兀。但是這是不可能找到的。S9:關(guān)鍵不是怎么畫出來(lái)的，而是用抽象思維來(lái)證明這些數(shù)學(xué)問(wèn)題。我覺(jué)得有兩條線，一條是感覺(jué)線，一條就是與現(xiàn)代數(shù)學(xué)相似的證明這條線。柏拉圖

32、的宇宙論基本上屬于感覺(jué)線，是直觀的或者從生活經(jīng)驗(yàn)中引出的與數(shù)學(xué)相似的。T：你認(rèn)為柏拉圖還沒(méi)有達(dá)到純粹的數(shù)學(xué)分析？S9:對(duì)，他的目的不是為了找出數(shù)學(xué)結(jié)論，而是為了證明宇宙是多么的可信。T：所以柏拉圖在蒂邁歐篇里的宇宙論的內(nèi)容重要之處不在于數(shù)學(xué)而在于宇宙，是不是？對(duì)之前討論的音 樂(lè)與數(shù)學(xué)的關(guān)系 進(jìn)行總結(jié)，并通過(guò) 不斷發(fā)問(wèn)，引導(dǎo)學(xué) 生深入思考。S9:是。但是他的觀點(diǎn)是對(duì)之前宇宙論的一種創(chuàng)新。T:大家還有沒(méi)有問(wèn)題，有關(guān)調(diào)和數(shù)以及柏拉圖的數(shù)學(xué)和宇宙論的落腳點(diǎn)是在哪兒？我們需要首先考慮的是調(diào)和數(shù)的提出是基于什么？他只是出于好玩，當(dāng)然好玩也很重要。但為什么好玩？吸引你的好，你才去玩。這個(gè)好是什么?你感覺(jué)到哪

33、個(gè)方面的好是很重要的。譬如埃及人覺(jué)得“好”是經(jīng)驗(yàn)上的丈量，我們把這個(gè)分好，均勻，公平，大家不吵架，當(dāng)然就是好的。第二種好就是一種愉悅，我不是為了實(shí)現(xiàn)公正，不是為了大家不吵架，我就是為了一種愉悅感。這種愉悅感、和諧就是好。我想探究這個(gè)“和諧”到底是什么？我們探究和諧的時(shí)候，覺(jué)得和諧就是聽(tīng)著舒服，這是很感性的描述。但是和諧不是說(shuō)說(shuō)就能解決問(wèn)題，還是沒(méi)有解決為什么舒服。這個(gè)分析來(lái)分析去，一定要給出非常確定的東西，讓我們覺(jué)得為什么舒服，為什么好。他顯然是從這個(gè)角度來(lái)考慮。比如說(shuō)驚奇里面，對(duì)美的驚奇是一種很重要的驚奇。他對(duì)美的驚奇是用數(shù)學(xué)來(lái)描述的。所以對(duì)調(diào)和數(shù)和宇宙論之間為什么選了調(diào)和數(shù)，為什么選擇音樂(lè)

34、，最后又歸到音樂(lè)里去講調(diào)和數(shù)的問(wèn)題。為什么呢？是因?yàn)閷?duì)“好”的理解。哲學(xué)家們、數(shù)學(xué)家們對(duì)“好”有他們自己的理解，對(duì)“美”有他自己的理解。這是一個(gè)很重要的關(guān)聯(lián)。到底希臘里面對(duì)數(shù)學(xué)和音樂(lè)的研究有沒(méi)有很詳盡的資料，很有說(shuō)服力的研究。今天為止還沒(méi)有。數(shù)學(xué)家偏重于研究數(shù)學(xué)史，音樂(lè)家基本上對(duì)數(shù)學(xué)沒(méi)有概念。所以你要既是音樂(lè)家又是數(shù)學(xué)家，也就是對(duì)于音樂(lè)有數(shù)學(xué)的理解，這樣的人很少。所以希臘哲學(xué)里面，最值得研究的數(shù)學(xué)和音樂(lè)的關(guān)系，至今沒(méi)有。所以你看到的是數(shù)學(xué)史，而不是兩者的關(guān)系史。這是很值得研究的，這是第一點(diǎn)。第二點(diǎn)呢，柏拉圖本人的貢獻(xiàn)是在數(shù)學(xué)和宇宙之間尋找一種關(guān)系，一種描述關(guān)系，而這種關(guān)系在以前是不存在的。以前

35、有談到過(guò)一點(diǎn)，但不是很完整。在這個(gè)方面，柏拉圖是一個(gè)理念的建立者。這是很重要的。所以我們要注意他這個(gè)方面的原則。大家看看，這里還需不需要繼續(xù)討論？S11:這里說(shuō)到柏拉圖要概括宇宙的本質(zhì)，那么宇宙的本質(zhì)是什么？T:宇宙的本質(zhì)是什么？對(duì)于柏拉圖而言宇宙的本質(zhì)就是數(shù)學(xué)。不一定是數(shù)，但一定是數(shù)學(xué)模型，就是剛才同學(xué)講的幾何圖形的變化。一般而言，大家認(rèn)為畢達(dá)哥拉斯是數(shù)學(xué)與音樂(lè)關(guān)系的最早建立者。音樂(lè)很早就有，數(shù)學(xué)也很早就有，但建立兩者之間的關(guān)系是更重要的。大家對(duì)調(diào)和數(shù)、音樂(lè)、數(shù)學(xué)關(guān)系上還有沒(méi)有什么想法？S9:我覺(jué)得柏拉圖是有驚奇，我說(shuō)的驚奇不是直接的驚奇，是出去數(shù)學(xué)論證的那種感覺(jué)都叫做驚奇。柏拉圖就是想建立

36、的宇宙還是符合他的善的理念的，是理性的。然后他通過(guò)把數(shù)學(xué)引入進(jìn)來(lái)，來(lái)增強(qiáng)他宇宙論的理性，再達(dá)到他所說(shuō)的和諧。他對(duì)數(shù)學(xué)很感興趣，可能他并不是想單純地論證數(shù)學(xué)問(wèn)題。T:他沒(méi)有解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，但是他提出幾個(gè)圖形。柏拉圖的原創(chuàng)性不是在數(shù)學(xué)解釋數(shù)學(xué)與善之上，而是對(duì)“善”的數(shù)學(xué)解釋上。這是很重要的。“善”這個(gè)概念大家千百年間的關(guān)系。來(lái)都在使用，自有人類以來(lái)就使用。其實(shí)我相信豬也知道使用“好”，什么東西好吃，什么東西不好吃?！昂谩笔谴蠹叶荚谟玫模菍?duì)“善”進(jìn)行數(shù)學(xué)分析是很少的。我們經(jīng)常是憑感覺(jué)分析“好”，好吃、好聽(tīng)、好看，全部表現(xiàn)為我的感受，表現(xiàn)為感覺(jué)主義的原則。但是現(xiàn)在柏拉圖要把這個(gè)“好”拿到理性的層面去

37、分析，這可以有各種類型的分析。對(duì)“好”分析可以通過(guò)定義，比如很多人說(shuō)合乎公正是好，到這里為止就可以了，這是一個(gè)合乎理性的分析。但對(duì)于這個(gè)理性分析大家還是不滿意的。哲學(xué)家認(rèn)為說(shuō)到這里他們還不滿意，因?yàn)槭裁词恰肮保麄兙烷_(kāi)始吵。柏拉圖就跟別人吵，有很多吵法。有借有還叫公正，馬上就有反對(duì)結(jié)論，我?guī)椭笥褮⒑橙司徒泄?，馬上又有反對(duì)意見(jiàn)。所有這些對(duì)公正的描述都是相對(duì)的描述，而不是絕對(duì)的描述。就是說(shuō)到理性的層面，它仍然是個(gè)相對(duì)的描述。我能不能找到一個(gè)絕對(duì)的描述？可能嗎？需要用一個(gè)絕對(duì)知識(shí)，那什么絕對(duì)知識(shí)可以描述公正呢？數(shù)學(xué)可以。所以他居然能夠?qū)Α吧啤弊鲆粋€(gè)數(shù)學(xué)的分析，對(duì)“好”做一個(gè)數(shù)學(xué)的分析，是很

38、特別的。就不僅僅是對(duì)知識(shí)的單純的驚奇。這很有意思，把“好”的分析，“善”的分析拉到數(shù)學(xué)層面去分析，這是一種哲學(xué)建構(gòu)世界的方式的形成。大家對(duì)這個(gè)問(wèn)題還有什么看法？對(duì)于數(shù)學(xué)和音樂(lè)關(guān)系的分析，對(duì)“美”和“好”的分析還沒(méi)有完整呈現(xiàn)出來(lái)。而呈現(xiàn)這一點(diǎn)是很重要的，我們?cè)谥R(shí)領(lǐng)域里面缺乏這一點(diǎn)。這種呈現(xiàn)的可能、呈現(xiàn)的能力我們是缺乏的。還有沒(méi)有問(wèn)題呢？如果沒(méi)有的話，我們還有幾個(gè)問(wèn)題沒(méi)有解決。同學(xué)你要解決什么問(wèn)題？第三部分：學(xué)生講解數(shù)學(xué)史以及數(shù)學(xué)與音樂(lè)的關(guān)系S9:數(shù)學(xué)史。我們現(xiàn)在的數(shù)學(xué)顯然是不包含“善”和“好壞”的，數(shù)學(xué)就是數(shù)學(xué)，數(shù)就是數(shù)。我們能夠證明一個(gè)公式是正確的，是錯(cuò)誤的。但是在數(shù)學(xué)開(kāi)端人們最初發(fā)現(xiàn)數(shù)的時(shí)

39、候是在工作的時(shí)候，比如他看到了5頭牛，然后又看到了5頭羊，發(fā)現(xiàn)他們有共同的東西，就是這個(gè)“5”。剛開(kāi)始并沒(méi)有把“5”說(shuō)出來(lái)，后來(lái)通過(guò)人們直觀的感受，發(fā)展出了數(shù)，然后又發(fā)展出了數(shù)的好多理論。在早期數(shù)學(xué)里面有一個(gè)明顯的特征，就是我說(shuō)的感覺(jué)、驚奇。比如人們看到外面有7個(gè)星體，就把“7”的地位推得很高，就覺(jué)得“7”有一種神圣的力量。這是數(shù)學(xué)上和感覺(jué)結(jié)合的線，包括信念、理念。另一條數(shù)學(xué)線就是純粹的數(shù)學(xué)證明。就比如剛才說(shuō)的畫方為圓，為什么會(huì)有這個(gè)問(wèn)題呢？就是古希臘人想通過(guò)尺規(guī)畫出一個(gè)和正方形面積一樣大的圓。這個(gè)就不涉及善，不涉及好壞，僅僅涉及一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，就是能不能把這個(gè)圓畫出來(lái)。后面的數(shù)學(xué)家也一直在討論

40、這個(gè)問(wèn)題。從這兒我們可以看出這就是數(shù)學(xué)不包含理念和信念的這一部分。這兩條路線很明顯，一條就是包含信念，一條就是不包含信念。柏拉圖是包含信念這條路上的集大成者。在他之前古希臘數(shù)學(xué)最早從泰勒斯開(kāi)始，他提出了一些幾何學(xué)上的證明，然后又提出數(shù)是神圣的。畢達(dá)哥拉斯提出了好多數(shù)學(xué)定理，如勾股定理。但是他后來(lái)又賦予這些定理神秘主義色彩，如因?yàn)橛?0個(gè)天體，所以“10”這個(gè)數(shù)很神圣，還有“7”是美德，“6”是公正等。這里還是混沌的，到了柏拉圖就完全把數(shù)和形歸到宇宙上。5個(gè)正多面體組成宇宙，還有水、火、土、氣之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，他完全用數(shù)學(xué)來(lái)論證宇宙論。他說(shuō)水、火、土、氣這些數(shù)目，運(yùn)動(dòng)的比例性質(zhì)都是神以精確性來(lái)實(shí)現(xiàn)

41、這一切的，這些都是神安排的。但是這里有一個(gè)條件，就是這些屬于必然性的性質(zhì)愿意聽(tīng)從勸說(shuō)，就是說(shuō)水、火、土、氣這些東西是神按照它本來(lái)的性質(zhì)來(lái)卻說(shuō)它們符合這種數(shù)學(xué)比例。這里面有一個(gè)矛盾就是必然性和勸說(shuō)，必然性就不用勸說(shuō)。T:為什么？必然性你未必一定接受。我跟你講，共產(chǎn)主義是一定要實(shí)現(xiàn)的，你不相信，那只能勸說(shuō)你。S9:對(duì)的，我就是先提出這個(gè)矛盾，準(zhǔn)備說(shuō)明，老師解釋的也比較正確。我解釋是從另一方面。水、火、土、氣有其本來(lái)的性質(zhì)，神看到這些性質(zhì)，就通過(guò)它們本來(lái)的性質(zhì)來(lái)勸說(shuō)這些事物該干什么。T：我們休息一下。（課間休息）根據(jù)學(xué)生的回答 不斷發(fā)問(wèn)，幫助學(xué) 生完善自己的觀 點(diǎn)。S9:剛才講到這個(gè)比例是和神的安排

42、有關(guān)系，最終達(dá)到和諧的狀態(tài)。從這里可以看出，最終目的還是要符合善的理念，這是柏拉圖一貫的思想。明顯可以看出他是將理念和數(shù)學(xué)結(jié)合到一塊的，而不是單純地討論數(shù)學(xué)的證明問(wèn)題。這和另一條路線上的數(shù)學(xué)顯然是不一樣的。另一條線上的數(shù)學(xué)的代表是歐幾里得、阿基米德這些人。當(dāng)然歐幾里得也與柏拉圖有關(guān)系。歐幾里得的幾何原本是比較著名的一本數(shù)學(xué)教材，主要內(nèi)容是一些定理及對(duì)一些問(wèn)題的證明。現(xiàn)代數(shù)學(xué)證明也是這個(gè)思路，但是更加復(fù)雜、具體、細(xì)微。這兩條線就完全分開(kāi)了。柏拉圖之后的發(fā)展，就沒(méi)有再是數(shù)學(xué)和哲學(xué)上的結(jié)合。所以我們現(xiàn)在的數(shù)學(xué)發(fā)展下來(lái)就是純數(shù)學(xué)。還有之前人的數(shù)學(xué)和宇宙的關(guān)系，剛才講到的德謨克利特在數(shù)學(xué)上有很多成就。其

43、中一個(gè)是他想證明三棱柱是三個(gè)等高同底的三棱錐的體積之和，以及圓柱是三個(gè)等高同底的三棱柱的體積之和。他想證明這一點(diǎn)，但是需要用到微積分的知識(shí)。他那時(shí)沒(méi)有證明出來(lái)，但是他的思路是想要用一個(gè)無(wú)限小的形式，將錐放到無(wú)限小的層面然后疊加起來(lái)。這是受到了他原子論的影響。泰勒斯的數(shù)學(xué)與宇宙論沒(méi)有太大關(guān)系。T：你們覺(jué)得數(shù)學(xué)和善沒(méi)有關(guān)系嗎？S9:我覺(jué)得沒(méi)有關(guān)系。T:你覺(jué)得沒(méi)有關(guān)系，那數(shù)學(xué)是什么？S9:數(shù)學(xué)就是數(shù)學(xué)。T:數(shù)學(xué)就是數(shù)學(xué)。那什么引導(dǎo)數(shù)學(xué)家去解決問(wèn)題？S9:肯定有多種。有些人為了榮譽(yù)，有些人為了追求數(shù)學(xué)本質(zhì)，有些人可能是一種習(xí)慣。T:你覺(jué)得和善沒(méi)有關(guān)系？S9:可以有關(guān)系。比如數(shù)學(xué)家把數(shù)學(xué)應(yīng)用到生活中，拿

44、數(shù)學(xué)來(lái)救人，這當(dāng)然有關(guān)系。但是數(shù)學(xué)本身沒(méi)有很多與善相關(guān)的部分。T:我們兩朋友之間始終有分歧。我明白你的意思，就是純粹知識(shí)，就是碰到問(wèn)題，把問(wèn)題解決掉。物理學(xué)上描述宇宙的時(shí)候有困難，需要用數(shù)學(xué)去解決。我完全是出于興趣。S9:對(duì)，數(shù)學(xué)家可以有公正的信念，有追求善的信念。他把數(shù)學(xué)用于藥品研究，研究出治愈癌癥的藥物。這是一件善事，但是和數(shù)學(xué)本身并沒(méi)有太大關(guān)系。S11:我覺(jué)得現(xiàn)在自然科學(xué)如此發(fā)達(dá)使得我們可以用數(shù)學(xué)來(lái)描述這些。我覺(jué)得用善來(lái)看待數(shù)學(xué)是在自然科學(xué)的影響下的。S9:我覺(jué)得老師認(rèn)為善是高于一切的。T：我覺(jué)得自然科學(xué)是解決不了善的，自然科學(xué)只能解決部分善。所以數(shù)學(xué)也不可避免是受到善的引導(dǎo)的。S9:我

45、覺(jué)得它本身不包含善。T:不包含倫理意義上的。指出現(xiàn)代人文主 義與科學(xué)之間的 爭(zhēng)議。S9:是的，不包含倫理意義上的。T：大家看，這也是一個(gè)爭(zhēng)論的主題，是現(xiàn)代人文主義對(duì)科學(xué)的批評(píng)。科學(xué)已經(jīng)非常技術(shù)化了，科學(xué)失去了求真、求善、求美的態(tài)度。讀現(xiàn)代哲學(xué)的時(shí)候，就會(huì)發(fā)現(xiàn)后現(xiàn)代哲學(xué)為什么把現(xiàn)在這個(gè)時(shí)代叫做“技術(shù)的時(shí)代”？當(dāng)科學(xué)失去真善美的時(shí)候，科學(xué)就變成技術(shù)。如果你問(wèn)理論物理學(xué)家，他是不屑于承認(rèn)科學(xué)是技術(shù)的。技術(shù)是做鞋，我不是做鞋的。為什么科學(xué)淪為技術(shù)？就因?yàn)榭茖W(xué)失去了求真、求善、求美的理念?？茖W(xué)與技術(shù)的根本區(qū)別在哪里呢？對(duì)于哲學(xué)家來(lái)講，就是哲學(xué)的理念。科學(xué)從根本意義上講和哲學(xué)是一家的。技術(shù)和鞋匠是一家的。

46、技術(shù)是工具，科學(xué)不是工具?？茖W(xué)是求知，技術(shù)不是求知，技術(shù)就是有用的，是工具性的。你想想看，當(dāng)阿基米德在做題目，羅馬士兵要?dú)⑺?，他說(shuō)你等一等，讓我把題目做完。要注意，阿基米德在這里享受的是多大的善??！他不是在追求善，他已經(jīng)在享受善了。S9:他是在享受善，但不能說(shuō)他研究的東西就是善。T:對(duì)，他研究的并不一定就是善，他離善還差一步。因?yàn)樯频阶詈笫钦軐W(xué)研究。S9:阿基米德研究數(shù)學(xué)最后被捅死，不能說(shuō)明數(shù)學(xué)和哲學(xué)的關(guān)系。就像一個(gè)鞋匠，他特別熱愛(ài)制鞋，士兵來(lái)的時(shí)候，他說(shuō)讓我縫完最后一針，然后就被捅死了。那我們難道就能說(shuō)制鞋這項(xiàng)技術(shù)就像哲學(xué)一樣富有理念嗎？S11:當(dāng)一個(gè)鞋匠有這種狀態(tài)時(shí)，制鞋對(duì)他而言就不僅僅是

47、一種技術(shù)了。S9:對(duì)，所以是鞋匠的狀態(tài)是善，而非他研究的技術(shù)是善。T:你把這兩個(gè)分開(kāi)也是有道理的。后古主義與目的論之間是永遠(yuǎn)有爭(zhēng)議的。你講的是后古主義而非目的論的問(wèn)題。你把目的論轉(zhuǎn)化為后古主義來(lái)討論，但阿基米德肯定是拒絕把后古主義轉(zhuǎn)化為目的論來(lái)討論。好，我們還有兩位同學(xué)要講。第四部分：學(xué)生講解“弦理論”S12:現(xiàn)在的“弦理論”可以作為一個(gè)對(duì)宇宙的大致理解?！跋依碚摗钡幕疽c(diǎn)是世界的本質(zhì)是弦狀物而非夸克、原子等點(diǎn)狀物，并且這些點(diǎn)狀物一根一根的弦的振動(dòng)來(lái)表現(xiàn)出它們的形式。世界大小是70億光年，我們之所以覺(jué)得宇宙是無(wú)限的，是因?yàn)樗鼉?nèi)部有無(wú)數(shù)的反射。無(wú)數(shù)的反射給我們一中萬(wàn)花筒的感覺(jué)，就好像看到的空間

48、是無(wú)限的。此外，我們生活的空間是一個(gè)膜，是一個(gè)D-3膜。我們說(shuō)的宇宙在膨脹不是真的在膨脹，就像氣球一樣，我們是生活在氣球的皮上。這是現(xiàn)代的“弦理論”對(duì)宇宙形象的一種幾何解釋。它應(yīng)用于現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，但是沒(méi)有直接用數(shù)學(xué)本質(zhì)來(lái)解釋。它只是把數(shù)學(xué)作為一種工具。S9:“弦理論”中描述多維空間，叫“卡丘空間”。這一發(fā)現(xiàn)是物理學(xué)上的發(fā)展，并且推動(dòng)了數(shù)學(xué)發(fā)展。這一空間是完全符合數(shù)學(xué)模型的。物理學(xué)上的猜想通過(guò)數(shù)學(xué)家來(lái)驗(yàn)證。S12:所以大家還是把數(shù)學(xué)作升-種工具。T：所以你們不滿足于工具，就來(lái)到哲學(xué)里。好，我們請(qǐng)最后一位同學(xué)對(duì)康福德做一下介紹。第五部分：學(xué)生講解康福德的相關(guān)理念S13:他說(shuō)的天文學(xué)的模型，向的運(yùn)動(dòng)是

49、同心圈的運(yùn)動(dòng)，異的運(yùn)動(dòng)也受到何的運(yùn)動(dòng)的影響。這是兩個(gè)圈的相互作用。他們觀察到行星做的不是圓周運(yùn)動(dòng)，我們從地球上看恒星圈做的是圓周運(yùn)動(dòng)。所以他們認(rèn)為同的運(yùn)動(dòng)是比較完美的，異的運(yùn)動(dòng)是行星的運(yùn)動(dòng)。有關(guān)宇宙靈魂結(jié)構(gòu)的謝文郁直接用了康福德的翻譯?，F(xiàn)在學(xué)者比較認(rèn)同的是，向和異是要通過(guò)通種論來(lái)解釋的。存在、同、一是通種論中三個(gè)最重要的種。事物有存在這個(gè)種，它與自然相同，就是有同，與他物相異，就是有異。宇宙靈魂體現(xiàn)出一種理智，在理智去認(rèn)識(shí)宇宙時(shí)，需要區(qū)分出同、異，這就構(gòu)成宇宙。人類靈魂是宇宙靈魂的一些碎片，所以人類靈魂中也存在向異。造物者把剩下的材料再一次攪拌，造成人類靈魂，所以是一種殘余。人的理性與宇宙靈魂的相似之處在于也可以認(rèn)