數(shù)列求和專題

1、中高考培優(yōu)專注品牌*教育五環(huán)教學(xué)案日期：授課人：學(xué)生：科目：數(shù)學(xué)今日格言：柏拉圖說：數(shù)學(xué)是一切知識(shí)中的最高形式”課題數(shù)列求和專題教學(xué)目標(biāo)局考對本節(jié)知識(shí)主要以解答題的形式考查以下兩個(gè)問題：1.以遞推公式或圖、表形式給出條件，求通項(xiàng)公式，考查學(xué)生用等差、等比數(shù)列知識(shí)分析問題和探究創(chuàng)新的能力，屬中檔題2通過分組、錯(cuò)位相減等轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的求和問題，考查等差、等比數(shù)列求和公式及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，屬中檔題.知識(shí)占小、及重難占小、梳理1.數(shù)列求和的方法技巧(1)分組轉(zhuǎn)化法有些數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將數(shù)列通項(xiàng)拆開或變形，可轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列或常見的數(shù)列，即先分別求和，然后再

2、合并.(2)錯(cuò)位相減法這是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列an-n的前n項(xiàng)和，其中an,bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.(3)倒序相加法這是在推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，也就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列(反序)，當(dāng)它與原數(shù)列相加時(shí)若有公式可提，并且剩余項(xiàng)的和易于求得，則這樣的數(shù)列可用倒序相加法求和.(4)裂項(xiàng)相消法利用通項(xiàng)變形，將通項(xiàng)分裂成兩項(xiàng)或n項(xiàng)的差，通過相加過程中的相互抵消，最后只剩下有限項(xiàng)的和-這種11A11A方法，適用于求通項(xiàng)為的數(shù)列的前n項(xiàng)和，其中an若為等差數(shù)列，則一Jr.3nSn+13n3n+1d®3n+1J常見的拆項(xiàng)公式：一八二.：

3、12n +111二一（2n-12n+122n-1喬治二k（戶腐考點(diǎn)一分組轉(zhuǎn)化求和法【例1】等比數(shù)列an中，ai，a2,a3分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且a2,a3中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列.第列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求數(shù)列(an)的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列bn滿足：bn=an+(-1月-an,求數(shù)列5的前n項(xiàng)和Sn.抹兗卅汁在處理一般數(shù)列求和時(shí)，一定要注意使用轉(zhuǎn)化思想把一般的數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列進(jìn)行求和，在求和時(shí)要分析清楚哪些項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，哪些項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，清晰正確地求解-在利用分組求和法求和時(shí)，由于數(shù)列的各項(xiàng)是正負(fù)交替的，所以

4、一般需要對項(xiàng)數(shù)n進(jìn)行討論，最后再驗(yàn)證是否可以合并考為一個(gè)公式.占八教育的本質(zhì)意味著：一棵樹搖動(dòng)另一棵樹，一朵云推動(dòng)另一朵云，一個(gè)靈魂喚醒另一個(gè)靈魂!6唾：比l二設(shè)數(shù)列an滿足ai=2,a2+a4=8，且對任意nN，函數(shù)f(x)=(anan+i+an+2)x+an+icosxan+2sinx滿足f，£尸(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；若bn=2an+舟)求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.考點(diǎn)二錯(cuò)位相減求和法【例2】設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且S4=4s2,a2n=2an+1.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列bn滿足學(xué)+號(hào)+¥=1-2j,nN，求bn的前n項(xiàng)和Tn.探究提記錯(cuò)

5、位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和是一類重要方法-在應(yīng)用這種方法時(shí)，一定要抓住數(shù)列的特征，即數(shù)列的項(xiàng)可以看作是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)相乘所得數(shù)列的求和問題.變式訓(xùn)練乙設(shè)數(shù)列an滿足ai=2,an+1an=3"(1)求數(shù)列an)的通項(xiàng)公式；令bn=nan»求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.考點(diǎn)三裂項(xiàng)相消求和法n*【例3設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,滿足4Sn=an+i-4n-1,nN且a2,as,ai4構(gòu)成等比數(shù)歹ij.證明：a2=.4ai+5；求數(shù)列(an)的通項(xiàng)公式：證明：對一切正整數(shù)上二+一ai32a2a3anan+i/anan”探究捋T數(shù)列求和的方法：(1)一般

6、地，數(shù)列求和應(yīng)從通項(xiàng)人手，若無通項(xiàng)，就先求通項(xiàng)，然后通過對通項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為與特殊數(shù)列有關(guān)或具備適用某種特殊方法的形式，從而選擇合適的方法求和得解.(2)已知數(shù)列前n項(xiàng)和Sn或者前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)公式an的關(guān)系式，求通項(xiàng)通常利用an=F(n=°已知數(shù)列遞推式求Sn一Sn-1(n>2)通項(xiàng)，主要掌握“先猜后證法”“化歸法”“累加(乘)法”等.變式訓(xùn)找、已知X,；x,；3(x>0)成等差數(shù)列.又?jǐn)?shù)列an(an>o)中，a仁3,此數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,對中高考培優(yōu)專注品牌大于1的正整數(shù)n都有Sn=f(Sn-l).(1)求數(shù)列an的第n+1項(xiàng);11若bn是，的等比中項(xiàng)，且丁彷

7、bn)的前n項(xiàng)和，求Tn.3n+13n:規(guī)律總結(jié)1.數(shù)列綜合問題一般先求數(shù)列的通項(xiàng)公式，這是做好該類題型的關(guān)鍵-若是等差數(shù)列或等比數(shù)列，則直接運(yùn)用公式求解，否則常用下列方法求解：Sin=1(1) 3n=廠|Sn-SnTn)2j(2)遞推關(guān)系形如an+ian=f(n)，常用累加法求通項(xiàng).(3)遞推關(guān)系形如加二f(n),常用累乘法求通項(xiàng).(4)遞推關(guān)系形如“an+1=pan+q(p、q是常數(shù)，目p羊1,q羊0)”的數(shù)列求通項(xiàng)，此類通項(xiàng)問題，常用待定系數(shù)法-可設(shè)an+1+ZTp(an+皿經(jīng)過比較，求得人則數(shù)列an+：是一個(gè)等比數(shù)列.(5)遞推關(guān)系形如°an+i=pan+qn(q,p為常數(shù)，

8、且pz1,q羊0)”的數(shù)列求通項(xiàng)，此類型可以將關(guān)系式兩邊同除以qn轉(zhuǎn)化為類型(4)，或同除以pn轉(zhuǎn)為用迭加法求解.2 .數(shù)列求和中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型：(1)錯(cuò)位相減法求和時(shí)將問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的求和問題求解.(2)并項(xiàng)求和時(shí)，將問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和.(3)分組求和時(shí)，將問題轉(zhuǎn)化為能用公式法或錯(cuò)位相減法或裂項(xiàng)相消法或并項(xiàng)法求和的幾個(gè)數(shù)列的和求解.提醒：運(yùn)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，相減后，要注意右邊的n+1項(xiàng)中的前n項(xiàng)，哪些項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，以及兩邊需除以代數(shù)式時(shí)注意要討論代數(shù)式是否為零.3 .數(shù)列應(yīng)用題主要考查應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析和解析問題的能力-其中，建立數(shù)列模型是解決這類問題的核心，在試題中

9、主要有：一是，構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列模型，然后用相應(yīng)的通項(xiàng)公式與求和公式求解；二是，通過歸納得到結(jié)論，再用數(shù)列知識(shí)求解押題精練1. 在一個(gè)數(shù)列中，如果？neU，都有aan+ian+2=k(k為常數(shù))，那么稱這個(gè)數(shù)列為等積數(shù)列，稱k為這個(gè)數(shù)歹!的公積.已知數(shù)列aj是等積數(shù)列，且&二1，a2=2»公積為8，貝ua+a3+-+a12=.2. 秋末冬初，流感盛行，特別是甲型H1N1流感.某醫(yī)院近30天每天入院治療甲流的人數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列an,已知7=1,a2=2，且an+2-an=一幾門6N),則該醫(yī)院30天入院治療甲流的人數(shù)為3. 已知公差大于零的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn,且滿足：

10、a2a4=65,ai+as=18.(1)若1viv21,ai,a,a2i是某等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)，求i的值；設(shè)bn二一是否存在一個(gè)最小的常數(shù)m使得B+b2+bnvm對于任意的正/n+1on教育的本質(zhì)意味著：一棵樹搖動(dòng)另一棵樹，一朵云推動(dòng)另一朵云，一個(gè)靈魂喚醒另一個(gè)靈魂!12、填空題11111 .已知數(shù)列&，彳4,5&,了代，則其前n項(xiàng)和Sn二2 .在等差數(shù)列an中，ai=2013，其前門項(xiàng)和為5若轡一黑二2，則$2。13的值等于3 .對于數(shù)列an,ai=4,an+i=f(an),n=1,2，貝ua2oi3=.X12345f(x)543124 .設(shè)an是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)

11、列，bn是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，記Mn=啊+受+abn,則數(shù)列Mn)中不超過2013的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為.5 .在等差數(shù)列an中，其前n項(xiàng)和是Sn,若“5>0,Si6<0，則在S,S，一中最大的是.aia2ai511116.數(shù)列an滿足ai=1,且對任意的m,nN都有am+n=am+an+mn,則+=aia2a332012nAn為奇數(shù))7. 已知函數(shù)f(n)_2且an=f(n)+f(n+1)，貝vai+a2+a3+32012=.-n(n為偶數(shù)8.數(shù)列an中，已知對任意nN,afa2'an=3n-、貝Vai+a；+a3+.1思9.已知數(shù)列an滿足幺隹3an+i+an=4(n

12、>1)且ai=9,其前n項(xiàng)之和為Sn,則滿足不等式|Sn-n一6|<一的最小拓=整數(shù)n是.展二、解答題10.已知等差數(shù)列an滿足：a5=9,a2+ae=14.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2電bn=an+qan(q>0)，求數(shù)列bn)的前n項(xiàng)和Sn.11111 .將函數(shù)f(x)=sin4XSinjx+2n)-2(x+3n在區(qū)間(0,)內(nèi)的全部極值點(diǎn)按從小到大的順序排成數(shù)列an(nN).(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；設(shè)bn=2an，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn的表達(dá)式3*12 .已知首項(xiàng)為2的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn(neN)，且一2&,S3,4s4成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列a