切線長定理及應(yīng)用

1、切線長定理切線長定理如圖，紙上有一如圖，紙上有一 O ，PA為為 O的一條的一條切線，沿著直線切線，沿著直線PO對折，設(shè)圓上與點(diǎn)對折，設(shè)圓上與點(diǎn)A重合的點(diǎn)為重合的點(diǎn)為B。1.OB是是 O的一條半徑嗎？的一條半徑嗎？2.PB是是 O的切線嗎？的切線嗎？3.PA、PB有何關(guān)系？有何關(guān)系？4.APO和和BPO有何關(guān)系？有何關(guān)系？數(shù)學(xué)探究數(shù)學(xué)探究PAOB問題：問題：經(jīng)過圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線經(jīng)過圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長叫做段的長叫做切線長。切線長。數(shù)學(xué)探究數(shù)學(xué)探究OBPA切線長和切線的區(qū)別和聯(lián)系切線長和切線的區(qū)別和聯(lián)系: :已知：已知： 求證：求證：如圖，如圖，P

2、P為為 O O外一點(diǎn)，外一點(diǎn)，PAPA、PBPB為為 O O的切線，的切線，A A、B B為切點(diǎn)，連結(jié)為切點(diǎn)，連結(jié)POPOBPOAPOPBPA,切線長定理切線長定理 從從圓外一點(diǎn)可以引圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，圓的兩條切線，它們的切線長相它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩心的連線平分兩條切線的夾角。條切線的夾角。OBPA一、判斷一、判斷（1 1）過任意一點(diǎn)總可以作圓的兩條切線（）過任意一點(diǎn)總可以作圓的兩條切線（ ）（2 2）從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的長相等。）從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的長相等。練習(xí)練習(xí)(1)(1)如圖如圖PAPA、PBPB切圓于切圓于A A、

3、B B兩點(diǎn)，兩點(diǎn)， 連結(jié)連結(jié)POPO，則，則 度。度。50APBAPOPBOA二、填空二、填空25（3）如圖，）如圖，PA、PB、DE分別切分別切 O于于A、B、C，DE分別交分別交PA，PB于于D、E，已知，已知P到到 O的的切線長為切線長為8CM，則，則 PDE的周長為（的周長為（ ）A AA 16cmD 8cmC 12cmB 14cmDCBEA AP例例2、如圖，過半徑為、如圖，過半徑為6cm的的 O外一點(diǎn)外一點(diǎn)P作圓作圓的切線的切線PA、PB，連結(jié)，連結(jié)PO交交 O于于F，過，過F作作 O切線分別交切線分別交PA、PB于于D、E，如果，如果PO10cm， 求求PED的周長。的周長。FO

4、EDPBA數(shù)學(xué)探究數(shù)學(xué)探究OBPA思考：思考：連結(jié)連結(jié)AB，則，則AB與與PO有怎樣的位置關(guān)系？有怎樣的位置關(guān)系？ 為什么？為什么？你還能得出什么結(jié)論？你還能得出什么結(jié)論？E E已知：如圖已知：如圖PAPA、PBPB是是 O O的兩的兩條切線，條切線，A A、B B為切點(diǎn)。直線為切點(diǎn)。直線OPOP交交 O O于于D D、E E，交，交ABAB于于C C。OPABCDE（1 1）圖中互相垂直的關(guān)系）圖中互相垂直的關(guān)系 有有 對，分別是對，分別是（2 2）圖中的直角三角形有）圖中的直角三角形有 個，分別是個，分別是等腰三角形有等腰三角形有 個，分別是個，分別是（3 3）圖中全等三角形）圖中全等三角

5、形 對，分別是對，分別是（4 4）如果半徑為）如果半徑為3cm3cm，PO=6cmPO=6cm，則點(diǎn)，則點(diǎn)P P到到 O O的切線長的切線長為為 cmcm，兩切線的夾角等于，兩切線的夾角等于 度度3ABOPPBOBPAOA,6233360OPA AB BCDE（5 5）如果）如果PA=4cmPA=4cm，PD=2cmPD=2cm，試求半徑試求半徑OAOA的長。的長。x x222OPOAPA即：解得： x=22224xx3cm半徑OA的長為3cm例例1、如圖，、如圖，PA、PB是是 O的切線，的切線，A、B為為切點(diǎn)，切點(diǎn)，OAB30（1）求）求APB的度數(shù)；的度數(shù)；（2）當(dāng)）當(dāng)OA3時，求時，求

6、AP的長的長 PBAO隨堂訓(xùn)練隨堂訓(xùn)練(2)觀察觀察OP與與BC的位置關(guān)系，并給予證明。的位置關(guān)系，并給予證明。(1)若若OA=3cm, APB=60，則，則PA=_.PABCOM如圖，如圖，AC為為 O的直徑，的直徑，PA、PB分別切分別切 O于點(diǎn)于點(diǎn)A、B，OP交交 O于點(diǎn)于點(diǎn)M，連結(jié)，連結(jié)BC。試一試：已知：如圖，試一試：已知：如圖，P為為 O外一點(diǎn)，外一點(diǎn)，PA，PB為為 O的切線，的切線，A和和B是切點(diǎn)，是切點(diǎn)，BC是直徑。是直徑。C50 ，求求APB的度數(shù)的度數(shù)求證：求證：ACOP。 ABOCPAOBC試一試：試一試：如圖如圖1，一個圓球放置在，一個圓球放置在V形架中。圖形架中。圖

7、2是它的平面示意圖，是它的平面示意圖，CA和和CB都是都是 O的切線，的切線，切點(diǎn)分別是切點(diǎn)分別是A、B。如果。如果 O的半徑為的半徑為 cm，且且AB=6cm，求，求ACB。 32思考：當(dāng)切點(diǎn)思考：當(dāng)切點(diǎn)F在弧在弧AB上運(yùn)動時，問上運(yùn)動時，問PED的周長、的周長、DOE的度數(shù)是否發(fā)生變化，請說的度數(shù)是否發(fā)生變化，請說明理由。明理由。FOEDPBA（2）如圖，如圖， ABC的內(nèi)切圓分別和的內(nèi)切圓分別和BC，AC，AB切于切于D，E，F(xiàn)；如果；如果AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,則則BC= cm,AC= AB= 116cm9cmBDAC CFE274 4例例3、 已知四邊形已知四邊形A

8、BCD的邊的邊AB、BC、CD、DA分別與分別與 O相切于相切于P、Q、M、N，求證：求證：AB+CD=AD+BC。 DABCOMNPQID三角形的內(nèi)切圓：三角形的內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓內(nèi)切圓三角形的內(nèi)心：三角形的內(nèi)心：三角形的內(nèi)切圓的圓心叫三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的做三角形的內(nèi)心內(nèi)心三角形的三角形的內(nèi)心內(nèi)心是三角形三是三角形三條條角平分線角平分線的交點(diǎn)，它到的交點(diǎn)，它到三角形三角形三邊三邊的距離相等。的距離相等。數(shù)學(xué)探究數(shù)學(xué)探究COBADEFABDLMNPO結(jié)論：圓的外切四邊形的兩組對邊和相等。結(jié)論：圓的外切四邊形的兩組對邊和

9、相等。已知：四邊形已知：四邊形ABCDABCD的邊的邊 ABAB，BCBC，CDCD，DADA和圓和圓O O分別相切于分別相切于L L，M M，N N，P P。探索圓外切四邊形。探索圓外切四邊形邊的關(guān)系。邊的關(guān)系。C（1 1）找出圖中所有相等的線段）找出圖中所有相等的線段（2 2）填空：）填空：AB+CD AD+BCAB+CD AD+BC（,=)= =DN=DP，AP=AL，BL=BM，CN=CM比較圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：比較圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓的內(nèi)接四邊形：角的關(guān)系圓的內(nèi)接四邊形：角的關(guān)系圓的外切四邊形：邊的關(guān)系圓的外切四邊形：邊的關(guān)系 練習(xí)四練習(xí)四 已知：已知：ABCABC是是OO外切

10、三角形，切點(diǎn)外切三角形，切點(diǎn)為為D D，E E，F(xiàn) F。若。若BCBC14 cm 14 cm ，ACAC9cm9cm，ABAB13cm13cm。求。求AFAF，BDBD，CECE。 ABCDEFxxyyOzz解解: :設(shè)設(shè)AF=Xcm,BD=Ycm,CE=Zcm則則AE=AF=Xcm,DC=BD=Ycm,AE=EC=Zcm依題意得方程組依題意得方程組x+y=13y+z=14x+z=9解得解得: :Z=5。、的長分別是、cmcmcmCEBDAF594X+y+z=18x+y=13已知已知:如圖如圖, O是是RtABC的內(nèi)切圓的內(nèi)切圓,C是直角是直角,三邊長分別是三邊長分別是a,b,c.求求 O的半

11、徑的半徑r. ABCODEF.2cbar（1 1）RtRt的三邊長與其內(nèi)切圓半徑間的關(guān)系的三邊長與其內(nèi)切圓半徑間的關(guān)系(2)已知已知:如圖如圖,ABC的面積為的面積為S,三邊長分別為三邊長分別為a,b,c.求內(nèi)切圓求內(nèi)切圓 O的半徑的半徑r.ABCOODEF.2cbaSr.21cbarS1.1.邊長為邊長為3 3、4 4、5 5的三角形的內(nèi)切圓的半徑為的三角形的內(nèi)切圓的半徑為2.2. 邊長為邊長為5 5、5 5、6 6的三角形的內(nèi)切圓的半徑為的三角形的內(nèi)切圓的半徑為3.3. 已知已知:ABC的面積的面積S=4cm,周長等于周長等于 10cm.求內(nèi)切圓求內(nèi)切圓 O的半徑的半徑r.例：例：如圖，如

12、圖， ABC的內(nèi)切圓的內(nèi)切圓 O與與BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)分別相切于點(diǎn)D、E、F，且，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求，求AF、BD、CE的長。的長。x13xx13x9x9x例題選講例題選講ADCBOFE1、如圖，、如圖，ABC中中, ABC=50，ACB=75 ,點(diǎn)點(diǎn)O 是是ABC的內(nèi)心，求的內(nèi)心，求 BOC的度數(shù)。的度數(shù)。AOCB隨堂訓(xùn)練隨堂訓(xùn)練變式：變式：ABC中中, A=40，點(diǎn)，點(diǎn)O是是ABC的內(nèi)的內(nèi)心，求心，求 BOC的度數(shù)。的度數(shù)。21 BOC= 90+ A知識拓展知識拓展拓展一：拓展一：直角三角形的外接圓與內(nèi)切圓直角三角形的外接圓與內(nèi)切圓CBACOBA1

13、.直角三角形外接圓的圓心直角三角形外接圓的圓心(外心外心)在在_，半徑為半徑為_.2.直角三角形內(nèi)切圓的圓心直角三角形內(nèi)切圓的圓心(內(nèi)心內(nèi)心)在在_，半徑半徑r=_.abc斜邊中點(diǎn)斜邊中點(diǎn)斜邊的一半斜邊的一半三角形內(nèi)部三角形內(nèi)部a+b-c2知識拓展知識拓展3.已知：如圖已知：如圖,PA、PB是是 O的切線，切點(diǎn)分別是的切線，切點(diǎn)分別是A、B，Q為為 O上一點(diǎn)，過上一點(diǎn)，過Q點(diǎn)作點(diǎn)作 O的切線，的切線，交交PA、PB于于E、F點(diǎn)，已知點(diǎn)，已知PA=12cm，P=70,求：求：PEF的周長和的周長和EOF的大小。的大小。EAQPFBO知識拓展知識拓展知識小結(jié)知識小結(jié) 直角三角形的外接圓與內(nèi)切圓直角

14、三角形的外接圓與內(nèi)切圓CBACOBA1.直角三角形外接圓的圓心直角三角形外接圓的圓心(外心外心)在在_，半徑為半徑為_.2.直角三角形內(nèi)切圓的圓心直角三角形內(nèi)切圓的圓心(內(nèi)心內(nèi)心)在在_，半徑半徑r=_.abc斜邊中點(diǎn)斜邊中點(diǎn)斜邊的一半斜邊的一半三角形內(nèi)部三角形內(nèi)部a+b-c2課前訓(xùn)練課前訓(xùn)練1、已知，如圖，、已知，如圖，PA、PB是是 O的兩條切線，的兩條切線，A、B為切點(diǎn)為切點(diǎn).直線直線 OP 交交 O 于點(diǎn)于點(diǎn) D、E，交，交 AB 于于 C.（1）寫出圖中所有的垂直關(guān)系；）寫出圖中所有的垂直關(guān)系；（2）如果）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半徑求半徑 OA的長的

15、長.AOCDPBE知識拓展知識拓展2.已知：兩個同心圓已知：兩個同心圓PA、PB是大圓的兩條切線，是大圓的兩條切線，PC、PD是小圓的兩條切線，是小圓的兩條切線，A、B、C、D為為切點(diǎn)。求證：切點(diǎn)。求證：AC=BDPABOCD試一試：試一試：如圖如圖ABC中，中，C90 ，AC6，BC8，三角形三邊與，三角形三邊與 O均相切，切點(diǎn)分別均相切，切點(diǎn)分別是是D、E、F，求，求 O的半徑。的半徑。 CFOEDBA1、如圖，一圓內(nèi)切于四邊形、如圖，一圓內(nèi)切于四邊形ABCD，且，且AB=16，CD=10，則四邊形的周長為，則四邊形的周長為( )（A）50 （B） 52 （C）54 （D） 56DABC鞏固練習(xí)：鞏固練習(xí)： 3、以正方形、以正方形ABCD的一邊的