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文檔簡介
1、線 性 代 數(shù) 綜 合練 習 題三一、填空題:000010000ababcdcd、 D=;解:把行列式按第一列展開解:把行列式按第一列展開00000000abbDa cdc abdcd第一個行列式按第三行展開,第二個行列式按第一行展開,a ba badcbcdcd2()adcb2、設A為四階方陣,且RA=2,那么*()R A;解:由于解:由于A為四階方陣,且秩為為四階方陣,且秩為2,所以,所以A的任何的任何3階子式為零,而階子式為零,而A的伴隨矩陣的伴隨矩陣 的元素為的元素為A的的3階子式,故階子式,故 為零矩陣,所以為零矩陣,所以 0。*()R A*A*A3、設向量組 的秩為2,那么t= ;
2、 3(1,3, ) t1(1, 2,3),2(1,1,1),解:解: 對下面矩陣施行初等行變換對下面矩陣施行初等行變換1 1 11 111 112 1 3 011 0113 10230 05Attt 由于123, 的秩為2,所以A的秩也為2,故5t 4、知n 階可逆陣A的恣意行和等于2,那么 的一個特征值為 ;212AA解:由于解:由于A的恣意行和為的恣意行和為2,所以,所以1112121222121111211nnnnnnaaaaaaaaa 即2為A的一個特征值,111Tx 為對應的特征向量,21(2)AAx212A xA x45xxx所以5為 的一個特征值 。 212AA5、設A,B均為n
3、階方陣,且2,4,AB 那么*1020AB。解:解:*22*1110022200nnAAA BBB11221332122 222nnn nnAB332n所以答案為二、選擇題 1. 設設 線性相關線性相關 12, 23,線性無關,那么正確的結論是線性無關123.,B 線性表示123.,C 可由答: 正確的結論為C.線性相關123.,A 線性表示12.,D 可由2、設222123122322fxxxx xtx x為正定二次型,那么 t 的取值范圍解:由于解:由于f為正定二次型,所以為正定二次型,所以二次型矩陣二次型矩陣A為正定矩陣,故為正定矩陣,故A的行列式大于零,即的行列式大于零,即222101
4、1001ttA ( )2a t t 2;(b)t2;(c)-2t2;(d)-2t2.解得-2tn時 ,必 有 AB =0;( )amnAB當時,必有0;mnAB(c)當時,必有0;mnAB(d)當時,必有=0.解:由于解:由于AB為為m階方陣,當階方陣,當 時,有時,有 mn0AB所以選(b).,nmR(AB) R(A)4、A為n階方陣,那么 必為 TA A 正交陣; (b) 對稱陣; (c) 可逆陣; (d) 正定陣。解:解:()TTTA AA A所以 為對稱矩陣。 TAA5、設n階方陣A,B,C滿足ABC=E,那么下面結論正確的選項是(a) ACB=E; (b) CBA=E; (c) BA
5、C=E; (d) BCA=E.解:由于解:由于ABC=E,所以,所以A可逆,可逆,且且A的逆矩陣為的逆矩陣為BC,因此有,因此有BCA=E,應選(d).解:由于解:由于A為正交矩陣,所以有為正交矩陣,所以有1,TTAAA AE即1,TAA2TTTAAA AA AA211.AA 應選(d). 6、知A為正交矩陣,那么 為A(a) 1 ; (b) -1; (c) 0 ; (d) 1 或 1。1. 設三階矩陣設三階矩陣22332,3AB23, , 其中 均為三維行向量.且18,2,AB求解解:222333222A B223312233三,計算下面各題:AB2、驗證1(2,0,0);23(0,1, 1
6、);(5,6,0)是 的一個基, 3R并將 用該基線性表示。(1,8,2)1231182 223AB 123, 112233kkk解:解: 由于由于 是三個三維向量,故只需證是三個三維向量,故只需證明它們線性無關即可,也就是由它們?yōu)榱袠嫵傻拿魉鼈兙€性無關即可,也就是由它們?yōu)榱袠嫵傻木仃嚲仃?A與單位矩陣與單位矩陣E等價,而等價,而 由它們線行表示,由它們線行表示,就是求方程組就是求方程組 的解的解 ,因此,因此對矩陣對矩陣123()(,)BA 205101680102B51221001680066100201020011施行初等行變換12322 所以 線性無關,123,即為 的一個基,且 由
7、3R123,線性表示為3、四元非齊次線性方程組AX=b,且 R(A)=2,知123,是它的三個解向量,求其通解。其中122313232450,100611解:解:由于非齊次線性方程AX=b,為四元,且 R(A)=2,所以對應的齊次線性方程組的根底解系含有兩個解向量,123,為AX=b的解,*1212121()23為AX=b的一個特解,113212111 5 ,15 0 0TT 為方程組AX=0的兩個解,且是線性無關的,所以可以作為根底解系,因此非齊次線性方程組的通解為*1122X (其中 為恣意實數(shù)) 12, 4、設二階方陣A滿足11001PAP求An。解:由知得解:由知得111010010
8、( 1)nnAPPAPP5、設向量組A:12(1,0,2,1),(1,2,0,1)34(2,1,3,0),(2,5,1,4)5(1, 1,3, 1),求:秩12345,及一個極大無關組(寫出計算過程)。11221021512031311041A11221021510215100222解:由解:由 為列構成矩陣為列構成矩陣A,并對,并對其施行初等行變換,其施行初等行變換,12345, 11221021510000000111所以,秩 為3,12345, 11221021510011100000123,為一個極大無關組。四、設線性方程組123123412343423213224xxxxxxxxxx
9、x 判別其相容性,假設相容,求出其一切解。解:對增廣矩陣解:對增廣矩陣B=(A b)施行初等行變換施行初等行變換134023211131224B13402 0711170 10142 1013402 0711170111110131 00480011111013110011 01111 010310012000120可知R(A)=R(B)=3,所以方程組是相容的,其同解方程組為1424341312xxxxxx取 為自在未知量,得方程組的一切解為4x12341312xcxcxcxc(其中 c 為恣意實數(shù))。五、設方陣204060402A問:A能否可以對角化,假設 可以,求出一個正交陣,使其化為對
10、角陣。解:由于解:由于A是一個實對稱矩陣,所以必存在是一個實對稱矩陣,所以必存在一個正交矩陣一個正交矩陣P,使,使 即即A能對角化;能對角化;1P AP 解特征方程 得A的 特征值, 0AE1236,2 當 時,解方程組126(6 )0AE X即1234 04000004040 xxx 得根底解系的解向量為12010,101TT它們曾經正交,只需單位化取1122110 1 0 ,1 0 122TTpp當 時,解方程組 32 (2 )0AE X即123404008004040 xxx得根底解系的解向量為3101T 單位化得331110122Tp以323,ppp為列構成的矩陣P 既為所求的正交矩陣
11、,易證1662P AP其中1122112201000P六、設二次型222123232334fxxxx x用正交變換法將其化為規(guī)范形,并寫出所用的正交變換。解:二次型矩陣為解:二次型矩陣為200032023A解A的特征多項式2000320023AE即(1)(2)(5)0解得A的特征值為1231,2,5當 時,解方程組11123100002200220 xxx得根底解系1011T單位化得112011Tp 當 時,解方程組221230000(2 )01200210 xAE Xxx 得根底解系221 0 0Tp當 時,解方程組351233000(5 )02200220 xAExx 得根底解系30 1 1T單位化得1320 1 1Tp 由 為列作正交矩陣123,ppp1122112201000P 易驗證1125P AP 所以二次型經正交變換X=PY 化為規(guī)范形22212325fyyy所用的正交變換為11
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