山東建筑大學(xué)概率論作業(yè)及答案PPT課件

1、12. 同時擲3枚質(zhì)地均勻的硬幣，則至多有1枚硬幣正面向上的概率為_3. 一、填空題 1. 常數(shù) 時， （其中 ）可以作為離散型隨機(jī)變量的概率分布. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)作業(yè)4（2.12.2）_b (1)kbpk k1,2,.k )2( PX )2( XP，則121594. 0312e第1頁/共53頁2二、選擇題 1. 設(shè)隨機(jī)變量 （ 是任意實(shí)數(shù)）(B) XX101ppp123450.10.30.30.20.2xxxxx33!neP Xnn1,2,.n 33!neP Xnn0,1,2,.n 是離散型的，則( )可以成為的分布律 (C) (D) (A)D2. 設(shè) 與 分別為隨機(jī)變量 與 的分布函數(shù)，

2、為使)(1xF)(2xF1X2X12( )( )( )F xaF xbF x52,53ba32,32ba23,21ba23,21ba是某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)，在下列給定的各組數(shù)值中應(yīng)取 ； （B）（C）； （D）（A）（A）第2頁/共53頁3三、計(jì)算題1. 進(jìn)行某種試驗(yàn)，已知試驗(yàn)成功的概率為3/4，失敗的概率為1/4，以 表示首次成功所需試驗(yàn)的次數(shù)，試寫出 的分布律，并計(jì)算出 取偶數(shù)的概率.XXX113()( ), 1,2,44kP XkkX1(2 )mP Xm取偶數(shù)的概率為解21113( )44mmX 服從幾何分布1314145116第3頁/共53頁42將一顆骰子拋擲兩次，以 表示兩次所得點(diǎn)

3、數(shù)之和，以1X2X1X2X表示兩次中得到的較小的點(diǎn)數(shù)，試分別求 和的分布律.123456789101112123456543213636363636363636363636X21234561197531363636363636X解第4頁/共53頁53.一批零件中有一批零件中有9個合格品與個合格品與3個廢品。安裝機(jī)器時從中任取個廢品。安裝機(jī)器時從中任取1個。個。如果每次取出的廢品不再放回去，求在取得合格品以前已取如果每次取出的廢品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的廢品數(shù)的概率分布和分布函數(shù)，并作出分布函數(shù)的圖像。出的廢品數(shù)的概率分布和分布函數(shù)，并作出分布函數(shù)的圖像。 解設(shè)在取得合格品以前已取

4、出的廢品數(shù)為 X0 1 2 3、 、43)0( XP44911941)1( XP220910911241)2( XP220110110111241)3( XPX)(ixP104344922013222090,0,3,01,421( )()12,2221923,2201,3.xxF xP Xxxxxxyo1231第5頁/共53頁64. 20個產(chǎn)品中有個產(chǎn)品中有4個次品，個次品，（1）不放回抽樣，抽取）不放回抽樣，抽取6個產(chǎn)品，求樣品中次品數(shù)的概率分布；個產(chǎn)品，求樣品中次品數(shù)的概率分布；（2）放回抽樣，抽?。┓呕爻闃?，抽取6個產(chǎn)品，求樣品中次品數(shù)的概率分布。個產(chǎn)品，求樣品中次品數(shù)的概率分布。解(1

5、)不放回抽樣，設(shè)隨機(jī)變量 X 表示樣品中次品數(shù)0 1 2 3 4X 所有可能取的值為 、 、6416620()iiC CP XiCX)(ixP102066. 04508. 00578.0322817. 040031. 0(2)放回抽樣，設(shè)隨機(jī)變量 Y 表示樣品中次品數(shù)0 16Y所有可能取的值為 、 、 、kkkCkYP 66)54()51()(YP102621. 03932. 00819. 0322458. 040154. 0560015. 00001. 00 1 2 3 4i 、 、0 16k 、 、 、第6頁/共53頁75. 假設(shè)一廠家生產(chǎn)的每臺儀器，以概率0.70可以直接出廠；以概率0.

6、30需進(jìn)一步調(diào)試后以概率0.80可以出廠，以概率0.20定為不合格不能出廠?，F(xiàn)該廠新生產(chǎn)了 （ ）臺儀器（假設(shè)各臺儀器的生產(chǎn)過程相互獨(dú)立），求 (1) 全部能出廠的概率 ； (2)其中恰好有兩件不能出廠的概率 ； (3)其中至少有兩件不能出廠的概率 . n2n()0.94nP Xn222(2)0.940.06nnP XnC(2)P Xn解出廠率0.70.3 0.80.94p 出廠產(chǎn)品數(shù)( , )XB n p (3)至少有兩件不能出廠的概率.(1) 全部能出廠的概率(2)恰好有兩件不能出廠的概率 110.940.060.94nnn 1()(1)P XnP Xn 第7頁/共53頁86. 設(shè)離散型隨

7、機(jī)變量X31317 . 0114 . 010)(xxxxxFX的分布函數(shù)為求的分布列。XP0.40.30.3113第8頁/共53頁9Xcccc167,85,43,21c(1|0)P XXX7已知隨機(jī)變量 只能取-1，0，1，2四個值，相應(yīng)概率依次為1）確定常數(shù)2）計(jì)算3）求的分布函數(shù)1167854321cccc3716cX)(ixP0137/837/1237/72137/10(1,0)(0)P XXP X825 xFX1 x01x10 x2x037/837/20121 x37/30第9頁/共53頁10的密度函數(shù)為概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)作業(yè)5（2.3） X01( )2120 xxf xxx其它1.5P

8、 X 1.5P X X 其它021112xxkxfk一、填空題1.設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)，則 ；2. 設(shè)隨機(jī)變量則_.875. 08702第10頁/共53頁11以 表示對 的三次獨(dú)立重復(fù)觀察中事件X其他10 02)(xxxfYX21X 2YP3. 設(shè)隨機(jī)變量 的概率密度為出現(xiàn)的次數(shù)，則 .64912011224P Xxdx1(3, )4YB第11頁/共53頁12二. 函數(shù)211x 可否是連續(xù)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，如果X的可能值充滿區(qū)間： ,（2） 0 , （1）解（1）10)( F所以 函數(shù)211x 不可能是連續(xù)隨機(jī)變量X的分布函數(shù) ,x（2）0)( F1)0( F且函數(shù)單調(diào)遞增所以 函數(shù)可以是

9、連續(xù)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)00 111)(2xxxxF第12頁/共53頁131. 隨機(jī)變量X的概率密度為 10112xxxAxf當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)求：（1）系數(shù)A ；（2）隨機(jī)變量 落在區(qū)間X1 1(, )2 2內(nèi)的概率；（3）隨機(jī)變量 的分布函數(shù)。X解 dxxf)(1 1A（1） 2121XP 2121211dxx（2）31 xdxxfxF)()(1 x011 x xdxx1211xarcsin121 1 x1三、計(jì)算題（3）第13頁/共53頁14解解 dxxf)( dxeAx121 A2. 2. （拉普拉斯分布）設(shè)隨機(jī)變量X X的概率密度為 xAexfx,)(求（1）系數(shù) A；（2）X 落在區(qū)間(0,

10、1)(0,1)內(nèi)的概率；（3） X 的分布函數(shù)。02dxeAx02xAeA2 10XP1021dxex1021xe)1 (211e316. 0 xF xxdxe21 xxdxe21xe21（1）（2）（3）0 x0 x001122xxxe dxe dxxe211第14頁/共53頁15X111000)(2xxAxxxF(0.30.7)PX( )f x3. 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為:(1) 求系數(shù) A;(3) 概率密度函數(shù)1A4 . 0(2)其它1002xx4) 四次獨(dú)立試驗(yàn)中有三次恰好在區(qū)間 內(nèi)取值的概率.(0.3,0.7) 四次獨(dú)立試驗(yàn)中，X 恰好在區(qū)間 內(nèi)取值的次數(shù)(0.3,0.7)(4

11、,0.4)YB334(3)0.4 0.6P YC= 0.1536= 0.1536第15頁/共53頁164設(shè) , 求方程 有實(shí)根的概率. 0,6)X(22540 xXxX所求概率為)016204(2XXP) 14(XXP或) 1()4(XPXP21解第16頁/共53頁175. 某種元件的壽命 (以小時計(jì))的概率密度函數(shù) X( )f x .1000,1000, 0,10002xxx某儀器裝有3只這種元件，問儀器在使用的最初1500小時內(nèi)沒有一只元件損壞和只有一只元件損壞的概率各是多少？一個元件使用1500小時的概率為(1500)pP X215001000dxx32328(0)327P Y解儀器中3

12、只元件損壞的個數(shù)1(3, )3YB儀器在使用的最初1500小時內(nèi)沒有一只元件損壞的概率儀器在使用的最初1500小時內(nèi)只有一只元件損壞的概率123124(1)( )( )339P YC第17頁/共53頁18概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)作業(yè)6（2.42.5） X2 . 02 . 02 . 04 . 04321pXXY25X( )Xfx32YX YX xF13 XY yG一、填空題 1. 隨機(jī)變量的概率分布為則的概率分布為的概率密度為，若，則的密度函數(shù)為 的分布函數(shù)為，則的分布函數(shù)為 2. 隨機(jī)變量 4 . 02 . 02 . 02 . 03113PY3. 設(shè)12()33Xyf1()3yF第18頁/共53頁19

13、解 1. 設(shè)隨機(jī)變量 服從二項(xiàng)分布B（3，0.4 ），求X32XXY的概率分布：iiiCiXPX 336 . 04 . 0)( 的概率分布為的概率分布為3,2,1 ,0 iY)(jyP1072. 028. 032XXY二、計(jì)算題X)(ixP216. 0432. 0064.02288. 0013的概率分布第19頁/共53頁20求隨機(jī)變量 的分布律.0.20.70.1XX4243kpsinYX2已知隨機(jī)變量 的分布律為1/210.30.7Y第20頁/共53頁213. 設(shè)隨機(jī)變量 X的概率密度為 000122xxxxf當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)求隨機(jī)變量函數(shù) XYln 的概率密度。解解)(ln)()( yXPyYPy

14、FYyY 的的分分布布函函數(shù)數(shù)，隨隨機(jī)機(jī)變變量量對對于于任任意意的的實(shí)實(shí)數(shù)數(shù))(yeXP yedxxf0)(的的概概率率密密度度為為所所以以，隨隨機(jī)機(jī)變變量量函函數(shù)數(shù) YyyYeefyf )()( 122 yyeeRy 第21頁/共53頁224. 設(shè)隨機(jī)變量X服從0，2上的均勻分布，求：2XY 的概率密度函數(shù)。 解解)()()( 2yXPyYPyFYyY 的的分分布布函函數(shù)數(shù)，隨隨機(jī)機(jī)變變量量對對于于任任意意的的實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)的的概概率率密密度度為為所所以以，隨隨機(jī)機(jī)變變量量函函數(shù)數(shù) Y其它其它40041)( yyyfY440012100 yyydxy第22頁/共53頁235. 一批產(chǎn)品中有 a 件

15、合格品與 b 件次品，每次從這批產(chǎn)品中任取一件，取兩次，方式為：（1）放回抽樣；（2）不放回抽樣。設(shè)隨機(jī)變量X及Y寫出上述兩種情況下二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布.分別表示第一次及第二次取出的次品數(shù)，（1）放回抽樣 解解22)(baa 2)(baab 2)(baab 22)(bab ) 1)() 1( babaaa1100XY) 1)( babaab) 1)( babaab) 1)() 1( bababb（2）不放回抽樣 1100XY第23頁/共53頁2401230003/352/35106/3512/352/3521/356/353/350XY(, )X Y6. 盒子里裝有3只黑球、2只紅

16、球、2只白球，在其中任取4只球，以表示取到黑球的只數(shù)，以表示取到紅球的只數(shù)，求的聯(lián)合分布律.XY432247(,)ijijC C CP Xi YjC 0,1,2,3,i 0,1,2,j 24ij 解解第24頁/共53頁257. 設(shè)二維隨機(jī)變量（X, Y）在矩形域dycbxa ,上服從均勻分布，求（X, Y）的概率密度。解（X, Y）的概率密度 其其它它dycbxacdabyxf , 0)(1),(第25頁/共53頁26試求： (1)常數(shù) ；(2) ；(3) (1.5)P X 8. 設(shè)隨機(jī)變量 的聯(lián)合密度函數(shù)(, )X Y(6), 02, 24,0, kxyxyf x y其它.k(4)P XY(

17、 , )F x y(4) 分布函數(shù)解2402( , )(6)1f x y dydxdxkxy dy(1)18k (2)(1.5)P X 1.54021(6)8dxxy dy2732(3)(4)P XY22424021(6)8xdxxy dy23第26頁/共53頁27(4) ( , )F x y( , )xyf u v dvdu 02xy或002 24xy，021(6)8xyuv dvdu 222351114481616xyxxx yxy2 24xy，02 4xy，2 4xy，2021(6)8yuv dvdu 4021(6)8xuv dvdu 1251248yy23148xx第27頁/共53頁2

18、8概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)作業(yè)7（2.62.8） 1. 隨機(jī)地?cái)S一顆骰子兩次，設(shè)隨機(jī)變量隨機(jī)地?cái)S一顆骰子兩次，設(shè)隨機(jī)變量 X 表示第一次出現(xiàn)的點(diǎn)表示第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)數(shù), Y 表示兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的最大值，求表示兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的最大值，求(X, Y)的概率分布及的概率分布及Y的邊緣分布。的邊緣分布。YX1234561234561/360000000000000001/361/361/361/361/362/361/361/361/361/361/361/363/361/361/364/361/361/365/366/36解). 6 , 2 , 1,(,36,361),(jijijiijijYiXP Y12

19、3456P1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36第28頁/共53頁29試問 取何值時， ， 才相互獨(dú)立。12312XYYX619118131 ,XY2. 已知隨機(jī)向量（，）的聯(lián)合分布為31 3121 91 18113131 )91( 3191 92 91 經(jīng)檢驗(yàn) 時，X，Y獨(dú)立.92 91 第29頁/共53頁303. 設(shè) (X,Y）的分布函數(shù)為：)3arctan)(2arctan(),(yCxBAyxF （1）確定常數(shù)A, B, C；（2）求(X,Y）的概率密度；（3）求邊緣分布函數(shù)及邊緣概率密度. （4） X與Y是否獨(dú)立?解 （1） 1)2)(2(),( CBAF0)2

20、)(2arctan(),( CxBAxF0)3arctan)(2(),( yCBAyF 對任意的x與y，有,2,12 CBA)0( A第30頁/共53頁31)3arctan2)(2arctan2(1),(2yxyxF （2） ),(yxf22293421yx xFX),( xF)2arctan2(1x yFY),(yF )3arctan2(1y )(xfX xFX )4(22x )(yfY yFY )9(32y X與Y的邊緣密度函數(shù)為：X的邊緣分布：（3 ） Y的邊緣分布函數(shù)為：)()(),(yfxfyxfYX X與Y獨(dú)立 （4 ） 第31頁/共53頁32(, )X Y22, 1,0, cx

21、yxyf x y其它.cXYXY4. 設(shè)隨機(jī)變量 的聯(lián)合密度函數(shù)試求：(1) 常數(shù) ；(2) 與 的邊緣密度函數(shù)；(3) 與 是否相互獨(dú)立？xy2xy O11( , )f x y dydx解 （1） 211211xdxcx ydy214c dyyxfxfX),()(11x其它)1 (82142142122xxydyxx0（2） 第32頁/共53頁33(, )X Y22, 1,0, cx yxyf x y其它.cXYXY4. 設(shè)隨機(jī)變量 的聯(lián)合密度函數(shù)試求：(1) 常數(shù) ；(2) 與 的邊緣密度函數(shù)；(3) 與 是否相互獨(dú)立？xy2xy O11解 （2） dxyxfyfY),()(10 y其它2

22、5227421yydxxyy0( ,)( )()XYfx yfx fyX與Y不獨(dú)立 （3） 第33頁/共53頁34其它, 01,1),(22yxyxf)|(|xyfXY5. 設(shè)(X,Y)服從單位圓上的均勻分布，概率密度為，求 1|, 01|,12),()(2xxxdyyxfxfX (X,Y) 關(guān)于X的邊緣密度為 當(dāng)|x|1時,有)(),()|(|xfyxfxyfXXY 21)2(1x ,1212x 2211xyx 取其它值取其它值yxyxx, 011,121222即 當(dāng)|x|1時,有)|(|xyfXY解第34頁/共53頁3511 10 010yydxydxy 其它,010,xxdyx其它(,

23、)X Y1, |, 01,0, yxxf x y其它.|( |)X Yfx y|( | )Y Xfy x6. 設(shè)隨機(jī)變量 的聯(lián)合密度函數(shù)求條件密度函數(shù) ，( )( , )Xfxf x y dy解xyO12 ,010,xx其它( )( , )Yfyf x y dx1 101 010yyyy 其它第35頁/共53頁36求條件密度函數(shù) ，(, )X Y1, |, 01,0, yxxf x y其它.|( |)X Yfx y|( | )Y Xfy x6. 設(shè)隨機(jī)變量 的聯(lián)合密度函數(shù)( )Xfx解xyO112 ,010,xx其它( )Yfy1 101 010yyyy 其它當(dāng) 時，1|y|1, |1,1 |

24、( | )0, X Yyxyfx y其它.當(dāng) 時，10 x|1, |,( | )20, Y Xyxfy xx其它.第36頁/共53頁37求 的聯(lián)合密度函數(shù) 以及條件密度函數(shù)7. 設(shè)隨機(jī)變量 與 相互獨(dú)立，其密度函數(shù)分別為XY , 0,0, 0.xXexfxx , 0,0, 0.yYeyfyy(, )X Y),(yxf|( |)X Yfx y|(| )Y Xfy x和(), 0,0,0, xyexyf x y其它.解當(dāng) 時，0y|, 0( | )0, 0.xX Yexfx yx， 當(dāng) 時，0 x|, 0,( | )0, 0.yY Xeyfy xy第37頁/共53頁3801201/81/4011/

25、81/41/4(4) 的分布律.(3) 和 的分布律；1. 設(shè)隨機(jī)變量 的分布律為概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)作業(yè)8（2.9） (, )X YXY(1|0)P XY1YX),max(1YXZ 2min(, )ZX YWXY試求：(1) (2) 在 的條件下，的分布律；解(1)(1|0)P XY(1,0)(0)P XYP Y1438231YX(2) 在 的條件下， 的分布律；012|1122555X Y第38頁/共53頁3901201/81/4011/81/41/4(4) 的分布律.(3) 和 的分布律；1. 設(shè)隨機(jī)變量 的分布律為(, )X YXY(1|0)P XY1YX),max(1YXZ 2min(,

26、 )ZX YWXY試求：(1) (2) 在 的條件下，的分布律；解(3)1012152888Z2011122Z012313228888W(4)第39頁/共53頁40且相應(yīng)的概率依次為 ， ， ， ， 列出(X , Y)的概率分布表, 并 求出的分布律1(0,0), ( 1,1), ( 1, ), (2,0)31613112512XY2. (X , Y)只取下列數(shù)組中的值：3112500XY1 00310121610120YXZ P2 34 121310261125第40頁/共53頁41ijLL11L13L21L12L22L233. 電子儀器由六個相互獨(dú)立的部件)3 , 2 , 1; 2 , 1

27、( ji設(shè)各個部件的使用壽命ijX服從相同的指數(shù)分布 e求儀器使用壽命的概率密度。 組成，如圖，解各部件的使用壽命3 , 2 , 1 , 2 , 1 , jiXij的分布函數(shù) 0 , 0 0 ,1)(xxexFxij先求三個串聯(lián)組的壽命3 , 2 , 1 , iYi的分布函數(shù)) ,( max21iiiXXY iY的分布函數(shù) 0 , 0 0 )1()(2yyeyFyi第41頁/共53頁42再求儀器使用壽命Z 的分布函數(shù),),min(321YYYZ Z的分布函數(shù) 0 , 0 0 ,)1(1 1)(32zzezFzZ進(jìn)而 0 , 0 0 ,)2)(1(6)(23zzeeezfzzzZ第42頁/共53

28、頁43第二章自測題 X5 (1/2)(1,2,)kP XkAk( )f x , 010, axbx其它1/25/8P x a b 8081X210 xXx 一一、填空題1. 設(shè)離散型隨機(jī)變量分布律為 則A=_2. 已知隨機(jī)變量X的密度為,且,則_ 3. 一射手對同一目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行四次射擊，若至少命中一次的概率為 ，則該射手的命中率為_4. 若隨機(jī)變量在（1，6）上服從均勻分布，則方程有實(shí)根的概率是_ _511213254第43頁/共53頁44)(xf)(xF)()(xfxfa0()1( )aFaf x dx 01()( )2aFaf x dx)()(aFaF1)(2)(aFaF二、 選擇題1.

29、 設(shè)X的密度函數(shù)為，分布函數(shù)為，且那么對任意給定的都有 B） C） D） A）2. 下列函數(shù)中，可作為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)是 A）21( )1F xx xxFarctan121)()(xF1(1),020,0 xexx( )( )xF xf t dt( )1f t dt B） C） D） ，其中BB第44頁/共53頁45X( )F x( )f xXX( )()F xFx( )()F xFx ( )()f xfx( )()f xfx 3. 假設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，密度函數(shù)為若與有相同的分布函數(shù)，則下列各式中正確的是 ; B) C) ; D) A）CC第45頁/共53頁46三、 解答題1、從一批有10個合格品與3個次品的產(chǎn)品中一件一件地抽取產(chǎn)品，各種產(chǎn)品被抽到的可能性相同，求在二種情況下，直到取出合格品為止，所求抽取次數(shù)的分布率。（1）放回 （2）不放回)1310