第十八章極值和條件極值ppt課件

1、第十八章第十八章 極值與條件極值極值與條件極值第一節(jié)第一節(jié) 極值與最小二乘法極值與最小二乘法xyz一、一、 多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值 定義定義: 若函數(shù)若函數(shù)則稱函數(shù)在該點取得極大值(極小值).例如例如 :在點 (0,0) 有極小值;在點 (0,0) 有極大值;在點 (0,0) 無極值.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值, 使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.),(),(00yxfyxf),(),(00yxfyxf或2243yxz22zxyyxz ),(),(00yxyxfz在點的某鄰域內(nèi)有xyzxyz闡明闡明: 使偏導(dǎo)數(shù)都為使偏導(dǎo)數(shù)都為 0 的點稱為駐點的點稱為駐點 . 例如,定理定理1 (必要條件必要

2、條件) 函數(shù)偏導(dǎo)數(shù),證證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.0),(,0),(0000yxfyxfyx取得極值 ,取得極值取得極值 但駐點不一定是極值點.有駐點( 0, 0 ), 但在該點不取極值.且在該點取得極值 , 則有),(),(00yxyxfz在點存在),(),(00yxyxfz在點因在),(0yxfz 0 xx 故在),(0yxfz 0yy yxz 定理定理2 (充分條件充分條件)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且令若函數(shù)的在點),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx000000(,) ,(,) ,(,)xxxyyyAfxyBfxyCfx

3、y時, 具有極值那么: 1) 當(dāng)2) 當(dāng)3) 當(dāng)時, 沒有極值.時, 不能確定 , 需另行討論.20ACB 時取極小值;0A 時取極大值;0A20ACB20ACB二、最值應(yīng)用問題二、最值應(yīng)用問題函數(shù) f 在閉域上連續(xù)函數(shù) f 在閉域上可達(dá)到最值 最值可疑點 駐點邊界上的最值點特別特別, 當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在, 且只有一個極值點且只有一個極值點P 時時, )(Pf為極小 值)(Pf為最小 值( (大大) )( (大大) )根據(jù)第二節(jié) 條件極值與拉格朗日乘數(shù)法三、條件極值三、條件極值極值問題無條件極值:條 件 極 值 :條件極值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函數(shù)的無條件

4、極值問題對自變量只有定義域限制對自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如 ,轉(zhuǎn)化,0),(下在條件yx的極值求函數(shù)),(yxfz )(0),(xyyx 中解出從條件)(,(xxfz,0),(下在條件yx方法方法2 拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法.如方法 1 所述 ,則問題等價于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極值問題,極值點必滿足設(shè) 記.),(的極值求函數(shù)yxfz 0),(yx, )(xy)(,(xxfz例如例如,故 0ddddxyffxzyx,ddyxxy因0yxyxffyyxxff故有引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F 稱為拉格朗日( Lagrange )函數(shù).0 xxxfF0yyyfF0F利用拉格極值點必滿足

5、0 xxf0yyf0),(yx則極值點滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.),(),(yxyxfF例例1. 求求 滿足約束條件滿足約束條件的最大值。的最大值。8Vxyz2221, ,0 xyzx y z解：作拉格朗日函數(shù)：解：作拉格朗日函數(shù)：222( , , )8()L x y zxyzxyz令令820 xLyzx820yLxzy820zLxyz2221xyz13xyz即，穩(wěn)定點：即，穩(wěn)定點：111(,)333由實際問題知所求最大值必存在，而穩(wěn)定點又唯一，因此唯一的穩(wěn)定點就是最大值點。故球內(nèi)接長方體中以正方體的體積最大。例例2. 求在求在 約束條約束條件件( , , )f x y z

6、xyz1111, ,0 x y zxyzr下的極小值；下的極小值；并證明不等式：并證明不等式：131113()3, ,0 xyzx y zxyz解：作拉格朗日函數(shù)：解：作拉格朗日函數(shù)：111( , , )()L x y zxyzxyz令令20,xLyzx20,yLxzy20,zLxyz1111,xyzr3xyzr即，穩(wěn)定點：即，穩(wěn)定點：(3 ,3 ,3 )rrr下面判別穩(wěn)定點是極值點下面判別穩(wěn)定點是極值點記記1111( , , )F x y zxyzr那那么么2310zzrF (3r,3r,3r)z 故方程故方程11111111( , , )0 ()F x y zxyzrxyzr在穩(wěn)定點在穩(wěn)定

7、點 附近可唯一確定可微數(shù)附近可唯一確定可微數(shù)(3 ,3 ,3 )rrr( , )zz x y令令( , )( , , ( , )g x yf x y z x y現(xiàn)在用二元函數(shù)取極值的充分條件判別現(xiàn)在用二元函數(shù)取極值的充分條件判別是是 的極值點。的極值點。(3 ,3 )rr( , )g x y由約束條件得：由約束條件得：2222,zzzzxxyy 從而從而2gzyzyzxyyzxxx2gzxzxzxyxzyyy22322322,gzyzyzzyzyxxxxxx2222322gzzyzzzzzzyzx yyxxyyxxy 23232gxzyy故故 在在 點有點有( , )g x y(3 ,3 )r

8、r111221222270aaDraa1160ar. 因此因此 在在 取極小值取極小值 , ( , )g x y(3 ,3 )rr這等價于這等價于 在在 取極小值取極小值 ( , , )f x y z(3 ,3 ,3 )rrr3(3 ,3 ,3 )(3 )frrrr分析約束集 1111, , , ,0Dx y zx y zxyzr是一無界集。當(dāng) 在 內(nèi)遠(yuǎn)離原點時，函數(shù)將 趨于正無( , , )x y zD窮。因此，函數(shù) 的唯一極小值點是函數(shù)的 最小值點，即 ff3(3 ) , ( , , ),xyzrx y zD1111()rxyz代入得， 131113()3, ,0 xyzx y zxyz推

9、行推行拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個自變量和多個約束條件的情形. 設(shè)解方程組可得到條件極值的可疑點 . 例如例如, 求函數(shù)求函數(shù)下的極值.在條件),(zyxfu ,0),(zyx0),(zyx),(),(),(21zyxzyxzyxfF021xxxxfF021yyyyfF021zzzzfF01F01F內(nèi)容小節(jié)1. 函數(shù)的極值問題函數(shù)的極值問題第一步 利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點.即解方程組第二步 利用充分條件 判別駐點是否為極值點 .2. 函數(shù)的條件極值問題函數(shù)的條件極值問題(1) 簡單問題用代入法, ),(yxfz 0),(0),(yxfyxfyx如對二元函數(shù)(2) 一般問題用拉格朗日乘數(shù)法設(shè)拉

10、格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值,解方程組第二步第二步 判別判別 比較駐點及邊界點上函數(shù)值的大小比較駐點及邊界點上函數(shù)值的大小 根據(jù)問題的實際意義確定最值根據(jù)問題的實際意義確定最值第一步 找目標(biāo)函數(shù), 確定定義域 ( 及約束條件)3. 函數(shù)的最值問題函數(shù)的最值問題在條件求駐點 . ),(yxfz 0),(yx),(),(yxyxfF0 xxxfF0yyyfF0F習(xí)題例例1.1. 求函數(shù)解解: : 第一步第一步 求駐求駐點點. .得駐點: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判別判別.在點(1,0) 處為極小值;解方程組ABC),(yxfx09632

11、 xx),(yxfy0632yy的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù),66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0, 1 ( f,0Axyxyxyxf933),(2233在點(3,0) 處不是極值;在點(3,2) 處為極大值.,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3( f6,0,12CBA31)2,3( f,0)6(122 BAC,0A在點(1,2) 處不是極值;6,0,12CBA)2, 1 (f,0)6(122 BACABC例例2.討論函數(shù)討論函數(shù)及是否取得極值.解

12、解: 顯然顯然 (0,0) 都是它們的駐點都是它們的駐點 ,在(0,0)點鄰域內(nèi)的取值, 因此 z(0,0) 不是極值.因此,022時當(dāng) yx222)(yxz0)0 , 0( z為極小值.正正負(fù)負(fù)033yxz222)(yxz在點(0,0)xyzo并且在 (0,0) 都有 02BAC33yxz可能為0)()0 , 0()0 , 0(222yxz例例3.3.解解: 設(shè)水箱長設(shè)水箱長,寬分別為寬分別為 x , y m ,則高為則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點某廠要用鐵板做一個體積為2根據(jù)實際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長方體水問當(dāng)長、寬、高各取怎樣的尺寸時, 才能使用料最省?,m2yx

13、2Ayxyxy2yxx2yxyx22200yx0)(222xxyA0)(222yyxA因此可斷定此唯一駐點就是最小值點. 即當(dāng)長、寬均為高為時, 水箱所用材料最省.3m)2,2(33323222233例例4. 有一寬為有一寬為 24cm 的長方形鐵的長方形鐵板板 ,把它折起來做成解解: 設(shè)折起來的邊長為設(shè)折起來的邊長為 x cm,則斷面面積x24一個斷面為等腰梯形的水槽,傾角為 ,Acos2224xx x224(21sin) xsincossin2sin2422xxxx224x積最大. )0,120:(2 xD為問怎樣折法才能使斷面面cos24xcos22x0)sin(cos222x令xAsi

14、n24sin4x0cossin2xA解得:由題意知,最大值在定義域D 內(nèi)達(dá)到,而在域D 內(nèi)只有一個駐點, 故此點即為所求.,0sin0 xsincossin2sin2422xxxA)0,120:(2 xD0cos212xx0)sin(coscos2cos2422xx(cm)8,603x例例5.要設(shè)計一個容量為0V則問題為求x , y ,令解方程組解解: 設(shè)設(shè) x , y , z 分別表示長、寬、高分別表示長、寬、高,下水箱表面積最小.z 使在條件xF02zyyzyF02zxxzzF0)(2yxyxF00Vzyx水箱長、寬、高等于多少時所用材料最省？的長方體開口水箱, 試問 0VzyxyxzyzxS)(2)()(20VzyxyxzyzxFxyz補充題已知平面上兩定點 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),試在橢圓圓周上求一點 C, 使ABC 面積 S最大.解答提示解答