微積分下冊(cè)知識(shí)點(diǎn)

1、微積分下冊(cè)知識(shí)點(diǎn)第一章空間解析幾何與向量代數(shù)（一） 向量及其線性運(yùn)算1、 向量，向量相等，單位向量，零向量，向量平行、共線、共面；2、 線性運(yùn)算：加減法、數(shù)乘；3、 空間直角坐標(biāo)系：坐標(biāo)軸、坐標(biāo)面、卦限，向量的坐標(biāo)分解式；4、 利用坐標(biāo)做向量的運(yùn)算：設(shè) a( ax , ay , az ) ， b(bx ,by ,bz) ，則 a b (ax bx ,ayby ,azbz ) ,a ( ax , ay , az ) ；5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模： rx2y2z2；2） 兩點(diǎn)間的距離公式：AB(x2x1)2( y2y1 )2(z2 z1 )23） 方向角：非零向量與三個(gè)坐標(biāo)軸的正

2、向的夾角,4） 方向余弦： cosx , cosy , coszrrrcos2cos2cos215） 投影： Pr ju aa cos，其中為向量 a 與 u 的夾角。（二） 數(shù)量積，向量積1、 數(shù)量積： abab cos1）2）2aaaabab0aba x bxa y b ya zb z2、 向量積： cab大小： ab sin ，方向： a ,b , c 符合右手規(guī)則1） a a02） a / bab0ijkabaxayazbxbybz運(yùn)算律：反交換律baab（三） 曲面及其方程1、 曲面方程的概念：S : f ( x, y , z)02、 旋轉(zhuǎn)曲面：yoz 面上曲線 C : f ( y

3、, z)0 ，繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周： f ( y,x 2z 2 )0繞 z 軸旋轉(zhuǎn)一周： f (x 2y 2 , z)03、 柱面：F ( x , y )0F ( x, y ) 0 表示母線平行于 z 軸，準(zhǔn)線為的柱面z 04、 二次曲面 （不考）x 2y 2z21） 橢圓錐面： a 2b 2x 2y 2z212） 橢球面： a 2b 2c 2x 2y 2z21旋轉(zhuǎn)橢球面： a 2a 2c 2x 2y 2z213） 單葉雙曲面： a 2b 2c 2x 2y 2z214） 雙葉雙曲面： a 2b 2c 2x5） 橢圓拋物面：a2y2z2b 2x 2y2z6） 雙曲拋物面（馬鞍面）： a 2b 2x

4、 2y 217） 橢圓柱面： a 2b 2x 2y 218） 雙曲柱面： a 2b 29） 拋物柱面： x 2ay（四） 空間曲線及其方程F ( x , y , z)01、 一般方程：G ( x, y , z)0xx ( t )xa cos t2、 參數(shù)方程：yy ( t ) ，如螺旋線：ya sin tzz ( t )zbt3、 空間曲線在坐標(biāo)面上的投影F ( x, y, z) 0H ( x, y ) 0G ( x , y , z)，消去 z ，得到曲線在面xoy 上的投影0z 0（五） 平面及其方程1、 點(diǎn)法式方程： A( xx0 ) B ( yy0 ) C ( z z0 ) 0法向量：

5、n ( A, B, C) ，過點(diǎn) ( x0 , y0 , z0 )2、 一般式方程： AxBy Cz D0xyz截距式方程： ab1c3、 兩平面的夾角： n1( A1, B1 ,C1 ) ， n2( A2 , B2 , C2 ) ，cosA1 A2B1B2C1C2A12B12C12A22B22C2212A1 A2B1B2 C1C201 /A1B1C12A2B2C24、 點(diǎn) P0 ( x0 , y0 , z0 ) 到平面 AxByCzD 0 的距離：Ax0 By0 Cz0 DdA2B2C 2（六） 空間直線及其方程1、 一般式方程：A1 x B1 y C 1 z D10A2 x B2 y C

6、2 z D 20xx0y y0 zz02、 對(duì)稱式（點(diǎn)向式）方程：mnp方向向量： s( m,n, p) ，過點(diǎn) ( x0 , y0 , z0 )xx0mt3、 參數(shù)式方程：yy0ntzz0pt4、 兩直線的夾角： s1(m1, n1 , p1 ) ， s2(m2 , n2 , p2 ) ，cosm1m2n1n2 p1 p2n2p2m2n2m2p2111222L1 L2m1m2n1n2p1 p20L1 / L2m1n1p1m2n2p25、 直線與平面的夾角：直線與它在平面上的投影的夾角，AmBnCpsinA 2B 2C 2m2n 2p 2L /AmBnCp0LABCmnp第二章多元函數(shù)微分法及

7、其應(yīng)用（一） 基本概念1、 距離，鄰域，內(nèi)點(diǎn)，外點(diǎn)，邊界點(diǎn)，聚點(diǎn)，開集，閉集，連通集，區(qū)域，閉區(qū)域，有界集，無界集。2、 多元函數(shù)： zf ( x, y) ，圖形：3、 極限：limf ( x, y)A( x, y ) ( x0 , y0 )4、 連續(xù)：limf ( x, y)f ( x0 , y0 )( x, y ) ( x0 , y 0 )5、 偏導(dǎo)數(shù)：f x ( x0 , y0 )f ( x0x, y0 )f ( x0 , y0 )limxx0f y ( x0 , y0 )limf ( x0 , y0y)f ( x0 , y0 )yy06、 方向?qū)?shù)：ff cosfcos其中,為 l的方

8、向角。lxy7、 梯度： zf ( x, y) ，則 gradf ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 )i f y ( x0 , y0 ) j 。8、 全微分：設(shè) zf ( x, y) ，則 dzz dxz dyxy（二） 性質(zhì)1、 函數(shù)可微，偏導(dǎo)連續(xù)，偏導(dǎo)存在，函數(shù)連續(xù)等概念之間的關(guān)系：12偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)存在充分條件必要條件4定義23函數(shù)連續(xù)2、 閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）3、 微分法1） 定義：2） 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：鏈?zhǔn)椒▌tuxz若 zf (u,v), uu(x, y), vv( x, y) ，則zzuzvzzuzvxuxvx ，

9、yuyvyvy3） 隱函數(shù)求導(dǎo)：兩邊求偏導(dǎo)，然后解方程（組）（三） 應(yīng)用1、 極值1） 無條件極值：求函數(shù)zf ( x, y) 的極值fx0解方程組f y0求出所有駐點(diǎn)，對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn) ( x0 , y0 ) ，令A(yù) f xx ( x0 , y0 ) ， Bf xy (x0 , y0 ) ， C f yy ( x0 , y0 ) ，若ACB20， A0 ，函數(shù)有極小值，若 ACB 20 ， A0，函數(shù)有極大值；若ACB20，函數(shù)沒有極值；若ACB20，不定。2） 條件極值：求函數(shù) zf ( x, y) 在條件(x, y) 0 下的極值令： L(x, y)f ( x, y)( x, y) Lag

10、range 函數(shù)Lx0解方程組L y0( x, y) 02、 幾何應(yīng)用1） 曲線的切線與法平面xx (t )曲線: yy (t ) ，則上一點(diǎn) M (x0 , y0 , z0 ) （對(duì)應(yīng)參數(shù)為 t0 ）處的zz(t )xx0y y0zz0切線方程為： x (t0 )y (t0 )z (t0 )法平面方程為：x ( t 0 )( xx0 )y ( t0 )( yy0 )z ( t 0 )( zz0 )02） 曲面的切平面與法線曲面: F ( x , y , z)0 ，則上一點(diǎn) M (x0 , y0 , z0 ) 處的切平面方程為：Fx ( x0, y0 , z0 )(x x0 ) Fy ( x0

11、 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz (x0 , y0, z0 )(z z0 ) 0xx0y y0zz0法線方程為： Fx (x0 , y0 , z0 )Fy ( x0 , y0 , z0 )Fz ( x0 , y0 , z0 )第三章重積分（一） 二重積分 （一般換元法不考）n1、 定義：f ( x, y) dlimf ( k , k ) kD0k 12、 性質(zhì)：（6 條）3、 幾何意義：曲頂柱體的體積。4、 計(jì)算：1） 直角坐標(biāo)D( x, y)1 ( x)y2 (x) ，axbf ( x, y)dxdyb2 ( x)dxf ( x,y)d yDa1( x)D( x, y) 1 (

12、 y)x2 ( y)，cydf (x, y)dxdyd2 ( y)cdyf (x,y)d xD1 ( y)2） 極坐標(biāo)D( , )1( )2 ()f (x, y)dxdyd2 ()f ( cos , sin ) d1 ()D（二） 三重積分n1、 定義：f ( x, y, z) d v limf ( k , k , k ) vk0k 12、 性質(zhì)：3、 計(jì)算：1） 直角坐標(biāo)f ( x, y, z) d vd xd yz2 (x ,y )f ( x, y, z) d zz1 ( x, y)- “先一后二 ”Dbd zf (x, y, z) d xd yf (x, y, z) d v- “先二后一

13、 ”aDZ2） 柱面坐標(biāo)xcosysin，f ( x, y, z)d vf ( cos, sin , z) d d dzzz3） 球面坐標(biāo)xr sincosyr sinsinzr cosf ( x, y, z)d vf (r sin cos ,r sin sin , r cos )r 2 sin drd d（三） 應(yīng)用曲面 S: zf (x, y) , ( x, y) D 的面積：A1 ( z)2( z)2 d x d yDxy第五章曲線積分與曲面積分（一） 對(duì)弧長的曲線積分n1、 定義：f (x, y)dslimf (i,i)sL0i 1i2、 性質(zhì)：1） f ( x, y)( x, y)d

14、sf (x, y)dsg( x, y)ds.LLL2）f ( x, y)dsf ( x, y)dsf ( x, y)ds.(L L1 L2).LL1L23）在 L 上，若 f ( x, y)g( x, y) ，則 Lf ( x, y)dsL g( x, y)ds.4） L ds l( l 為曲線弧 L 的長度 )3、 計(jì)算：設(shè)f ( x, y) 在 曲 線 弧 L 上 有 定 義 且 連 續(xù) ， L 的 參 數(shù) 方 程 為x(t),y(t) ，其中(t),(t) 在 , 上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且(t ),2 (t )2 (t )0 ，則f ( x, y)d sf (t ),(t )2 (t )2

15、 (t )d t ,()L（二） 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分1、 定義：設(shè) L 為 xoy 面內(nèi)從 A 到 B 的一條有向光滑弧，函數(shù)P ( x, y) ，nQ( x, y ) 在 L 上有界，定義LP ( x, y) d x limP (k,k) xk ，01knLQ ( x, y ) d ylimQ (k , k )yk .0 k 1向量形式：Fd rP( x, y) dxQ( x, y)d yLL2、 性質(zhì)：用L 表示L的反向弧 ,則 LF ( x, y)drL F ( x, y) dr3、 計(jì)算：設(shè) P( x, y), Q( x, y) 在有向光滑弧 L 上有定義且連續(xù) ,L 的參數(shù)方程為x(t

16、 ),(t :) ，其中(t),(t) 在 , 上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且y(t),2 (t )2 (t )0 ，則LP ( x, y )d xQ ( x, y)d y P(t ), (t )( t ) Q (t ), ( t ) (t ) dt4、 兩類曲線積分之間的關(guān)系：x( t )設(shè)平面有向曲線弧為L：，L 上點(diǎn) ( x, y) 處的切向量的方向角為：y(t ),cos(t )cos(t)，2 (t )2 (t)，2 (t)2 (t ) ，則LPdxQdy( P cosQ cos)ds.L（三） 格林公式1、格林公式：設(shè)區(qū)域D 是由分段光滑正向曲線L 圍成，函數(shù) P( x, y) ,Q( x

17、, y)在D 上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù) , 則有QP dxd yPdx Qd yxyDL2、G 為一個(gè)單連通區(qū)域， 函數(shù) P(x, y),Q( x, y) 在 G 上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，則QP曲線積分PdxQdy 在 G 內(nèi)與路徑無關(guān)xyL曲線積分PdxQdy 0LP( x, y)dxQ( x, y) d y 在 G 內(nèi)為某一個(gè)函數(shù)u( x, y) 的全微分（四） 對(duì)面積的曲面積分1、 定義：設(shè)為光滑曲面，函數(shù)f (x, y, z) 是定義在上的一個(gè)有界函數(shù)，n定義f ( x, y, z)dSlim0f (i ,i ,i )Sii12、 計(jì)算：“一投二換三代入 ”: zz( x, y) ，( x,

18、 y)Dxy ，則f ( x, y, z) dSDx yf x, y, z(x, y)1zx2 ( x, y)zy2 (x, y) dxd y（五） 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分1、 預(yù)備知識(shí)：曲面的側(cè)，曲面在平面上的投影，流量2、 定義：設(shè) 為有向光滑曲面，函數(shù)P( x, y, z),Q( x, y, z), R( x, y, z) 是定義在 上的有界R( x, y, z)d xdylimnR(, i ,i )(Si ) xy函數(shù)，定義i0i1n同理，P( x, y, z)d ydzlimP(i , i,i )(Si ) yz0i 1nQ( x, y, z)d zdx limR(i , i,i )(Si

19、 ) zx0 i 13、 性質(zhì)：1）12 ，則Pdydz Qdzdx R dxdy1PdydzQdzdx R dxdy2PdydzQdzdxRdxdy2）表示與取相反側(cè)的有向曲面,則Rd xdyR d xdy4、 計(jì)算：“一投二代三定號(hào) ”: zz( x, y) ， ( x, y) Dxy， zz( x, y) 在 Dxy上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，R(x, y, z) 在上連續(xù)，則R( x, y, z)d xdyRx, y, z( x, y)dxdy , 為Dx y上側(cè)取“+ ，”為下側(cè)取“ - ”.5、 兩類曲面積分之間的關(guān)系：Pd ydzQdzdxRdxd yPcosQcos Rcos d S

20、其中,為有向曲面在點(diǎn) ( x, y, z) 處的法向量的方向角。（六） 高斯公式1、 高斯公式：設(shè)空間閉區(qū)域由分片光滑的閉曲面所圍成 ,的方向取外側(cè), 函數(shù) P, Q, R 在上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù) ,則有PQRd x d y d zP d y d zQ d zd xRdx d yxyzPQRPcosQcosRcos d S或d xd y d zxyz（七） 斯托克斯公式1、 斯托克斯公式：設(shè)光滑曲面的邊界是分段光滑曲線 ,的側(cè)與的正向符合右手法則 ,P( x, y, z),Q(x, y, z), R( x, y, z) 在包含在內(nèi)的一個(gè)空間域內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù) ,則有R Q d y d zP

21、R d zd xQ P d xd yP d x Q d y Rd zyzzxxy為便于記憶 , 斯托克斯公式還可寫作 :d yd zd zd xd xd yP d xQ d yRd zxyzPQR第六章常微分方程1、微分方程的基本概念含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (或微分 )的方程稱為微分方程；未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程，稱為常微分方程;未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程，稱為偏微分方程；微分方程中未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，稱為微分方程的階.能使微分方程成為恒等式的函數(shù)，稱為微分方程的解.如果微分方程的解中含任意常數(shù),且獨(dú)立的 (即不可合并而使個(gè)數(shù)減少的)任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解為微分方程

22、的通解.不包含任意常數(shù)的解為微分方程特解.2、典型的一階微分方程可分離變量的微分方程：g( y) d y f (x) d x或 dyh(x) g( y)dx對(duì)于第 1 種形式，運(yùn)用積分方法即可求得變量可分離方程的通解：g ( y) d yf ( x) d x2、 齊次微分方程：y( y ) 或者 x( x )xy在齊次方程y( y )中，令 uy, 可將其化為可分離方程y ，則 y xu,xx dux令udyu,xdxdx代入微分方程即可。(1)形如yf (axbyc)的方程 .令 u ax byc,則 uaby ,原方程可化為uaf (u).( 2)形如ya1xb1 yc1)的方程 .bf

23、(b2 yc2a2 x可通過坐標(biāo)平移去掉常數(shù)項(xiàng)。3、 一階線性微分方程型如yp( x) yq( x)稱為一階線性微分方程。p ( x )d x其對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程的解為yCe。利用常數(shù)變異法可得到非齊次的線性微分方程的通解y e p ( x) d x ( q( x) e p( x)d x d x C ) 。4、 伯努利方程： yp(x) yq( x) y n( n0,1 )將方程兩端同除以yn , 得y n yp(x) y1 nq( x)( n 0, 1)令 u y1 n，則 d u(1 n) y n d y ， y n d y1 du ，于是 U 的通解為：d xd x1n dxd xue (1 n) p ( x )d x ( (1 n) q( x)e (1 n ) p( x) d xC )。5、 全微分方程：7、可降階的高階常微分方程（1）y( n)f (x)型的微分方程（ 2）（ 3）6.4.2y( n )f ( x, y( n 1) ) 型的微分方程6.4.3yf ( y, y )型的微分方程8、線性微分方程解的結(jié)構(gòu)（ 1）函數(shù)組的線性無關(guān)和線性相關(guān)（ 2）線性微分方程的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)疊加原理：二個(gè)齊次的特解的線性組合仍是其特解；