正n邊形幾個性質的探討

1、正 n 邊形幾個性質的探討平面內正 n 邊形具有下列性質提示：方法一，用復數(shù)法證明略方法二，由題意：性質 2：P 為半徑為 R 圓上的任一點， A1 、A2、A3 、 An 為圓內接正 n 邊形的頂點，則 P 點到各頂點的長度平方和為 2nR 2 (此性質是點 P 在外接圓上的性質 )分析：由題意：連結 PA 1、PA 2、PA 3、 PAn ，則也就是要證明： PA 12 PA 22+ Pa n2 2nR 2所以， PA1 2 PA22 +PA n2所以 PA 12 PA 22 PA 32 PA n2=2nR 2此性質還可用解析法來證明略，下面舉例探討利用性質1、性質 2，解國際數(shù)學競賽問題

2、例 1 半徑為 R 的圓內接正 n 邊形 A1A2 An，平面內任一點 P 到圓心距離等于 d，求點 P 到 n 邊形所有頂點的距離的平方和，選“俄”中學數(shù)學奧林匹克平面幾何競賽題集分析： 1)若 P 點到圓心的距離等于R，即 P 點在圓上， (d=R) 由性質 2，點 P 到各頂點的距離平方和為： PA 12 +PA2 2+PA n2 =2nR 2 2)若 P 點在圓內，如上圖： (d R)設POA1= ，由余弦定理：在POA 1 中， PA 12 =d2 R2-2dRcos 同理： 所以： P 點到各頂點距離平方和上式兩邊相加便得即 PA1 2 PA22+ +PA n2=n(d 2R2)3

3、)若點 P 在圓外，(dR) ，同分析 (2)構造三角形，用余弦定理可得： PA 12 +PA 22 +PA n2=n(d 2R2)步驟略綜合：不論 P 在圓上、圓外、圓內，若P 點到圓心的距離為d，由性質 1、2，及性質 1、 2 的證明方法可知： PA 12 PA 22 +PA 33+ PA n2 =n(R2 +d2 )由此可看出：性質2 可看作此競賽題的推論，此競賽題的證明：利用性質1、2 用解析法證明更為簡捷略例 2 求圓內接正 n 邊形的所有邊和對角線的長度的平方和：選“俄”中學數(shù)學奧林匹克平面幾競賽題集解：設圓的半徑為 R，設從頂點 Ak 到所有其頂點的距離平方和為 Sk，由性質

4、2， Sk=2nR 2，即一個 n 邊形有 n 個頂點，每個頂點到各頂點的距離平方和 (包括鄰邊 )，由性質 2 知 2nR 2 共 n 個頂點即為 2n2 R2每條對角線長和每邊長的平方在這均出現(xiàn)兩次， 故所求和為 n2R2例 3 求證圓的內接正 n 邊形的頂點到經(jīng)過多邊形的中心的任意直線的距離平方和為R2，由性質 2 易證明略，特別地 n=5 時 (蘇聯(lián) 1975 年大學生數(shù)競題 )2，3， ， n-1 ，（包括相鄰頂點的線段）例 4 邊長為 a 的正 n 邊形 A1A2 A3A n，內接圓于 O，證明：由正 n 邊形一此題是數(shù)學通報 1991 年第 10 期，難題征解欄目一題，并在第11

5、 期公布了解答較繁瑣，但用性質3 給出初等證明，有步驟簡單方法新穎之感證明：因為正 n 邊形邊長為 a，如性質 3 圖： l1=l n-1=a由正弦定l3 + ln-1)-(l1 ln-1)由性質 3：性質 4：正 n 邊形內接于圓且半徑為 R，求由一個頂點作各對角線 (包括過此頂點的邊在內 )長的積為 (不妨設從 A1 為起點 )，|A1 A2|·|A1A3|·|A 1A 4|· ·|A1An |=nR n-1(n2)證明：設正 n 邊形的 n 個頂點位于夏平面的R 為半徑的圓上，則各頂點對應復·|A 1A4|A1A n|=|R-RW| &#

6、183;|R-RW 2|· |R-RW n-1|=R n-1|1-W| ·|1-W 2 |· ·|1-W n-1|又因為： W，W2，W3， Wn-1 是等比數(shù)列型多項式 xn-1 +xn-2 + +1=(x n -1)/(x-1) 的全部零點，即 xn-1+xn-2 + +x+1=(x-W)(x-W 2 ) ， (x-W n-1)，當令 x=1 時得：(1-W)(1-W 2)(1-W 3)(1-W n-1 )=n所以： |1-W|1-W 2 |1-Wn-1 |=n即： |A1 A2|·|A1A 3|A1An |=n·Rn-1(證畢 )由性質 4 證明： |1-W| ·|1-W 2 |1-W n-1 |=n繼續(xù)引伸得一推論：例 5 正 n 邊形內接于半徑為 1 的圓，求由一個頂點所作各對角線 (包括過此頂點的兩條邊在內的 )長的積 (1976 年蘇聯(lián)大學生競賽題 )分析：此競賽題實際上是性質4 的特殊情形，即R=1時情況，所以由性質4令R=1便得所求結論： |A1 A2|·|A1A3|A1An |=n例 6 設 A1 A2 An 是內接于中心為 O，半徑為 r 的圓內接正 n 正邊形的一頂點，求證： 1)若在 OA 1 延長線上，則證明 |PA 1|