克里金插值法

1、克里金插值法克里金插值法克里金插值法又稱空間局部插值法，是以變異函數(shù)理論和結(jié)構(gòu)分析為基礎(chǔ)， 在有限區(qū)域內(nèi)對(duì)區(qū)域化變量進(jìn)行無(wú)偏最優(yōu)估計(jì)的一種方法， 是地統(tǒng)計(jì)學(xué)的主要內(nèi)容之一， 由南非礦產(chǎn)工程師 D.MatheronD.Matheron 于 19511951 年在尋找金礦時(shí)首次提出，法國(guó)著名統(tǒng)計(jì)學(xué)家 G.MatheronG.Matheron 隨后將該方法理論化、系統(tǒng)化，并命名為 KrigingKriging, ,即克里金插值法。1 1 克里金插值法原理克里金插值法的適用范圍為區(qū)域化變量存在空間相關(guān)性， 即如果變異函數(shù)和結(jié)構(gòu)分析的結(jié)果表明區(qū)域化變量存在空間相關(guān)性， 則可以利用克里金插值法進(jìn)行內(nèi)插或外

2、推。 其實(shí)質(zhì)是利用區(qū)域化變量的原始數(shù)據(jù)和變異函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)， 對(duì)未知樣點(diǎn)進(jìn)行線性無(wú)偏、 最優(yōu)估計(jì)，無(wú)偏是指偏差的數(shù)學(xué)期望為 0,0,最優(yōu)是指估計(jì)值與實(shí)際值之差的平方和最小1。因此，克里金插值法是根據(jù)未知樣點(diǎn)有限領(lǐng)域內(nèi)的若干已知樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)，在考慮了樣本點(diǎn)的形狀、大小和空間方位，與未知樣點(diǎn)的相互空間關(guān)系，以及變異函數(shù)提供的結(jié)構(gòu)信息之后，對(duì)未知樣點(diǎn)進(jìn)行的一種線性無(wú)偏最優(yōu)估計(jì)。假 設(shè) 研 究 區(qū) 域 a a 上 研 究 變 量 Z(x),Z(x), 在 點(diǎn)X XiA(i=1,A(i=1,2,2, ,n)n)處屬性值為 Z(XZ(Xi),則待插點(diǎn) X X0A A 處的屬性值 Z(XZ(X0)的克里金插值

3、結(jié)果 Z*Z*(X(X。)是已知采樣點(diǎn)屬性值 Z(xi)(i=1,Z(xi)(i=1,2,2,，n)n)的加權(quán)和，即：n*Z(X0)iZ(Xi)i1(1)(1)式中i是待定權(quán)重系數(shù)。其中 Z(XZ(Xi) )之間存在一定的相關(guān)關(guān)系， 這種相關(guān)性除與距離有關(guān)外，還與其相對(duì)方向變化有關(guān)，克里金插值方法將研究的對(duì)象稱“區(qū)域化變且力里針對(duì)克里金方法無(wú)偏、最小方差條件可得到無(wú)偏條件可得待定權(quán)系數(shù)i(i=1(i=1,2,2,n)n)滿足關(guān)系式：ni1i1(2)(2)以無(wú)偏為前提， krigingkriging 方差為最小可得到求解待定權(quán)系數(shù)i的方程組：(3)(3)式中，C(XC(Xi,x xj)是 Z(x

4、Z(xi) )和 Z(xZ(xj) )的協(xié)方差函數(shù)。2 2 方法步驟克里金插值法的應(yīng)用步驟如下：1 1、輸入原始數(shù)據(jù)，即采樣點(diǎn)，下面以輸入三個(gè)采樣點(diǎn)求待估插值為例來(lái)進(jìn)行說(shuō)明。如圖 1 1 所示：圖1采樣點(diǎn)圖示2 2、網(wǎng)格化，選擇區(qū)域的范圍和網(wǎng)格的大小,對(duì)區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格化處理。3 3、數(shù)據(jù)檢驗(yàn)與分析，根據(jù)采樣值是否合乎實(shí)際情況，剔除明顯差異點(diǎn)。4 4、直方圖的計(jì)算，直方圖有助于掌握區(qū)域變化的分布規(guī)律，以便決定是否對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換。5 5、利用變異函數(shù)進(jìn)行變異函數(shù)計(jì)算，了解iC(x,Xj)C(Xo,Xj)(j1,2,n)變量的空間結(jié)構(gòu)。6 6、克里金插值估計(jì)(1)(1)待估點(diǎn)權(quán)重系數(shù)估計(jì)利用多邊形

5、估計(jì)的方法，首先確定離待估點(diǎn)最近的采樣點(diǎn)的權(quán)重，根據(jù)公式(4)4)進(jìn)行采樣點(diǎn)權(quán)重估計(jì)：iCwdiin1iicdw圖 2:2:圖2參估點(diǎn)圖小(3)(3)根據(jù)已經(jīng)求出的變異函數(shù)以及采樣點(diǎn)數(shù)量，三個(gè)采樣點(diǎn)列出三個(gè)等式，求出方程組的系數(shù)，公式為：(4)(4)(2)(2)根據(jù)搜索策略選擇合適的參估點(diǎn)，如C(2,1)C(2,2)C(2,3)2C(0,2)C(3,1)C(3,2)C(3,3)3C(0,3)(5)(5)(4)(4)分析在各向同性條件下改變塊金值與在塊金值相同條件下改變各向異性對(duì)權(quán)重值的影響2 2。各向同性條件下改變塊金值時(shí)對(duì)權(quán)重值( (a a) )(b)(b)圖3各向同性條件下改變塊金值與在塊

6、金值相同條件下改變各向異性對(duì)權(quán)重值的影響(5)(5)根據(jù)求出的權(quán)重值，代入公式(1),1),即可求得評(píng)估領(lǐng)域內(nèi) n n 個(gè)采樣值的線性組合2 2。克里金插值法的方法路線圖如下：導(dǎo)人數(shù)進(jìn)訐預(yù)C(1,1)C(1,2)C(1,3)C(0,1)的影響效果如圖 3 3(a),(a),在塊金值相同條件下改泛克里I繪制根據(jù)數(shù)ns計(jì)算樣按組統(tǒng)計(jì)計(jì)算樣1按距離圖4方法路線圖3 3 克里金插值法分類及適用類型克里金插值法主要有以下幾種類型：普通克里金(OrdinaryKriging(OrdinaryKriging)、簡(jiǎn)單克里金(SimpleKriging(SimpleKriging)、泛克里金(Universal

7、Kriging(UniversalKriging)、協(xié)同克里金(Co-Kriging(Co-Kriging)、對(duì)數(shù)正態(tài)克里金(LogisticNormalKriging(LogisticNormalKriging) )、指示克里金(IndicatorIndicatorKrigingKriging)、概率克里金(ProbabilityKriging)ProbabilityKriging)和析取克里金(DisjunctiveKrigingDisjunctiveKriging)等1?？死锝鸩逯捣梢院?jiǎn)單地表達(dá)為：Z(s)(s)(s)(6)(6)式中，s s 為不同位置的點(diǎn)，可以人為是用經(jīng)緯度表示的空

8、間坐標(biāo)；Z(s)Z(s)為 s s 處的變量值，它可以分解為確定趨勢(shì)值(s)和自相關(guān)隨機(jī)誤差(s)o通過(guò)對(duì)這個(gè)公式進(jìn)行變化，可以生成克里金插值法的不同類型。首先，對(duì)于趨勢(shì)值(s),可以簡(jiǎn)單地賦予一個(gè)常量，即在任何位置 s s 處(s)= =,如果是未知的，這便是普通克里金基本模型；(s)也可表示為空間坐標(biāo)的線性函數(shù)，如：/、22(s)0IX2y3X4y5xy(7)(7)如果趨勢(shì)面方程中的回歸系數(shù)是未知的， 則形成泛克里金模型； 如果在任何時(shí)候趨勢(shì)已知的(如所有系數(shù)和協(xié)方差均已知)， 無(wú)論趨勢(shì)常量與否， 都會(huì)形成簡(jiǎn)單克里金模型。其次，無(wú)論趨勢(shì)如何復(fù)雜，(s)仍無(wú)法獲得很好的預(yù)測(cè)，在這種情況下需要

9、對(duì)誤差項(xiàng)(s)進(jìn)行一些假設(shè)，即假設(shè)誤差項(xiàng)(s)的期望均值為 0,0,且(s)和(sh)之間的自相關(guān)不取決于 s s 點(diǎn)的位置，而取決于位移量ho為了確保自相關(guān)方程有解，必須允許某兩點(diǎn)間自相關(guān)可以相等。然后，可以對(duì)方程式左邊Z(s)進(jìn)行變換。例如，可以將其轉(zhuǎn)換成指示變量，即如果Z(s)低于一定的閾值，則將其值轉(zhuǎn)換為 0,0,將高于閾值的部分轉(zhuǎn)換為 1,1,然后對(duì)高于閾值部分作出預(yù)測(cè)，基于此模型作出預(yù)測(cè)便形成了指示克里金模型。如果將指示值轉(zhuǎn)變成含有變量的函數(shù)f(Z(s),即形成析取克里金的指示函數(shù)。最后， 如果有多個(gè)變量的情況， 則模型為：Zj(s)j(s)*s),其中 j j 表示第 j j 個(gè)

10、變量。除了為每個(gè)變量考慮不同的趨勢(shì)外，隨機(jī)誤差j(s)之間還存在交叉相關(guān)性。這種基于多個(gè)變量的克里金模型即為協(xié)同克里金模型。不同的方法有其適用的條件， 當(dāng)數(shù)據(jù)不服從正態(tài)分布時(shí)，若服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，則選用對(duì)數(shù)正態(tài)克里金；若不服從簡(jiǎn)單分布時(shí)，選用析取克里金；當(dāng)數(shù)據(jù)存在主導(dǎo)趨勢(shì)時(shí)，選用泛克里金；當(dāng)只需要了解屬性值是否超過(guò)某一閾值時(shí)，選用指示克里金；當(dāng)同一事物的兩種屬性存在相關(guān)關(guān)系時(shí)，且一種屬性不易獲取時(shí)，選用協(xié)同克里金，借助另一屬性實(shí)現(xiàn)該屬性的空間內(nèi)插；當(dāng)假設(shè)屬性值的期望值為某一已知常數(shù)時(shí)，選用簡(jiǎn)單克里金；當(dāng)假設(shè)屬性值的期望值是未知的，選用普通克里金。4 4 國(guó)內(nèi)外研究進(jìn)展從克里金方法被提出到現(xiàn)在已

11、有完善的理論，并在很多領(lǐng)域得到了實(shí)際的應(yīng)用，在某些領(lǐng)域的應(yīng)用又推動(dòng)了克里金理論的發(fā)展3。它的發(fā)展可歸納為四個(gè)時(shí)期，每個(gè)時(shí)期都是以每一屆地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)大會(huì)的召開為標(biāo)志。第一時(shí)期，初次提出了地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)理論，將地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)與傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)學(xué)分開，且提出了區(qū)域化變量、簡(jiǎn)單克里金、普通克里金、泛克里金的概念。第二時(shí)期，地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)的理論逐步的開始改進(jìn)和完善。第三時(shí)期，地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)克里金在實(shí)踐應(yīng)用的發(fā)展相對(duì)理論發(fā)展更快，形成了兩種類型的理論體系：一類是有參數(shù)的克里金方法，另一類是沒(méi)有參數(shù)的克里金方法，有參數(shù)的克里金方法是指所研究的數(shù)據(jù)必須符合正態(tài)分布，如析取克里金；而沒(méi)有參數(shù)的克里金方法對(duì)所研究的變量的分布沒(méi)有特殊要求

12、，如指示克里金和概率克里金。第四時(shí)期，克里金方法的應(yīng)用領(lǐng)域不斷擴(kuò)展壯大，在研究中有很多新的課題產(chǎn)生，克里金所研究對(duì)象已經(jīng)不再局限于空間領(lǐng)域的變量，隨著某些領(lǐng)域的需求，正在向時(shí)間-空間領(lǐng)域擴(kuò)展4。從目前來(lái)看，克里金技術(shù)的發(fā)展可以概括如下：(1)(1)形成了一套完整的理論體系。線性平穩(wěn)地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)是地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)的基礎(chǔ)部分，包含基本概念：區(qū)域化變量理論；基本工具：變差函數(shù)；基本假設(shè)：二階平穩(wěn)假設(shè)和本征假設(shè)；基本公式：估計(jì)反差和普通克里金法；線性非平穩(wěn)地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)包括了泛克里金和K K 階本征函數(shù)法等。平穩(wěn)非線性地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)包含析取克里金等。(2)(2)編制了一些實(shí)際有效的程序以及軟件。例如斯坦福大學(xué)的Geo

13、statisticalEarthModelingSoftwareGeostatisticalEarthModelingSoftware。(3)(3)地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)的提出原本是為了解決礦產(chǎn)儲(chǔ)量的估計(jì)，但是隨著地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)其研究對(duì)象存在于很多種自然現(xiàn)象中。于是，地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)不再是研究地質(zhì)領(lǐng)域的特有方法，而成為研究某類自然現(xiàn)象通用的方法，例如降水量的分布、水文層的滲透率和孔隙度等屬性值、在醫(yī)學(xué)上對(duì)骨豁的三維重建5等等。目前國(guó)內(nèi)外學(xué)者利用克里金插值法做了大量研究。翟進(jìn)乾應(yīng)用克里金插值方法對(duì)煤層分布監(jiān)測(cè)進(jìn)行了系統(tǒng)分析研究6;張蕾、陳曉宏將克里金插值方法用于珠江三角洲網(wǎng)河區(qū)水位空間插值7;尚慶生、

14、郭建文等將克里金插值方法用于計(jì)算青藏鐵路鉆孔地溫?cái)?shù)據(jù)，實(shí)現(xiàn)了數(shù)據(jù)的體視化8;顏輝武，祝國(guó)瑞等采用克里金插值方法建立水文地質(zhì)層三維模型9,并利用體繪制技術(shù)進(jìn)行可視化表達(dá)，取得了良好的效果；劉承香、阮雙深、伍小芹提出基于克里金插值方法進(jìn)行水深數(shù)據(jù)插值形成規(guī)則網(wǎng)格數(shù)字高程模型的算法，對(duì)海底數(shù)字地圖的模擬具有重要參考價(jià)值，數(shù)字仿真結(jié)果證明該算法可行10。參考文獻(xiàn)：1湯國(guó)安，楊昕.ArcGIS地理信息系統(tǒng)空間分析實(shí)驗(yàn)教程M.北京：科學(xué)出版社,2011.2孟俊貞.克里金插值近似網(wǎng)格算法在柵格數(shù)據(jù)投影變換中的應(yīng)用D.長(zhǎng)沙：中南大學(xué)，2009.3曲壽利，王鑫.國(guó)內(nèi)外物探技術(shù)現(xiàn)狀與展望M.石油工業(yè)出版社,2003.4姚興苗.快速三維克里金插值方法研究及實(shí)現(xiàn)D.成都：電子科技大學(xué),2013.5胡巖，王田苗，王君臣.基于Kriging算法的手術(shù)導(dǎo)航三維形變技術(shù)J.北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào),2010,5:12.6翟進(jìn)乾.克里金(kriging)插值方法在煤層分布檢測(cè)中的應(yīng)用研究D.太原：太原理工大學(xué),2008.7張蕾，陳曉宏.珠江三角洲網(wǎng)河區(qū)水位空間插值的kr