導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

1、第一節(jié)變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算考綱要求：1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景2理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義3能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)yc(c為常數(shù))，yx，yx2，yx3，y的導(dǎo)數(shù)4能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)(僅限于形如yf(axb)的復(fù)合函數(shù))的導(dǎo)數(shù)1導(dǎo)數(shù)的概念(1)函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)yf(x)，當(dāng)自變量x從x0變到x1時(shí)，函數(shù)值從f(x0)變到f(x1)，函數(shù)值y關(guān)于x的平均變化率為.當(dāng)x1趨于x0，即x趨于0時(shí)，如果平均變化率趨于一個(gè)固定的值，那么這個(gè)值就是函數(shù)yf(x)在x0點(diǎn)的瞬時(shí)變化率在數(shù)學(xué)中，稱瞬時(shí)變化率為函數(shù)yf(x)在x0點(diǎn)的

2、導(dǎo)數(shù)通常用符號(hào)f(x0)表示，記作f(x0)li li .(2)導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)yf(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)，是曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線的斜率函數(shù)yf(x)在x0處切線的斜率反映了導(dǎo)數(shù)的幾何意義(3)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)一般地，如果一個(gè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上的每一點(diǎn)x處都有導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)值記為f(x)：f(x)li ，則f(x)是關(guān)于x的函數(shù)，稱f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，通常也簡(jiǎn)稱為導(dǎo)數(shù)2導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法則(1)導(dǎo)數(shù)公式表原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)c(c為常數(shù))f(x)0f(x)xn(nQ)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x

3、)axf(x)axln_af(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)f(x)ln xf(x)(2)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則f(x)±g(x)f(x)±g(x)；f(x)·g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(g(x)0)(3)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)yf(g(x)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)yf(u)，ug(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yxyu·ux，即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積1判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)f(x0)與f(x0)表示的意義相同()(2)f(x0)是導(dǎo)函數(shù)f(x)在xx0處的函數(shù)值()(3)曲線的切線

4、不一定與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)()(4)cos .()(5)若(ln x)，則ln x()(6)函數(shù)f(x)sin (x)的導(dǎo)數(shù)為f(x)cos x()(7)ycos 3x由函數(shù)ycos u，u3x復(fù)合而成()答案：(1)×(2)(3)(4)×(5)×(6)×(7)2曲線ysin xex在點(diǎn)(0,1)處的切線方程是()Ax3y30Bx2y20C2xy10 D3xy10解析：選Cysin xex，ycos xex，yx0cos 0e02，曲線ysin xex在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為y12(x0)，即2xy10.故選C.3求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)yxnex；

5、(2)y.答案：(1)yex(nxn1xn)(2)y.典題1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y(1)；(2)y；(3)ytan x；(4)y3xex2xe；(5)y.聽(tīng)前試做(1)y(1)xx，y(x)(x)xx.(2)y.(3)y.(4)y(3xex)(2x)e(3x)ex3x(ex)(2x)3x(ln 3)·ex3xex2xln 2(ln 31)·(3e)x2xln 2.(5)y.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算方法(1)連乘積形式：先展開(kāi)化為多項(xiàng)式的形式，再求導(dǎo)(2)分式形式：觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，先化為整式函數(shù)或較為簡(jiǎn)單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)(3)對(duì)數(shù)形式：先化為和、差的形式，再求導(dǎo)(4)根式形式：先

6、化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，再求導(dǎo)(5)三角形式：先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導(dǎo)(6)復(fù)合函數(shù)：確定復(fù)合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo) 典題2(1)(2015·天津高考)已知函數(shù)f(x)axln x，x(0，)，其中a為實(shí)數(shù)，f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)若f(1)3，則a的值為_(kāi)(2)已知f(x)x22xf(2 016)2 016ln x，則f(2 016)_.聽(tīng)前試做(1)f(x)aa(1ln x)由于f(1)a(1ln 1)a，又f(1)3，所以a3.(2)由題意得f(x)x2f(2 016)，所以f(2 016)2 0162f(2 016)，即f(2 016)(2 0161)2

7、017.答案：(1)3(2)2 017在求導(dǎo)過(guò)程中，要仔細(xì)分析函數(shù)解析式的特點(diǎn)，緊扣法則，記準(zhǔn)公式，預(yù)防運(yùn)算錯(cuò)誤1若函數(shù)f(x)ax4bx2c滿足f(1)2，則f(1)等于()A1 B2 C2 D0解析：選Bf(x)ax4bx2c，f(x)4ax32bx.又f(1)2，4a2b2，f(1)4a2b2.2在等比數(shù)列an中，a12，a84，函數(shù)f(x)x(xa1)·(xa2)··(xa8)，則f(0)的值為_(kāi)解析：因?yàn)閒(x)x·(xa1)(xa2)··(xa8)(xa1)(xa2)··(xa8)·x(xa1

8、)·(xa2)··(xa8)(xa1)(xa2)··(xa8)·x，所以f(0)(0a1)(0a2)··(0a8)0a1a2··a8.因?yàn)閿?shù)列an為等比數(shù)列，所以a2a7a3a6a4a5a1a88，所以f(0)84212.答案：212導(dǎo)數(shù)的幾何意義是每年高考的必考內(nèi)容，考查題型既有選擇題、填空題，也常出現(xiàn)在解答題的第(1)問(wèn)中，難度偏小，屬中低檔題，且主要有以下幾個(gè)命題角度：角度一：求切線方程典題3(1)(2016·宜春模擬)曲線yexln x在點(diǎn)(1，e)處的切線方程為()A(1e)

9、xy10 B(1e)xy10C(e1)xy10 D(e1)xy10(2)(2016·銅川模擬)設(shè)曲線yexax在點(diǎn)(0,1)處的切線與直線x2y10垂直，則實(shí)數(shù)a()A3 B1C2 D0(3)已知函數(shù)f(x)x34x25x4.求曲線f(x)在點(diǎn)(2，f(2)處的切線方程；求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，2)的曲線f(x)的切線方程聽(tīng)前試做(1)由于ye，所以yx1e1，故曲線yexln x在點(diǎn)(1，e)處的切線方程為ye(e1)(x1)，即(e1)xy10.(2)與直線x2y10垂直的直線斜率為2，f(0)e0a2，解得a2.(3)f(x)3x28x5，f(2)1，又f(2)2，曲線f(x)在點(diǎn)(2

10、，f(2)處的切線方程為y(2)x2，即xy40.設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，x4x5x04)，f(x0)3x8x05，切線方程為y(2)(3x8x05)(x2)，又切線過(guò)點(diǎn)(x0，x4x5x04)，x4x5x02(3x8x05)(x02)，整理得(x02)2(x01)0，解得x02或x01，經(jīng)過(guò)A(2，2)的曲線f(x)的切線方程為xy40或y20.答案：(1)C(2)C角度二：求切點(diǎn)坐標(biāo)典題4(2015·陜西高考)設(shè)曲線yex在點(diǎn)(0,1)處的切線與曲線y(x0)上點(diǎn)P處的切線垂直，則P的坐標(biāo)為_(kāi)聽(tīng)前試做yex，曲線yex在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率k1e01，設(shè)P(m，n)，y(x0)

11、的導(dǎo)數(shù)為y(x0)，曲線y(x0)在點(diǎn)P處的切線斜率k2(m0)，因?yàn)閮汕芯€垂直，所以k1k21，所以m1，n1，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1)答案：(1,1)角度三：求參數(shù)的值典題5(1)若曲線f(x)acos x與曲線g(x)x2bx1在交點(diǎn)(0，m)處有公切線，則ab()A1 B0 C1 D2(2)(2015·新課標(biāo)全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)ax3x1的圖像在點(diǎn)(1，f(1)處的切線過(guò)點(diǎn)(2,7)，則a_.(3)(2015·新課標(biāo)全國(guó)卷)已知曲線yxln x在點(diǎn)(1,1)處的切線與曲線yax2(a2)x1相切，則a_.聽(tīng)前試做(1)兩曲線的交點(diǎn)為(0，m)，即a1，f(x)c

12、os x，f(x)sin x，則f(0)0，f(0)1.又g(x)2xb，g(0)b，b0，ab1.(2)f(x)3ax21，f(1)3a1.又f(1)a2，切線方程為y(a2)(3a1)(x1)切線過(guò)點(diǎn)(2,7)，7(a2)3a1，解得a1.(3)法一：yxln x，y1，yx12.曲線yxln x在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y12(x1)，即y2x1.y2x1與曲線yax2(a2)x1相切，a0(當(dāng)a0時(shí)曲線變?yōu)閥2x1與已知直線平行)由消去y，得ax2ax20.由a28a0，解得a8.法二：同法一得切線方程為y2x1.設(shè)y2x1與曲線yax2(a2)x1相切于點(diǎn)(x0，ax(a2)x01

13、)y2ax(a2)，yxx02ax0(a2)由解得答案：(1)C(2)1(3)8(1)注意區(qū)分曲線在某點(diǎn)處的切線和曲線過(guò)某點(diǎn)的切線曲線yf(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0)處的切線方程是yf(x0)f(x0)(xx0)；求過(guò)某點(diǎn)的切線方程，需先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，再依據(jù)已知點(diǎn)在切線上求解(如角度一)(2)已知斜率k，求切點(diǎn)A(x0，f(x0)，即解方程f(x0)k.(如角度二)(3)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)的值時(shí)，一般是利用切點(diǎn)P(x0，y0)既在曲線上又在切線上構(gòu)造方程組求解當(dāng)切線方程中x(或y)的系數(shù)含有字母參數(shù)時(shí)，則切線恒過(guò)定點(diǎn)(如角度三)課堂歸納感悟提升方法技巧1f(x0)代表函數(shù)f(x)在xx

14、0處的導(dǎo)數(shù)值；(f(x0)是函數(shù)值f(x0)的導(dǎo)數(shù)，而函數(shù)值f(x0)是一個(gè)常數(shù)，其導(dǎo)數(shù)一定為0，即(f(x0)0.2對(duì)于函數(shù)求導(dǎo)，一般要遵循先化簡(jiǎn)再求導(dǎo)的基本原則求導(dǎo)時(shí)，不但要重視求導(dǎo)法則的應(yīng)用，而且要特別注意求導(dǎo)法則對(duì)求導(dǎo)的制約作用，在實(shí)施化簡(jiǎn)時(shí)，首先必須注意變換的等價(jià)性，避免不必要的運(yùn)算失誤3奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù)易錯(cuò)防范1曲線yf(x)“在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線”與“過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)的切線”的區(qū)別：前者P(x0，y0)為切點(diǎn)，而后者P(x0，y0)不一定為切點(diǎn)2利用公式求導(dǎo)時(shí)要特別注意除法公式中分子的符號(hào)，防止與乘法公式混淆3直線

15、與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不是切線的本質(zhì)，直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線不一定是曲線的切線，同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的公共點(diǎn)4曲線未必在其切線的同側(cè)，如曲線yx3在其過(guò)(0,0)點(diǎn)的切線y0的兩側(cè)一、選擇題1曲線yex在點(diǎn)A(0,1)處的切線斜率為()A1 B2 Ce D.解析：選A由題意知yex，故所求切線斜率kexx0e01.2(2016·撫州模擬)已知函數(shù)f(x)cos x，則f()f()A B C D解析：選Cf(x)cos x(sin x)，f()f·(1).3設(shè)曲線y在點(diǎn)處的切線與直線xay10平行，則實(shí)數(shù)a等于()A1 B. C2 D2

16、解析：選Ay，yx1，由條件知1，a1.4(2016·西安模擬)設(shè)直線yxb是曲線yln x(x>0)的一條切線，則實(shí)數(shù)b的值為()Aln 21 Bln 22C2ln 21 D2ln 22解析：選A設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，ln x0)，則，即x02，切點(diǎn)坐標(biāo)為(2，ln 2)，又切點(diǎn)在直線yxb上，ln 21b，即bln 21.5(2016·上饒模擬)若點(diǎn)P是曲線yx2ln x上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線yx2的最小值為()A1 B. C. D.解析：選B因?yàn)槎x域?yàn)?0，)，所以y2x1，解得x1，則在P(1,1)處的切線方程為xy0，所以兩平行線間的距離為d.二、填空題6

17、已知函數(shù)f(x)xln x，若f(x0)2，則x0_.解析：f(x)ln x1，由f(x0)2，即ln x012，解得x0e.答案：e7若直線l與冪函數(shù)yxn的圖像相切于點(diǎn)A(2,8)，則直線l的方程為_(kāi)解析：由題意知，A(2,8)在yxn上，2n8，n3，y3x2，直線l的斜率k3×2212，又直線l過(guò)點(diǎn)(2,8)y812(x2)，即直線l的方程為12xy160.答案：12xy1608(2016·商洛模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M在曲線C：yx3x上，且在第二象限內(nèi)，已知曲線C在點(diǎn)M處的切線的斜率為2，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為_(kāi)解析：y3x21，曲線C在點(diǎn)M處的切線的斜率為2

18、，3x212，x±1，又點(diǎn)M在第二象限，x1，y(1)3(1)0，M點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0)答案：(1,0)三、解答題9已知函數(shù)f(x)x3x16.(1)求曲線yf(x)在點(diǎn)(2，6)處的切線的方程；(2)直線l為曲線yf(x)的切線，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)解：(1)可判定點(diǎn)(2，6)在曲線yf(x)上f(x)(x3x16)3x21，f(x)在點(diǎn)(2，6)處的切線的斜率為kf(2)13.切線的方程為y613(x2)，即y13x32.(2)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則直線l的斜率為f(x0)3x1，y0xx016，直線l的方程為y(3x1)(xx0)xx016.又直線l過(guò)原

19、點(diǎn)(0,0)，0(3x1)(x0)xx016，整理得，x8，x02，y0(2)3(2)1626，得切點(diǎn)坐標(biāo)(2，26)，k3×(2)2113.直線l的方程為y13x，切點(diǎn)坐標(biāo)為(2，26)10設(shè)函數(shù)yx22x2的圖像為C1，函數(shù)yx2axb的圖像為C2，已知過(guò)C1與C2的一個(gè)交點(diǎn)的兩切線互相垂直，求ab的值解：對(duì)于C1：yx22x2，有y2x2，對(duì)于C2：yx2axb，有y2xa，設(shè)C1與C2的一個(gè)交點(diǎn)為(x0，y0)，由題意知過(guò)交點(diǎn)(x0，y0)的兩條切線互相垂直(2x02)·(2x0a)1，即4x2(a2)x02a10，又點(diǎn)(x0，y0)在C1與C2上，故有2x(a2)

20、x02b0.由消去x0，可得ab.1下面四個(gè)圖像中，有一個(gè)是函數(shù)f(x)x3ax2(a21)x1(aR)的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖像，則f(1)()A. B C. D或解析：選Df(x)x22axa21，f(x)的圖像開(kāi)口向上，則排除若f(x)的圖像為，此時(shí)a0，f(1)；若f(x)的圖像為，此時(shí)a210，又對(duì)稱軸xa0，a1，f(1).2已知曲線C：f(x)x3axa，若過(guò)曲線C外一點(diǎn)A(1,0)引曲線C的兩條切線，它們的傾斜角互補(bǔ)，則a的值為()A. B2 C2 D解析：選A設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(t，t3ata)由題意知，f(x)3x2a，切線的斜率kyxt3t2a，所以切線方程為y(t3ata)(3

21、t2a)(xt).將點(diǎn)A(1,0)代入式得(t3ata)(3t2a)(1t)，解得t0或t.分別將t0和t代入式，得ka和ka，由題意得它們互為相反數(shù)，故a.3函數(shù)f(x)exx2x1與g(x)的圖像關(guān)于直線2xy30對(duì)稱，P，Q分別是函數(shù)f(x)，g(x)圖像上的動(dòng)點(diǎn)，則|PQ|的最小值為()A. B. C. D2解析：選D因?yàn)閒(x)與g(x)的圖像關(guān)于直線2xy30對(duì)稱，所以當(dāng)f(x)與g(x)在P，Q處的切線與2xy30平行時(shí)，|PQ|的長(zhǎng)度最小f(x)ex2x1，令ex2x12，得x0，此時(shí)P(0,2)，且P到2xy30的距離為，所以|PQ|min2.4若曲線f(x)ax3ln x存

22、在垂直于y軸的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：由題意，可知f(x)3ax2，又存在垂直于y軸的切線，所以3ax20，即a(x>0)，故a(，0)答案：(，0)5已知函數(shù)f(x)x32x23x(xR)的圖像為曲線C.(1)求過(guò)曲線C上任意一點(diǎn)切線斜率的取值范圍；(2)若在曲線C上存在兩條相互垂直的切線，求其中一條切線與曲線C的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍解：(1)由題意得f(x)x24x3，則f(x)(x2)211，即過(guò)曲線C上任意一點(diǎn)切線斜率的取值范圍是1，)(2)設(shè)曲線C的其中一條切線的斜率為k，則由(2)中條件并結(jié)合(1)中結(jié)論可知，解得1k0或k1，故由1x24x30或x24x31，得

23、x(，2(1,3)2，)第二節(jié)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值考綱要求：1.了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次)2了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次)；會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次)1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(1)極大值：在包含x0的一個(gè)區(qū)間(a，b)內(nèi)，函數(shù)yf(x)在任何一點(diǎn)的函數(shù)值都小于x0點(diǎn)的函數(shù)值，稱點(diǎn)x0為函數(shù)yf(x)的極大值點(diǎn)，其函數(shù)值f(x0)為函數(shù)的極大值(2)極小值：在包含x0的一個(gè)區(qū)間(

24、a，b)內(nèi)，函數(shù)yf(x)在任何一點(diǎn)的函數(shù)值都大于x0點(diǎn)的函數(shù)值，稱點(diǎn)x0為函數(shù)yf(x)的極小值點(diǎn)，其函數(shù)值f(x0)為函數(shù)的極小值(3)極值：極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)3函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)(1)函數(shù)f(x)在a，b上有最值的條件：一般地，如果在區(qū)間a，b上，函數(shù)yf(x)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值(2)求函數(shù)yf(x)在a，b上的最大值與最小值的步驟為求函數(shù)yf(x)在(a，b)內(nèi)的極值；將函數(shù)yf(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值1判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打

25、“×”)(1)f(x)>0是f(x)為增函數(shù)的充要條件()(2)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)越小，函數(shù)的變化越慢，函數(shù)的圖像就越“平緩”()(3)函數(shù)的極大值不一定比極小值大()(4)對(duì)可導(dǎo)函數(shù)f(x)，f(x0)0是x0點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件()(5)函數(shù)的極大值一定是函數(shù)的最大值()(6)開(kāi)區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無(wú)最值()答案：(1)×(2)×(3)(4)×(5)×(6)2函數(shù)f(x)exx的減區(qū)間為_(kāi)答案：(，0)3已知f(x)x3ax在1，)上是增函數(shù)，則a的最大值是_答案：34函數(shù)f(x)x34x4的極大值為_(kāi)答案：5函數(shù)y2x32x2在區(qū)間1,2上

26、的最大值是_解析：y6x24x，令y0，得x0或x.f(1)4，f(0)0，f，f(2)8.最大值為8.答案：8典題1設(shè)函數(shù)f(x)x3x2bxc，曲線yf(x)在點(diǎn)(0，f(0)處的切線方程為y1.(1)求b，c的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)設(shè)函數(shù)g(x)f(x)2x，且g(x)在區(qū)間(2，1)內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍聽(tīng)前試做(1)f(x)x2axb，由題意得即(2)由(1)得，f(x)x2axx(xa)當(dāng)a0時(shí)，f(x)x20恒成立，即函數(shù)f(x)在(，)內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)當(dāng)a>0時(shí)，由f(x)>0得，x>a或x<0；由f(x)<0得0&

27、lt;x<a.即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，0)，(a，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，a)當(dāng)a<0時(shí)，由f(x)>0得，x>0或x<a；由f(x)<0得，a<x<0.即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，a)，(0，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(a,0)(3)g(x)f(x)2x2ax2，且g(x)在(2，1)內(nèi)為減函數(shù)，g(x)0，即x2ax20在(2，1)內(nèi)恒成立，即解得a3，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(，3探究1在本例(3)中，若g(x)的單調(diào)減區(qū)間為(2，1)，如何求解？解：g(x)的單調(diào)減區(qū)間為(2，1)，x12，x21是g(x)0的兩個(gè)根，(2)(1)a，

28、即a3.探究2在本例(3)中，若g(x)在區(qū)間(2，1)內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間，如何求解？解：g(x)x2ax2，依題意，存在x(2，1)，使不等式g(x)x2ax2<0成立，即x(2，1)時(shí)，a<max2，當(dāng)且僅當(dāng)x即x時(shí)等號(hào)成立所以滿足要求的a的取值范圍是(，2)探究3在本例(3)中，若g(x)在區(qū)間(2，1)內(nèi)不單調(diào)，如何求解？解：g(x)在(2，1)內(nèi)不單調(diào)，g(x)x2ax2，g(2)·g(1)<0或由g(2)·g(1)<0，得(62a)·(3a)<0，無(wú)解由得即解得3<a<2，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(3，2)探究4在

29、本例(3)中，若函數(shù)g(x)在R上為單調(diào)函數(shù)，如何求解？解：g(x)x2ax2，要使g(x)在R上為單調(diào)函數(shù)，則g(x)0恒成立，a280，即a28，2a2.即實(shí)數(shù)a的取值范圍為2，2 解題模板利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟特別提醒：若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在指定的區(qū)間D上單調(diào)遞增(減)，求參數(shù)范圍問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為f(x)0(或f(x)0)恒成立問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式，要注意“”不能省略，否則可能會(huì)漏解函數(shù)的極值是每年高考的必考內(nèi)容，題型既有選擇題、填空題，也有解答題，難度適中，為中高檔題，且主要有以下幾個(gè)命題角度：角度一：求函數(shù)的極值典題2(2016·九江模擬)已知函數(shù)f(x)(k0)求函數(shù)f

30、(x)的極值聽(tīng)前試做f(x)，其定義域?yàn)?0，)，則f(x).令f(x)0，得x1，當(dāng)k>0時(shí)，若0<x<1，則f(x)>0；若x>1，則f(x)<0，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，即當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)f(x)取得極大值.當(dāng)k<0時(shí)，若0<x<1，則f(x)<0；若x>1，則f(x)>0，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增，即當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)f(x)取得極小值.解題模板利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的步驟角度二：已知極值求參數(shù)典題3(1)(2016·金華十校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)x(ln

31、xax)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_(2)(2016·上饒模擬)設(shè)函數(shù)f(x)ln xax2bx，若x1是f(x)的極大值點(diǎn)，則a的取值范圍為_(kāi)聽(tīng)前試做(1)f(x)(ln xax)xln x12ax，令f(x)0，得2a.設(shè)(x)，則(x)，易知(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，所以(x)max(1)1，則(x)的大致圖像如圖所示，若函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則直線y2a和y(x)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，所以0<2a<1，得0<a<.(2)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)axb，由f(1)0，得b1a.f(x)axa1.若a0，當(dāng)0&

32、lt;x<1時(shí)，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，所以x1是f(x)的極大值點(diǎn)若a<0，由f(x)0，得x1或x.因?yàn)閤1是f(x)的極大值點(diǎn)，所以>1，解得1<a<0.綜合得a的取值范圍是a>1.答案：(1)(2)(1，)(1)可導(dǎo)函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處取得極值的充要條件是f(x0)0，且在x0左側(cè)與右側(cè)f(x)的符號(hào)不同(2)若函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有極值，那么yf(x)在(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)函數(shù)沒(méi)有極值典題4(2015·新課標(biāo)全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x

33、)ln xa(1x)(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)f(x)有最大值，且最大值大于2a2時(shí)，求a的取值范圍聽(tīng)前試做(1)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)a.若a0，則f(x)>0，所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞增若a>0，則當(dāng)x時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x時(shí)，f(x)<0.所以f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)由(1)知，當(dāng)a0時(shí)，f(x)在(0，)上無(wú)最大值；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在x處取得最大值，最大值為flnaln aa1.因此f>2a2等價(jià)于ln aa1<0.令g(a)ln aa1，則g(a)在(0，)上單調(diào)遞增，g(1)0.于是，當(dāng)0&

34、lt;a<1時(shí)，g(a)<0；當(dāng)a>1時(shí)，g(a)>0.因此，a的取值范圍是(0,1)解題模板利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的步驟已知函數(shù)f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求f(x)在區(qū)間0,1上的最小值解：(1)由題意知f(x)(xk1)ex.令f(x)0，得xk1.f(x)與f(x)的情況如下：x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)ek1所以，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，k1)；單調(diào)遞增區(qū)間是(k1，)(2)當(dāng)k10，即k1時(shí)，f(x)在0,1上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間0,1上的最小值為f(0)k；當(dāng)0<k1<1，即1<k<

35、;2時(shí)，f(x)在0，k1上單調(diào)遞減，在k1,1上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間0,1上的最小值為f(k1)ek1；當(dāng)k11，即k2時(shí)，f(x)在0,1上單調(diào)遞減，所以f(x)在區(qū)間0,1上的最小值為f(1)(1k)e.綜上，當(dāng)k1時(shí)，f(x)在0,1上的最小值為f(0)k；當(dāng)1<k<2時(shí)，f(x)在0,1上的最小值為f(k1)ek1；當(dāng)k2時(shí)，f(x)在0,1上的最小值為f(1)(1k)e.課堂歸納感悟提升方法技巧1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值可列表觀察函數(shù)的變化情況，直觀而且條理，減少失分2求極值、最值時(shí)，要求步驟規(guī)范、表格齊全；含參數(shù)時(shí)，要討論參數(shù)的大小3若函數(shù)f(x)

36、的圖像連續(xù)不斷，則f(x)在a，b內(nèi)一定有最值4若函數(shù)f(x)在a，b內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則f(x)一定在區(qū)間端點(diǎn)處取得最值5若函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則相應(yīng)的極值點(diǎn)一定是函數(shù)的最值點(diǎn)易錯(cuò)防范1求函數(shù)最值時(shí)，不可想當(dāng)然地認(rèn)為極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)，要通過(guò)認(rèn)真比較才能下結(jié)論2解題時(shí)要注意區(qū)分求單調(diào)性和已知單調(diào)性的問(wèn)題，處理好f(x)0時(shí)的情況；區(qū)分極值點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)一、選擇題1已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)ax2bxc的圖像如圖所示，則f(x)的圖像可能是()解析：選D當(dāng)x<0時(shí)，由導(dǎo)函數(shù)f(x)ax2bxc<0，知相應(yīng)的函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)x>0

37、時(shí)，由導(dǎo)函數(shù)f(x)ax2bxc的圖像可知，導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(0，x1)內(nèi)的值是大于0的，則在此區(qū)間內(nèi)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增2函數(shù)yx2ln x的單調(diào)遞減區(qū)間為()A(0,1) B(0，)C(1，) D(0,2)解析：選A對(duì)于函數(shù)yx2ln x，易得其定義域?yàn)閤|x>0，yx，令<0，又x>0，所以x21<0，解得0<x<1，即函數(shù)yx2ln x的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)3(2016·漢中模擬)已知函數(shù)f(x)(2xx2)ex，則()Af()是f(x)的極大值也是最大值Bf()是f(x)的極大值但不是最大值Cf()是f(x)的極小值也是最小值Df(x)沒(méi)

38、有最大值也沒(méi)有最小值解析：選A由題意得f(x)(22x)ex(2xx2)ex(2x2)ex，當(dāng)<x<時(shí)，f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x<或x>時(shí)，f(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，所以f(x)在x處取得極大值f()2(1)e>0，在x處取得極小值f()2(1)e<0，又當(dāng)x<0時(shí)，f(x)(2xx2)ex<0，所以f()是f(x)的極大值也是最大值4函數(shù)f(x)ln xx在區(qū)間(0，e上的最大值為()A1e B1 Ce D0解析：選B因?yàn)閒(x)1，當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x(1，e時(shí)，f(x)<0，

39、所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間是(1，e，所以當(dāng)x1時(shí)，f(x)取得最大值ln 111.5已知函數(shù)f(x)x在(，1)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A1，) B(，0)(0,1C(0,1 D(，0)1，)解析：選D函數(shù)f(x)x的導(dǎo)數(shù)為f(x)1，由于f(x)在(，1)上單調(diào)遞增，則f(x)0在(，1)上恒成立，即x2在(，1)上恒成立由于當(dāng)x<1時(shí)，x2>1，則有1，解得a1或a<0.二、填空題6(2016·上饒模擬)f(x)x33xa有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是_解析：由f(x)3x23>0，解得單調(diào)遞增區(qū)間為(，1)，(

40、1，)，f(x)<0得單調(diào)遞減區(qū)間為(1,1)要有3個(gè)不同零點(diǎn)需滿足解得a(2,2)答案：(2,2)7若函數(shù)f(x)x312x在區(qū)間(k1，k1)上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_解析：因?yàn)閥3x212，由y>0，得函數(shù)的增區(qū)間是(，2)及(2，)，由y<0，得函數(shù)的減區(qū)間是(2，2)，由于函數(shù)在(k1，k1)上不是單調(diào)函數(shù)，所以k1<2<k1或k1<2<k1，解得3<k<1或1<k<3.答案：(3，1)(1,3)8已知函數(shù)f(x)1x，若函數(shù)f(x)的零點(diǎn)均在a，b(a<b，a，bZ)內(nèi)，則ba的最小值是_解析：f(

41、x)1xx2x3x2 014當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>0，當(dāng)x<1時(shí)，f(x)>0，所以f(x)單調(diào)遞增，而f(0)1，f(1)<0，所以f(x)存在唯一零點(diǎn)x0(1,0)，當(dāng)a1，b0時(shí)，ba取得最小值1.答案：1三、解答題9已知函數(shù)f(x)x1aln x，a>0.討論f(x)的單調(diào)性解：由題意知，f(x)的定義域是(0，)，導(dǎo)函數(shù)f(x)1.設(shè)g(x)x2ax2，二次方程g(x)0的判別式a28.當(dāng)<0，即0<a<2時(shí)，對(duì)一切x>0都有f(x)>0.此時(shí)f(x)是(0，)上的單調(diào)遞增函數(shù)當(dāng)0，即a2 時(shí)，僅對(duì)x有f(x)0，對(duì)其

42、余的x>0都有f(x)>0.此時(shí)f(x)是(0，)上的單調(diào)遞增函數(shù)當(dāng)>0，即a>2時(shí)，方程g(x)0有兩個(gè)不同的實(shí)根x1，x2，0<x1<x2.所以f(x)，f(x)隨x的變化情況如下表：x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)極大值極小值此時(shí)f(x)在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增10(2016·衡陽(yáng)模擬)已知函數(shù)f(x)xaln x.(1)若f(x)無(wú)極值點(diǎn)，求a的取值范圍；(2)設(shè)g(x)x(ln x)a，當(dāng)a取(1)中的最大值時(shí)，求g(x)的最小值解：(1)由題意f(x)1.由于f(x)無(wú)極值點(diǎn)，故x2a

43、x10在(0，)上恒成立，即ax，x(0，)恒成立，又x2(x1時(shí)取等號(hào))，即min2，所以a2.即a的取值范圍為(，2(2)當(dāng)a2時(shí)，g(x)x(ln x)2，g(x)12ln x·.設(shè)k(x)x22xln x1.k(x)2x2ln x22(x1ln x)，下面證明ln xx1.設(shè)m(x)ln xx1，m(x)1，x(0,1)時(shí)，m(x)>0，m(x)單調(diào)遞增，x(1，)時(shí)，m(x)<0，m(x)單調(diào)遞減，m(x)m(1)0，即ln xx1.k(x)0，故k(x)在(0，)上單調(diào)遞增，又k(1)0，所以x(0,1)時(shí)，k(x)<0，g(x)<0，g(x)單調(diào)

44、遞減，x(1，)時(shí)，k(x)>0，g(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，g(x)g(1)2，故g(x)的最小值為2.1(2016·渭南模擬)設(shè)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，其圖像如右圖所示，則導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖像可能是()解析：選B由f(x)的圖像可知，當(dāng)x<0時(shí)，是減函數(shù)，f(x)<0，排除C、D兩項(xiàng)，當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)的單調(diào)性是先減后增再減當(dāng)x時(shí)，f(x)<0，故選B.2已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)為yf(x)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)>0，若af，b2f(2)，cf，則a，b，c的大小關(guān)系正確的是()Aa<c<b Bb<c&l

45、t;aCa<b<c Dc<a<b解析：選A構(gòu)造函數(shù)h(x)xf(x)，h(x)f(x)x·f(x)，yf(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，h(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的偶函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，h(x)f(x)x·f(x)>0，此時(shí)函數(shù)h(x)單調(diào)遞增afh，b2f(2)2f(2)h(2)，c·fhh(ln 2)h(ln 2)，又2>ln 2>，b>c>a.3若不等式2y2x2c(x2xy)對(duì)任意滿足x>y>0的實(shí)數(shù)x，y恒成立，則實(shí)數(shù)c的最大值為_(kāi)解析：由x>y>0,2y2x2c(x2x

46、y)得c，即c.設(shè)t，則t>1，令g(t)1，g(t)，當(dāng)1<t<2時(shí)，g(t)<0，當(dāng)t>2時(shí)，g(t)>0，所以g(t)ming(2)24.則c24，即實(shí)數(shù)c的最大值為24.答案：244(2016·煙臺(tái)模擬)已知函數(shù)f(x)ax2x(a>0，且a1)(1)當(dāng)a2時(shí)，求曲線f(x)在點(diǎn)P(2，f(2)處的切線方程；(2)若f(x)的值恒非負(fù)，試求a的取值范圍；(3)若函數(shù)f(x)存在極小值g(a)，求g(a)的最大值解：(1)當(dāng)a2時(shí)，f(x)2x2x，所以f(x)2xln 22，所以f(2)4ln 22，又f(2)0，所以所求切線方程為y

47、(4ln 22)(x2)(2)當(dāng)x0時(shí)，f(x)0恒成立；當(dāng)x>0時(shí)，若0<a<1，則x>1時(shí)，f(x)<12<0，與題意矛盾，故a>1.由f(x)0知ax2x，所以xln aln(2x)，所以ln a.令g(x)，則g(x)，令g(x)0，則x，且0<x<時(shí)，g(x)>0，x>時(shí)，g(x)<0，則g(x)maxg，所以ln a，ae，即a的取值范圍為e，)(3)f(x)axln a2，當(dāng)0<a<1時(shí)，ax>0，ln a<0，則f(x)<0，所以f(x)在R上為減函數(shù)，f(x)無(wú)極小值當(dāng)a&g

48、t;1時(shí)，設(shè)方程f(x)0的根為t，得at，即tloga，所以f(x)在(，t)上為減函數(shù)，在(t，)上為增函數(shù)，所以f(x)的極小值為f(t)at2t2，即g(a)2，又a>1，所以>0.設(shè)h(x)xxln x，x>0，則h(x)1ln xx·ln x，令h(x)0，得x1，所以h(x)在(0,1)上為增函數(shù)，在(1，)上為減函數(shù)，所以h(x)的最大值為h(1)1，即g(a)的最大值為1，此時(shí)ae2.第三節(jié)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用典題1(2015·北京高考)設(shè)函數(shù)f(x)kln x，k>0.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)證明：若f(x)存在零點(diǎn)，則

49、f(x)在區(qū)間(1， 上僅有一個(gè)零點(diǎn)聽(tīng)前試做(1)由f(x)kln x(k>0)，得x>0且f(x)x.由f(x)0，解得x(負(fù)值舍去)f(x)與f(x)在區(qū)間(0，)上的情況如下：x(0，)(，)f(x)0f(x)所以，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，)，單調(diào)遞增區(qū)間是(，)f(x)在x處取得極小值f().(2)證明：由(1)知，f(x)在區(qū)間(0，)上的最小值為f().因?yàn)閒(x)存在零點(diǎn)，所以0，從而ke.當(dāng)ke時(shí)，f(x)在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞減，且f()0，所以x是f(x)在區(qū)間(1， 上的唯一零點(diǎn)當(dāng)k>e時(shí)，f(x)在區(qū)間(1， 上單調(diào)遞減，且f(1)>0，f

50、()<0，所以f(x)在區(qū)間(1， 上僅有一個(gè)零點(diǎn)綜上可知，若f(x)存在零點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間(1， 上僅有一個(gè)零點(diǎn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，一方面用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助零點(diǎn)存在性定理判斷；另一方面，也可將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點(diǎn)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合來(lái)解決(2016·濰坊模擬)已知函數(shù)f(x)x2，g(x)aln x(a>0)(1)求函數(shù)F(x)f(x)·g(x)的極值；(2)若函數(shù)G(x)f(x)g(x)(a1)x在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)由題意知，F(xiàn)(x)f(x)·g(x)ax2ln x，F(xiàn)(x)axln xaxax(2ln