導(dǎo)數(shù)應(yīng)用論文

1、業(yè)設(shè)計(jì)（論文）題目:導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用院系：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系專業(yè)：信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)班級(jí)：2008級(jí)本科2班姓名：付洋潔學(xué)號(hào)：20080502074指導(dǎo)教師：崔永剛2012年5月29日導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用【摘要】 導(dǎo)數(shù)是連接初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的橋梁，用它可以解決許多數(shù)學(xué)問題， 它是數(shù)學(xué)分析中的熱點(diǎn) . 通過例題從簡(jiǎn)單應(yīng)用和綜合應(yīng)用來說明導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，如 在函數(shù)單調(diào)性、極值，不等式證明、實(shí)際問題應(yīng)用介紹，【關(guān)鍵詞】 導(dǎo)數(shù) 初等數(shù)學(xué) 高等數(shù)學(xué) 應(yīng)用applications of the derivative【 Abstract】 Based on the basic theories of differential

2、and derivative, this paper aims to solve the questions related in mathematics and make an illustration of the application of derivative and differential through the simple application and comprehensive application by instances, such as introduction of application in functional monotonic, extreme, in

3、equality proof and practical questions, and to introduce the methods of using derivatives and differential in higher mathematics to solve questions of quadrate infinitive limit. As well as mineralizing the nonlinear function and the simplification of complex calculation by differential in practice,

4、introducing derivative into the economics research to turn the objects from constant into variables, thus movements and dialectics entering economics, which is a landmark with a vital significance in the history of Economics. The importance of derivative and differential, along with the wide applica

5、tion in mathematics and daily life will both be illustrated in this paper.【 Keywords】 derivative differentia functions extreme approximation目錄1 引言 12 導(dǎo)數(shù)的概念 3 導(dǎo)數(shù)的求法 3.1 顯函數(shù)導(dǎo)數(shù) 3.1.1 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算 3.1.2 復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)求導(dǎo)法則 3.1.3 基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式 3.2 隱函數(shù)導(dǎo)數(shù) 3.3 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)求導(dǎo)法 3.4 分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 4 導(dǎo)數(shù)的性質(zhì) 5 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 5.1 導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用 5.1.1

6、 利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性 5.1.2 利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)凹凸性及拐點(diǎn) 5.1.3 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值 5.1.4 利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)描繪函數(shù)圖形 5.1.5 利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)問題 5.2 導(dǎo)數(shù)在曲線中的應(yīng)用 5.3 利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根 5.4應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式5.5導(dǎo)數(shù)在數(shù)列中的應(yīng)用5.6利用導(dǎo)數(shù)求極限一一洛必達(dá)法則5.7物理學(xué)中的導(dǎo)數(shù)5.8經(jīng)濟(jì)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用結(jié)論參考文獻(xiàn)致謝1引言導(dǎo)數(shù)與微分的知識(shí)和方法在數(shù)學(xué)的許多問題上，能起到以簡(jiǎn)馭繁的作用，尤 其體現(xiàn)在判定函數(shù)相關(guān)性質(zhì)，曲線的切線，證明不等式，恒等式，研究函數(shù)的變 化形態(tài)及函數(shù)作圖上.導(dǎo)數(shù)是微分學(xué)中重要的基礎(chǔ)知識(shí)，是研究函數(shù)解析性質(zhì)的 重

7、要手段，在求函數(shù)的極值，最值方面起著“鑰匙”的作用.通過大學(xué)的課程，我 們對(duì)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)一些概念，也有了一定的認(rèn)識(shí).由導(dǎo)數(shù)定義f' x=iimQ利用極限與無窮小量之間的關(guān)系，上式可寫Ay二f Xo "X f Xo = f Xo匚X OC x)即函數(shù)在Xo處的改變量L y課表示成 兩部分：L X的線性部分f Xo Ax與厶X的高階無窮小部分AX .當(dāng)L X充分小 時(shí)，函數(shù)的改變量可由第一部分近似代替.胡-f' Xo X而計(jì)算函數(shù)改變量的精 確值，微分概念依賴于導(dǎo)數(shù)概念，但它具有獨(dú)立的意義，它是函數(shù)的局部線性化 在數(shù)學(xué)上最容易處理的函數(shù)是線性函數(shù)，借助微分可使一大批非線性函

8、數(shù)轉(zhuǎn)化為 線性函數(shù).一般來說是較繁瑣、較困難的，但是計(jì)算它的近似值相對(duì)要容易些.2導(dǎo)數(shù)的概念2.1 定義導(dǎo)數(shù)的定義lim何-仏）XT X -XofgmTm f（X 'X）f（x）右導(dǎo)數(shù):X 匚/ . X.” f (x) = Au f_(x) = f+(x) = A可以證明：可導(dǎo)=連續(xù) 即:可導(dǎo)是連續(xù)的充分條件，連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件導(dǎo)函數(shù)：f(x)2.2導(dǎo)數(shù)的幾何意義曲線y = f (x)在點(diǎn)xo處的導(dǎo)數(shù)f (怡)在幾何上表示為：曲線y = f(x)在點(diǎn)A(xo, yo)處切線的斜率.即f （Xo） =tan是過A點(diǎn)的切線的傾斜角）（如圖1）貝曲線y = f（x）在點(diǎn)A（xo,y。）處切

9、線方程為:y - y° 二 f (x°)(x - xo)3.1顯函數(shù)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算（U 二 V）= u 二 V(uv) = u V V uu '()vu V vu復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)求導(dǎo)法則yx 二 yu u(y -u -x)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則1yx-Xy（反函數(shù)求導(dǎo)法則）（c） =0（c為常數(shù)）；1(ax)處嘰I(sin x) = cosx ；I(cosx) = sinx ；1(tan x) cos x(cot x)2sin x(arcsinx"右;(arccos x)'=-1(arctan x)'=1 x21(arccot x)'

10、=基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式X 'xX ' x(a ) = a In a,(e ) = e ;3.2隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)如方程F （x, y） = 0，能確定y二y（x），只需對(duì)方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)即可.注意 y 二 y（ x）3.3由參數(shù)方程所確定的函數(shù)求導(dǎo)法參數(shù)方程X八,(J(t)=o,x二(t)存在反函數(shù)t =(x)，則：y為X的復(fù) ly= %t)II合函數(shù)，y 2(x)，所以：yx二y；tx二芒Xt ® (t)3.4 分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對(duì)分段函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，在分段點(diǎn)處必須用導(dǎo)數(shù)定義來求導(dǎo)，而在每段內(nèi)仍可用初等函數(shù)求導(dǎo)法則來求導(dǎo).分段函數(shù)點(diǎn)處極限問題，歸納為該點(diǎn)處在左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)是否一致

11、以及該 點(diǎn)處是否連續(xù)的問題4導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)前面階紹了導(dǎo)數(shù)的基本知識(shí)，現(xiàn)將用導(dǎo)函數(shù)自身的定義來探討與導(dǎo)數(shù)之間的 聯(lián)系性質(zhì)1：若函數(shù)y二f(x)是偶函數(shù)且可導(dǎo)，則其導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)是奇函數(shù).證明：由y = f (x)是偶函數(shù)，有f(-x)二f (x)則:'yf(x：x) f(x)f (-x)二 limlim拄0 Ax 心0Axf(x_Ax) f(x)=lim.x0=x-lim二0f() f(x)f(x)所以，y=f(x)是奇函數(shù)y二f (x)是偶函數(shù).同理：若函數(shù)y二f(x)是奇函數(shù)且可導(dǎo)，則其導(dǎo)函數(shù) 性質(zhì)2：若函數(shù)y二f(x)是周期函數(shù)且可導(dǎo)，則其導(dǎo)函數(shù)y二f'(x)也是

12、周期函數(shù).證明：y二f(x)是周期，有f(xT)二f(x)(X T)Wo十啊f (x T ：x) - f (x T)zx=hxm0f (x ：x) f (x)=f (x)所以，y二f'(x)是周期函數(shù)性質(zhì)3:若函數(shù)y二f(x)可導(dǎo)且圖象關(guān)于直線x二a對(duì)稱，則其導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)圖象關(guān)于點(diǎn)(a, f'(a)對(duì)稱證明：函數(shù)y = f (x)圖象關(guān)于x = a對(duì)稱，有f (x)二f(2a x)f'(2ax)沖24f(2a x)x f(XAX) f(X).-limf (x)-jP&且點(diǎn)(a, f'(a)在y=f'(x)的圖象上，所以y = f&

13、#39;(x)圖象關(guān)于點(diǎn)(a, f'(a)對(duì)稱同理：若函數(shù)y二f (x)可導(dǎo)且圖象關(guān)于點(diǎn)(a, f'(a)對(duì)稱，則其導(dǎo)函數(shù) y = f '(x)圖象關(guān)于直線x二a對(duì)稱5導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用5.1 導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)是對(duì)函數(shù)的圖像與性質(zhì)的總結(jié)與拓展，導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性極佳、最 佳的重要工具，廣泛運(yùn)用在討論函數(shù)圖像的變化趨勢(shì)及證明不等式等方面.在掌握求函數(shù)的極值和最值的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)用導(dǎo)數(shù)解決生產(chǎn)生活中的有關(guān)最大最小最 有效等類似的應(yīng)用問題利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)增減性的變化規(guī)律， 是在研究函數(shù)圖形時(shí)首先 考慮的問題.在中學(xué)，已經(jīng)知道函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)增

14、減性的定義.下面利用導(dǎo) 數(shù)這一工具來判斷函數(shù)增減性及其確定單調(diào)區(qū)間從圖形直觀分析：若在(a,b )內(nèi)，曲線上每一點(diǎn) 的導(dǎo)數(shù)都大于0,即f'(x) P，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義 知，在(a,b)內(nèi)，曲線上每一點(diǎn)的切線斜率都為正， 這時(shí)曲線是上升的，即函數(shù) y = f (x)是單調(diào)遞增的圖z(如圖2).反之，若在(a,b)內(nèi)，曲線上每一點(diǎn)的導(dǎo) 數(shù)都小于0(即曲線上每一點(diǎn)的切線斜率都為負(fù))，這 時(shí)曲線是下降的，即函數(shù)y = f(x)是單調(diào)遞減的(如 圖3)對(duì)于上升或者下降的曲線，它的切線在個(gè)別點(diǎn) 可能平行于X軸(此點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0,即f'(x) =0 ).因此，函數(shù)的增減性反映在 導(dǎo)數(shù)上，有

15、如下定理：定理1:設(shè)函數(shù)f (x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，貝 若x (a, b)時(shí)恒有f (x) .0，則f (x)在(a, b)單調(diào)增加； 若x (a, b)時(shí)恒有f'(x)：0，則f (x)在(a, b)單調(diào)減少.例1:求函數(shù)f(x)=xcosx_sin x(x _ 0)單調(diào)遞增區(qū)間解：因 f (x) =cos x -xsin x -cosx = -xsin x，由 f (x)0得 x. (2k二二，2k二 2二)(k Z )所以，f(x)=xcosx-sin x(x_0)單調(diào)遞增區(qū)間為 x 三(2kc W. ,2k ：卜2二)(k 三 Z .)例2:已知函數(shù)f (x) = x2e

16、ax(a _ 0,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，試討論函數(shù)f (x)單調(diào)性.解：因 f (x) =2xeax ax2eax = x(ax 2)eax，所以(1) 當(dāng) a=0 時(shí)，令 f'(x)=0 得 x=0 ;若x O則f'(x 0 ，從而f (x)在(0,：)上單調(diào)遞增；若x ：0,則f'(x 0 ，從而f(x)在(-：,0)上單調(diào)遞減；2(2) 當(dāng) a : 0 時(shí)，令 f'(x) =0 得 x=0 或 x =;a若x ： 0 ,則f (x 0，從而f (x)在(-匚-',0)上單調(diào)遞減；2 , 2若0 v a £ -，則f (x 0 ，從而f (

17、x)在0,-)上單調(diào)遞增；aa2，2若a ，則f (x 0，從而f (x)在-一，：)上單調(diào)遞減.aa利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)凹凸性及拐點(diǎn)在研究函數(shù)圖形的變化狀況時(shí)，知道它的上升和下降顧慮很有好處，但不能 完全反映它的變化規(guī)律如圖4所示的函數(shù)y = f(x)的圖形在區(qū)間(a,b )內(nèi)雖然是 一直上升的，但卻有不同的彎曲形狀.因此，研究函數(shù)圖形時(shí)，考察它的彎曲形 狀以及扭轉(zhuǎn)彎曲方向的點(diǎn)是必要的.從圖4看出，曲線向下彎曲的弧度在這段弧 段任意點(diǎn)的切線下方，曲線向上下彎曲的弧度在這段弧段任意點(diǎn)的切線上方，據(jù)此給出定義如下：定義1:在某區(qū)間內(nèi)，若曲線弧位于其上任意一點(diǎn)的切線上方，則稱曲線在該區(qū)間內(nèi)是上凸的(也

18、稱在該區(qū)間內(nèi)此函數(shù)為凹函數(shù))；在某區(qū)間內(nèi)，若曲線弧 位于其上任意一點(diǎn)的切線下方，則稱曲線在該區(qū)間內(nèi)是下凹的(也稱在該區(qū)間內(nèi) 此函數(shù)為凸函數(shù))那么曲線的凹凸性與導(dǎo)數(shù)之間有什么關(guān)系呢？按定義是很難判斷凹凸性的，對(duì)于凹凸性可以用二階導(dǎo)數(shù)來確定.即有判定 定理.定理2：設(shè)函數(shù)y = f(x)在區(qū)間(a, b)上具有二階導(dǎo)數(shù), 當(dāng)f"(x) ：0時(shí)，貝U曲線為凸(此時(shí)在該區(qū)間為凹函數(shù)) 當(dāng)f''(x)0時(shí)，貝U曲線為凹(此時(shí)在該區(qū)間為凸函數(shù))若曲線y = f(x)呈現(xiàn)凸?fàn)睿蓤D5 (1)直觀看出：當(dāng)x增大時(shí)，切線斜率隨之變小， 說明一階導(dǎo)數(shù)函數(shù)f'(x)在(a,b)上為

19、減函數(shù)， 由函數(shù)單調(diào)性判別法，必有f'(x)：0，即f''(x) <0 .說明：若曲線為凸性，必有f''(x) : 0 .同理，若曲線為凹，必有f"(x) O從另一角度講，該定理為二階導(dǎo)數(shù)的幾何意義定義2：若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=X°的左右鄰域上凹凸性相反，則點(diǎn)(X0,f(X。)叫做曲 線的拐點(diǎn)(注意拐點(diǎn)不是x0)由拐點(diǎn)的定義可知，判斷某點(diǎn)是否拐點(diǎn)，只需看該點(diǎn)左右兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)是否 異號(hào)，與該點(diǎn)一階、二階導(dǎo)數(shù)是否存在無關(guān)例3求函數(shù)y =3X4 -4X3 1的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).tIIoQHQ/解：因 y =12x - 12x，貝U y

20、= 36x -24x = 36x(x)3人-2令y =0，得x=0,x=.所以3X(-O0, o)o2(o，T3232(垃)3y+oo+y凹1拐點(diǎn)凸11上拐點(diǎn)27凹利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值(1) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值函數(shù)由增加變?yōu)闇p少或由減少變?yōu)樵黾樱冀?jīng)過一 個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，即圖中的“峰”點(diǎn)和“谷”點(diǎn)，這些點(diǎn)是在 研究函數(shù)中是十分重要的.定義2設(shè)函數(shù)f (x)在點(diǎn)x二X。及其某鄰域左右兩側(cè)附近有定義，若對(duì)該鄰域內(nèi)的任意點(diǎn)x ( X = X。)恒有f(x)： f (Xo)，則f(x。)為極大值；若f (x) f (xo)成立，則f (xo)為極小值.應(yīng)當(dāng)注意：極值是一個(gè)局部概念，它只限于X。的某一

21、鄰域內(nèi)，通過函數(shù)值相 比較才能顯示出來.在一個(gè)區(qū)間上，函數(shù)可能有幾個(gè)極大、極小值.可能會(huì)有極大 值小于極小值.定理2若Xo是函數(shù)f (X)的極值點(diǎn)，則f(Xo)=O或者f(X。)不存在.注意：f (Xo) =0是點(diǎn)Xo為極值點(diǎn)的必要條件，但不是充分條件.如y = X3，'2y =3x ， y |xo但(o,o)點(diǎn)不是函數(shù)極，y 不值點(diǎn)；函數(shù)f (x)在導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可1能有極值.如y =x3，yx3存在，但(o,o)點(diǎn)不是函數(shù)極值點(diǎn)(如圖7)將導(dǎo)數(shù)為o的點(diǎn)或者不可導(dǎo)的點(diǎn)統(tǒng)稱為駐點(diǎn).因此函數(shù)的極值必在駐點(diǎn)處取 得，但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，所以在求得函數(shù)極值的駐點(diǎn)后，就是找到了所有極 值可

22、疑點(diǎn).下面階紹函數(shù)在駐點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)取得極值的充分條件， 即極值的判斷方法定理3 (極限存在的充分條件)設(shè)f在X。連續(xù)，在某鄰域Uo(Xo；、J內(nèi)可導(dǎo), 若 X (X。-、：； X。)( X0 左側(cè))時(shí) f(X) 0，而 X，(Xo；X。，)( Xo 右側(cè))f (x) ： 0,則函數(shù)f (x)在x0處取極大值f(X。) 若 X (Xo-、.；X。)( Xo左側(cè))時(shí) f(X)：: 0，而 X (Xo；X。，)( Xo右側(cè))時(shí)f (x)0，則函數(shù)f (X)在Xo處取極小值f (Xo) 若Xo兩側(cè)f '(x)不變號(hào)，則f (x)在Xo處無極值.該定理的直觀含義為：函數(shù)由單調(diào)增加(或單調(diào)減

23、少)變成單調(diào)減少(或單 調(diào)增加)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，即為極大值點(diǎn)(或極小值點(diǎn))、，3 2、例4 求函數(shù)f(x)=x-x3的單調(diào)區(qū)間和極值21解：f(x)=1-x3，當(dāng)x =1時(shí)，f(x)=0 ;而x=0時(shí)f (x)不存在.因此，函數(shù) 只可能在這兩點(diǎn)取得極值.XH°,0)0(0,1)11嚴(yán))f'(x)+不存在0+f(x)極大值f(0) =0極小值1f(1) = -2匚由表可見，函數(shù)在區(qū)間(：,0，1,=)單調(diào)遞增；在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減.在x = 01處有極大值f(o)=0,在點(diǎn)x=1處有極小值f(1).2若函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)存在，有如下的判定定理；定理4(極限存在的充分條件之二)設(shè)f (

24、x) = 0，f (x)存在， 若f''(x) 0，則f(Xo)為f(x)的極小值； 若f''(x) <0，則f(Xo)為f(x)的極小值； 若f"(x) = 0，本方法無效，需用極限存在的充分條件之一這個(gè)定理來進(jìn)步判定.因?yàn)閒"(x) .0，則曲線在X。點(diǎn)的左右兩側(cè)呈凹狀，因此f(x。)為極小值；反之，若f"(X)：:0,則曲線在Xo點(diǎn)的左右兩側(cè)呈凸?fàn)?，因此f(Xo)為極大值.例5求函數(shù)f (X) = (X2 -1)3 1的極值.解：如圖 8，因?yàn)?f'(x) =6x(x2 - 1)2，令 f'(x) = 0

25、,x 二 -1,0,1.所以,f"(x) =6(x2 -1)2 6x 2(x2 -1) 2x =6(x2-1)(5x2-1)又因?yàn)閒"(0) =6a0，所以函數(shù)f (x)在x = 0處取得極小值f(0)= 0因?yàn)閒''(1)= 0 f (1,)則定理應(yīng)用定理4失效.下面利用定理3.當(dāng) x ：-1 時(shí)，f'(x) ：0 ； 當(dāng) -1 ：x ：0時(shí)，f'(x) ：0,所以函數(shù)f(x)在x=-1處無極值同理函數(shù)在x=1處去極值(2) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)和日常生活中，常遇到在一定條件下.怎樣用料最省、成本最低、 效率最高或者效益效率最好的

26、問題， 這些歸納到數(shù)學(xué)問題上，即為函數(shù)的最大值 或最小值問題.假定函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則必存在最大、最小值，其判定方法 為：找出可能為極值點(diǎn)的函數(shù)值(即區(qū)間內(nèi)使f'(x) = 0或f'(x)不存在的所有點(diǎn)的函數(shù)值)；計(jì)算出端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a), f(b):比較極值和端點(diǎn)值的大?。?其中最大的就是函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a,b上的最大值，其中最小的就是函數(shù)f(x) 在閉區(qū)間a,b上的最小值.最值與極值是不同的：極值反映的是函數(shù)形態(tài)，即極值只是與該點(diǎn)在附近的 函數(shù)值比較而言的，而對(duì)于遠(yuǎn)離該點(diǎn)的情形不予考慮；而最值則是函數(shù)整體形態(tài) 的反映，它是指函數(shù)在所考察的區(qū)間上全部

27、函數(shù)值中的最大者(或最小者).例6求函數(shù)y =sin(2x)-x在區(qū)間-/ 上的最大、最小值.2 2解：f'(x) =2cos(2x) 1，令 f'(x 0 即 2cos(2x)1=0 解得 x-,x2 =- , x 變6 6化時(shí)f'(x) , f(x)的變化如下表:x22 66(三 )6 631 石(26 231"2f'(x)0+0f(x)JI2nH -3y/3n3/3 一 兀JI-266由上表可知最大值是一，最小值為2 2例7已知a_0，函數(shù)f (x) = (x2-2ax)ex，當(dāng)x為何值時(shí)，f(x)取得最小值?解：f'(X)二X22(1-

28、a)x-2aex，由 f'(x) =0，得咅,2 =a _1 士+a2(x, ex?) (a啟0)，x變化時(shí)f'(x)， f (x)的變化如下表:x(-°°,X1)X1(X1,X2)X2(X2,址)f'(x)+00+f(x)n極大值n極小值匚當(dāng)(a_0)時(shí)，xi ：-1,X2-0.而當(dāng) x：0 時(shí)，f(x) = x(x-2a)ex 0 ；x =0時(shí)，f (0) =0.所以當(dāng)x二a -1a2 1時(shí)，f(x)取得最小值.(3) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)值域例8、求函數(shù)y . 2x , x 3的值域.解：函數(shù)的定義域?yàn)?2,=)，112 r"3 - 2x

29、4y 二(2x+4 2732蠢+4山+3又 2 Jx +3 - J2x + 4 = ,x亠3亠2x亠4可見當(dāng)X 2時(shí)，y' .0所以y - 貢N 、廠3在-2, ：）上是增函數(shù).而f（-2） = 1 ,所以函數(shù)y -藥4 、廠3的值域是-1：）（4）實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用例9甲方是一農(nóng)場(chǎng)，乙方是一工廠，由于乙方生產(chǎn)須占用甲方的資源，因此甲 方有權(quán)向乙方索賠以彌補(bǔ)經(jīng)濟(jì)損失并獲得一定的凈收入.在乙方不賠付甲方的情 況下，乙方的年利潤(rùn)x （元）與年產(chǎn)量t （噸）滿足函數(shù)關(guān)系式x = 2000“.若乙 方每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品必須賠付甲方s元（以下稱s為賠付價(jià)格）.（1）將乙方的年利潤(rùn)w （元）表示為年

30、產(chǎn)量t （噸）的函數(shù)，并求出乙方獲 的最大利潤(rùn)的年產(chǎn)量；甲方每年受乙方生產(chǎn)影響的經(jīng)濟(jì)損失金額 y=0.002（元），在乙方按 照獲得最大利潤(rùn)的產(chǎn)量進(jìn)行生產(chǎn)的前提下， 甲方要在索賠中獲得最大凈收入，應(yīng) 向乙方要求的賠付價(jià)格s是多少？解（1）由題意得，乙方的實(shí)際年利潤(rùn)為：w =2000“-st2因?yàn)?w =2000、.t -s（t） 函數(shù)關(guān)系式 v =st-0.002t2 二1000"ss（ ,t -l000）2，所以當(dāng) t 珂1000）2 時(shí)，w取sss的最大值，因此乙方獲的最大利潤(rùn)的年產(chǎn)量t珂1000）2 （噸）.s 設(shè)甲方在索賠中獲得的凈收為V元，則V=st-0.002t2，將乙方

31、獲的最大利潤(rùn)的年產(chǎn)量t珂1000）2代入上式，可得到甲方凈忙收入 v與賠付價(jià)格s之間的s32 10004，s令v = 0得s = 20.因當(dāng)s： 20時(shí)(水平漸近線)若曲線y = f (x)的定義域是無限區(qū)間，且有:lim f (x)二 b，x廠：或 xmf(x)=b，則直線y =b為曲線y = f (x)的水平漸近線.(垂直漸近線)若曲線 y = f (x)有：lim f (x)-：:，或 lim f (x)-:，則直線xx冶十X =c為曲線y =f(x)的垂直漸近線.(斜漸近線)若lim f(x) -(ax b)0成立，則y = ax b是曲線的一條斜漸 x_.近線.由 lim f (x)

32、 - (ax b) = 0 有:x_.所以lim x-a b = 0 x g xxlimda=0 x G Xxa lim上兇求出并代入 x 匚:：xm f -x ( a xl i mx- (a x ( b即可確定X 1 二：例10、2求曲線y二丄的漸近線解：因lim，所以x = -1是曲線的垂直漸近線X Q x 1由 a = lim = lim x1x xx +1和 bpmf(x)-axpm二-刈豈叫/一1可知y二x -1是曲線的斜漸近線(2)函數(shù)圖形的作法描繪圖形的一般步驟如下：確定函數(shù)的定義域、值域及函數(shù)初等形態(tài)(對(duì)稱性、周期性、奇偶性)等; 求出 f'(x)， f"(x

33、)； 列表討論函數(shù)單調(diào)性、凹凸性及極值、拐點(diǎn); 確定曲線的漸近線； 由曲線方程找出一些特殊點(diǎn)的坐標(biāo)； 用光滑曲線連接，畫出y= f(x)的圖象.例11、作函數(shù)y二4篤衛(wèi)_2的圖形X解：函數(shù)的定義域?yàn)閤|x = O,xRy'二4(x 2)_3，x8(x 3)4 x令 y = 0，得 x = -2 ；令y = 0，得x = -3.列表如下:x(-3,-2)-2(-2,0)0(0,址)1y0+不存在Hy0+不存在+y拐點(diǎn)269極小值-3不存在匚又；龍叫4(；2 U -2八,.x = -2為曲線的水平漸進(jìn)線 V I叫4(：2 “ _2=二,X =0為曲線的鉛垂?jié)u進(jìn)線曲線經(jīng)過(1 +逅0)，(1

34、-73,0)2(1,6)，(2,1)，(3,)這幾個(gè)點(diǎn)9，(-1,2)，通過上面的討論可大致繪出圖形利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)問題(如圖9)111r11iiyiir1 + /X利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的范圍，它是利-用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性、極值、最值的延伸.x = -2例12已知向量：=(x2,x+1)，2 = (1-x,t)，若f(x) = ab在區(qū)間(-1,1)上是增 函數(shù)，求t的取值范圍.解：由向量的數(shù)量積定義，f (x) = a b = x2(1 -x) t(x T) = x3 x2 tx t.f'(x -3x2 2x t，又 f(x)=ab在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù)，貝U f'(x)_

35、O=t _3x2 -2x在(-1,1) 上恒成立.令 g(x)=3x22x 在區(qū)間-1,1上，則 g(x)max 二 g(-1) = 5 ,故在區(qū)間(-1,1)上使t _g(x)恒成立，只需t _g(1)即可，即t _5.即 t的取值范圍是5,二).5.2 導(dǎo)數(shù)在曲線中的應(yīng)用曲線y = f(x)在點(diǎn)xo處的導(dǎo)數(shù)f (xo)在幾何上表示為：曲線y = f(x)在點(diǎn)A(Xo,y°)處切線的斜率.即 f'(Xo) =tan ：.利用導(dǎo)數(shù)這一幾何意義可以幫助我們解決解析幾何中有關(guān)曲線的一些問題 例13已知拋物線g : y =x2 2x和拋物線C2: y - -x2 a，當(dāng)a取何值時(shí)，

36、g和c2 有且僅有一條公切線？寫出公切線的方程.解：函數(shù)y=x2,2x的導(dǎo)數(shù)y'=2x，2，曲線&在點(diǎn)卩區(qū)用假論)的切線方程是2 2y-(X1 2x,)=(2x1 2)(x-xJ，即 丫=(2人 2以-人(1)函數(shù)y = a的導(dǎo)數(shù)y= -2x，曲線C2在點(diǎn)Q(X2, -x； a)的切線方程是2 2y -(-禺 a) = 2 x ( x -；x)即 y = -2x2x x-i a(2) 若直線I是過P和Q的公切線，貝(1)式和(2)式都是I的方程所以 y=(2x2)y = _2x2x x1 a消去X2得方程2x' 2x1 a O，由于公切線僅有11一條，所以當(dāng)LI = 4

37、 -8(1 a0，即a = -時(shí)解得x -,此時(shí)公切線方程為221y = x4例14已知P是拋物線y1解：令 h(x) g(x2) - f(1 x2)X2 -1 n(1 X2) =k 2=4x上的動(dòng)點(diǎn)，求過P到直線x + y + 5 = 0的最小距離.解：(如圖10)由y2 =4x得y = 2 . x易知y = 一2 x上的點(diǎn)到直線x y 5 = 0的距離最小.于是曲線y - -2.、乞上過點(diǎn)p(x, y)且與直線xy5=0平行的斜率為k = y =貝 U y 一2，2xx(x-1)(x 1)那么點(diǎn)p(1,2)到直線x + y +5=0的距離為 m5|=272J2故拋物線y2二4x上的動(dòng)點(diǎn)，求

38、過P到直線x y0的最小距離為 2 2 .5.3 利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根例15已知f(x) =ln x, g(x) =x，是否存在實(shí)數(shù)k，使方程丄g(x2) - f (1 x2) = k2有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由.1x2令h(x)=0,得x = -101 .當(dāng)x變化時(shí)，h(x)、h(x)的變化關(guān)系如下表:x(-°°,T)-1(T,0)0(0,1)1(1,p)h'(x)0+00+h(x)極小值ln 22匚極大 值0極小值ln 2 2故存在k (丄一In 2,0)，使方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根25.4 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式利用高中新增內(nèi)容

39、的導(dǎo)數(shù)來證明不等式，關(guān)鍵是“構(gòu)造函數(shù)” ，解決問題的 依據(jù)是函數(shù)的單調(diào)性，這一方法在高等數(shù)學(xué)中應(yīng)用的非常廣泛， 體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)的工 具，也是與高等數(shù)學(xué)接軌的有力點(diǎn).例16若x -1，證明：In (x1)空x證明：令 f(x) =ln(x 1)x則訶叮xx 1又 x 1，則 x 10則當(dāng)-1：x：0 時(shí)，f'(x)0， f (x)為增函數(shù)當(dāng)x 0時(shí)，f'(x)：0, f (x)為減函數(shù)所以當(dāng)x=0時(shí)，f(x)取得最大值g(x) = xln x ，設(shè)0 ： a ： b 證明：因此當(dāng)x -1時(shí)恒有f (x)乞0，即x -1時(shí)，有In(x 1)乞x例 17 已知函數(shù) f (x) =ln(1

40、 x) -x ，0 ： g 電)g b )g 2(:b -)a證明：由 g(x)=xlnx有 g'(x) =lnx 1a + x設(shè) F(x)二g(a) g(x) -2g(-)則 F'(x) =1 nx 1-2g()' =ln x-l n當(dāng)0：a：x時(shí)，F(xiàn)'(x)：0，當(dāng)x a時(shí)，F(xiàn)'(x)0因此，F(xiàn)(x)在區(qū)間(0, a)內(nèi)是減x二a，F(xiàn)(x)有最小值函數(shù)，在區(qū)間a,函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，于是在F(a) =0又 b a，所以g(a) g(b)-2g(節(jié))；o + x設(shè) G(x) =g(a) g(x) -2g( -) - (x a)ln 2 ,2ax&#

41、39;則 G (x) = g (x) -2g() -In 2 = In x-ln(a x)2當(dāng)x 0時(shí)，G'(x)：O，因此G(x)在區(qū)間(0,=)內(nèi)為減函數(shù)；因?yàn)?G(a) =0，b a，所以 G(b) < 0，a + b即：g(a) g(b)-2g( )：(b-a)1 n2.綜上述：0 ： g(a) g(b) -2g(a £ b) ： (b-a)ln 25.5 導(dǎo)數(shù)在數(shù)列中的應(yīng)用例18、已知函數(shù)f(xV，數(shù)列an滿足f(log2an) 一 2 n(1) 求 an ；(2) 證明數(shù)列an是遞減數(shù)列1解：(1)由已知有 an 一-2n，即 a2 2nan -1 = 0a

42、n得 an 二-n 二n2 1又 an 0，所以 an 二-n n2 1(2) 令 f (x) - -x i x2 1則仙一亂-1，因一亂"，所以f(x)<0所以f(x)是遞減函數(shù)，貝U f(n)也是遞減的所以數(shù)列an是遞減數(shù)列例19已知數(shù)列n，求此數(shù)列的最大項(xiàng)n+10000解：考察函數(shù)f(x)二二x 10000(X _1)，則 f'(x)二10000 -x2、x(x 10000)人11令 f(x)"則 “0000,而 f(1000f，f 怖JU x 10000而 lim f (x) = lim =0x J-：:1 將 f (10000)，f(1)及 lim

43、f(x)比較知，f(x)的最大值為 f (10000) =J和200故該數(shù)列最大項(xiàng)為第10000項(xiàng)，這一項(xiàng)的值為12005.6利用導(dǎo)數(shù)求極限洛必達(dá)法則“0”型和“二”型0定理若函數(shù)f(x)與g(x)滿足條件:(1)lim f(x) = lim g(x)=0(或二)，x )ax一a(x廠)(x廠)(2)f'(x), g'(x)存在，且 g(x)' = 0，(3)limf(x)存在.則必有：lim他 減)g(x)= lim 也 /；：)g(x)x-xe e -2x . x解：lim ee =limxsi nxxt0 1cosxxe e-xx-xe e二 limlim2x s

44、inx x 10 cosx5.6.2其他形式0O0洛必達(dá)法則只適應(yīng)于“ 0”型和“一”型，對(duì)于其他式子，需要經(jīng)過一系列0旳0O0變換轉(zhuǎn)化為“ 0”型和“一”型，在利用洛必達(dá)法則來求解.其步驟如下：0旳表示可轉(zhuǎn)化為) 1 1 0 :-型'或0 -旳0 型 > 丄-丄型，再經(jīng)過通分> 口 型.0 0 0 0 對(duì)于00型，1：型，：:0型，先取對(duì)數(shù) 0 -:型，在利用的方法求解例21求下列極限 lim x( _arctan x)21In x1lim x1x "解：（0 :型）lim x( arctanx) = limx2x .JIarcta nx2limx ，:購(gòu)（：-

45、：型）1 、 x In xx 1 )=limIn x x 1 & -1)|n xlnx(1 :型)lim x仁=lime仁lim巴5.7 物理學(xué)中的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)是一個(gè)量對(duì)另一個(gè)量的變化率，在物理學(xué)中，物體的動(dòng)量對(duì)時(shí)間的導(dǎo) 數(shù)為合力，位移對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為速度，速度對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為加速度，質(zhì)量對(duì)體積 的導(dǎo)數(shù)為密度，電量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為電流強(qiáng)度，電壓對(duì)電流的導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)體的電 阻，單位質(zhì)量的物質(zhì)吸收或者放出的熱量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于物質(zhì)的比熱容，電容器的電量對(duì)電壓的導(dǎo)數(shù)等于電容， 功對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于功率，磁通量對(duì)時(shí)間的導(dǎo) 數(shù)的相反數(shù)是感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，在場(chǎng)強(qiáng)方向上電勢(shì)對(duì)位移的導(dǎo)數(shù)等于電場(chǎng)強(qiáng)度等等 .例21. 一質(zhì)

46、點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程為s=8-3t2（1） 求質(zhì)點(diǎn)在1,1：t這段時(shí)間內(nèi)的平均速度；（2） 求在t=1時(shí)的瞬時(shí)速度（用定義和求導(dǎo)兩種方法）.解：（1 ）質(zhì)點(diǎn)在1,7這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為：s鮒心（1）6-3迸s（2）定義法：質(zhì)點(diǎn)在t=1時(shí)的瞬時(shí)速度vpm°q 6導(dǎo)數(shù)法：質(zhì)點(diǎn)在t = 1時(shí)的瞬時(shí)速度v =s（t） = -6t當(dāng) t =1 時(shí)，v 二-65.8經(jīng)濟(jì)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用數(shù)學(xué)的應(yīng)用遍及所有的科學(xué)領(lǐng)域，也深入到人們的日常生活，而導(dǎo)數(shù)高等數(shù) 學(xué)知識(shí)也逐步應(yīng)用到各種經(jīng)濟(jì)問題.1、邊際問題邊際成本，邊際收益，邊際利潤(rùn)，邊際需求在數(shù)學(xué)上可以表達(dá)為各自總函數(shù) 的導(dǎo)數(shù).比如某工廠對(duì)其產(chǎn)品的情況進(jìn)行了大量統(tǒng)計(jì)分析后，得出總利潤(rùn)L(Q)(元)與每月產(chǎn)量Q (噸)的關(guān)系為L(zhǎng) =L(Q) =250Q-5Q2，試確定每月生產(chǎn)20噸，25 噸，35噸的邊際利潤(rùn)并作出經(jīng)濟(jì)解釋邊際利 潤(rùn)函數(shù) L(Q)= 2&