3.6二維隨機變量函數(shù)的分布ppt課件

1、第五節(jié)第五節(jié) 二維隨機變量的函數(shù)的分布二維隨機變量的函數(shù)的分布 的分布的分布 M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布的分布 小結(jié)小結(jié) ZXY 在第二章中，我們討論了一維隨機變量函數(shù)的分布，現(xiàn)在我們進一步討論: 當隨機變量當隨機變量 X, Y 的聯(lián)合分布已知時，如何的聯(lián)合分布已知時，如何求出它們的函數(shù)求出它們的函數(shù)Z = g ( X, Y ) 的分布的分布?引言引言一、二維離散型隨機變量函數(shù)的分布一、二維離散型隨機變量函數(shù)的分布設設 (, )X Y是二維離散型隨機變量是二維離散型隨機變量, ,其聯(lián)合分布列為其聯(lián)合分布列為 (, )Zg X Y那么那么 是一維的離散型隨機變量是一維的離

2、散型隨機變量 其分布列為其分布列為 ,.)2 , 1,( ,jipyYxXPijji,.)2 , 1,( ,(jipyxgZPijji(X,Y)(x1,y1)(x1,y2)(xi,yj)pijp11p12pijZ=g(X,Y) g(x1,y1) g(x1,y2)g(xi,yj) 例例 1 1 設設 的聯(lián)合分布列為的聯(lián)合分布列為 (, )X Y YX-2-1100.20.10.310.300.1分別求出分別求出1X+Y；（；（2X-Y；（；（3X2+Y-2的的分布列分布列解解 由由X X，Y Y的聯(lián)合分布列可得如下表格的聯(lián)合分布列可得如下表格 (0,-2)(0,-1)(0,1)(1,-2)(1,

3、-1)(1,1)概率0.20.10.30.300.1-2-11-10221-1320-4-3-1-3-20(, )X YXYXY22XY 解解 得所求的各分布列為得所求的各分布列為 X+Y-2-1012概率0.20.400.30.1X-Y-10123概率0.30.10.10.20.3X2+Y-2-4-3-2-10概率0.20.400.30.11、Z=X+Y 例例2 設設X和和Y的聯(lián)合密度為的聯(lián)合密度為 f (x,y) , 求求 Z=X+Y 的概的概率密度率密度. Ddxdyyxf),(這里積分區(qū)域這里積分區(qū)域 D=(x, y): x+y z解解Z=X+Y的分布函數(shù)是的分布函數(shù)是: ZFzP Z

4、z P XYz 它是直線它是直線 x+y =z 及其左下方的半平面及其左下方的半平面.xyzy0二、二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布二、二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布 化成累次積分化成累次積分,得得zyxZdxdyyxfzF),()( yzZdydxyxfzF),()( 固定固定z和和y,對方括號內(nèi)的積分作變量代換對方括號內(nèi)的積分作變量代換, 令令 x=u-y,得得 zZdyduyyufzF),()( zdudyyyuf),(變量代換變量代換交換積分次序交換積分次序xyzxy0y由概率密度與分布函數(shù)的關系由概率密度與分布函數(shù)的關系, 即得即得Z=X+Y的概率的概率密度為密度為: 由由X和和Y的對稱性

5、的對稱性, fZ (z)又可寫又可寫成成 dyyyzfzFzfZZ),()()(以上兩式即是兩個隨機變量和的概率密度的一般公式以上兩式即是兩個隨機變量和的概率密度的一般公式.dxxzxfzFzfZZ),()()( zZdudyyyufzF),()( 特別地，當特別地，當 X 和和 Y 獨立，設獨立，設 (X,Y) 關于關于 X , Y 的邊的邊緣密度分別為緣密度分別為 fX(x) , fY(y) , 則上述兩式化為則上述兩式化為: dyyfyzfzfYXZ)()()(dxxzfxfzfYXZ)()()(下面我們用卷積公式來求下面我們用卷積公式來求Z=X+Y的概率密度的概率密度. 卷積公式卷積公

6、式 例例3 若若X和和Y 是兩個相互獨立的隨機變量是兩個相互獨立的隨機變量 , 具具有相同的分布有相同的分布 N(0,1) , 求求 Z=X+Y 的概率密度的概率密度.dxxzfxfzfYXZ)()()(解解 由卷積公式由卷積公式 222212z xxeedx 22()4212zzxeedx 22()212zxzxeedx 22()4212zzxeedx 令令,2ztx得得 Zfz 22412zteedt 2412ze 2222122ze 可見可見 Z=X+Y 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 N(0,2).用類似的方法可以證明用類似的方法可以證明: ),(222121NYXZ 若若X和和Y 獨立獨立

7、,),(),(222211NYNX 結(jié)論又如何呢結(jié)論又如何呢? 此結(jié)論可以推廣到此結(jié)論可以推廣到n個獨立隨機變量之和的情形個獨立隨機變量之和的情形,請自行寫出結(jié)論請自行寫出結(jié)論. 若若X和和Y 獨立獨立 , 具有相同的分布具有相同的分布 N(0,1) , 則則Z=X+Y 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 N(0,2). 有限個獨立正態(tài)變量的線性組合仍然服從正態(tài)有限個獨立正態(tài)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布分布.更一般地更一般地, 可以證明可以證明:2iiiNX，相互獨立，如果隨機變量nXXX21個實常數(shù)，為，又naaan21niiiXaZ1令niiiniiiaaNZ1221，則2、M=max(X,Y)及

8、及N=min(X,Y)的分布的分布 設設 X，Y 是兩個相互獨立的隨機變量，它們的分是兩個相互獨立的隨機變量，它們的分布函數(shù)分別為布函數(shù)分別為FX(x) 和和 FY(y),我們來求我們來求 M = max(X,Y) 及及 N = min(X,Y) 的分布函數(shù)的分布函數(shù).FM(z)=P(Mz) =P(Xz,Yz)由于由于 X 和和 Y 相互獨立相互獨立,于是得到于是得到 M = max(X,Y) 的分的分布函數(shù)為布函數(shù)為: =P(Xz)P(Yz)FM(z)1. M = max(X,Y) 的分布函數(shù)的分布函數(shù)即有即有 FM(z)= FX(z)FY(z) Mz XzYz 即有即有 FN(z)= 1-

9、1-FX(z)1-FY(z) =1-P(Xz,Yz)FN(z)=P(Nz) =1-P(Nz)2. N = min(X,Y) 的分布函數(shù)的分布函數(shù)Nz XzYz 由于由于 X 和和 Y 相互獨立相互獨立,于是得到于是得到 N = min(X,Y) 的分布的分布函數(shù)為函數(shù)為: =1- P(Xz)P(Yz)FN(z) 設設 X1,Xn 是是 n 個相互獨立的隨機變量個相互獨立的隨機變量,它們它們的分布函數(shù)分別為的分布函數(shù)分別為 我們來求我們來求 M=max(X1,Xn) 和和N=min(X1,Xn)的分布函數(shù)的分布函數(shù).(i = 1, , n) 用與二維時完全類似的方法，可得用與二維時完全類似的方法

10、，可得 N=min(X1,Xn)的分布函數(shù)是的分布函數(shù)是 M=max(X1,Xn)的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為: 12nMXXXFzFz FzFz 121111nNXXXFzFzFzFz iXFz 特別地，當特別地，當X1,Xn相互獨立且具有相同相互獨立且具有相同分布函數(shù)分布函數(shù)F(x)時，有時，有 nMFzF z 1 1nNFzF z 例例7 設系統(tǒng)設系統(tǒng) L 由兩個相互獨立的子系統(tǒng)由兩個相互獨立的子系統(tǒng) 連接而成連接而成,連接的方式分別為連接的方式分別為 (i) 串聯(lián)串聯(lián), (ii) 并聯(lián)并聯(lián), (iii)備用備用 (當系統(tǒng)當系統(tǒng) 損壞時損壞時, 系統(tǒng)系統(tǒng) 開始工作開始工作) , 如下圖如下圖

11、所示所示.設設 的壽命分別為的壽命分別為 已知它們的概已知它們的概率密度分別為率密度分別為12,L L12,L L1L2L, ,X Y ,0 ,0 ,0 ,xXexfxx ,0 ,0 ,0 ,yYeyfyy 0,0 其中其中 且且 試分別就以上三種連接方試分別就以上三種連接方式寫出式寫出 的壽命的壽命 的概率密度的概率密度. LZXY1L2LXY1L2L1LXY2LXY1L2L解解 (i) 串聯(lián)的情況串聯(lián)的情況 由于當系統(tǒng)由于當系統(tǒng) 中有一個損壞時中有一個損壞時, 系統(tǒng)系統(tǒng) L 就停就停止工作止工作,12,L L所以此時所以此時 L 的壽命為的壽命為 min,ZX Y ,0 ,0 ,0 ,xX

12、exfxx 由于由于 X 的概率密度為的概率密度為所以所以 X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 xXXFxft dt xXXFxft dt x0 xx 0 xXFxdt 0 當當 x 0 時時 , 000 xtXFxdtedt 1xe 當當 x 0 時時 , 1,0 ,0 ,0 ,xXexFxx 故故 類似地類似地 , 1,0 ,0 ,0 ,yYeyFyy 可求得可求得 Y 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為于是于是 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 min,ZX Y = 1-1-FX(z)1-FY(z) minFz()1,0 ,0 ,0 , zezz 的概率密度為的概率密度為 min,ZX Y (),0 ,0 ,0

13、 , z ezz minminfzFz XY1L2L(ii) 并聯(lián)的情況并聯(lián)的情況 由于當且僅當系統(tǒng)由于當且僅當系統(tǒng) 都損壞時都損壞時, 系統(tǒng)系統(tǒng) L 才停才停止工作止工作,12,L L所以此時所以此時 L 的壽命為的壽命為 max,ZX Y 故故 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 max,ZX Y maxXYFzFx Fy (1)(1) ,0 ,0 ,0 ,zzeezz XY1L2L maxmaxfzFz (),0 ,0 ,0 ,zz ee ezz 于是于是 的概率密度為的概率密度為 max,ZX Y (iii) 備用的情況備用的情況因此整個系統(tǒng)因此整個系統(tǒng) L 的壽命為的壽命為 由于當系統(tǒng)由于當系統(tǒng) 損壞時損壞時, 系統(tǒng)系統(tǒng) 才開始工作才開始工作,1L2LZXY dyyfyzfzfYXZ)()()(當當 z 0 時時 , 0.Zfz 當當 z 0 時時 , 0z