x12-1隱函數(shù)存在定理與隱函數(shù)微分法ppt課件

1、12-1 隱函數(shù)存在定理與隱函數(shù)微分法隱函數(shù)存在定理與隱函數(shù)微分法),(,),(,)(zyxfuyxfzxfy形如：為顯函數(shù)0),( yxF( , , )0F x y z 自變量與因變量之間的對應法則由一個方程所確定的函數(shù)叫隱函數(shù)xyyxy11,), 1() 1,(,01上確定隱函數(shù)在222211, 1 , 1,1xyxyyx及上確定隱函數(shù)在隱函數(shù)的求導公式隱函數(shù)的求導公式 Dyyxx0000,( , )0yF x y 00,xxx00(,)0F xy0000(,)0,(,)0F xyF xy00( ,),( ,)F x yF x y又連續(xù)所以存在x0小鄰域，恒有00( ,)0,( ,)0F

2、x yF x y( ,( )0F x f x再證明連續(xù)性0),(, )(, ),(00yxFxfyxxx則記0),(,0),(yxFyxF證明具有連續(xù)導數(shù)證明具有連續(xù)導數(shù) 需要利用二元函數(shù)的拉格郎日公式，需要利用二元函數(shù)的拉格郎日公式，因此在此不做證明，我們只推導一下公式因此在此不做證明，我們只推導一下公式lim( )( )xxf xf x例例驗證方程驗證方程0122 yx在點在點)1 , 0(的某鄰的某鄰域內能唯一確定一個單值可導、且域內能唯一確定一個單值可導、且0 x時時1 y的隱函數(shù)的隱函數(shù))(xfy ，并求這函數(shù)的一階和二階導，并求這函數(shù)的一階和二階導數(shù)在數(shù)在0 x的值的值.解解令令1

3、),(22 yxyxF那那么么,2xFx ,2yFy , 0)1 , 0( F, 02)1 , 0( yF依依定定理理知知方方程程0122 yx在在點點)1 , 0(的的某某鄰鄰域域內內能能唯唯一一確確定定一一個個單單值值可可導導、且且0 x時時1 y的的函函數(shù)數(shù))(xfy 函函數(shù)數(shù)的的一一階階和和二二階階導導數(shù)數(shù)為為yxFFdxdy ,yx , 00 xdxdy222yyxydxyd 2yyxxy ,13y . 1022 xdxyd例例 2 2 已已知知xyyxarctanln22 ，求求dxdy. 解解1） 令令那那么么,arctanln),(22xyyxyxF ,),(22yxyxyxF

4、x ,),(22yxxyyxFy yxFFdxdy .xyyx 例例 2 2 已已知知xyyxarctanln22 ，求求dxdy. 解解2）那那么么.xyyxy )(arctan)(ln22 xyyx 2222)(12221xyxyxyyxyyx yyxyyx .,0),(3dxdyyxxyF求求：設設例例 0)(,()1(221 yyxyFyxyyxxyF解解.122231FxyxFyFyFy ),(),()2(yxxyFyxG 設設解解yFyFGx121 221yxFxFGy 221211yxFxFyFyFGGyyx .122231FxyxFyFyF 隱隱函函數(shù)數(shù)存存在在定定理理 2 2

5、 設設函函數(shù)數(shù)),(zyxF在在點點,(0 xP),00zy的的某某一一鄰鄰域域內內有有連連續(xù)續(xù)的的偏偏導導數(shù)數(shù)，且且,(0 xF0),00 zy，0),(000 zyxFz，則則方方程程,(yxF0) z在在點點),(000zyxP的的某某一一鄰鄰域域內內恒恒能能唯唯一一確確定定一一個個單單值值連連續(xù)續(xù)且且具具有有連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù)的的函函數(shù)數(shù)),(yxfz ，它它滿滿足足條條件件),(000yxfz ，并并有有 zxFFxz ， zyFFyz . .0),( zyxF二、一個方程二、一個方程,兩個自變量兩個自變量例例 4 4 設設zxyz , ,則則 xz? ? yz? ? zxyzzy

6、xF ),(解：設解：設zzFxxln 則則1 zyzyFyyxzFzxzln1 zxFFxz yyxzzzzxxlnln1 zyFFyz yyxzzyzxzln11 例例 5 5 設設04222 zzyx，求，求22xz . 解解令令那那么么,4),(222zzyxzyxF ,2xFx , 42 zFz,2zxFFxzzx 22xz 2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz 例例 6 6 設設),(xyzzyxfz ，求，求xz ，yx ，zy .解法解法1令令 ),(zyxFzxyzzyxf ),(yzffFx 21xzffFy 21121 xyff

7、FzzxFFxz ,12121xyffyzff xyFFyx ,2121yzffxzff ),(zyxzyxfz解法2. 利用全微分形式不變性同時求出各偏導數(shù).,yxzd1f zyxddd2f zyxyzxxzyddd:dx解出 d x21fzyfzfyxfd121yfzxfd21.zx由d y, d z 的系數(shù)即可得把把z看看成成yx,的的函函數(shù)數(shù)對對x求求偏偏導導數(shù)數(shù)得得xz )1(xzfu ),(xzxyyzfv 整理得整理得xz ,1vuvuxyffyzff 把把x看看成成yz,的的函函數(shù)數(shù)對對y求求偏偏導導數(shù)數(shù)得得)1(0 yxfu),(yxyzxzfv 解法三例例 6 6 設設),

8、(xyzzyxfz ，求，求xz ，yx ，zy .整理得整理得,vuvuyzffxzff yx 把把y看看成成zx,的的函函數(shù)數(shù)對對z求求偏偏導導數(shù)數(shù)得得)1(1 zyfu),(zyxzxyfv 整理得整理得zy .1vuvuxzffxyff zxFFxz xz例例7. 設F( x , y)具有連續(xù)偏導數(shù), 0),(zyzxF.dz求解法解法1 利用偏導數(shù)公式利用偏導數(shù)公式.是由方程設),(yxfz 0),(zyzxF yz212FyFxFz211FyFxFzyyzxxzzdddzF11 1F)(2zx 2F)(2zyzF12 確定的隱函數(shù),)dd(2121yFxFFyFxz那么)()(22

9、21zyzxFF 已知方程故對方程兩邊求微分: 1F)dd(d2121yFxFFyFxzz)dd(2zzxxzzzFyFxd221 zyFxFdd21解法解法2 2 微分法微分法. .0),(zyzxF)dd(2zzyyz)(dzx 2F0)(dzy 1F 2F0例例8 8解解,dxdzzfdxdyyfxfdxdu ,cosxdxdy 顯顯然然,dxdz求求得得的的導導數(shù)數(shù)兩兩邊邊求求對對,0),(2xzexy ,02321 dxdzdxdyexy 于是可得于是可得,),cos2(12sin13 xexdxdzx.)cos2(1cos2sin13zfxexyfxxfdxdux 故故., 0),

10、(,sin, 0),(),(2dxduzfxyzexzyxfuy求求且且，具有一階連續(xù)偏導數(shù)具有一階連續(xù)偏導數(shù)設設 12( , , )0( , , )0F x y zF x y z二、方程組的情形1122121122(,)1,( , )xzxzyzyzFFFFF FdyFFdxJx zFF 1122121122(,)1,( , )yxyxyzyzFFFFF FdzFFdxJy xFF 12( , , , )0( , , , )0F x y u vF x y u v1122121122(,)1,( , )yvyvuvuvFFFFF FuFFyJy vFF 1122121122(,)1,( , )

11、xvxvuvuvFFFFF FuFFxJx vFF 1122121122(,)1,( , )uxuxuvuvFFFFF FvFFxJu xFF 1122121122(,)1,( , )uyuyuvuvFFFFF FvFFyJu yFF 0),(),(,(0),(),(,(yxvyxuyxGyxvyxuyxF,的線性方程組這是關于xvxu0),(0),(vuyxGvuyxF有隱函數(shù)組那么兩邊對 x 求導得,),(),(yxvvyxuu設方程組,0vuvuGGFFJ在點P 的某鄰域內xuxvxuxvxFuFvF0 xGuGvG0故得系數(shù)行列式同樣可得),(),(1vyGFJyu),(),(1vxG

12、FJxu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyv設設0 yvxu，1 xvyu， 求求 xu ，yu ，xv 和和yv . 解解1直接代入公式；直接代入公式；解解2運用公式推導的方法，運用公式推導的方法，將所給方程的兩邊對將所給方程的兩邊對 求導并移項求導并移項x,00 vxvxxuyxvyuxuxxyyxxvyuxu ,22yxyvxu 例例1在在0 J的的條條件件下下，xyyxvyuxxv ,22yxxvyu 將所給方程的兩邊對將所給方程的兩邊對 求導，用同樣方法得求導，用同樣方法得y,22yxyuxvyu .22yxyvxuyv sin2,.cosuuxeuvuvxxye

13、uv 例已知求 xvvuxuvxuexvvuxuvxueuusincos0cossin1解：解：xuxuevvvu )cos(sinsin. 0)cos(sin1.)cos(sin1sin vvevvevxuuu例例3.3.設函數(shù)設函數(shù)在點(u,v) 的某一),(, ),(vuyyvuxx0),(),(vuyx1) 證明函數(shù)組),(),(vuyyvuxx( x, y) 的某一鄰域內. ),(, ),(yxvvyxuu2) 求),(, ),(yxvvyxuu解解: 1) 令令0),(),(vuxxvuyxF0),(),(vuyyvuyxG對 x , y 的偏導數(shù).在與點 (u, v) 對應的點鄰

14、域內有連續(xù)的偏導數(shù),且 唯一確定一組單值、連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)的反函數(shù)),(),(),(),(yxvyxuyyyxvyxuxx式兩邊對 x 求導, 得uy0 xvxu1xuxvuxvxvy則有),(),(vuGFJ,0),(),(vuyx由定理 3 可知結論 1) 成立.2) 求反函數(shù)的偏導數(shù). , 0J注意vyvxJ011xuxv,1vyJ uyJ 1011uyuxJ從方程組解得同理, 式兩邊對 y 求導, 可得,1vxJyuuxJyv1, 0J注意vyvxJ011xuxv,1vyJ uyJ 1011uyuxJ從方程組解得同理, 式兩邊對 y 求導, 可得,1vxJyuuxJyv1例例4 4

15、解解., 0, 0,. 0),(, 0),(),()(dxduzhygzxhzyxgyxfuxu試試求求且且所所確確定定由由方方程程組組設設函函數(shù)數(shù) 的函數(shù)的函數(shù)都看成是都看成是以及以及將方程組的變元將方程組的變元xzyu,得得求導求導方程組各方程兩邊對方程組各方程兩邊對,x )3(. 0)2(, 0)1(,dxdzhhdxdzgdxdyggdxdyffdxduzxzyxyx,)3(zxhhdxdz 得得由由,)2(yxzyxzgghghgdxdy 得得代代入入.)1(zyxzyyxyxhghgfggffdxdu 得得代代入入.,0),(),(tFyFtfxFtftFxfdxdyFfyxtyx

16、Fttxfy 。證證明明都都具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù)的的函函數(shù)數(shù)，其其中中確確定定的的所所是是由由方方程程，而而例例：設設dxdy)1(dxdttfxfdxdy 解：解：2FF dyF dtxy dxt dx=0（ ）)1()2(代入代入得得由由tFdxdyyFxFdxdt .tFyFtfxFtftFxf .,0),(),(tFyFtfxFtftFxfdxdyFfyxtyxFttxfy 。證證明明都都具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù)的的函函數(shù)數(shù)，其其中中確確定定的的所所是是由由方方程程，而而例例：設設dxdy.tFyFtfxFtftFxf ）（1dyyfdxxfdy ）（20

17、dtFdyFdxFtyx）代代入入（）得得由由（12xyxFdyFdxFdt 切線方程切線方程000000,( )( )( )xxyyzzx ty tz t法平面方程法平面方程空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面切向量切向量r(t)=(x(t0)，y(t0),z(t0)000000( )( )( )0 x txxy tyyz tzz2.空間曲線方程為空間曲線方程為,0),(0),( zyxGzyxF切線方程為切線方程為法平面方程為法平面方程為00000()()()()()0.xxy xyyz xzz確定確定r(x)=( x, y(x) ,z(x).) 曲線切向量為曲線切向量為: 1,

18、y(x) , z(x)x0 , 曲線方程曲線方程兩邊對兩邊對x求偏導后可得到求偏導后可得到:00000,1()()xxyyzzy xz x空間曲線方程為空間曲線方程為,0),(0),( zyxGzyxF切線方程為切線方程為法平面方程為法平面方程為00000()()()()()0.x yxxyyz yzz確定確定r(x)=( x(y), y ,z(y).) 曲線切向量為曲線切向量為: x(y) ,1, z(y)y0 , 曲線方程曲線方程兩邊對兩邊對x求偏導后可得到求偏導后可得到:00000,()1()xxyyzzx yz y解解 1 1 直直接接利利用用公公式式;解解 2 2 將所給方程的兩邊對將所給方程的兩邊對x求導并移項，得求導并移項，得 1dxdzdxdyxdxdzzdxdyy,zyxzdxdy ,zyyxdxdz , 0)1,2, 1( dxdy, 1)1,2, 1( dxdz所求切線方程為所求切線方程為,110211 zyx法平面方程為法平面方程為, 0)1()2(0)1( z