彈簧與物塊的分離問題----教師版

1、“彈簧與物塊的分離”模型模型建構(gòu)：兩個物體與彈簧組成的系統(tǒng)。兩個物體在運動到某一位置時就會分開，那么這個位置就是物體間的分離點?！灸Ｐ汀繌椈膳c物塊的分離【特點】都要建立動力學方程；分離條件是：相互作用的彈力FN=0這個問題可以分成兩類“模型” ：【模型 1】水平面上“彈簧與木塊的分離”模型如圖 1 ，B 與彈簧相連，而 A、 B 是緊靠在一起的兩個物體， 當彈簧原來處于壓縮狀態(tài)，如果地面是光滑A B的，則物體 A、B 在向左運動的過程中A、B 何時分離。O解析物體應在彈簧的原長處分離。由于水平面圖 1光滑， 當彈簧從壓縮狀態(tài)回到自然伸長位置時，一直加速運動。當它剛剛回到平衡位置時，物塊B 受的

2、彈力為阻力，開始減速。而物塊A 不受外力做勻速直線運動。 vA vB此時 A、 B 分離。【體驗 1】但是如果物體與地面之間是不光滑的，題目條件如模型解析假設 A、 B 在某一位置分離，此時刻兩物體的相互作用力為零同時，兩物體的加速度相同。則 aAA g ； aBkxB gmB所以 x(AB ) gk討論：（ 1）如果A 等于B 或均為零； x 等于零。兩物體在O 點分離；1。試討論分離條件。FAB=0（ 2）如果A 大于B ，x 大于零，兩物體在O 點的右側(cè)分離；（ 3）如果A 小于B ，x 大于零，兩物體的分離點在O 點的左側(cè)。點評兩物體分離的條件是：相互間的彈力FN=0 等于零；兩物體瞬

3、時加速度相等。【模型 2】豎直面上“彈簧與木塊的分離”模型如圖 2 所示，輕質(zhì)彈簧上面固定一塊質(zhì)量不計的薄板，在薄板上放重物，m用手將重物向下壓縮到一定程度后，突然將手撤去，重物何時與木板分離？M解析當物體分離時，物體間的彈力FN=0物塊只受重力，物塊的加速度為g，木板的加速度也為g彈簧的狀態(tài)應為原長，即彈簧恢復原長時，二者分離此時物塊與薄板有共同的加速度。圖 2從動力學的角度可以得到，豎直方向的彈簧類問題兩物體的分離點是在彈簧的原長處。模型典案：【典案1】A、B 兩木塊疊放在豎直輕彈簧上，如圖3 所示，已知木塊A、 B 質(zhì)量分別為0.42 kg和0.40 kg ，彈簧的勁度系數(shù)k=100 N

4、/m，若在木塊A 上作用一個豎直向上的力F，使 A 由靜止開始以0.5 m/s 2 的加速度豎直向上做勻加速運動（g=10 m/s 2）（ 1）使木塊A 豎直做勻加速運動的過程中，力F 的最大值；（ 2）若木塊由靜止開始做勻加速運動，直到A、B 分離的過程中，彈簧的彈性勢能減少了 0.248 J，求這一過程F 對木塊做的功。解析（ 1）設 A、 B 疊放在彈簧上處于平衡時彈簧的壓縮量為x有 kx=（ mA+mB） g，所以 x=（ mA+mB）g/k對 A 施加向上的 F 力，分析A、 B 受力如圖 4圖 3圖 4對 A： F+FN-mAg=mAa對 B： kx-FN-m Bg=mBa可知，當

5、 FN0時， AB 有共同加速度 a=a ，由式知欲使 A 勻加速運動，隨FN 減小 F 增大，當 FN=0 時， F 取得了最大值Fm，即Fm =mA（ g+a） =4.41 N（ 2）又當 FN時， A、 B 開始分離，由式知，此時彈簧壓縮量B=0kx =m（ a+g）即 x=mB（ a+g）/kAB 共同速度 v2=2a（ x-x）由題知，此過程彈性勢能減少了WP P=E =0.248 J設 F 做功 WF，對這一過程應用動能定理或功能原理WF+EP-（ mA+mB） g（ x-x） = 1 （ mA+m B） v22聯(lián)立，且注意到EP=0.248 J-2可知， WF=9.64 

6、5; 10J點評此題命題意圖是考查對物理過程、狀態(tài)的綜合分析能力。難點和失分點在于能否通過對此物理過程的分析后，確定兩物體分離的臨界點， 即當彈簧作用下的兩物體加速度、速度相同且相互作用的彈力FN=0 時 ，恰好分離。m 的【案例 2 】如圖5 所示，輕彈簧上端固定，下端連接一質(zhì)量為重物，先由托盤托住m ，使彈簧比自然長度縮短L，然后由靜止開始以加速度 a 勻加速向下運動。已知a<g，彈簧勁度系數(shù)為k ，求經(jīng)過多少時間托盤 M 將與 m 分開？【解析】當托盤與重物分離的瞬間，托盤與重物雖接觸但無相互作mm用力，此時重物只受到重力和彈簧的作用力a在這兩個力的作用下，當重物的加速度也為a 時

7、，重物與托盤恰好M分離。圖 5由于 a<g，故此時彈簧必為伸長狀態(tài)。然后由牛頓第二定律和運動學公式求解：根據(jù)牛頓第二定律得：mgkxmam ga由得： xk由運動學公式有：Lx1 at 22聯(lián)立式有：kLm ga 1 at 2k22 kLm ga解得： xka點評 本題屬于牛頓運動定律中的臨界狀態(tài)問題。求解本類題型的關鍵是找出臨界條件，同時還要能從宏觀上把握其運動過程，分析出分離瞬間彈簧的狀態(tài)。 我們還可這樣探索：若將此題條件改為a fg ，情況又如何呢？【典例 3】k=800 N / m 的輕彈簧兩端各焊接著兩個質(zhì)量均為如圖 6 所示，一勁度系數(shù)為m=12 kg 的物體 A、和 B，物

8、體 A、B 和輕彈簧豎立靜止在水平地面上?，F(xiàn)要加一豎直向上的力 F 在上面物體 A 上，使物體 A 開始向上做勻加速運動，經(jīng)0.4 s 物體 B剛要離開地面。 設整個過程中彈簧都處于彈性限度內(nèi)，取 g=10 m / s2，求：（ 1）此過程中所加外力 F 的最大值和最小值。（ 2）此過程中外力 F 所做的功。 解析 （ 1）A 原靜止時，設彈簧壓縮x1，由受力平衡和胡克定律有： kx1=mg- 物體 A 向上做勻加速運動，開始時彈簧的壓縮形變量最大，向上的圖 6彈力最大，則所需外力F 最小，設為 F1由牛頓第二定律： F1+kx1 mg=ma- 當 B 剛要離地時，彈簧由縮短變?yōu)樯扉L，此時彈力

9、變?yōu)橄蛳吕瑼，則所需外力F 最大，設為 F2對 B： kx2=mg- 對 A： F2-kx2-mg=ma - 由位移公式對A 有： x1x21 at 2 -2又 t=0.4s- 由可得：a=3.75m/s2F12=45NF =285N（ 2）0.4 s 末的速度： v=at=3.75 ×0.4 m / s=1.5 m / s對 A 全程由動能定理得：WF mg (x1+x2)=mv 2解得： WF=49.5 J也可用能量守恒求解：在力作用的 0.4s 內(nèi)，在初末狀態(tài)有 x1=x2，所以彈性勢能相等，由能量守恒知，外力做了功，將其它形式的能轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的重力勢能和動能。即：【典案 4】如

10、圖 7質(zhì)量為 mA=10kg 的物塊 A 與質(zhì)量為 mB=2kg 的物塊放在傾角為 300 光滑斜面上，處于靜止狀態(tài)，輕彈簧一端與物塊B 連接， 另一端與固定檔板連接， 彈簧的勁度系數(shù)為 K=400N/m ，現(xiàn)給物塊 A 施加一個平行與斜面向上的力F，使物塊 A 沿斜面向上做勻加速直線運動，已知力F 在前 0.2s內(nèi)是變力， 0.2s 后為恒力，求力 F 的最大值和最小值。（ g=10m/s 2）【解析】 原系統(tǒng)處于靜止狀態(tài)，則M 與 m 受合外力為零 ,設此時彈簧壓縮量為 xo 即：(m+M)gsin30 0=kx0則： x0=0.15m圖 7由靜止開始向上勻加速運動，m 與 M 在 0 0

11、.2S內(nèi)整體向上有共同的加速度a設經(jīng)時間為 t，則在 t 內(nèi) m 與 M 上升位移為 S：12S= at2在 0 0.2S 內(nèi)以 m 與 M 為整體： F+K(X0-S)-(m+M)gsin300=(m+M)a當 t=0.2s 時1s=22a× (0.2)=0.02a由 、 、 得：F+(0.15-O.02a) ×400-60=(m+M)a分析可知在 0.2s 后 F 為恒力， 此狀況只有 m 與 M 分離可存在在 0.2后，對有：sin300，（此時力也為 0.2瞬間的力）（ /2）由 得： 5分析可知最小力應是在時，即： min=(m+M)a=(2+10)×

12、5=60N在 t=0.2s 以后力有最大值即： Fmax=(g/2+a) × m=(10/2+5) × 10=100N【典案 5】質(zhì)量為 M=6Kg 的小車放在光滑的水平面上，物塊A 和 B 的質(zhì)量均為 m=2Kg且均放在小車的光滑水平底板上，物塊A 和小車右側(cè)壁用一根輕彈簧連接，不會分離，如圖 8 所示，物塊 A 和 B 并排靠在一起，現(xiàn)用力向右壓B 并保持小車靜止，使彈簧處于壓縮狀態(tài)，在此過程中外力做功270J。撤去外力，當 A 和 B 分開后，在 A 達到小車底板的最左端位置之前， B 已從小車左端拋出，求：（ 1） B 與 A 分離時，小車的速度多大？（ 2）從撤去

13、外力至 B 與 A 分離時， A 對 B做了多少功？圖 8（ 3）假設彈簧伸到最長時B 已離開小車。 A仍在車上，則此時彈簧的彈性勢能是多大？解析（）分析可知 A、B 分離時應在彈簧恢復為原長時，此時 AB 有共同速度為v1，設車速為 v2，接觸面均光滑，動量守恒，取向右為正， v2 v111又機械能守恒：PMv22 2mv1222由得： v1 9m/s ， v2 6m/s（） A 對 B 做的功應為的動能增量：BBK12 2mv1 -0 81J（） A 與 B 分離后， A 的速度不變，彈力對與作負功。彈簧最長時，令的速度為 ， A 與 M 有共同速度，動量再次守恒，有：取向右為正： v2

14、v1（） v3第二次機械能守恒：1Mm v32 189J2由得：EP/ 168.75 模型體驗：【體驗 1】用木板托住物體m，并使得與 m 連接的彈簧處于原長，手持木板M 向下以加速度 a（ a<g）做勻加速運動，如圖9。求物體 m 與木板一起做勻加速運動的時間。解析 m 在與 M 一起向下做勻加速運動過程中，m 受到彈簧的彈力不斷增大，板 M 對 m 的支持力不斷減小，重力保持不變。m 與板 M 分離的條件為板M 對 m 的支持力 FN 恰好為零，且此時 m 與 M運動的加速度恰還相等。設： m 與 M 分離經(jīng)歷 t 時間，彈簧伸長為x：amg kx ma圖 9m( ga)解得： xk

15、12又因為： x at22m(ga)所以 t a【體驗 2】如圖10 所示，輕質(zhì)彈簧上面固定一塊質(zhì)量不計的薄板，在薄板上放重物，用手將重物向下壓縮到一定程度后，突然將手撤去， 則重物將被彈簧彈射出去，則在彈射過程中 (重物與彈簧脫離之前 )重物的運動情況是()A.一直加速運動B勻加速運動C.先加速運動后減速運動D先減速運動后加速運動【解析】 物體的運動狀態(tài)的改變?nèi)Q于所受合外力所以，對物體進行準確的受力分析是解決此題的關鍵，物體在整個運動過程中受到重力和彈簧彈力的作用剛放手時，彈力大于重力，合力向上，物體向上加速運動，但隨圖 10著物體上移，彈簧形變量變小，彈力隨之變小，合力減小，加速度減?。?/p>

16、當彈力減至與重力相等的瞬間，合力為零，加速度為零，此時物體的速度最大；圖 11此后，彈力繼續(xù)減小，物體受到的合力向下，物體做減速運動，當彈簧恢復原長時，二者分離正確答案： C【體驗 3】如圖 11 所示，一根輕質(zhì)彈簧兩端與質(zhì)量分別為m1和 m2的木塊相連，豎直放置在水平地面上。問：至少要向下壓多大的力F 于 m1 上，才可以使突然撤去外力F 后 m2恰好離開地面？解析 m2恰好離開地面的臨界條件是彈簧比原長再伸長2221速度為x ，且 kx=m g和 m零。設未加壓力 F 時，彈簧的壓縮量為x0；加壓力 F 時，彈簧的壓縮量為x1，則： kx01g11=mkx =F+m g應用簡諧運動的對稱性

17、求解： m2不離開地面， m1 做簡諧運動，則振幅： A=x1 x0= x0 + x2所以 x1 20m2 g2m1g=x +2x =k k加壓力 F 時， F+m1g=kx1 F=kx1 m1g=(m1+m2) g點評 物體與彈簧組成的系統(tǒng)做簡諧運動時，具有明顯的對稱性，這類題一般用對稱性來求解會簡單得多。【體驗 4】如圖所示，質(zhì)量為m 的物體 A 用一輕彈簧與下方地面上質(zhì)量也為m 的物體B 相連，開始時 A 和 B 均處于靜止狀態(tài)，此時彈簧壓縮量為0x ，一條不可伸長的輕繩繞過輕滑輪，一端連接物體A、另一端 C 握在手中，各段繩均處于剛好伸直狀態(tài)，A 上方的一段繩子沿豎直方向且足夠長。現(xiàn)在

18、 C 端施水平恒力 F 而使 A 從靜止開始向上運動。 （整個過程彈簧始終處在彈性限度以內(nèi)）（ 1）如果在 C端所施恒力大小為3mg，則在 B 物塊剛要離開地面時 A 的速度為多大？（ 2）若將 B 的質(zhì)量增加到 2m，為了保證運動中 B 始終不離開地面，則 F 最大不超過多少？解析 由題意可知：彈簧開始的壓縮量x0mg，在 B 物塊剛要離開地面時彈簧的k伸長量也是x0mgk（ 1）若 F=3mg，在彈簧伸長到 x0 時， B 開始離開地面，此時彈簧彈性勢能與施力前相等， F 所做的功等于 A 增加的動能及重力勢能的和。即F 2x0 mg2x01 mv2可解得： v 2 2gx02（ 2）所施

19、力為恒力F 時，物體 B 不離開地面，類比豎直彈簧振子，物體A 在豎直方向0上除了受變化的彈力外，再受到恒定的重力和拉力。故物體A 做簡諧運動。在最低點：F0 mg+kx0=ma1式中 k 為彈簧勁度系數(shù)，a1 為在最低點 A 的加速度。在最高點， B 恰好不離開地面，此時彈簧被拉伸，伸長量為2x ，則：0K（ 2x0） +mg F0=ma2考慮到：kx0=mg簡諧運動在上、下振幅處a1=a203mg解得： F=2也可以利用簡諧運動的平衡位置求恒定拉力F0。物體 A 做簡諧運動的最低點壓縮量為00x0 所在處。x ，最高點伸長量為2x ，則上下運動中點為平衡位置，即伸長量為2x0F0解得： F

20、0=3mg由： mg k22【點評】 區(qū)別原長位置與平衡位置。 與原長位置對應的形變量與彈力大小、方向、彈性勢能相關；與平衡位置對應的位移量與回復大小、方向、速度、加速度相關。【體驗 5】如圖12 所示，光滑的水平面上有， 的三個物體，用輕彈簧將與連接，在、兩邊用力使三個物體靠近，A、 B 間的彈簧被壓縮，此過程外力做功 J，然后從靜止釋放。求：圖 6（）當物體、分離時，B 對 C做的功有多少？（）當彈簧再次被壓縮到最短而后又伸長到原來時，A、圖 12B 的速度各是多大？解析 此題關鍵是判斷出與分離條件為彈簧恢復到原長，而彈簧再次被壓縮到最短條件為、同速且向右。（）當、分離時彈簧恢復到原長，由

21、動量守恒： mA ABCBCv（ m m ） v由機械能守恒：1212=72JmAvA2（ mB mC） vBC2B 對 C 做功： WBC1mCvBC22由得：vA vBC 6m/s， WBC 18J（）當彈簧壓縮到最短時，、同速方向向右，則有：mA vA-mBvBC（ mA mB）v， v=2m/s設彈簧再次伸長到原長時，、速度分別為和 ，則： m ） v m v m v（ mABA1B272 1 mCvBC2 1 mAv12 1 mBv22222由得： v1=2m/s ，向左； v2=10m/s，向右或 v1 6m/s ，向右； v2=6m/s ， 向右注意（）求的速度是矢量，最后方向不

22、可丟失，解題要嚴謹。【體驗 6】如圖，質(zhì)量為m1 的物體 A，通過一輕質(zhì)彈簧與下方地面Am1kB m2上的質(zhì)量為 m2 的物體 B 相連，彈簧的勁度系數(shù)為k，A B 都處于靜止狀態(tài)。一條不可伸長的輕繩繞過輕滑輪，一端連物體A，另一端連一輕掛鉤。開始時各段繩都處于伸直狀態(tài)，A上方的一段繩沿豎直方向?，F(xiàn)在掛鉤上掛一質(zhì)量為m3 的物體 C 并從靜止狀態(tài)釋放，已知它恰好能使 B 離開地面但不繼續(xù)上升。 （ 1）求物體 C 下降的最大距離。 （ 2）若將 C 換成另一個質(zhì)量為 (m1 m3 ) 的物體 D，仍從上述初始位置由靜止狀態(tài)釋放，則這次 B 剛離地時 D 的速度的大小是多少？已知重力加速度為g。

23、【解析】 開始時， A、 B 靜止，設彈簧壓縮量為x1 ，有 kx1m1g掛 C 并釋放后， C 向下運動， A 向上運動，設B 剛要離地時彈簧伸長量為x2 ，有 kx2 m2 gB 不再上升，表示此時 A 和 C 的速度為零， C 已降到其最低點 .由機械能守恒，與初始狀態(tài)相比，彈簧彈性勢能的增加量為E=m 3 g (x1x2 )m1g (x1x2 )C換成 D 后，當 B 剛離地時彈簧勢能的增量與前一次相同，由能量關系得12122 (m3m1)2m1 (m3 m1 ) g( x1x2 ) m1 g( x1 x2 ) E聯(lián)立解得 =2m1 (m1m2 ) g 2(2m1 m3 )k【體驗 7

24、】如圖所示，擋板P 固定在足夠高的水平桌面上，小物塊A 和 B 大小可忽略，它們分別帶有 +QA 和 +QB 的電荷量，質(zhì)量分別為mA 和 mB。兩物塊由絕緣的輕彈簧相連，一不可伸長的輕繩跨過滑輪， 一端與 B 連接，另一端連接一輕質(zhì)小鉤。整個裝置處于場強為E、方向水平向左的勻強電場中。A、 B 開始時靜止，已知彈簧的勁度系數(shù)為k，不計一切摩擦及 A、B 間的庫侖力， A、 B所帶電荷量保持不變，B 不會碰到滑輪。(1) 若在小鉤上掛一質(zhì)量為 M 的物塊 C 并由靜止釋放，可使物塊 A 恰好能離開擋板 P，求物塊 C 下落的最大距離；(2) 若 C 的質(zhì)量改為 2M，則當 A 剛離開擋板 P 時， B 的速度多大？【解析】（ 1）開始平衡時有：kx1EQB可得EQBx1K當 A 剛離開檔板時： kx2EQA可得 x2EQAK故 C 下落的最大距離為：hx1x2由式可解得h= E (Q BQ A )K（ 2）由能量守恒定律可知： C 下落 h 過程中， C 重力勢能的的減少量等于B 的電勢能的增量和彈簧彈性勢能的增量、系統(tǒng)動能的增量之和當 C 的質(zhì)量為 M 時： MghQB E hE彈當 C 的質(zhì)量為 2M