塑性力學03-塑性本構(gòu)關(guān)系

1、塑性力學03第三章第三章 塑性本構(gòu)關(guān)系塑性本構(gòu)關(guān)系全量理論和增量理論全量理論和增量理論引言引言:塑性變形規(guī)律的復(fù)雜性塑性變形規(guī)律的復(fù)雜性, 到目前為止這個塑性本構(gòu)關(guān)系到目前為止這個塑性本構(gòu)關(guān)系問題還沒有得到滿意的解決問題還沒有得到滿意的解決.現(xiàn)在廣義采用的理論分為兩大類現(xiàn)在廣義采用的理論分為兩大類:(1)全量理論全量理論, 又稱為形變理論又稱為形變理論, 它認為在塑性狀態(tài)下仍有應(yīng)力它認為在塑性狀態(tài)下仍有應(yīng)力和應(yīng)變?nèi)恐g的關(guān)系和應(yīng)變?nèi)恐g的關(guān)系. 有有Hencky(亨奇亨奇)理論和理論和Ilyushin (伊伊柳辛柳辛)理論理論.(2)增量理論增量理論, 又稱為流動理論又稱為流動理論, 它認

2、為在塑性狀態(tài)下是塑性應(yīng)它認為在塑性狀態(tài)下是塑性應(yīng)變增量和應(yīng)力及應(yīng)力增量之間隨關(guān)系變增量和應(yīng)力及應(yīng)力增量之間隨關(guān)系.有有Levy-Mises(萊維萊維-米米澤斯?jié)伤?理論和理論和Prandtl-Reuss(普朗特普朗特-羅伊斯羅伊斯)理論理論. 3-1 建立塑性本構(gòu)關(guān)系的基本要素建立塑性本構(gòu)關(guān)系的基本要素Shield和和Ziegler指出指出, 建立塑性本構(gòu)關(guān)系需要考慮三個基本要素建立塑性本構(gòu)關(guān)系需要考慮三個基本要素:(1)初始屈服條件初始屈服條件;(2)流動法則流動法則;(3)加載條件加載條件.其中其中(1)和和(3) 在第二章已經(jīng)解決在第二章已經(jīng)解決, 本章要解決第本章要解決第(2)點點.3

3、-2 廣義廣義Hooke定律定律 在彈性范圍內(nèi)在彈性范圍內(nèi), 廣義廣義Hooke定律可以表達為定律可以表達為11ijijijkkE 也可以表示為也可以表示為:1 21 2iiiiijijeSEG我們來證明一下我們來證明一下:由應(yīng)力和應(yīng)變的分解式由應(yīng)力和應(yīng)變的分解式,即即, ijijijmijijijmSe 代入上面廣義代入上面廣義Hooke定律的公式定律的公式,考慮到考慮到/ 2 1GE11ijijmijijmijkkeSE 1112132ijijmijmijijmSSEGE 所以可以寫成兩個相應(yīng)分解張量之間的關(guān)系所以可以寫成兩個相應(yīng)分解張量之間的關(guān)系. 所以也可寫成如下形式所以也可寫成如下形

4、式3 32iijijiiieSG 當應(yīng)力從加載面卸載當應(yīng)力從加載面卸載, 也服從廣義也服從廣義Hooke定律定律,寫成增量形式寫成增量形式1 21 d2iiiiijijddedSEG這是七個方程這是七個方程1 21 2iiiiijijeSEG第二個式子是六個方程第二個式子是六個方程,但因為有但因為有 , 所以有所以有5個是獨立的個是獨立的.從第二式可以看到在彈性范圍內(nèi)應(yīng)力主軸和應(yīng)變主軸是一致從第二式可以看到在彈性范圍內(nèi)應(yīng)力主軸和應(yīng)變主軸是一致的的. 應(yīng)變偏量的分量和相應(yīng)的應(yīng)力偏量的分量成正比應(yīng)變偏量的分量和相應(yīng)的應(yīng)力偏量的分量成正比. 0iiS 第二式也可以寫成第二式也可以寫成 ,把它代入應(yīng)力

5、強度的表達式把它代入應(yīng)力強度的表達式就可以得到下面的第二式就可以得到下面的第二式, 然后有然后有 再代回上面第再代回上面第一式得到下面的第二式一式得到下面的第二式.2ijijSGe/3iiG3-3 全量型本構(gòu)方程全量型本構(gòu)方程Ilyushin在在1943年提出的硬化材料在彈塑性小變形情況下的本年提出的硬化材料在彈塑性小變形情況下的本構(gòu)關(guān)系構(gòu)關(guān)系, 這是一個全量型的關(guān)系這是一個全量型的關(guān)系, 類似于廣義類似于廣義Hooke定律定律. 在小在小變形的情況下作出下列關(guān)于基本要素的假定變形的情況下作出下列關(guān)于基本要素的假定:(1) 體積變形式彈性的體積變形式彈性的, 即即1 2 iiiiE(2) 應(yīng)變

6、偏張量和應(yīng)力偏張量成比例應(yīng)變偏張量和應(yīng)力偏張量成比例ijijeS 這個假定就是應(yīng)力和應(yīng)變的定性關(guān)系這個假定就是應(yīng)力和應(yīng)變的定性關(guān)系, 即方向關(guān)系和即方向關(guān)系和分配關(guān)系分配關(guān)系. 方向關(guān)系指應(yīng)變偏量主軸和應(yīng)力偏量主軸方向關(guān)系指應(yīng)變偏量主軸和應(yīng)力偏量主軸重合重合, 也即應(yīng)變主軸和應(yīng)力主軸重合也即應(yīng)變主軸和應(yīng)力主軸重合,而分配關(guān)系是指而分配關(guān)系是指應(yīng)變偏量和應(yīng)力偏量成正比應(yīng)變偏量和應(yīng)力偏量成正比. 形式上和廣義形式上和廣義Hooke定律相似定律相似, 但這里的比例系數(shù)不是但這里的比例系數(shù)不是一個常數(shù)一個常數(shù).這是一個非線性關(guān)系這是一個非線性關(guān)系.下面我們來看一下這個系下面我們來看一下這個系數(shù)等于什么

7、數(shù)等于什么?因為應(yīng)力強度和應(yīng)變強度的公式為因為應(yīng)力強度和應(yīng)變強度的公式為:32 23iijijiijijS Se e把把 代入上面右式并考慮上面左式得到代入上面右式并考慮上面左式得到ijijeS32ii(3)應(yīng)力強度是應(yīng)變強度的強度函數(shù)應(yīng)力強度是應(yīng)變強度的強度函數(shù) , 即按單一曲即按單一曲線假定的硬化條件線假定的硬化條件. ii 綜上所述綜上所述, 全量型塑性本構(gòu)方程為全量型塑性本構(gòu)方程為1 2 iiiiE32iijijieS ii 注意的是上式只是描述了加載過程中的彈塑性變形規(guī)律注意的是上式只是描述了加載過程中的彈塑性變形規(guī)律. 加加載的標志是應(yīng)力強度載的標志是應(yīng)力強度 成單調(diào)增長成單調(diào)增長

8、. 下降時為卸載過下降時為卸載過程程, 它時服從增量它時服從增量Hooke定律定律.ii3-4 全量理論的基本方程及邊值問題的提法全量理論的基本方程及邊值問題的提法:iSp:uiSuViFxyzO設(shè)在物體設(shè)在物體 內(nèi)給定體力內(nèi)給定體力 ,在應(yīng)力邊界在應(yīng)力邊界 上給定面上給定面力力 , 在位移邊界在位移邊界 上給上給定位移為定位移為 , 要求確定物要求確定物體內(nèi)處于塑性變形狀態(tài)的各體內(nèi)處于塑性變形狀態(tài)的各點的應(yīng)力點的應(yīng)力 , 應(yīng)變應(yīng)變 和位和位移移 .按照全量理論按照全量理論,確定這確定這些基本未知量的基本方程有些基本未知量的基本方程有ViFSipuSiuijijiu平衡方程平衡方程,0ij j

9、iF幾何方程幾何方程.,12iji jj iuu本構(gòu)方程本構(gòu)方程1 2 iiiiE32iijijieS ii 其中其中32 23iijijiijijS Se e邊界條件邊界條件:, :ij jiuiiSlpSuu這就是對于全量這就是對于全量理論的塑性力學理論的塑性力學的邊值問題的邊值問題.3-5 全量理論的適用范圍全量理論的適用范圍 簡單加載定律簡單加載定律 全量理論適用小變形并且是簡單加載全量理論適用小變形并且是簡單加載. 那么上面是簡單加載那么上面是簡單加載? 理論上上指在加載過程中物體每一理論上上指在加載過程中物體每一點的各個應(yīng)力分量按比例增長點的各個應(yīng)力分量按比例增長. 即即 0iji

10、jt其中其中 是某一非零的參考應(yīng)力狀態(tài)是某一非零的參考應(yīng)力狀態(tài), 是單調(diào)增加的參數(shù)是單調(diào)增加的參數(shù).這樣定義的簡單加載說明這樣定義的簡單加載說明, 在加載時物體內(nèi)應(yīng)變和應(yīng)力的主方在加載時物體內(nèi)應(yīng)變和應(yīng)力的主方向都保持不變向都保持不變.0ij t 但是物體內(nèi)的內(nèi)力是不能事先確定的但是物體內(nèi)的內(nèi)力是不能事先確定的, 那么如何判斷加載過那么如何判斷加載過程是簡單加載程是簡單加載? Ilyushin指出指出, 在符合下列三個條件時在符合下列三個條件時, 可以可以證明物體內(nèi)所有各點是處于簡單加載過程證明物體內(nèi)所有各點是處于簡單加載過程:(1) 荷載荷載(包括體力包括體力)按比例增長按比例增長.如有位移邊

11、界條件應(yīng)為零如有位移邊界條件應(yīng)為零.(2) 材料是不可壓縮的材料是不可壓縮的.(3)應(yīng)力強度和應(yīng)變強度之間冪指數(shù)關(guān)系應(yīng)力強度和應(yīng)變強度之間冪指數(shù)關(guān)系, 即即miiA這就是這就是Ilyushin簡單加載定律簡單加載定律.有人認為只有第有人認為只有第(1)條就可以了條就可以了.3-6 卸載定律卸載定律peo 從單向拉伸實驗的應(yīng)力應(yīng)變曲線從單向拉伸實驗的應(yīng)力應(yīng)變曲線看看:加載至過彈性極限達到加載至過彈性極限達到A點點,然后然后卸載至卸載至B點點, 此時總應(yīng)變此時總應(yīng)變 的彈性的彈性部分部分 中的部分應(yīng)變中的部分應(yīng)變 得到恢復(fù)得到恢復(fù),塑塑性應(yīng)變部分性應(yīng)變部分 要被保留下來要被保留下來.此時此時的應(yīng)力

12、和應(yīng)變的改變量的應(yīng)力和應(yīng)變的改變量, 即即B點的應(yīng)點的應(yīng)力和應(yīng)變?yōu)榱蛻?yīng)變?yōu)锳Bep,因為卸載要服從彈性本構(gòu)關(guān)系因為卸載要服從彈性本構(gòu)關(guān)系, 即即 . 這就是說這就是說,我們可以我們可以由因為卸載引起的荷載的改變由因為卸載引起的荷載的改變E量量 按彈性計算得到按彈性計算得到.PPP 推廣到復(fù)雜應(yīng)力的卸載情況推廣到復(fù)雜應(yīng)力的卸載情況(即應(yīng)力強度即應(yīng)力強度 減小減小)得到得到: 卸載定律卸載定律 . 即即: 卸載后的應(yīng)力或應(yīng)變等于卸載前的應(yīng)力或應(yīng)變卸載后的應(yīng)力或應(yīng)變等于卸載前的應(yīng)力或應(yīng)變減去卸載時的荷載改變量減去卸載時的荷載改變量 為假想荷載按彈性計算所為假想荷載按彈性計算所得之應(yīng)力或應(yīng)變得之應(yīng)力

13、或應(yīng)變(即卸載過程中應(yīng)力或應(yīng)變的改變量即卸載過程中應(yīng)力或應(yīng)變的改變量.iPPP 使用卸載定律要注意兩點使用卸載定律要注意兩點:卸載過程必須時簡單加載卸載過程必須時簡單加載, 即卸載過程中各點的應(yīng)力分量即卸載過程中各點的應(yīng)力分量時按比例減少的時按比例減少的; 卸載過程中不發(fā)生第二次塑性變形卸載過程中不發(fā)生第二次塑性變形, 即卸載不引起應(yīng)力改即卸載不引起應(yīng)力改變符號而達到新的屈服變符號而達到新的屈服. 由卸載定律可以看出由卸載定律可以看出, 全部卸載后全部卸載后,在物體內(nèi)不僅留下殘余應(yīng)在物體內(nèi)不僅留下殘余應(yīng)變變, 而且還有殘余應(yīng)力而且還有殘余應(yīng)力.3-7 Levy-Mises流動法則和流動法則和P

14、randtl-Reuss流動法則流動法則塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的重要特點時它的非線性和不唯一性塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的重要特點時它的非線性和不唯一性. 全全量理論則企圖直接建立全量形式表示的與加載路徑無關(guān)的本量理論則企圖直接建立全量形式表示的與加載路徑無關(guān)的本構(gòu)關(guān)系構(gòu)關(guān)系, 一般是不正確的一般是不正確的. 所以作為描述本構(gòu)關(guān)系應(yīng)該是它們所以作為描述本構(gòu)關(guān)系應(yīng)該是它們的增量之間的關(guān)系的增量之間的關(guān)系. 這就是增量理論這就是增量理論, 也就是流動法則也就是流動法則. 這里這里介紹兩個增量理論介紹兩個增量理論. 即即Levy-Mises流動法則和流動法則和Prandtl-Reuss流動法則流動法則.1. Lev

15、y-Mises流動法則流動法則 這個理論認為應(yīng)變增量主軸和應(yīng)力這個理論認為應(yīng)變增量主軸和應(yīng)力主軸重合主軸重合, 應(yīng)變增量分量與相應(yīng)的應(yīng)力偏量分量成比例應(yīng)變增量分量與相應(yīng)的應(yīng)力偏量分量成比例, 即即 0ijijdd Sd式中的比例系數(shù)決定于質(zhì)點的位置和荷載的水平式中的比例系數(shù)決定于質(zhì)點的位置和荷載的水平. 這一理論是這一理論是Levy和和Mises分別在分別在1871年和年和1931年獨立提出的年獨立提出的, 所以被稱為所以被稱為Levy-Mises流動法則流動法則. 這個關(guān)系式不包括彈性變形部分這個關(guān)系式不包括彈性變形部分, 所以所以只適用剛塑性體只適用剛塑性體.2. Prandtl-Reus

16、s流動法則流動法則 這個理論考慮了塑性狀態(tài)變形中這個理論考慮了塑性狀態(tài)變形中的彈性變形部分的彈性變形部分, 并認為彈性變形服從廣義并認為彈性變形服從廣義Hooke定律定律; 而對而對于塑性變形部分于塑性變形部分, 被認為塑性應(yīng)變增量的主軸和應(yīng)力偏量的主被認為塑性應(yīng)變增量的主軸和應(yīng)力偏量的主軸重合軸重合. 即即12eeijijijijijdedededSd SG又由塑性不可壓縮性又由塑性不可壓縮性,體積變化式彈性的體積變化式彈性的,有有1 2 iiiiddE這就是這就是Prandtl-Reuss流流動法則動法則3-8 理想彈塑性材料的增量本構(gòu)方程理想彈塑性材料的增量本構(gòu)方程 對于理想彈塑性材料對

17、于理想彈塑性材料, 后繼屈服面和初始屈服面是重合的后繼屈服面和初始屈服面是重合的. 若若采用采用Mises條件條件, 則應(yīng)有則應(yīng)有 求微分有求微分有32iijijsS S0ijijS dS 又因為應(yīng)變比能的增量為又因為應(yīng)變比能的增量為ijijmijijmijijdWdSdde 3mmijijmijijmijijijijmmijijddSdeS dedS de 上式第一項是體積比能增量上式第一項是體積比能增量,第二項為形狀變形比能第二項為形狀變形比能,記為記為dW這樣考慮這樣考慮Levy-Mises定律有定律有:21223dijijijijijijijidWS deSdSd Sd S SdG23

18、2didWd所以有所以有 理想彈塑性材料的增量型本構(gòu)方程可以寫為理想彈塑性材料的增量型本構(gòu)方程可以寫為23122dijijijsdWdedSSG1 2 iiiiddE3-9 理想剛塑性材料的增量型本構(gòu)方程理想剛塑性材料的增量型本構(gòu)方程 理想剛塑性材料的理想剛塑性材料的Levy-Mises流動法則為流動法則為 0ijijdd Sd把它代入把它代入Mises屈服條件屈服條件32iijijsS S得到得到132ijijsddd現(xiàn)在定義應(yīng)變現(xiàn)在定義應(yīng)變增量強度為增量強度為32iijijddd那么那么32iSdd 理想剛塑性材料的增量型本構(gòu)方程為理想剛塑性材料的增量型本構(gòu)方程為:3 2iijijSddS

19、3-10 彈塑性硬化材料的增量型本構(gòu)方程彈塑性硬化材料的增量型本構(gòu)方程 對于彈塑性硬化材料對于彈塑性硬化材料, 采用等向硬化模型采用等向硬化模型, 取取Mises屈服條件屈服條件, 即即piiHd(對于理想彈塑性對于理想彈塑性Mises條件為條件為 )is iSiio去掉彈性去掉彈性SippiidopiHd理想彈塑性理想彈塑性1tg H上式微分得到上式微分得到ppiiidH ddH d 是函數(shù)是函數(shù) 對自變量的導(dǎo)數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù), 有簡單的物理意義有簡單的物理意義, 見上圖見上圖.在線性強化時在線性強化時 時常數(shù)時常數(shù).由把由把Levy-Mises流動法則代入塑性流動法則代入塑性應(yīng)變增量強度應(yīng)

20、變增量強度 的公式得到的公式得到HHHpid2233piijijiddS Sd所以所以3322piiiidddH 將上面得到的將上面得到的 代入代入Levy-Mises流動法則就得到彈塑性硬化流動法則就得到彈塑性硬化材料的增量型本構(gòu)方程材料的增量型本構(gòu)方程:d3122iijijijiddedSSGH1 2 iiiiddE或?qū)懗苫驅(qū)懗?31 2122iijmijijijiddddSSEGH 例題例題3-1 如圖所如圖所示示, 一薄壁圓管一薄壁圓管,其材料的拉伸硬其材料的拉伸硬化曲線為線性化曲線為線性.試根據(jù)增量理論試根據(jù)增量理論分別對下列三種分別對下列三種加載路徑求管的加載路徑求管的總軸向應(yīng)變總

21、軸向應(yīng)變 和和切向切向 應(yīng)變應(yīng)變zzzzzPPTTzpos1tg FxzS3SzoABC(1)(2)(3)屈服曲線屈服曲線先拉后扭先拉后扭OAB先扭后拉先扭后拉OCB拉扭同時拉扭同時,并保持比例并保持比例,如如圖圖OB.解解: 根據(jù)題意薄壁圓管的應(yīng)根據(jù)題意薄壁圓管的應(yīng)力只有力只有 , 其它為零其它為零.應(yīng)應(yīng)力強度為力強度為 ,那么那么Mises屈服條件是一橢屈服條件是一橢圓圓:,zz 223izz2223zzs每一加載路徑分為彈性和每一加載路徑分為彈性和彈塑性兩個階段彈塑性兩個階段, 在彈性在彈性階段本構(gòu)關(guān)系有階段本構(gòu)關(guān)系有:11, zzzzEG在彈塑性階段本構(gòu)關(guān)系有在彈塑性階段本構(gòu)關(guān)系有:3

22、1 2122izmzziddddSSEGF13izzzidddGF下面分三個路徑進行計算下面分三個路徑進行計算.zS3SzoABC(1)(2)(3)屈服曲線屈服曲線(1) OAB路徑路徑,分分OA和和AB段段.OA段是彈性階段段是彈性階段, A點是屈服點是屈服點點, 則有則有10zSOAzOAEAB段是彈塑性階段段是彈塑性階段, 保持不變保持不變, 變變化化, 其它應(yīng)力分量為零其它應(yīng)力分量為零, 則有則有/32/3,/30zSzSrSzmzrSSSdddSdSdS zS0/ 3zS從從Mises屈服條件得屈服條件得2233izziizdd將這些量代入彈塑性本構(gòu)關(guān)將這些量代入彈塑性本構(gòu)關(guān)系系,

23、并沿路徑積分并沿路徑積分,則得則得SizzABABABiddF2ln|ln2SSSSiFF2/ 3220313 SzzABABzzSzddGF13143SzABGF得到得到:zS3SzoABC(1)(2)(3)屈服曲線屈服曲線總應(yīng)變?yōu)榭倯?yīng)變?yōu)?1111ln213143zSSzEFGF(2)同理可得同理可得OCB路徑總應(yīng)變路徑總應(yīng)變 21111413ln23zSSzEFGF(3)同理可得同理可得OB路徑總應(yīng)變路徑總應(yīng)變 3111112131132zSSzEFGF可以看到應(yīng)力狀態(tài)相同可以看到應(yīng)力狀態(tài)相同,由于由于路徑不同所得應(yīng)變狀態(tài)不同路徑不同所得應(yīng)變狀態(tài)不同.3-12 Prandtl-Reuss

24、假設(shè)的實驗驗證假設(shè)的實驗驗證Prandtl-Ress假設(shè)是應(yīng)力主軸和塑性應(yīng)變增量主軸是一致的假設(shè)是應(yīng)力主軸和塑性應(yīng)變增量主軸是一致的, 也就是說應(yīng)力也就是說應(yīng)力Lode參數(shù)和塑性應(yīng)變增量的參數(shù)和塑性應(yīng)變增量的Lode參數(shù)應(yīng)該相等參數(shù)應(yīng)該相等.為了驗證這一點為了驗證這一點, W.Lode做了薄壁圓筒受軸向拉伸和內(nèi)壓力的做了薄壁圓筒受軸向拉伸和內(nèi)壓力的復(fù)合抗力實驗復(fù)合抗力實驗. 實驗結(jié)果表明它們大致上是成立的實驗結(jié)果表明它們大致上是成立的.pd3-13 增量理論的基本方程及邊值問題的提法增量理論的基本方程及邊值問題的提法 問題的提法問題的提法 在加載過程的某一瞬時在加載過程的某一瞬時, 已知已知

25、, 和外和外荷載的增量荷載的增量:,ijijiu:;:;:.iiuiVdFSdpSdu體力增量面力增量位移增量求求:,.ijijidddu相應(yīng)的應(yīng)力增量應(yīng)變增量和位移增量 基本方程基本方程 這些基本物理量必須滿足增量型基本方程這些基本物理量必須滿足增量型基本方程., 01 211 2 : 2311 2 : 23ij jiiji jj iijijkkijijijijkkijddFddududdSdGEddSd SdGE 平衡方程幾何方程本構(gòu)方程彈性區(qū)塑性區(qū)其中其中 是卸載或中性變載是卸載或中性變載, 是加載是加載.0d0d 邊界條件邊界條件: ; : ij jiuiiSdldpSdudu在彈塑性

26、區(qū)交界面上還應(yīng)滿足一定的連續(xù)條件在彈塑性區(qū)交界面上還應(yīng)滿足一定的連續(xù)條件. 上述條件下可求出上述條件下可求出 這這15個量個量, 然后疊加到原然后疊加到原來的來的 上上, 最后確定新的屈服面最后確定新的屈服面, 再求下一步增量再求下一步增量. ,ijijidddu,ijijiu3-14 全量理論與增量理論的比較全量理論與增量理論的比較 增量理論在加載過程中最后的應(yīng)變狀態(tài)取決于應(yīng)變路徑增量理論在加載過程中最后的應(yīng)變狀態(tài)取決于應(yīng)變路徑, 而全而全量理論不管應(yīng)變路徑量理論不管應(yīng)變路徑. 特別是在中性變載情況特別是在中性變載情況, 兩者相差最明顯兩者相差最明顯. 因為九個實驗觀察因為九個實驗觀察, 對

27、中性變載不產(chǎn)生塑性應(yīng)變的改變對中性變載不產(chǎn)生塑性應(yīng)變的改變, 增量理增量理論反映了這一特點論反映了這一特點, 而按全量理論只要應(yīng)力分量改變而按全量理論只要應(yīng)力分量改變, 塑性應(yīng)變塑性應(yīng)變也要發(fā)生改變也要發(fā)生改變. 這是因為加載條件中的中性變載就是增量理論這是因為加載條件中的中性變載就是增量理論的塑性部分等于零的塑性部分等于零. 增量理論在中性區(qū)可以保證應(yīng)力應(yīng)變的連續(xù)性增量理論在中性區(qū)可以保證應(yīng)力應(yīng)變的連續(xù)性, 而全量理論而全量理論不能不能.在小變形且簡單加載的情況下在小變形且簡單加載的情況下, 這兩個理論是一致的這兩個理論是一致的. 現(xiàn)在現(xiàn)在我們來證明一下我們來證明一下,下面是這兩個理論下面是

28、這兩個理論.12ijijijdedSd SG1 2 iiiiddE1 2 iiiiE32iijijieS增量理論增量理論全量理論全量理論小變形且小變形且簡單加載簡單加載00 ijijijijSS令即簡單加載各分量成比例簡單加載各分量成比例代入增量理論公式代入增量理論公式,因為簡因為簡單加載所以在加載過程中單加載所以在加載過程中主方向不變主方向不變,又是小變形又是小變形,下下面積分存在面積分存在. 增量理論第一增量理論第一式有式有: 0001 21 2 ttiiiiiiijddEE增量理論第二式有增量理論第二式有:000001 2tijijttijijedeSdSdG 0000112112tij

29、ijtijSSdGdSG 0112tdG 令2 , ijijijijijijeSe eS S上式變?yōu)閷⒃撌阶猿?得23332232ij ijij ijiiijijijije ee eS SS S則3 2iijijieS所以上面就證明了在簡單加載上面就證明了在簡單加載,小變形情況下小變形情況下:增量理論增量理論=全量理論全量理論. 雖然增量理論比較合理雖然增量理論比較合理, 但全量理論仍有很大的工程應(yīng)用范但全量理論仍有很大的工程應(yīng)用范圍圍. 這不僅式因為全量理論適用于簡單加載這不僅式因為全量理論適用于簡單加載, 數(shù)學處理方便數(shù)學處理方便, 而而且對于偏離簡單加載一個相當大的范圍全量理論也適用且對

30、于偏離簡單加載一個相當大的范圍全量理論也適用.3-15 塑性勢理論塑性勢理論前面所討論的基本上是有前面所討論的基本上是有Mises條件和條件和Prandtl-Reuss流動法則流動法則建立的塑性本構(gòu)關(guān)系建立的塑性本構(gòu)關(guān)系.本節(jié)應(yīng)用塑性勢的概念討論一般的屈服本節(jié)應(yīng)用塑性勢的概念討論一般的屈服和流動問題和流動問題. Mises在在1928年把彈性勢的概念推廣于塑性力學年把彈性勢的概念推廣于塑性力學以后以后, 使得塑性力學中的屈服條件使得塑性力學中的屈服條件,硬化條件和塑性應(yīng)變增量硬化條件和塑性應(yīng)變增量建立了聯(lián)系建立了聯(lián)系.1.塑性勢塑性勢 彈性勢彈性勢 大家知道大家知道, 在彈性力學中應(yīng)變和彈性應(yīng)

31、變比能有在彈性力學中應(yīng)變和彈性應(yīng)變比能有下列關(guān)系下列關(guān)系,即即0ijijij式中式中 是彈性應(yīng)變比能是彈性應(yīng)變比能, 對理想彈性體它是正定函數(shù)對理想彈性體它是正定函數(shù), 稱為稱為彈性勢彈性勢. 若把若把 看成應(yīng)力空間的一個等勢看成應(yīng)力空間的一個等勢面面, 則上式可以理解為則上式可以理解為: 應(yīng)變矢量的方向與彈性勢的梯度方向應(yīng)變矢量的方向與彈性勢的梯度方向,即等勢面的外法線方向一致即等勢面的外法線方向一致.0ij0 ijCC是常量 塑性勢塑性勢 Mises在在1928年提出了類似與彈性勢的塑性勢理論年提出了類似與彈性勢的塑性勢理論.他考慮到塑性變形的特點他考慮到塑性變形的特點, 提出塑性勢不僅與應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)提出塑性勢不僅與應(yīng)力狀態(tài)有關(guān),而而且與加載歷史有關(guān)且與加載歷史有關(guān), 即即 , 類似與彈性勢有類似與彈性勢有,ijggKpijijgdd式中式中 是一個非負的比例系數(shù)是一個非負的比例系數(shù), 是標量是標量. 如果如果 ,它在應(yīng)力空間中表示的面就是等勢面它