第四節(jié)_線段中點的應(yīng)用-學(xué)而思培優(yōu)

1、第四節(jié)線段中點的應(yīng)用一、課標導(dǎo)航二、核心綱要線段的中點是幾何圖形中一個特殊的點， 他關(guān)聯(lián)著三角形中線、 直角三角形斜邊中線、 中心對稱圖形、三角形、三角形中位線等豐富的知識，恰當?shù)乩弥悬c，處理中點是解與中點有關(guān)問題的關(guān)鍵，由中點想到什么？常見的聯(lián)想路徑有以下幾種1 倍長中線或類中線（與中點有關(guān)的線段）構(gòu)造全等三角形與平行線2作直角三角形斜邊中線3構(gòu)造中位線4構(gòu)造等腰三角形三線合一5三角形的中線可以等分三角形的面積若 D是 BC邊上的中點，則s ABDs ACD6中點四邊形(1) 定義：順次連接四邊形四邊中點所得的四邊形叫做中點四邊形(2) 常見的中點四邊形任意四邊形的中點四邊形是平行四邊形；

2、平行四邊形的中點四邊形是平行四邊形；矩形的中點四邊形是菱形；菱形的中點四邊形是矩形；正方形的的中點四邊形是正方形；等腰梯形的中點四邊形是菱形本節(jié)重點講解：一個應(yīng)用（中點的應(yīng)用），一個四邊形（中點四邊形）三、全能突破基礎(chǔ)演練1順次連接矩形四邊中點所得的四邊形一定是A正方形B矩形C菱形(D)等腰梯形2如圖 18 -4 1 所示，在 ABC 中， ABAC 5, BC 6, 點 M為 BC中點， MNAC 于點 N，則 MN的長為( )69c.1216A. 5B. 55D.53如圖 18-4-2所示，在 ABC 中， D 為 AC邊的中點， E 為 BD中點， F 為 CE中點，若 ABD 的面積為

3、 4，則 BFC 的面積為 () A.2B.1C.1.5D.0.54如圖18-4-3所示， E、F、 G、 H 分別是BD、 BC、 AC、 AD 的中點，且ABCD. 下列結(jié)論：EG FH，四邊形EFGH是矩形， HF平分EHG , EG1 (BCAD ), 四邊形EFGH是菱形其中正確的2個數(shù)是()A.1B.2C.3D.45如圖 18-4-4所示，在四邊形ABCD中，DABBCD90 , M 為 BD中點， N 為 AC中點，求證：MNAC.6如圖 18-4-5所示，在等邊 ABC 中， P 為 AB 的中點， Q為 AC的中點， R 為 BC的中點， M為 RC上任一點， PMS為等邊三

4、角形，求證：RMQS.如圖18-4-6所示，在ABC中，點在AC上， ABCD, E、分別是、AD的中點，連接7AC>AB DFBCEF 并延長，與BA的延長線交于點G，若EFC60 , 連接 GD，判斷AGD的形狀并證明能力提升8如圖 18-4-7所示，已知 ABC 周長為 1，連接 ABC三邊中點構(gòu)成第二個三角形，再連接第二個三角形三邊中點構(gòu)成第三個三角形，以此類推，第2013 個三角形的周長為9如圖 18-4-8所示，在矩形ABCD中， AB=24，BC=26.先順次連接矩形各邊中點得菱形，又順次連接菱形各邊中點得矩形，再順次連接矩形各邊中點得菱形，以此類推， ，第10 次連接的圖

5、形的面積是10. 如圖 18-4-9所示， ABC中，ACB90 , 點 D 在 BC上，點 E、F 分別是 AD、AB的中點， ADBD.求證： CF是 ECB的平分線，11. 如圖 18 -4 -10所示，在四邊形ABCD中， CDAB , AB 與 CD不平行， E、 F 分別是 AC、 BD的中點，求證： EF1 (CD AB).212. 如圖 18 -4 -11 所示，在 ABC 中， AD是三角形的高， D 為垂足，點 E、 F、G分別是 BC、 AB、 AC的中點，求證：四邊形 EFGD是等腰梯形13如圖 18-4-12(a)所示，在 ACB 和 AED 中， AC BC, AE

6、 DE ,ACBAED 90 ,點 E在AB上， F 是線段 BD的中點，連接 CE、 FE.(1) 請你探究線段CE與 FE 之間的數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)果，不需說明理由）；(2) 將圖 18-4-12(a) 中的 AED 繞點 A 順時針旋轉(zhuǎn)，使 AED 的一邊 AE恰好與 ACB 的邊 AC在同一條直線上 ( 如圖 18-4-12 (b) 所示），連接 BD，取 BD 的中點 F，問 (1) 中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；(3) 將圖 18-4-12(a)中的 AED 繞點 A 順時針旋轉(zhuǎn)任意的角度( 如圖 18-4-12(c)所示），連接 BD，取 BD的中點 F，問 (1) 中的結(jié)

7、論是否仍然成立，并說明理由14. 如圖 18-4-13(a) 所示，在矩形 ABCD中， BC=2AB， M為 AD的中點，連接 BM.(1) 請你判斷并寫出 BMD是 ABM的幾倍；(2) 如圖 18-4-13(b) 所示，在平行四邊形 ABCD中， BC=2AB， M為 AD的中點， CEAB 于點 E，連接 EM、CM，請問： AEM與 DME是否也具有 (1) 中的倍數(shù)關(guān)系？若有，請證明；若沒有，請說明理由，15如圖 18 -4 -14所示，正方形ABCD和正方形 CGEF (CGBC ), 連接 AE，取線段 AE 的中點 M.求證：FMMD ,且FMMD .16. 小明數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀

8、，他平時善于總結(jié)，并把總結(jié)出的結(jié)果靈活運用到做題中是他成功的經(jīng)驗之一，例如，總結(jié)出“依次連接任意一個四邊形各邊中點所得四邊形（即原四邊形的中點四邊形）一定是平行四邊形”后，他想到曾經(jīng)做過的這樣一道題：如圖18-4-15(a)所示，點P 是線段 AB 的中點，分別以AP和 BP為邊在線段AB 的同側(cè)作等邊三角形APC和等邊三角形BPD，連接 AD和 BC，他想到了四邊形ABDC的中點四邊形一定是菱形，于是，他又進一步探究：如圖 18-4-15(b)所示，若P 是線段 AB上任一點，在AB 的同側(cè)作 APC 和 BPD，使 PCPA,PDPB ,APCBPD ,連接 CD，設(shè)點 E、 F、 G、H

9、 分別是 AC、AB、BD、CD的中點，順次連接E、F、 G、H請你接著往下解決三個問題：(1) 猜想四邊形ABDC的中點四邊形EFGH的形狀，直接回答，不必說明理由；(2) 當點 P 在線段 AB 的上方時，如圖18-4-15 (c) 所示，在 APB 的外部作 APC 和 BPD，其他條件不變， (1) 中結(jié)論還成立嗎？說明理由；(3) 如果 (2) 中，APCBPD90 , 其他條件不變， 先補全圖 18-4-15(d)所示，再判斷四邊形EFGH的形狀，并說明理由17. 已知：在 ABC 中，以 AC、 BC為邊分別向形外作等邊三角形ACD和 BCE， M為 CD中點， N為 CE中點，

10、P 為 AB中點(1)如圖 18-4-16(a) 所示，當ACB120時， MPN的度數(shù)為(2)如圖 18-4-16 (b) 所示，當ACB(0180 ) 時， MPN的度數(shù)是否變化？給出你的證明18在平行四邊形ABCD中，ADBC , 過點 D 作 DEDF , 且EDFABD , 連接 EF、EC， N、 P分別為 EC、 BC的中點，連接NP.(1) 如圖 18-4-17(a) 所示，若點 E 在 DP上， EF 與 DC交于點 M，試探究線段 NP與線段 NM的數(shù)量關(guān)系及 ABD與 MNP滿足的等量關(guān)系，請直接寫出你的結(jié)論；(2) 如圖 18-4-17(b) 所示，若點 M在線段 EF

11、 上，當點 M在何位置時，你在 (1) 中得到的結(jié)論仍然成立，寫出你確定的點 M的位置，并證明 (1) 中的結(jié)論19(1) 如圖 18-4-18(a)所示，以等腰直角 ABC 的直角邊AB、AC為直角邊向外作等腰直角ABE 和 ACD，M是 BC的中點，則DE與 AM之間的數(shù)量關(guān)系為；(2) 如圖 18-4-18(b) 所示，以任意直角 ABC 的直角邊 AB、 AC為直角邊向外作等腰直角 ABE 和 ACD，M是 BC的中點，則DE與 AM之間的數(shù)量關(guān)系為；(3) 如圖 18-4-18(c) 所示，以任意非直角 ABC 的邊 AB、 AC為直角邊向外作等腰直角 ABE 和 ACD， M 是

12、BC的中點，試判斷 DE與 AM之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(4) 如圖 18-4-18(d) 所示，若以 ABC 的邊 AB、AC為直角邊，向內(nèi)作等腰直角 ABE 和 ACD，其他條件不變，請直接寫出線段 DE與 AM之間的數(shù)量關(guān)系中考鏈接20. （ 2012 貴州黔西南）如圖18 -4 -19所示，在ABC 中，ACB90 , D 是 BC 的中點 ，DEBC, CF / AD 若 AC2,CE4, 則四邊形 ACEB的周長為21. （ 2012畢節(jié)地區(qū)）我們把順次連接四邊形四條邊的中點所得的四邊形叫中點四邊形現(xiàn)有一個對角線分別為6cm和 8cm 的菱形，它的中點四邊形 的懟角線長是cm。22（ 2012孝感）我們把依次連接任意一個四邊形各邊中點得到的四邊形叫做中點四邊形，如圖18-4-20所示，在四邊形 ABCD中， E、 F、G、 H 分別是邊 AB、 BC、 CD、 DA的中點，依次連接各邊中點得到的中點四邊形 EFGH(1) 這個中點四邊形EFGH的形狀是；(2) 請證明你的結(jié)論，巔峰突破2