拉格朗日中值定理的應(yīng)用

1、目 錄 摘 要1關(guān)鍵字1Abstract1KeyWord10前言11 對拉格朗日中值定理的理解 11.1承上啟下的定理11.2定理中的條件11.3定理中的21.4定理的意義22 拉格朗日中值定理的證明23 拉格朗日中值定理的應(yīng)用33.1求極限33.2證明不等式.53.3證明恒等式83.4證明等式93.5研究函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì) 103.6估值問題 113.7判定級數(shù)的收斂性 123.8證明方程根的存在性 133.9誤用拉格朗日中值定理 14結(jié)束語15參考文獻16致 謝16拉格朗日中值定理的應(yīng)用 學(xué)生姓名：李 蘋 學(xué)號：20075030274 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 指導(dǎo)老師：李

2、柱 職稱：助教 摘要：拉格朗日中值定理是微分學(xué)的基礎(chǔ)定理之一，它是溝通函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的橋梁，課本中關(guān)于拉格朗日中值定理的應(yīng)用并沒有專門的講解，而很多研究者也只是研究了它在某個方面的應(yīng)用，并沒有系統(tǒng)的總結(jié)。本文首先進一步分析了定理的實質(zhì)，以便使讀者深入理解拉格朗日中值定理；然后從課本中證明拉格朗日中值定理的思想（構(gòu)造輔助函數(shù)法）出發(fā)，提出了一個較簡單的輔助函數(shù)，從而使拉格朗日中值定理的證明簡單化；以此為理論依據(jù)并在別人研究的基礎(chǔ)上，最后重點總結(jié)了拉格朗日中值定理在各個方面的應(yīng)用。這對于正確的理解和掌握拉格朗日中值定理，以及以后進一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)具有重要的作用和深遠的意義。關(guān)鍵詞：拉格朗日中值定

3、理；應(yīng)用；極限；不等式；收斂；根的存在性 The Application of Lagrange's mean value theoremAbstract：The Lagrange's mean value theorem is one of basic theorems of differential calculus and it also is communication function and its derivative bridge. There is no special explaination about the applications of Lagran

4、ge's mean value theorem and many researchers also just studied it in some applications and no systematic summary. In order to make the reader understand Lagrange's mean value theorem, this paper first analyzed the essence of the theorem and then from textbook proof Lagrange's mean value

5、theorem thoughts (structure method of auxiliary function), puts forwards a simpler auxiliary function. Thus make the proof of Lagrange's mean value theorem simplify. According to this theorem and the basis of others study, finally summarized all the aspects application of Lagrange's mean val

6、ue theorem. It is quite important for understanding and mastering Lagrange's mean value theorem and also have a significant and profound significance for further study of mathematics. Keywords：Lagrange's mean value theorem; Application; Limit; Inequality; Convergence; Roots of existence0前言函數(shù)

7、與其導(dǎo)數(shù)是兩個不同的的函數(shù)，而導(dǎo)數(shù)只是反映函數(shù)在一點的局部特征，如果要了解函數(shù)在其定義域上的整體性態(tài)，就需要在導(dǎo)數(shù)及函數(shù)間建立起聯(lián)系，微分中值定理就是這種作用.微分中值定理，包括羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理，是溝通導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)值之間的橋梁，是利用導(dǎo)數(shù)的局部性質(zhì)推斷函數(shù)的整體性質(zhì)的工具。以羅爾中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理組成的一組中值定理是一整個微分學(xué)的理論基礎(chǔ)。拉格朗日中值定理，建立了函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值之間的定量聯(lián)系，因而可用拉格朗日中值定理通過導(dǎo)數(shù)去研究函數(shù)的性態(tài)，拉格朗日中值定理的主要作用在于理論分析和證明.拉格朗日中值定理是幾個微分中值定理中最重要的一個，是微分學(xué)應(yīng)

8、用的橋梁。在高等代數(shù)與數(shù)學(xué)分析中的一些理論推倒中起著很重要的作用。課本中對拉格朗日中值定理的應(yīng)用只是簡單的舉了例子，而很多研究者也只是研究了它在某個方面的應(yīng)用，并沒有系統(tǒng)的總結(jié)，所以研究拉格朗日中值定理的應(yīng)用，力求正確地理解和掌握它是十分必要的.拉格朗日中值定理：若函數(shù)f滿足如下條件：（1） 在閉區(qū)間上連續(xù)；（2） 在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在內(nèi)至少存在一點，使得=。1對于此定理的應(yīng)用，本文從求極限、估值問題、證明不等式、以及研究函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)等幾個方面詳細舉例說明，以便我們更好的理解和掌握拉格朗日中值定理。1 對拉格朗日中值定理的理解拉格朗日中值定理是微積分的基礎(chǔ)定理之一，在理論和應(yīng)用上都有著極

9、其重要的意義。該定理的敘述簡單明了，并有明確的幾何意義，很容易簡單掌握，但要深刻認識定理的內(nèi)容，特別是點的含義，就有較大難度。熟練掌握定理的本質(zhì)，會在解題時游刃有余，若對定理的實質(zhì)了解不夠深刻的話，會進入不少誤區(qū)。下面從四個方面對定理進行分析，以便更好的掌握定理。1.1 承上啟下的定理拉格朗日中值定理是導(dǎo)數(shù)概念的延伸，是導(dǎo)數(shù)各種應(yīng)用的理論基礎(chǔ)。在講完導(dǎo)數(shù)內(nèi)容后，介紹導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用是順理成章的。而正是這一定理使得導(dǎo)數(shù)概念與其應(yīng)用有機的聯(lián)系起來。例：函數(shù)，有，當時，單調(diào)增加；當時，單調(diào)減少；當時，可見，函數(shù)的單調(diào)性的判定，是否取得極值可以用它的導(dǎo)數(shù)符號來確定。一般在某個區(qū)間上，若，則單調(diào)增加，若，則單

10、調(diào)減少，若，則可能在改點處取得極值（此亦為定理）。又如例中，如果時，而，從而有，即函數(shù)在某個閉區(qū)間端點的函數(shù)值之差同該區(qū)長度之比等于該區(qū)間內(nèi)某一點的導(dǎo)數(shù)值。這樣一來，通過具體實例會讓學(xué)生容易學(xué)地接受定理的內(nèi)容。21.2 定理中的條件函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)、在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)是拉格朗日中值定理兩個不可缺少的條件，是充分而不必要的條件。即由著兩個條件一定可得出結(jié)論，但沒有這兩個條件，則無定論。例 函數(shù)在閉區(qū)間 上不連續(xù)，在開區(qū)間(-1,1)內(nèi)不可導(dǎo)所以無實根，即在區(qū)間(-1,1)內(nèi)不存在，使得1.3 定理中的 如果在滿足拉格朗日中值定理條件下，結(jié)論中的“至少存在”是關(guān)鍵所在。實際上是方程 f()= （1）

11、的所有實數(shù)解中屬于區(qū)間的那些解，而這些解的個數(shù)正是定理中的個數(shù)。例 求函數(shù)在區(qū)間（-1,1）內(nèi)的解：顯然函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)滿足定理的條件,所以即區(qū)間內(nèi)任何一點都可取為，這樣的有無窮多個。但值得注意的是方程（l）一般不是簡單的代數(shù)方程，不一定能解出，但這并不影響定理的應(yīng)用，因為定理的重要性不在于一定要知道或者解出，而是在于確定了的存在性。1.4 定理的意義（1）幾何意義:定理中是連接曲線上兩點的弦的斜率，是過曲線上一點的切線的斜率。那么，定理就可解釋為在曲線上至少存在一條平行于弦的切線。1（2）物理意義:如果表示物體的運動規(guī)律在定理的條件下，表示物體運動到時間時的瞬時速度；表示物體從時間到平均速度，

12、那么表示物體在運動過程中，至少有那么一個時刻，其瞬時速度等于它的平均速度。2 拉格朗日中值定理的證明 拉格朗日中值定理是微分學(xué)的基本定理，它架起用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)性質(zhì)的橋梁。該定理的證明一直是人們研究的問題。它的證明通常是以羅爾中值定理作為預(yù)備定理，為此需要將拉格朗日中值定理的條件轉(zhuǎn)化為羅爾定理的條件，這個轉(zhuǎn)化過程就是要構(gòu)造一個滿足羅爾定理條件的新函數(shù)作為輔助函數(shù)。教科書上的證明方法正是通過此思想實現(xiàn)的，但所作的輔助函數(shù)不是很容易想到，下面提供一個更易理解、更簡單的證明方法以供大家參考。分析：首先由定理的結(jié)論知則可求從而可構(gòu)造輔助函數(shù)證明：先構(gòu)造輔助函數(shù) 再用羅爾定理證明顯然，在連續(xù)，在（）可導(dǎo)

13、，有羅爾定理知，在連續(xù)，在（）內(nèi)可導(dǎo)，且，則在（）內(nèi)至少存在一點，使.從而可證即證3 拉格朗日中值定理的應(yīng)用 拉格朗日中值定理在微積分學(xué)中是一個重要的理論基礎(chǔ)，是應(yīng)用數(shù)學(xué)研究函數(shù)在區(qū)間上整體性態(tài)的有力工具，拉格朗日中值定理作為微分中值定理的核心，有著廣泛的應(yīng)用，如求極限、證明不等式和方程根的存在性等，它在很多題型中都起到了化繁為簡的作用。下面通過舉例說明拉格朗日中值定理在以上幾個方面的應(yīng)用。3.1求極限例1 求極限.3解：函數(shù)在或上運用拉格朗日中值定理得（介于與之間）當時，由介值定理可知則 原式=解題思路：由這一形式聯(lián)想到拉格朗日中值定理的一般形式，從而構(gòu)造函數(shù)，在運用拉格朗日中值定理求極限。

14、例2 設(shè)連續(xù)，有公式 （0<<1） (1)試求時的極限解：對函數(shù)在或上運用拉格朗日中值定理得 （0<1<1）將此式代入式（1）得 (2)將按泰勒公式展開得 (3)由式（2）和（3），得所以例3 若函數(shù)在R上可導(dǎo)，極限與都存在，則=0。4證明1：應(yīng)用拉格朗日中值定理，設(shè)，則，有，已知極限存在則=即證明2：用反證法假設(shè)，不妨設(shè)，根據(jù)極限的保號性，有 或，由拉格朗日中值定理有或顯然，當時，不存在，矛盾3.2 證明不等式 (一) 含絕對值的不等式的證明例1證明.證明：設(shè).則在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)。由拉格朗日中值定理可知，取絕對值=因為1所以例2 設(shè)函數(shù)在上可微，且，.3證明在上，,

15、其中是大于零的常數(shù).證明：要證，即要證.由可知.若，則。若，則由拉格朗日中值定理可知，即 整理得，其中若，則由拉格朗日中值定理可知，其中終上所述:在上，.含絕對值的不等式分為兩類：一類是在證明過程中對等式兩邊同時取絕對值，然后利用已知條件中的不等關(guān)系，證明含絕對值的不等式成立;另一類是形如的不等式，證明這類不等式，即證明形如的雙邊不等式。（二）雙邊不等式的證明例 設(shè),證明 。5證明：設(shè)函數(shù)，則在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)。由拉格朗日中值定理可知，存在，使得即 （*）因為 ，且，所以 于是有將（*）式代入得在證這類題目時，大多數(shù)都要應(yīng)用到單數(shù)的單調(diào)性。（三）靈活構(gòu)造的值例 1 試證不等式.證明1： 令，則

16、，由拉格朗日中值定理得.因為所以 即證明2 ：仍設(shè) 。則。在內(nèi)對應(yīng)用拉格朗日中值定理，得再由得例 2 證明 當時，（等號只有在x=0時成立）。證明：令，則在區(qū)間上，由拉格朗日中值定理，存在，使整理有=又因為 所以有當時等號成立。同理可證在區(qū)間上原式成立。3.3 證明恒等式由拉格朗日中值定理知，函數(shù)在定義域內(nèi)取兩點，（不妨設(shè)）有那么若恒為0，則有，所以，由的任意性可知，在定義域內(nèi)函數(shù)值恒等。既有下面一個推論：推論：如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的倒數(shù)恒為零，那么在內(nèi)是一個常數(shù)，利用這個推論可以證明一類反三角恒等式的題目。6例 1證明 恒等。證明：令在時有意義，且在時，（常數(shù)）。又取內(nèi)任一點，如，有且所以端點值

17、也成立，有推論有恒等。3.4 證明等式用拉格朗日中值定理證明等式也是它的應(yīng)用中很重要的一項，證明的目標在于湊出形式類似于拉格朗日中值定理的式子，尋找機會應(yīng)用。例 設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，試求，使得.7證明：令，則在上滿足拉格朗日中值定理條件，故存在，使得由條件，可得再令，則在上滿足拉格朗日中值定理條件，故存在，使得綜合上述兩式可得即3.5 研究函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì) 因為拉格朗日中值定理溝通了函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)的聯(lián)系，很多時候我們可以借助其導(dǎo)數(shù)，研究導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，從而了解函數(shù)在整個定義域區(qū)間上的整體認識。比如研究函數(shù)在區(qū)間上的符號、單調(diào)性、一致連續(xù)性，凸性等等，都可能用到拉氏中值定理的結(jié)論。通過對函數(shù)局

18、部性質(zhì)的研究把握整體性質(zhì)，這是數(shù)學(xué)研究中一種重要的方法.8(一) 證明函數(shù)一致連續(xù)性例 證明:若函數(shù)于有窮或無窮的區(qū)間內(nèi)有有界的導(dǎo)函數(shù),則于中一致連續(xù)。證明：設(shè)當時，對于，在以為端點的區(qū)間上由拉氏中值定理，有在之間那么有，對于，取，則當時，且，就有（在之間）由一致連續(xù)定義可知，在內(nèi)一致連續(xù)。（二）證明函數(shù)的單調(diào)性例 證明在內(nèi)單調(diào)增加。證明：因又在上滿足拉格朗日中值定理的條件故從而有所以，在時單調(diào)增加。（三）證明函數(shù)的有界性例 設(shè)在內(nèi)可導(dǎo)且有界，試證在有界證明：任取，有拉格朗日中值定理知（在之間）可得+式中是在內(nèi)的界，有即在內(nèi)有界3.6 估值問題.證明估值問題，一般情況下選用泰勒公式證明比較簡便

19、。特別是二階及二階以上的導(dǎo)函數(shù)估值時。但對于某些積分估值，可以采用拉氏中值定理來證明。例 設(shè)在上連續(xù)，且，試證.9證明：若，不等式顯然成立若不恒等于零，使，在及上分別用拉氏中值定理，有從而再利用即得所證。3.7 判定級數(shù)的收斂性例1 若一正項級數(shù)發(fā)散，證明級數(shù)收斂。證明：作輔助函數(shù)，則，當時，在上用拉氏中值定理，得于是由收斂，既得所證。例2 證明調(diào)和級數(shù)的發(fā)散性。證明：設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理在內(nèi)至少存在一點，使于是當時，有當時，有當時，有依此類推，當時，有所以而右端之和恰好是調(diào)和級數(shù)的前n項和因為故，調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的。3.8 證明方程根的存在性例 1 設(shè)在上可導(dǎo)，且對于內(nèi)的所

20、有點，有證明方程在內(nèi)有唯一實根。10證明：存在性：令則在上可導(dǎo)，又因故由介值定理得在內(nèi)至少有一個零點，即方程在（0,1）內(nèi)至少有一實根。唯一性：設(shè)方程在內(nèi)有兩個實根，不妨設(shè)則有因在上滿足拉格朗日中值定理，所以至少存在一點使即在內(nèi)是少存在一點，使得這與題設(shè)矛盾。所以假設(shè)不成立，即方程在內(nèi)有唯一實根。例2 設(shè)在內(nèi)二階可導(dǎo)，且又存在，使試證：方程在內(nèi)有且僅有兩個根。證明：存在性，由可知，對于存在使得時即可知在內(nèi)單調(diào)增加。任取在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理知，存在，使得又存在，使所以，由介值定理，存在使同理可證，當時，存在使唯一性：（反證法）假若有三個實根由羅爾定理，存在使得再由羅爾定理，存在

21、使與題設(shè)矛盾，故在內(nèi)有且僅有兩個根。3.9 誤用拉格朗日中值定理11誤區(qū)一：若函數(shù)在可導(dǎo)則對區(qū)間內(nèi)任一點定能找到確定的兩點使得成立以上命題與拉格朗日中值定理幾乎相同，似乎應(yīng)該成立，其實不然錯誤原因在于對與的關(guān)系未搞清，定理是現(xiàn)有后有現(xiàn)在是現(xiàn)有后找則不一定存在。譬如該函數(shù)在：上連續(xù)，在（-1,1）內(nèi)可導(dǎo)，滿足拉格朗日中值定理條件，取由得即但嚴重單調(diào)，所以找不到所要求的.以上命題錯誤。誤區(qū)二: 用拉格朗日中值定理，可推得說明該定理有錯。證明：設(shè)則在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，故存在，使成立，即即當時，得出，從而而事實上不存在，說明拉格朗日中值定理出錯。是真理真的有錯嗎？否。事實上以上證明得出是正確的。問題在

22、于不能因此得出因為當連續(xù)的趨近于0時，并不連續(xù)趨于0.它僅是的一個子列，而子列極限存在并不等于原極限存在。4 結(jié)束語本文從高等數(shù)學(xué)中常用的幾個方面概述了拉格朗日中值定理的應(yīng)用，最后又總結(jié)了誤用拉格朗日中值定理的兩種情況，以便讀者更好的理解拉格朗日中值定理。拉格朗日中值定理的應(yīng)用是一個龐大的研究課題，加上我自身理論、能力方面的欠缺，所以本文中還有很多不足和無法涉及的內(nèi)容。本文對拉格朗日中值定理的應(yīng)用的相關(guān)論述，不可避免的存在諸多漏洞與不足，懇請讀者予以批評。參考文獻：1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析（第三版）（上冊）M北京：高等教育出版社，2001，119-1212 華東師范大學(xué).數(shù)學(xué)分析習(xí)題解析M陜西：陜西師范大學(xué)出版社，2004，87-913 錢吉林.數(shù)學(xué)分析題解精粹M武漢：崇文書局，2003，61-834 Curriculum Theory（2nd）JPeacock Press，1986，6-65 LyDavid Kembet，Alicejoens，Alice ioke，Jan mckay，Kit Sinclair，Haxfison tse，Celia webbFrances wongand Ella yeun，Determining the leve of eftive