擴(kuò)域伊犁師范學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院

1、第五章 擴(kuò)域 課時(shí)安排 約2課時(shí) 教學(xué)內(nèi)容 （近世代數(shù)基礎(chǔ) （1978年修訂本） 張和瑞 著 ）在這一章里我們要對于域做一些進(jìn)一步的討論。我們不準(zhǔn)備證明一些復(fù)雜的結(jié)構(gòu)定理，而主要是對單擴(kuò)域、代數(shù)擴(kuò)域、多項(xiàng)式的分裂域、有限域和可離擴(kuò)域做一些討論。§5.1 擴(kuò)域、素域 我們先說明一下，研究域所用的方法。 定義 一個(gè)域叫做一個(gè)域的擴(kuò)域（擴(kuò)張），假如是的子域。 我們知道，實(shí)數(shù)域是在它的子域有理數(shù)域上建立起來的，而復(fù)數(shù)域是在它的子域?qū)崝?shù)域上建立起來的。研究域的方法就是：從一個(gè)給定的域出發(fā)，來研究它的擴(kuò)域。 這就有如何選擇域的問題。我們有以下的事實(shí)。 定理1 令是一個(gè)域。若的特征是，那么含有一個(gè)

2、與有理數(shù)域同構(gòu)的子域；若的特征是素?cái)?shù)，那么含有一個(gè)與同構(gòu)的子域，這里是整數(shù)環(huán)，（）是由生成的主理想。 證明：域包含一個(gè)單位元。因此也包含所有（是整數(shù)）。令是所有作成的集合。那么： 顯然是整數(shù)環(huán)到的一個(gè)同態(tài)滿射。 情形1 的特征是。 這時(shí)是一個(gè)同構(gòu)映射：但包含的商域。由，10，定理4，與的商域，也就是有理數(shù)域同構(gòu)。情形2 的特征是素?cái)?shù)。這時(shí)µ此處µ是的核。但=0所以µ，因而µ。由，3，引理2，是一個(gè)最大理想。另一方面所以，而µ=，因而（）有理數(shù)域和（）顯然都不含真子域。 定義 一個(gè)域叫做素域，假如它不含真子域。 由定理1知道：一個(gè)素域或是與有理數(shù)

3、域同構(gòu)，或是與（）同構(gòu)。因此定理1的另一形式是 定理2 令是一個(gè)域。若的特征是，那么含有一個(gè)與有理數(shù)域同構(gòu)的素域；若的特征是素?cái)?shù)，那么包含一個(gè)與同構(gòu)的素域。由定理2，一個(gè)任意域都是一個(gè)素域的擴(kuò)域，我們就掌握了所有的域。但事實(shí)上研究素域的擴(kuò)域并不比研究一個(gè)任意域的擴(kuò)域來得容易。因此我們研究域的普通方法是：設(shè)法決定一個(gè)任意域F的所有擴(kuò)域E?，F(xiàn)在我們極粗略地描述一下一個(gè)擴(kuò)域的結(jié)構(gòu)。令E是F的一個(gè)擴(kuò)域。我們從E里取出一個(gè)子集S來。我們用F（S）表示含F(xiàn)和S的E的最小子域，把它叫做添加集合S于F所得的擴(kuò)域。F（S）的存在容易看出。因?yàn)?，E的確有含F(xiàn)和S的子域，例如E本身，一切這樣的子域的交集顯然是含F(xiàn)和

4、S的E的最小子域。更具體的說，F(xiàn)（S）剛好包含E的一切可以寫成 （1） 形式的元。這里是S中的任意有限個(gè)元素，而和（）是F上的這些的多項(xiàng)式。這是因?yàn)椋篎（S）既然是含有F和S的一個(gè)域，它必然含有一切可以寫成形式（1）的元；另一方面，一切可以寫成形式（1）的元已經(jīng)作成一個(gè)含有F和S的域。 適當(dāng)選擇S，我們可以使E =F（S）。例如S=E，就可以作到這一點(diǎn)。實(shí)際上，為了作到這一點(diǎn)，常常只須取E的一個(gè)真子集S。 若S是一個(gè)有限集：S=，那么我們也把F（S）記作F（）叫做添加元素于F所得的子域。 為了便于討E 是域F的一個(gè)擴(kuò)域，而和是E的兩個(gè)子集。那么F（）（）= F（）=F（）（） 證明： F（）（

5、）是一個(gè)包含F(xiàn)、和的E的子域，而F（）是包含F(xiàn)和的E的最小子域。因此（2） F（）（）F（）另一方面F（）是一個(gè)包含F(xiàn)、和，因而是一個(gè)包含F(xiàn)（）和的E的子域。但F（）（）是包含F(xiàn)（）和的E的最小子域，因此（3） F（）（）F（）有（2）和（3），得F（）（）= F（）同樣可以得到F（）（）= F（） 證完 根據(jù)定理3，我們可以添加一個(gè)有限集歸結(jié)為陸續(xù)添加單個(gè)元素，例如F（）= F定義 添加一個(gè)元素于域F所得的擴(kuò)域F（）叫F的單擴(kuò)域（擴(kuò)張）。單擴(kuò)域是最簡單的擴(kuò)域。我們在下一節(jié)將先討論這種擴(kuò)域結(jié)構(gòu)。 教學(xué)重點(diǎn) 擴(kuò)域與素域的定義。 教學(xué)難點(diǎn) 定理1的證明。 教學(xué)要求 使學(xué)生掌握擴(kuò)域與素域的定義，利用

6、擴(kuò)域和素域的定義以及定理1，2，3能證明相關(guān)的命題。 布置作業(yè) 習(xí)題。 教學(xué)輔導(dǎo) 利用參考書，給學(xué)生輔導(dǎo)相關(guān)的內(nèi)容。§5.2 單擴(kuò)域 課時(shí)安排 約2學(xué)時(shí)。 教學(xué)內(nèi)容 （近世代數(shù)基礎(chǔ) （1978年修訂本） 張和瑞 著 ）假設(shè)E 是F的擴(kuò)域，而是E的一個(gè)元。要討論單擴(kuò)域F（）的結(jié)構(gòu)，我們把E的元分成兩類。定義 叫做域F的一個(gè)代數(shù)元，假如存在F的不都等于零的元，使得假如這樣的不存在，就叫做F上的一個(gè)超越元。若是F的一個(gè)代數(shù)元，F(xiàn)（）就叫做F的一個(gè)單代數(shù)擴(kuò)域；若是F的一個(gè)超越元，F(xiàn)（）就叫做F的一個(gè)單超越擴(kuò)域。 單擴(kuò)域的結(jié)構(gòu)通過以下定理可以掌握。 定理1 若是F的一個(gè)超越元，那么F（） F的

7、商域這里F是F上的一個(gè)未定元的多項(xiàng)式環(huán)。 若是F的一個(gè)代數(shù)元，那么F（） F/這里是F的一個(gè)唯一確定的、最高系數(shù)為1的不可約多項(xiàng)式，并且。證明 F（）包含F(xiàn)上的的多項(xiàng)式環(huán)我們知道，是F上的未定元的多項(xiàng)式環(huán)F到的同態(tài)滿射。現(xiàn)在我們分兩個(gè)情形來看。情形1 是F的一個(gè)超越元。這時(shí)以上的映射是同構(gòu)映射：F F由，10，定理4，F(xiàn)的商域 F的商域由，10，定理3，我們可以知道，（1） F的商域 F另一方面，F(xiàn)的商域包含F(xiàn)也包含，因此，由F（）的定義（2） F（） F的商域由（1）和（2）得F（）=F的商域因而F（） F的商域 情形2 是F的一個(gè)代數(shù)元。這時(shí)F F/這里是上述同態(tài)滿射的核。由，4，定理3和

8、定理1，F(xiàn)是一個(gè)主理想，所以=F的一個(gè)主理想的兩個(gè)生成元能夠互相整除，因而它們只能差一個(gè)單位因子，而F的單位就是F的非零元。所以令的最高系數(shù)是1，就是唯一確定的。由的定義的：；由此得不是F的非零元。但是F上的代數(shù)元，所以也不是零多項(xiàng)式。因此， 的次數(shù)1。 我們就說，是F的一個(gè)不可約多項(xiàng)式。不然的話，將有從而 =0但都是域F（）的元，而域沒有零因子，所以由上式可以得到=0 或 =0這就是說， 或 ，即| 或 |這是一個(gè)矛盾。這樣，是一個(gè)不可約的多項(xiàng)式，因而是 F的一個(gè)最大理想，而F/是一個(gè)域。這樣，F(xiàn)是一個(gè)域。但F包含F(xiàn)也包含，并且F F（），所以F=F（） F/ 證完以上定理把單擴(kuò)域歸結(jié)到我們

9、已經(jīng)知道的域。當(dāng)是域F上代數(shù)元時(shí)，我們可以把F（）描述得更清楚一點(diǎn)。定理2 令是域F上的一個(gè)代數(shù)元，并且F（）F/那么F（）的每一個(gè)元都可以唯一的表成的形式，這里是的次數(shù)。要把這樣的兩個(gè)多項(xiàng)式和想加，只需把相當(dāng)?shù)南禂?shù)想加；與的乘積等于，這里是用除所得的余式。 證明 由于F（）= F，所以F（）的一個(gè)任意元可以寫成= 的形式。但其中= 因而，由于，有=這種表示法是唯一的。因?yàn)椋杭偃?，和的次?shù)那么由于的次數(shù)，得=0，= 由以上的證明可以看出，定理的后一部分成立。 證完 我們已經(jīng)看到，多項(xiàng)式對于一個(gè)代數(shù)擴(kuò)域重要性。顯然是理想里的一個(gè)次數(shù)最低的多項(xiàng)式。 定義 F中滿足條件的次數(shù)最低的多項(xiàng)式叫做元的在F

10、上的極小多項(xiàng)式。叫做的在F上的次數(shù)。 以上的討論是在域F有擴(kuò)域E的前提下進(jìn)行的?，F(xiàn)在我們問，若是只給了一個(gè)域F，是不是有F的單擴(kuò)域存在？ 存在F的單超越擴(kuò)域容易看出。我們知道，F(xiàn)上的一個(gè)未定元的多項(xiàng)式環(huán)F和F的商域都是存在的。F的商域顯然是包含F(xiàn)和的最小域，而按照未定元的定義，是F上的一個(gè)超越元。因此F的商域就是F的一個(gè)單超越擴(kuò)域。由定理1，F(xiàn)的任何單超越擴(kuò)域都是同構(gòu)的。 現(xiàn)在我們證明定理3 對于任一給定域F以及F的一元多項(xiàng)式環(huán)F的給定不可約的多項(xiàng)式總存在F的單代數(shù)擴(kuò)域F（），其中在F上的極小多項(xiàng)式是。 證明 有了F和，我們可以作剩余類環(huán)=F/因?yàn)槭遣豢杉s的多項(xiàng)式，所以是一個(gè)最大理想，因而是一

11、個(gè)域。 我們知道，有F到的同態(tài)滿射這里是所在的剩余類。由于F F，在這個(gè)同態(tài)滿射之下，F(xiàn)有一個(gè)象，并且F與同態(tài)。但對于F的元和來說-，所以F與同構(gòu)。這樣，由于和F沒有共同元，根據(jù)，5，定理4，我們可以把的子集用F來掉換而得到一個(gè)域K，使得K，F(xiàn)現(xiàn)在我們看F的元在里的象。由于0 所以在里因此，假如我們把在K里的逆象叫做，我們就有這樣，域K包含一個(gè)F上的代數(shù)元。我們證明，就是在F上的極小多項(xiàng)式。令是在F上的極小多項(xiàng)式。那么F中一切滿足條件=0的多項(xiàng)式顯然作成一個(gè)理想，而這個(gè)理想就是主理想（）（參看，4，定理1的證明）。因此能被整除。但不可約，所以一定有=， 但和的最高系數(shù)都是1，所以=1，而=因此

12、我們可以在域K中作單擴(kuò)域F（），而F（）能滿足定理的要求。實(shí)際上F（）=K。這一點(diǎn)我們留給讀者去證明。 證完 給了域F和F的一個(gè)最高系數(shù)為1的不可約多項(xiàng)式，可能存在若干個(gè)單代數(shù)擴(kuò)域，都滿足定理3的要求。但我們有定理4 令和是域F的兩個(gè)單代數(shù)擴(kuò)域，并且和在F上有相同的極小多項(xiàng)式。那么和同構(gòu)。 證明 假定的次數(shù)是。那么的元都可以寫成的形式，而的元都可以寫成的形式，這里。映射顯然是到同構(gòu)映射。 證完 總起來，我們有 定理5 在同構(gòu)的意義下，存在而且僅存在域F的一個(gè)單擴(kuò)域，其中的極小多項(xiàng)式是F的給定的，最高系數(shù)為1的不可約多項(xiàng)式。 教學(xué)重點(diǎn) 代數(shù)元，超越元，單代數(shù)擴(kuò)域以及單超越擴(kuò)域的定義。 教學(xué)難點(diǎn)

13、定理1，2和定理3的證明。 教學(xué)要求 使學(xué)生掌握代數(shù)元，超越元，單代數(shù)擴(kuò)域以及單超越擴(kuò)域的定義，利用這些定義和定理1，2，3，4，5能證明相關(guān)的命題。 布置作業(yè) 習(xí)題 1，2，3，4。 教學(xué)輔導(dǎo) 利用參考書，給學(xué)生輔導(dǎo)相關(guān)的內(nèi)容。§5.3 代數(shù)擴(kuò)域 課時(shí)安排 約2學(xué)時(shí)。 教學(xué)內(nèi)容 （近世代數(shù)基礎(chǔ) （1978年修訂本） 張和瑞 著 ） 上一節(jié)結(jié)果告訴我們，把域F上一個(gè)超越元或一個(gè)代數(shù)元添加于F所得到的單擴(kuò)域的結(jié)構(gòu)完全不同。 我們有以下的事實(shí)：設(shè)E是F的一個(gè)擴(kuò)域，并且E含有F上的超越元。那么總存在E的一個(gè)子域T，F(xiàn)TE使得T是由添加F上的超越元于F而得到的，而F只含T上的代數(shù)元。 這一事

14、實(shí)的證明已經(jīng)超出本書的范圍。這個(gè)事實(shí)告訴我們，一個(gè)擴(kuò)域可以分成兩部分：一個(gè)超越的，一個(gè)代數(shù)的部分。我們以下將不再討論超越的擴(kuò)域，而對代數(shù)的擴(kuò)域作一些進(jìn)一步的研究。 定義 若域F的一個(gè)擴(kuò)域E的每一個(gè)元都是F上的代數(shù)元，那么E叫做F的一個(gè)代數(shù)擴(kuò)域（擴(kuò)張）。 我們首先提出 以下問題：假定E =F（S）是添加集合S于域F所得的擴(kuò)域，并且S的元都是F上的代數(shù)元，那么E的元是否都是F上的代數(shù)元？ 為了解答這個(gè)問題，我們需要擴(kuò)域的次數(shù)這一個(gè)概念。 假定E是F的一個(gè)擴(kuò)域。那么對于E的加法和F×E到E的乘法來說，E作成F上的一個(gè)向量空間。作為F上的向量空間，E或者一個(gè)維數(shù)n，n是正整數(shù)；或者是一個(gè)無限

15、維空間。 定義 若是域F的一個(gè)擴(kuò)域E作為F上的向量空間有維數(shù)n，那么n叫做擴(kuò)域E在F上的次數(shù)，記做（EF）。這時(shí)E叫做域F的一個(gè)有限擴(kuò)域；否則E叫做域F的一個(gè)無限擴(kuò)域。 關(guān)于擴(kuò)域的次數(shù)我們有重要的 定理1 令I(lǐng)是域F的有限擴(kuò)域，而E是I的有限擴(kuò)域。那么E也是F的有限擴(kuò)域，并且 （EF）=（EI）（IF） 證明 （IF）=r，（EI）=s，而是向量空間I在域F上的一個(gè)基，是向量空間E在I上的一個(gè)基。看E的元 （=1，2，r；=1，2，s）我們只須證明，這rs個(gè)元是向量空間E在域F上的一個(gè)基。設(shè) （）那么， 由于對于I來說線性無關(guān)，我們得 （=1，2，s）但對于F來說線性無關(guān)，因而 （=1，2，r

16、；=1，2，s）這就是說，以上的rs個(gè)E的元對于F來說線性無關(guān)?，F(xiàn)在假定是E的一個(gè)任意元。因?yàn)槭荌上的E的一個(gè)基，= （）又由于是F上的I的一個(gè)基 （）這樣我們有=這就證明了，是向量空間E也是F上的一個(gè)基。 證完 定理1的直接結(jié)果是 推論1 令是域，其中后一個(gè)是前一個(gè)的有限擴(kuò)域。那么以下等式成立： 現(xiàn)在我們證明下述幾個(gè)定理來解答前面提出的問題。 定理2 令是域F的一個(gè)單代數(shù)擴(kuò)域。那么E是F的一個(gè)代數(shù)擴(kuò)域。 證明 令在F上的極小多項(xiàng)式次數(shù)是n，由，2，定理2，的每一個(gè)元都可以唯一地表成 （）的形式。這就是說，元1，作成F上向量空間E的一個(gè)基，因此E是F的一個(gè)n次有限擴(kuò)域。令是E的一個(gè)任意元。那么

17、這n+1個(gè)元對于F來說線性相關(guān)。因此在F中存在不都等于零的n+1個(gè)元，能使這就是說，E的任意元都是F上的代數(shù)元，而E是F的代數(shù)擴(kuò)域。 證完由定理2的證明可以得到以下兩個(gè)重要事實(shí)。 推論2 令F（）是域F的一個(gè)代數(shù)擴(kuò)域，而在F上的極小多項(xiàng)式的次數(shù)是n。那么F（）是F的一個(gè)n次擴(kuò)域。 推論3 域F的有限擴(kuò)域一定是F的代數(shù)擴(kuò)域。 定理3 E= F（），其中每一個(gè)都是F上的代數(shù)元。那么E是F上的有限擴(kuò)域，因而是F代數(shù)擴(kuò)域。 證明 我們用歸納法。 由定理2，當(dāng)t=1的時(shí)候，定理成立。 假定，當(dāng)我們只添加t-1個(gè)元于F時(shí)，定理成立，也就是說，假定是F的有限擴(kuò)域。 現(xiàn)在來看F（）的情形。我們知道，F(xiàn)（）=由

18、于是F上的代數(shù)元，所以它也是上的代數(shù)元。因此是的代數(shù)擴(kuò)域。而由推論2，是的有限擴(kuò)域。由于根據(jù)定理1，是F的有限擴(kuò)域，于是由推論3，它是F的代數(shù)擴(kuò)域。 證完 推論4 一個(gè)域F上的兩個(gè)代數(shù)元的和、差、積與商（分母不為零）仍是F上的代數(shù)元。 定理4 令，這里集合只含域F上的代數(shù)元。那么E是F的代數(shù)擴(kuò)域。 證明 令是E的任意元。根據(jù)，1，（1）式，這里是中的有限個(gè)元素，而（）是F上這些的多項(xiàng)式。這樣。于是由定理3，是F上的代數(shù)元。 證完 教學(xué)重點(diǎn) 代數(shù)擴(kuò)域的定義。 教學(xué)難點(diǎn) 定理1，2，3，4的證明。 教學(xué)要求 使學(xué)生掌握代數(shù)擴(kuò)域的定義，利用代數(shù)擴(kuò)域的定義以及定理1，2，3，4能證明相關(guān)的命題。 布置

19、作業(yè) 習(xí)題。 教學(xué)輔導(dǎo) 利用參考書，給學(xué)生輔導(dǎo)相關(guān)的內(nèi)容。§5.4 多項(xiàng)式的分裂域 課時(shí)安排 約2學(xué)時(shí)。 教學(xué)內(nèi)容 近世代數(shù)基礎(chǔ) （1978年修訂本） 張和瑞 著 我們都知道，所謂代數(shù)基本定理是什么。這個(gè)定理告訴我們，復(fù)數(shù)域C上一元多項(xiàng)式環(huán)Cx的每一個(gè)n次多項(xiàng)式在C里有n個(gè)根，換句話說，Cx的每一個(gè)多項(xiàng)式在Cx里都能分解為一次因子的乘積。 若是一個(gè)域E上的一元多項(xiàng)式環(huán)Ex的每一個(gè)多項(xiàng)式在Ex里都能分解為一次因子的乘積，那么E顯然不再有真正的代數(shù)擴(kuò)域。這樣的的一個(gè)域叫做代數(shù)閉域。 我們有以下事實(shí)：對于每一個(gè)F都存在F的擴(kuò)域E，而E是代數(shù)閉域。 這一事實(shí)的證明也已超出本書的范圍。 但分裂

20、域的理論可以在一定意義下彌補(bǔ)這一個(gè)缺陷。 定義 域F的一個(gè)擴(kuò)域E叫做Fx的n次多項(xiàng)式在F上的一個(gè)分裂域（或根域），假如 （）在Ex里（有時(shí)簡稱在E里）可以分解為一次因子積：（）在一個(gè)小于E的中間域里，不能這樣地分解。 按這個(gè)定義，E是一個(gè)使得能夠分解為一次因子F的最小擴(kuò)域。我們先看一看，一個(gè)多項(xiàng)式的分裂域應(yīng)該什么性質(zhì)。 定理1 令E是域F上多項(xiàng)式的一個(gè)分裂域：（1） 那么E=。 證明 我們有。并且在中，已經(jīng)能夠分解成（1）的形式。因此根據(jù)多項(xiàng)式的分裂域的定義，E= 證完根據(jù)這個(gè)定理，如果有F上的多項(xiàng)式的分裂域E存在，那么E剛好是把的根添加于F所得的擴(kuò)域。因此我們也把多項(xiàng)式的分裂域叫做它的根域。

21、現(xiàn)在我們證明多項(xiàng)式的分裂域的存在。定理2 給了域F上一元多項(xiàng)式環(huán)Fx的一個(gè)n次多項(xiàng)式，一定存在在F上的分裂域E。證明 假定在Fx里，這里是最高次系數(shù)為1的不可約多項(xiàng)式。那么存在一個(gè)域而在F上的極小多項(xiàng)式是 在里=0，所以（x）|，因此在里這里是里最高次系數(shù)為1的不可約多項(xiàng)式。這樣，存在一個(gè)域而在上的極小多項(xiàng)式是。 在里是里的最高次系數(shù)為1的不可約多項(xiàng)式。這樣我們又可以利用來得到域，使得在里 這樣一步一步地可以得到域E=使得在里 證完域F上的多項(xiàng)式F上的多項(xiàng)式當(dāng)然可能有不同在F上的分裂域。但是這些分裂域都同構(gòu)。要證明這一點(diǎn)，我們需要兩個(gè)引理。 引理1 令和兩個(gè)同構(gòu)域。那么多項(xiàng)式環(huán)x和x也同構(gòu)。

22、證明 令是與之間的同構(gòu)映射。我們規(guī)定一個(gè)x到x的映射： 顯然是x與x之間的一一映射。我們看x的兩個(gè)元和：=那么所以是同構(gòu)映射。 證完 在上述的同構(gòu)映射之下，x的一個(gè)不可約的多項(xiàng)式的象顯然是x的一個(gè)不可約的多項(xiàng)式。 引理2 令與是同構(gòu)的域，是x的一個(gè)最高次系數(shù)為1的不可約多項(xiàng)式，是與對應(yīng)的x的不可約的多項(xiàng)式。又假定與各是與的單擴(kuò)域，滿足條件和。那么存在與間的一個(gè)同構(gòu)映射，并且這個(gè)同構(gòu)映射能夠保持原來的與間的同構(gòu)映射。 證明 假定的次數(shù)是，那么的次數(shù)也是。這樣，若是與間的同構(gòu)映射，那么： 是一個(gè)與間的一個(gè)一一映射?？吹膬蓚€(gè)元=，=由于有 我們知道，這里由引理1得因此 這樣是與之間的同構(gòu)映射。至于能

23、夠保持原來與之間的同構(gòu)映射，顯然。證完現(xiàn)在我們證明一個(gè)多項(xiàng)式的分裂域的唯一性。我們證明更一般的下述定理3 與是同構(gòu)的域，的與的是在引理1的意義下相對應(yīng)的次多項(xiàng)式。又假定是在上的一個(gè)分裂域，是在上的一個(gè)分裂域，那么在與之間存在一個(gè)同構(gòu)映射，能夠保持與之間的同構(gòu)映射，并且可以分別掉換和的次序，使在之下， 證明 我們已經(jīng)知道：。假定對于，我們能夠分別掉換和的次序，使得這個(gè)同構(gòu)映射保持與之間的同構(gòu)映射，并且在這個(gè)同構(gòu)映射之下 （1，2，）設(shè)在里這里是的一個(gè)最高系數(shù)為1的不可約多項(xiàng)式。有引理1，在里而是的一個(gè)最高系數(shù)為1的不可約的多項(xiàng)式。在和里，因子和進(jìn)一步分別分解為和。分別掉換和的次序，不妨假定， 于

24、是由定理2這個(gè)同構(gòu)映射保持與之間的同構(gòu)映射，并且在這個(gè)同構(gòu)映射之下 （1，2，+1）證完我們知道，一個(gè)次多項(xiàng)式在一個(gè)域里最多有個(gè)根（，6，推論1）。分裂域的存在定理告訴我們，域上多項(xiàng)式 在的某一個(gè)擴(kuò)域里一定有個(gè)根。分裂域的唯一存在定理告訴我們，用不同的方法找到兩組根，抽象地來看，沒有什么區(qū)別。這樣給了任何一個(gè)域和上一個(gè)次多項(xiàng)式，我們總可以談?wù)摰膫€(gè)根。因此，分裂域的理論在一定意義下可以代替所謂代數(shù)基本定理。在域上一個(gè)多項(xiàng)式的分裂域里并不是只有可以分解成一次因子的乘積。我們有以下重要的定理4 令是多項(xiàng)式在域上的分裂域，而是的一個(gè)任意元。那么在上的極小多項(xiàng)式在里分解為一次因子的乘積。證明 令在域上的

25、分裂域是假定在上的極小多項(xiàng)式不能在里分解為一次因子的乘積。那么里而是中最高系數(shù)為1的不可約多項(xiàng)式，且的次數(shù)大于1。作單擴(kuò)域使得。我們看一看，由于根據(jù)，2，定理4，有因而由引理1，有而且在這個(gè)同構(gòu)映射之下這樣，由定理3，在上的分裂域與在上的分裂域同構(gòu)。但是在上的一個(gè)分裂域，而是在上的一個(gè)分裂域。因此但是我們顯然有由于，這是一個(gè)矛盾。 證完在以下兩節(jié)中我們要用到分裂域的理論來討論兩種特殊類型的域 教學(xué)重點(diǎn) 多項(xiàng)式的分裂域的定義。 教學(xué)難點(diǎn) 定理1，2，3，4的證明。 教學(xué)要求 使學(xué)生掌握多項(xiàng)式的分裂域的定義，利用多項(xiàng)式的分裂域的定義以及定理1，2，3，4能證明相關(guān)的命題。 布置作業(yè) 習(xí)題。 教學(xué)輔

26、導(dǎo) 利用參考書，給學(xué)生輔導(dǎo)相關(guān)的內(nèi)容。§5.5 有限域 課時(shí)安排 約2學(xué)時(shí)。 教學(xué)內(nèi)容 （近世代數(shù)基礎(chǔ) （1978年修訂本） 張和瑞 著 我們要討論的第一種特殊類型的域是有限域。有限域在實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)和編碼理論中都有應(yīng)用。 定義 一個(gè)只含有限個(gè)元素的域叫做有限域。 例如，特征是的素域就是一個(gè)有限域。 先看一看，一個(gè)有限域應(yīng)該有什么性質(zhì)。 定理1 一個(gè)有限域有個(gè)元素，這里是的特征而是在它的素域上的次數(shù)。 證明 的特征一定是一個(gè)素?cái)?shù)，不然的話，所含的素域已經(jīng)有無限多個(gè)元，不可能是一個(gè)有限域。 把所含的素域記做。因?yàn)橹挥杏邢迋€(gè)元，所以它一定是的一個(gè)有限擴(kuò)域而（：）=。這樣，的每一個(gè)元可以唯一地寫

27、成的形式，這里，而是向量空間在上的一個(gè)基。由于只有個(gè)元，所以對于每一個(gè)有種選擇法，因而一共有個(gè)元。 定理2 令有限域的特征是素?cái)?shù)，所含素域是，而有個(gè)元。那么是多項(xiàng)式在上的分裂域。任何兩個(gè)這樣的域都同構(gòu)。 證明 的不等于零的元對于乘法來說，作成一個(gè)群。這個(gè)群的階是，單位元是1。所以， ， 由于，所以有，因此，用來表示的元，在里多項(xiàng)式而且顯然這樣是多項(xiàng)式在上的分裂域。 但特征為的素域都同構(gòu)，而多項(xiàng)式在同構(gòu)的域上的分裂域也同構(gòu)，所以任何有個(gè)元素的有限域都同構(gòu)。 證完 現(xiàn)在我們證明有限域的存在。 定理3 令是特征為的素域，（）。那么多項(xiàng)式在上的分裂域是一個(gè)個(gè)元的有限域。 證明 ，這里是=在域里的根。由

28、于的特征是，的導(dǎo)數(shù)所以與互素。這樣由，6，推論2，的個(gè)根都不相同。 我們斷言，的個(gè)根作成一個(gè)的子域。這是因?yàn)?，由?，這就是說和（）仍是的根而屬于，因而是的一個(gè)子域。 但含，也含一切，所以就是多項(xiàng)式在上的分裂域。這樣=，而恰好有個(gè)元。 證完以上證明了，給了素?cái)?shù)和正整數(shù)，有而且（抽象地來看）只有一個(gè)恰好含個(gè)元的有限域存在。我們知道，單擴(kuò)域是比較容易掌握的一種擴(kuò)域?，F(xiàn)在我們要進(jìn)一步證明，一個(gè)有限域一定是它所含素域的一個(gè)單擴(kuò)域。我們先證明引理 令是一個(gè)有限交換群，而是的元的階中最大的一個(gè)。那么能被的每一個(gè)元的階整除。證明 容易看出：若和是的兩個(gè)元，的階是，的階是，而（，）=1，那么階是（參看，9，習(xí)

29、題3）。假定的元的階是不能整除。那么有素?cái)?shù)存在，使， 令是元的階，于是的階是的階是于是是的元的階中最大的一個(gè)的假設(shè)矛盾。 證完定理4 一個(gè)有限域是它的素域的一個(gè)擴(kuò)域。證明 設(shè)含有個(gè)元。的非零元對于的乘法來說作成一個(gè)交換群，它的階是-1。令是的元的階中最大的一個(gè)，那么由引理， 對于任意這就是說，多項(xiàng)式至少有-1個(gè)不同的根，因此由，6，推論，但由，9，定理3，以上的兩個(gè)式子得。這就是說，有一個(gè)元，它的階是-1，因而是一個(gè)循環(huán)群：。 這樣，是添加于所得單擴(kuò)域：證完 教學(xué)重點(diǎn) 有限域的定義。 教學(xué)難點(diǎn) 定理1，2，3，4的證明。 教學(xué)要求 使學(xué)生掌握有限域的定義，利用有限域的定義以及定理1，2，3，4

30、能證明相關(guān)的命題。 布置作業(yè) 習(xí)題。 教學(xué)輔導(dǎo) 利用參考書，給學(xué)生輔導(dǎo)相關(guān)的內(nèi)容。§5.6 可離擴(kuò)域 課時(shí)安排 約2學(xué)時(shí)。 教學(xué)內(nèi)容 近世代數(shù)基礎(chǔ) （1978年修訂本） 張和瑞 著 我們要討論的第二種特殊類型的域是可離擴(kuò)域，我們的主要目的是要證明，有限可離擴(kuò)域都是單擴(kuò)域。定義 是一個(gè)域，是的一個(gè)代數(shù)擴(kuò)域而是的一個(gè)元。如果在上的極小多項(xiàng)式?jīng)]有重根，那么叫做上的一個(gè)可離元。如果的每一個(gè)元都是上的可離元，那么叫做的一個(gè)可離擴(kuò)域；否則叫做的一個(gè)不可離擴(kuò)域。為了對于可離擴(kuò)域有一些初步的了解，我們先看一看，一個(gè)不可約多項(xiàng)式什么時(shí)候有重根引理1 令是的一個(gè)不可約多項(xiàng)式，這里是一個(gè)域。若的特征是，那

31、么沒有重根；若的特征是，那么有重根的充分與必要條件是：，這里是的一個(gè)多項(xiàng)式。證明 有重根的充分與必要條件是：與它的導(dǎo)數(shù)在中有次數(shù)的公因子；由于不可約，這個(gè)條件只在=0時(shí)才能被滿足。令=那么 = 情形1的特征是。這時(shí)=0這就是說，=，與不可約的假設(shè)矛盾。所以在這個(gè)情形下不能有重根。 情形2 的特征是。這時(shí)=0這就是說，只要0，就必。因此證完由這個(gè)引理立刻得定理1 特征是的域的任何代數(shù)擴(kuò)域都是可離擴(kuò)域。特征是的域可以有不可離擴(kuò)域。引理2 令是一個(gè)特征為的域。當(dāng)而且只當(dāng)?shù)拿恳粋€(gè)元都是的某一個(gè)元的次冪：=時(shí)，的任何代數(shù)擴(kuò)域都是可離擴(kuò)域。證明 假定的每一元都可以寫成= （）的形式。這時(shí)的一個(gè)多項(xiàng)式在里一

32、定可約。令，就有這樣，若的一個(gè)多項(xiàng)式在中不可約，那么它不能在中寫成的形式。于是根據(jù)引理1，的每一不可約多項(xiàng)式都沒有重根，因而的代數(shù)擴(kuò)域都是可離擴(kuò)域。 現(xiàn)在反過來假定，含有元而（）?？吹亩囗?xiàng)式作在上的分裂域。在中有個(gè)根。令其中的一個(gè)為，那么，因而由假設(shè)，不屬于。設(shè)在上的極小多項(xiàng)式是，那么|。但在中=所以在中=并且由于不屬于，這里。這樣在上的極小多項(xiàng)式有重根，因而就是上的一個(gè)不可離擴(kuò)域。 證完 滿足引理2的條件的域是存在的。例如有限域。 定理2 有限域的任何代數(shù)擴(kuò)域都是可離擴(kuò)域。證明 令有限域特征是，并且含個(gè)元：考察的元 由于當(dāng)時(shí)，所以是個(gè)不同的元，因而是的全部元素。因此的每一元都是的某個(gè)元的次冪

33、。證完 不滿足引理2的條件的域當(dāng)然有不可離擴(kuò)域，但這樣的域仍然可以有非平凡（即不屬于）的可離元。 例 考慮特征是3的素域的單超越擴(kuò)域=（）。元顯然不是的某一個(gè)元的次冪，因此有不可離擴(kuò)域。但的多項(xiàng)式顯然在里不可約并且沒有重根。因此有非平凡的可離元。 以下我們要證明，只要一個(gè)域有非平凡的可離元，就有真（即大于的）可離擴(kuò)域。按照可離擴(kuò)域的定義，這一點(diǎn)并不是顯然的。 定理3 令是一個(gè)特征為的域。那么元是的可離元的充分與必要條件是：。 證明 假定是上的一個(gè)可離元。這時(shí)一定是上的一個(gè)可離元。是中的多項(xiàng)式的一個(gè)根。作這個(gè)多項(xiàng)式在上的分裂域，那么在里=因此在上的極小多項(xiàng)式可以在里寫成 （1） 但是上的可離元。所以。這樣在上的極小多項(xiàng)式。這就是說從而現(xiàn)在反過來假定，不是上的可離元。這時(shí)，有引理