必修四三角函數(shù)知識點及例題詳解

1、第1章 三角函數(shù)知識點詳列一、角的概念及其推廣正角：一條射線繞著端點以逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角1、任意角零角：射線不做任何旋轉(zhuǎn)形成的角負角：一條射線繞著端點以順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角記憶法則：第一象限全為正,二正三切四余弦. 為正 全正 為正 為正例1、（1）判斷下列各式的符號：其中已知答案：+ 2、象限角：角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角第一象限角的集合為第二象限角的集合為第三象限角的集合為第四象限角的集合為3、終邊相同的角：一般地，所有與角終邊相同的角連同在內(nèi)（而且只有這樣的角），可以表示為4、特殊角的集合：（1）終邊在X軸非負半軸上的角的集合

2、為（2）終邊在X軸非正半軸上的角的集合為（3）終邊在X軸上的角的集合為（4）終邊在Y軸非負半軸上的角的集合為（5）終邊在Y軸非正半軸上的角的集合為（6）終邊在Y軸上的角的集合為（7）終邊在坐標軸上角的集合為（8）終邊在一、三象限角平分線上的角的集合為（9）終邊在二、四象限角平分線上的角的集合為二、弧度1、定義：長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做弧度2、 弧度制與角度制的換算公式：，3、 半徑為的圓的圓心角所對弧的長為，則角的弧度數(shù)的絕對值是4、 兩個公式：若扇形的圓心角為，半徑為，弧長為，周長為，面積為，則，三、三角函數(shù)1.設是一個任意角，在的終邊上任?。ó愑谠c的）一點P（x,y）則P與原點

3、的距離2.比值叫做的正弦 記作： 比值叫做的余弦 記作： 比值叫做的正切 記作： 比值叫做的余切 記作： 比值叫做的正割 記作： 比值叫做的余割 記作： 以上六種函數(shù)，統(tǒng)稱為三角函數(shù).2同角三角函數(shù)的基本關系式：（1）倒數(shù)關系：；（2）商數(shù)關系：；（3）平方關系： 3誘導公式，奇變偶不變，符號看象限，口訣：函數(shù)名稱不變，符號看象限，口訣：正弦與余弦互換，符號看象限例2化簡（1）；（2）已知，求的值解：（1）原式（2），例3 確定下列三角函數(shù)值的符號(1)cos250° （2） （3）tan（672°） (4)解：(1)250°是第三象限角 cos250°

4、0(2)是第四象限角，(3)tan（672°）tan（48°2×360°）tan48°而48°是第一象限角，tan（672°）0(4) 而是第四象限角，.例4 求值：sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°+tan495°解：原式=sin(-4×360°+120°)·cos(3×360°+30°)+cos(-3×360°+60°)sin(2&

5、#215;360°+30°)+tan(360°+135°)=sin120°·cos30°+cos60°·sin30°+tan135°=-1=0題型一 象所在象限的判斷例5（1）如果為第一象限角，試問是第幾象限角？（2）如果為第二象限角，試問：分別為第幾象限角？答案：（1）第一或者第三；（2）第三，第一，第四。(3)已知角的終邊與角的終邊相同，在內(nèi)，哪些角的終邊與的終邊相同？答案：題型二 弧長、扇形面積等有關問題例6 已知扇形的圓心角是，所在圓的半徑是.（1） 若求扇形的弧長及該弧所在的

6、弓形的面積。（2） 若扇形的周長是一定值當為多少弧度時，該扇形有最大面積？答案：（1）（2）當且僅當即時，扇形面積有最大值.題型三 函數(shù)值符號的判定 例7 確定下列三角函數(shù)值符號：(1),(2),(3)解:（1） （2） （3）例8 確定下列三角函數(shù)值的符號(1)cos250° （2） （3）tan（672°） (4)解：(1)250°是第三象限角 cos250°0(2)是第四象限角，(3)tan（672°）tan（48°2×360°）tan48°而48°是第一象限角，tan（672°

7、）0(4) 而是第四象限角，.題型四 三角函數(shù)線的應用例9利用單位圓尋找適合下列條件的0°到360°的角1° sina 2° tanaxyoTA210°30°解： 1° 2°xyoP1P230°a150° 30°a90°或210°a270°xyoP1P2M1M2例10 求證：若時，則sina1sina2證明：分別作a1,a2的正弦線x的終邊不在x軸上 sina1=M1P1 sina2=M2P2 M1P1 M2P2 即sina1sina2題型五 利用三角函數(shù)

8、關系進行化簡與求值例11化簡（1）；（2）已知，求的值解：（1）原式（2），例12（1） 若，求值；（2） 求值解：（1）原式，原式（2）又原式例13 已知是方程的兩個根，求角解：，代入，得，又，又，題型六 平方關系得應用例14 說明：通過平方關系得到重要關系式： 例15 求證：說明: 利用平方關系得到“1”的妙用，即例16 化簡說明: 本題利用平方關系，和三角函數(shù)的大小關系進行化簡題型七 商數(shù)關系的應用例17 解： 題型八誘導公式的應用例18 例2已知，是第三象限角，求的值解：是第三象限角，（），是第四象限角，原式題型九 證明三角恒等式例19 求證解：（不止一種方法）注：關于三角恒等式的證明

9、，常用方法：從一邊開始證得它等于另一邊，一般由繁到簡；左右掃一法，即證明左右兩邊都等于同一個式子；湊和方法，即針對題設與結論間的差異，由針對性的變形，以消除差異的方法；比較好，即設法證明“”或“”；分析法，即從被征的等式出發(fā)，逐步地探求使等式成立的充分條件，一直到已知條件或明顯的事實為止，就可以斷定原等式成立。題型九 三角函數(shù)的簡單應用例20 已知是關于的方程的兩個根。（1） 求的值；（2） 求的值。答案：（1）；（2）。三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)1、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函數(shù)性質(zhì) 圖象定義域值域最值當時，；當 時，當時， ；當時，既無最大值也無最小值周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函

10、數(shù)單調(diào)性在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)在上是增函數(shù)對稱性對稱中心對稱軸對稱中心對稱軸對稱中心無對稱軸2、 函數(shù)的圖像與函數(shù)圖像的關系（1） 振幅變換：的圖像可以看成是圖像上所有點的縱坐標都伸長或都縮短到原來的倍（橫坐標不變而得到的）。（2） 周期變化：的圖像，可以看成是的圖像上各點的橫坐標都都縮短或伸長到原來的倍（縱坐標不變）而得到的，由于的周期為，故的周期為。（3） 相位變化：的圖像，可以看成是把的圖像上各點向左或向右平移各單位而得到的。思考：由的圖像得到的圖像有哪些方法？例1 畫出函數(shù)與的簡圖。 解：函數(shù)的周期為，我們先畫在0,上的簡圖 令（換元法）列表2： 描點連線

11、：00010-10 函數(shù)的周期為，我們先畫在0,4上的簡圖令，則（換元法） 列表3：00010-10例2 函數(shù)的圖像可由的圖像（）A. 向左平移個單位長度得到B. 向右平移個單位長度得到C. 向左平移個單位長度得到D. 向右平移個單位長度得到例3 求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間。解：注意易錯點：直接把帶入中求出。題型一 函數(shù)的定義域問題三角函數(shù)的定義域是研究其他性質(zhì)的前提，求三角函數(shù)的定義域就是解簡單的圖像或三角函數(shù)線來求解，注意數(shù)形結合的思想的應用。例1 求下列函數(shù)的定義域：（1）；（2）；（3）解：（1）由，得，的定義域為（2），即的定義域為由已知，得，原函數(shù)的定義域為題型二 三角函數(shù)的值域例2求下列

12、函數(shù)的值域：（1）；（2）；（3）解：由題意，時，但，原函數(shù)的值域為（2），又，函數(shù)的值域為（3）由得，這里，解得，原函數(shù)的值域為題型三 三角函數(shù)最值問題三角法術最值的求法類似于求函數(shù)的值域，常見的題型有以下幾類（1） 形如或可化為此類的函數(shù)最值問題，應用三角函數(shù)的有界性求解。（2） 可化為換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解，有時需對所含參數(shù)進行分類討論。（3） 型，可利用分離常數(shù)法，或來求解。（4） 型，可用斜率公式或分離常數(shù)法來解決。例2求下列函數(shù)的值域：（1）；（2）；（3）解：由題意，時，但，原函數(shù)的值域為（2），又，函數(shù)的值域為（3）由得，這里，解得，原函數(shù)的值域為題型三 周期性問題例3求下列函

13、數(shù)的周期：（1）；（2）；（3）解：（1），周期（2），故周期（3），故周期例4若，試求：的值解：的周期為12，而，原式題型四 奇偶性問題例4 判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1） ；（2）解：(1)的定義域為，定義域關于原點對稱，又，為偶函數(shù)（2） 的定義域為不關于原點對稱，為非奇非偶函數(shù)例5 函數(shù)是偶函數(shù)，則的值為 （ ）A. B. C. D. 題型五 函數(shù)圖像的變換例6 為了得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)的圖像上所有點 （ ） A向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變）B向右平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變）C向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的3倍（縱坐標不變）D向右平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的3倍（縱坐標不變）題型六 求解析式例7如下圖，它是函數(shù)（）的圖象，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，寫出該函數(shù)解析式【分析】觀察圖象，發(fā)現(xiàn)它的最大最小值，找出它的周期 【解】由圖得A=5，得則,所以， （例1）所求的表達式為 例8已知函數(shù)在同一個周期內(nèi)有最高點，最低點，求它的解析式.【分析】根據(jù)最高點和最低點，得到A、b及周期.【解】2A=3-（-