廣東省深圳市高三下學期第一次調研考試數學理試題

1、密啟用前 試卷類型：A廣東省深圳市2012屆高三下學期第一次調研考試數學（理）試題 2012.2本試卷共6頁，21小題，滿分150分考試用時120分鐘注意事項：1答卷前，考生首先檢查答題卡是否整潔無缺損，監(jiān)考教師分發(fā)的考生信息條形碼是否正確；之后務必用0.5毫米黑色字跡的簽字筆在答題卡指定位置填寫自己的學校、姓名和考生號，同時，將監(jiān)考教師發(fā)放的條形碼正向準確粘貼在答題卡的貼條形碼區(qū)，請保持條形碼整潔、不污損2選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，答案不能答在試卷上不按要求填涂的，答案無效3非選擇題必須用0.5毫米黑色字跡的

2、簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上，請注意每題答題空間，預先合理安排；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液不按以上要求作答的答案無效4作答選做題時，請先用2B鉛筆填涂選做題的題號對應的信息點，再做答漏涂、錯涂、多涂的答案無效5考生必須保持答題卡的整潔，考試結束后，將答題卡交回參考公式：如果事件互斥，那么；如果事件相互獨立，那么；若錐體的底面積為，高為，則錐體的體積為一、選擇題：本大題共8個小題；每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的1若（為虛數單位），則的虛部是ABCD2已知，是平面內的兩條直線，則“直線

3、”是“直線，直線”的A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件3已知直線的斜率為，在軸上的截距為1，則ABCD圖1_否輸入函數開始對任意實數及任意正數,均有是結束輸出函數4執(zhí)行圖1的程序框圖，如果依次輸入函數：、，那么輸出的函數為ABCD5已知符號函數，則函數的零點個數為ABCD6已知變量滿足約束條件，若目標函數僅在點處取到最大值，則實數的取值范圍為ABCD7“”含有數字，且有兩個數字2則含有數字，且有兩個相同數字的四位數的個數為ABCD8設是實數集的非空子集，如果有，則稱是一個“和諧集”下面命題為假命題的是A存在有限集，是一個“和諧集”B對任意無理數，集合都是“和諧集”

4、C若，且均是“和諧集”，則D對任意兩個“和諧集”，若，則二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分本大題分為必做題和選做題兩部分（一）必做題：第9、10、11、12、13題為必做題，每道試題考生都必須作答9 圖20.0300.0250.0200.0150.010分數頻率/組距506070809010010某中學組織了“迎新杯”知識競賽，從參加考試的學生中抽出若干名學生，并將其成績繪制成頻率分布直方圖（如圖2），其中成績的范圍是50，100，樣本數據分組為50，60），60，70)，70，80)，80，90)，90，100，已知樣本中成績小于70分的個數是36，則樣本中成

5、績在內的學生人數為 11已知拋物線的準線與雙曲線相切，則雙曲線的離心率 12已知等比數列的第項是二項式展開式的常數項，則 圖313如圖3所示的幾何體中，四邊形是矩形，平面平面，已知，且當規(guī)定主（正）視方向垂直平面時，該幾何體的左（側）視圖的面積為若、分別是線段、上的動點，則的最小值為 （二）選做題：第14、15題為選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計算前一題的得分圖4DCOAB14（坐標系與參數方程選做題）在極坐標系中，點到曲線 上的點的最短距離為 15（幾何證明選講選做題）如圖4，是圓上的兩點，且，為的中點，連接并延長交圓于點，則 三、解答題：本大題共6小題，滿分80分解答須寫出文字說

6、明、證明過程和演算步驟16（本小題滿分12分）已知函數，（其中），其部分圖像如圖5所示（1）求函數的解析式； 圖5（2）已知橫坐標分別為、的三點、都在函數的圖像上，求的值17（本小題滿分13分）隨機調查某社區(qū)個人，以研究這一社區(qū)居民在時間段的休閑方式與性別的關系，得到下面的數據表：休閑方式性別看電視看書合計男女合計（1）將此樣本的頻率估計為總體的概率，隨機調查名在該社區(qū)的男性，設調查的人在這一時間段以看書為休閑方式的人數為隨機變量，求的分布列和期望；（2）根據以上數據，能否有%的把握認為“在時間段的休閑方式與性別有關系”？參考公式：，其中參考數據：18（本小題滿分13分）如圖6，平行四邊形中，

7、沿將折起，使二面角是大小為銳角的二面角，設在平面上的射影為（1）當為何值時，三棱錐的體積最大？最大值為多少？ABDCOABCD圖6（2）當時，求的大小19（本小題滿分14分）如圖7，已知橢圓：的離心率為，以橢圓的左頂點為圓心作圓：，設圓與橢圓交于點與點（1）求橢圓的方程；（2）求的最小值，并求此時圓的方程；圖7（3）設點是橢圓上異于的任意一點，且直線分別與軸交于點，為坐標原點，求證：為定值20（本小題滿分14分）已知函數，設曲線在與軸交點處的切線為，為的導函數，滿足（1）求；（2）設，求函數在上的最大值；（3）設，若對一切，不等式恒成立，求實數的取值范圍21（本小題滿分14分）已知數列滿足：，

8、（其中為自然對數的底數）（1）求數列的通項；（2）設，求證：， 2012年深圳市高三年級第一次調研考試數學(理科)答案及評分標準說明：一、本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分標準制訂相應的評分細則二、對計算題當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后續(xù)部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果后續(xù)部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分三、解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數四、只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分數一、選擇題：本大題每小題5分，滿分40分12345

9、678AADCCBBD二、填空題：本大題每小題5分，滿分30分9 ； 10 ； 11； 12；13； 14； 15三、解答題16（本小題滿分12分）已知函數，（其中），其部分圖像如圖所示(1) 求函數的解析式； (2) 已知橫坐標分別為、的三點、都在函數的圖像上，求的值解：（1）由圖可知， ， 1分最小正周期 所以 3分 又 ，且 所以， 5分 所以 6分(2) 解法一: 因為，所以， 8分，從而， 10分由，得. 12分解法二: 因為，所以， 8分, 則. 10分由，得. 12分【說明】 本小題主要考查了三角函數的圖象與性質，以及余弦定理，同角三角函數關系式，平面向量的數量積等基礎知識，考查

10、了簡單的數學運算能力17（本小題滿分13分）隨機調查某社區(qū)個人，以研究這一社區(qū)居民在時間段的休閑方式與性別的關系，得到下面的數據表：性別休閑方式看電視看書合計男女合計（1）將此樣本的頻率估計為總體的概率，隨機調查名在該社區(qū)的男性，設調查的人在這一時間段以看書為休閑方式的人數為隨機變量，求的分布列和期望；（2）根據以上數據，能否有%的把握認為“在時間段的休閑方式與性別有關系”？參考公式： ，其中 參考數據：解：（1）依題意，隨機變量的取值為：，且每個男性在這一時間段以看書為休閑方式的概率為 2分方法一：， ， 6分的分布列為: 8分方法二：根據題意可得， 4分， 6分 8分(2) 提出假設：休閑

11、方式與性別無關系根據樣本提供的列聯表得因為當成立時，的概率約為，所以我們有%的把握認為“在時間段性別與休閑方式有關” 13分【說明】本題主要考察讀圖表、隨機事件的概率、二項分布以及數學期望、獨立性檢驗等基礎知識，考查運用概率統計知識解決簡單實際問題的能力，數據處理能力和應用意識18（本小題滿分13分）如圖，平行四邊形中，沿將折起，使二面角是大小為銳角的二面角，設在平面上的射影為ABDCOABCD （1）當為何值時，三棱錐的體積最大？最大值為多少？ （2）當時，求的大小解：（1）由題知為在平面上的射影，平面， 2分 4分， 5分當且僅當，即時取等號，當時，三棱錐的體積最大，最大值為 6分ABDC

12、O(2)(法一)連接， 7分平面，平面， 9分，故， 11分，ABDCOxyzE， 12分在中，得13分(法二) 過作于，則為矩形，以為原點，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則， 9分于是， 10分由，得， 12分得，又為銳角， 13分【說明】本題主要考察空間點、線、面位置關系，棱錐的體積、二面角及三角函數等基礎知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，考查用向量方法解決數學問題的能力19（本小題滿分14分）如圖，已知橢圓：的離心率為，以橢圓的左頂點為圓心作圓：，設圓與橢圓交于點與點（1）求橢圓的方程；（2）求的最小值，并求此時圓的方程； （3）設點是橢圓上異于,

13、的任意一點，且直線分別與軸交于點，為坐標原點，求證：為定值 解：（1）依題意，得，；故橢圓的方程為 3分（2）方法一：點與點關于軸對稱，設， 不妨設由于點在橢圓上，所以 （*） 4分 由已知，則， 6分由于，故當時，取得最小值為由（*）式，故，又點在圓上，代入圓的方程得到 故圓的方程為： 8分方法二：點與點關于軸對稱，故設，不妨設，由已知，則 6分故當時，取得最小值為，此時，又點在圓上，代入圓的方程得到 故圓的方程為： 8分(3) 方法一：設，則直線的方程為：，令，得， 同理：， 10分故 （*） 11分又點與點在橢圓上，故，12分代入（*）式，得： 所以為定值 14分方法二：設，不妨設，其中

14、則直線的方程為：，令，得，同理：， 12分故所以為定值 14分【說明】本題主要考查橢圓的方程與性質、圓的方程、向量、圓與橢圓的位置關系、直線方程等基礎知識，考查學生運算能力、推理論證以及分析問題、解決問題的能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想20（本小題滿分14分）已知函數，設曲線在與軸交點處的切線為，為的導函數，滿足（1）求；（2）設，求函數在上的最大值；（3）設，若對一切，不等式恒成立，求實數的取值范圍解：（1）， 1分，函數的圖像關于直線對稱，則2分直線與軸的交點為，且，即，且，解得， 4分則 5分（2）， 7分其圖像如圖所示當時，根據圖像得：（）當時，最大值為；（）當時，最大值為；（

15、）當時，最大值為 10分（3）方法一：，當時，不等式恒成立等價于且恒成立，由恒成立，得恒成立，當時， 12分又當時，由恒成立，得，因此，實數的取值范圍是 14分方法二：（數形結合法）作出函數的圖像，其圖像為線段（如圖），的圖像過點時，或，要使不等式對恒成立，必須， 12分又當函數有意義時，當時，由恒成立，得，因此，實數的取值范圍是 14分方法三：， 的定義域是，要使恒有意義，必須恒成立，即或 12分由得，即對恒成立，令，的對稱軸為，則有或或解得 綜合、，實數的取值范圍是 14分【說明】本題主要考查函數導數運算法則、導數的幾何意義、二次函數和分段函數的圖像及其性質的運用、不等式的求解與證明等基礎知識，考查分類討論思想和數形結合思想，考查考生的計算推理能力及分析問題、解決問題的能力和創(chuàng)新意識21（本小題滿分14分）已知數列滿足：，（其中為自然對數的底數）（1）求數列的通項；（2）設，求證：， 解：（1），即 3分令，則，因此，數列是首項為，公差為的等差數列， 5分 6分（2）（方法一）先證明當時，設，則，當時，在上是增函數，則當時，即8分因此，當時， 9分當時， 1